专题01 勾股定理（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理探索，从方格纸面积验证（数格子、割补法）入手推导定理，系统梳理公式应用（已知两边求第三边）、面积计算（正方形、直角三角形），结合赵爽弦图理解等面积法，规避直角边与斜边混淆易错点，构建从探究到应用再到拓展的学习支架。 该资料以几何直观和推理能力为核心，通过方格纸面积转化、赵爽弦图证明等活动培养数学眼光，设计典例与变式（如弦图面积计算、综合压轴题结合面积求值）提升数学思维，课中辅助分层教学，课后通过巩固与强化训练（如蚂蚁爬行、楼梯地毯问题）强化应用意识，助力学生查漏补缺。

专题01 探索勾股定理 1. 通过数格子、割补法验证直角三角形三边关系，自主推导勾股定理； 2. 牢记勾股定理公式，已知直角三角形任意两条边长，熟练求出第三条边长； 3. 会利用勾股定理计算正方形、直角三角形面积； 4. 掌握赵爽弦图的证明思路，理解等面积法的核心逻辑； 5. 规避“不区分直角边与斜边”的计算易错点，规范几何答题步骤。 一、勾股定理的探究（方格纸验证） 1. 在直角三角形中，分别以三条边向外作正方形，直角边上两个正方形的面积之和 = 斜边上正方形的面积。 2. 面积关系转化边长关系：若直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则. 二、勾股定理核心内容 1. 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式表达：在△ABC中，∠ACB=90º，直角边a、b，斜边c，则a²+b²=c² 【注意】 （1）定理仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不能直接使用； （2）c 是斜边，为三角形最长边，做题优先判断最长边； （3）已知两边求第三边，若未指明斜边，必须分类讨论计算。 三、赵爽弦图（勾股定理经典证法） 1. 图形构成：4个全等的直角三角形围成一个大正方形，内部留出小正方形； 2. 证明思路：大正方形面积 = 4个直角三角形面积 + 中间小正方形面积，通过代数式化简推出a²+b²=c²； 3. 考点：考试常以弦图为背景，结合面积、线段长度出填空、解答题。 四、基础面积拓展结论 1. 以直角三角形三边向外作等边三角形、等腰直角三角形、半圆，依然满足：直角边上图形面积之和=斜边上图形面积； 2. 已知直角三角形两条直角边，可快速求三角形面积ab 五、本节高频易错点 1. 看到直角三角形直接把给出边长代入公式，忽略未知边有可能是直角边而非斜边； 2. 弦图计算题找错内外正方形的边长，导致列式错误； 3. 计算平方、开方时计算失误，不带单位、答题不写答。 题型01 方格纸中利用面积探究勾股定理 【典例】这道网格探究题，是初中讲勾股定理最经典的课堂探究原题 【答案】直角三角形两条直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形面积，即SA+SB=SC， 对应勾股定理a²+b²=c² 【分析】借助方格小方格边长为1，正方形A、B可直接数方格求面积，斜边上的正方形C用割补法计算面积，通过面积数值总结勾股定理核心等量关系。 【详解】 解：设每个小方格边长为1。 1. 左侧大图： 正方形A边长为3，面积SA=3²=9； 正方形B边长为3，面积SB=3²=9； 正方形C用割补法：外围大正方形边长6，减去四周4个直角三角形， SC=6×6 - 4××3×3=36-18=18； 可得 SA+SB=SC 可得a²+b²=c² 【变式】如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为，右边阴影部分面积为，则（　　） A．= B．＜ C．＞ D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及圆的面积公式的应用。解题关键思路是分别表示出S₁、S₂以及以直角三角形 【详解】三边为直径的半圆面积，再利用勾股定理建立它们之间的关系。 1. 设直角△ABC的三条边BC = a，AC = b，AB = c， 根据勾股定理可得a² + b² = c²。 2.计算以三边为直径的半圆面积： 以 BC 为直径的半圆面积 S 半圆 BC = ²= 以 AC 为直径的半圆面积 S 半圆 AC = ²= 以 AB 为直径的半圆面积 S 半圆 AB = = 3. 分析 S₁、S₂与半圆面积的关系： ·S₁等于以BC为直径的半圆面积加上以AC为 直径的半圆面积减去直角三角形ABC的面积，即S₁=S半图BC+S半圆AC-S△ABC=πa²+πb²-S△ABC。 ·S₂等于以AB为直径的半圆面积减去直角三角形ABC的面积，即S₂=S半圆AB-S△ABC=πc²-S△ABC。 4.比较S₁和S₂的大小： 将a²+b²=c²代入S₁的表达式中，可得S₁=π(a²+b²)-S△ABC =-c²-S△ABC,而S₂=πc²-S△ABC,所以S₁=S₂ 题型02 直接套用勾股定理求线段长度 【典例】在△ABC中，∠C=90⁰，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c ，a=3，b=4，求斜边c的长。 【答案】5 【分析】根据勾股定理求得 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90⁰， a=3，b=4 由勾股定理得：a²+b²=c² ∴c²=3²+4²=25 ∴c=5 【变式】直角三角形两条边长为5和12，求第三条边的平方。 【答案】169或119 【分析】根据勾股定理求得 【详解】当直角边为5，12时，第三边的平方为5²+12²=169 当斜边为12时，第三边为直角边，第三边的平方为12²-5²=119 题型03 赵爽弦图综合计算 【典例】如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH的面积是______． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出BF的长，从而求出EF 【详解】在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5 由勾股定理得：AF²+BF²=AB² ∴BF²=5²-4²=9 ∴BF=3 ∵四个三角形全等 ∴AE=BF=3 ∴EF=4-3=1 ∴四边形EFGH的面积为EF²=1 【变式】赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为__________． 【答案】13 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，也就是大正方形的边长 【详解】在直角三角形中,两直角边a=2,b=3 ∴c²=a²+b²=13 ∴大正方形的面积为13 综合压轴题型 勾股定理结合图形面积求值 【典例】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______． (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90º,BC=a,AC=b,AB=c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系为______． (3)如图3，如果以Rt△ABC的三边长，a，b, c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． 答案 (1)(a+b)²=a²+2ab+b² (2)S₁+S₂=S₃ (3)成立。 设直角三角形两条直角边分别为，b,斜边为c。 以a为直径的半圆面积：S₂=π()²=² 以b为直径的半圆面积：S₃=²=² 以c为直径的半四面积：S₁= π()²= πc² 由勾股定理：a²+b²=c², 所以：πa²+ πb²= πc² S₂+S₃=S₁ 即S₁=S₂+S₃,故第(2)问结论成立。 【变式】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感。他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明。下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中 ∠DAB=90º.求证： 证明：连接DC，DB，过点D作BC边上的高DF，交BC延长线于点F，DF=EC= 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明。 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90º 求证： 【答案】 【分析】同一个图形面积的两种表示方式求得 【详解】证明：如图,连接BD,过点B作BF.DE,交DE的延长线于点F,则BF=b-a。 ∵S五边ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b²+ab, S五边ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=-ab+c²+a(b-a), ∴ab+b²+abab+c²+a(b-a), ∴a²+b²=c². 【巩固训练】 1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别为2，3，2，1，则正方形E的面积是（     ） A．18 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】现根据正方形，B，C，D的边长分别为2，3，2，1求出其面积，再由两次勾股定理即可得出E的面积等于A，B，C，D的面积之和. 【详解】∵正方形A，B，C，D的边长分别为2，3，2，1 ∴正方形A，B，C，D的面积分别是：4，9，4，1， ∴𝑆𝑀=𝑆𝐴+𝑆B=4+9=13,𝑆𝑁=𝑆𝐶+𝑆𝐷=4+1=5, ∴𝑆𝐸=𝑆𝑀+𝑆𝑁=13+5=18. 答：最大的正方形E的面积为18， 2.如图所示，在RΔABC中，AB=4，AC=5，∠ABC=90º.分别以，AC，BC为直径作半圆（以AC为直径的半圆恰好经过点B，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．7 D．6 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+ 𝑆△𝐴𝐵𝐶 以AC为直径的半圆面积. 【详解】解：在 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 中 ∵ AB=4，AC=5， ∴ 𝐵𝐶²=𝐴𝐶²−𝐴𝐵²=5²−4²=9， ∴ BC=3， ∴ 阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+𝑆△𝐴𝐵𝐶 -以AC为直径的半圆面积 =12×𝜋×22+12×𝜋×1.52+12×3×4−12×𝜋×2.52=6. 故选D. 3.如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（ ） A． x²＋y²＝49 B．x－y＝2 C．2xy＋4＝49 D．x＋y＝13 【答案】D 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可. 【详解】 A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确； B中，根据小正方形的边长是2即可得到，正确； C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确； D中，根据a，c联立结合完全平方公式可以求得 错误.故选D. 4.如图所示，一根长度为17cm的筷子，斜放在底面半径为3cm的圆柱形水杯内，量得露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯的高AC是（       ） A．10cm B．8cm C．9cm D．7cm 【答案】B 【分析】连接BC，AC为Rt△ABC的一条直角边，求出BC，AB利用勾股定理就可以解决问题。 【详解】解：连接BC，根据题意BC=3×2=6(cm),AB=BD-AD=17-7=10(cm) 在Rt△ABC中根据勾股定理 AC²=AB²-BC²=10²-6²=64, ∴AC=8 故选B. 5.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为_________ 【答案】 【分析】等面积法求 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90⁰， a=3，b=4 由勾股定理得：a²+b²=c² ∴c²=3²+4²=25 ∴c=5 设斜边上的高为h 由三角形的面积=×3×4=×5h ∴h= 6.如图所，已知Rt△ABC中，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于_____________ 【答案】2𝜋 【分析】本题考查勾股定理、圆的面积问题。由勾股定理可得 𝐵𝐶²+𝐴𝐶=𝐴𝐵²=16，再根据 ² 𝑆1+𝑆2=⋅+⋅即可求解。 【详解】 解：∵𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，AB=4， ∴𝐵𝐶²+𝐴𝐶²=𝐴𝐵²=16， ∴𝑆1+𝑆2=⋅+⋅=2𝜋. 故答案为：2𝜋 7.⑴如图所示，已知两个正方形的面积分别是144和36，则正方形的面积为________； ⑵如图所示，已知两个正方形的面积分别是225和81，则正方形的面积为________. 【答案】 (1)180 (2)144 【分析】(1)根据正方形面积可以求得两条直角边的平方，斜边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案； (2)根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角边的平方根据勾股定理可以计算出来，进而可得答案。 【详解】(1)如图，根据题意,CD²=144,DF²=36,且∠CDF=90° ∴CF²=CD²+DF²=144+36=180 故A的面积为180 同理B的面积为225-81=144 8.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1，BC=4,则AB²+CD²=______________． 【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°, 由勾股定理得，AB²+CD²=AO²+BO²+CO²+DO², AD²+BC²=AO²+DO²+BO²+CO², ∴AB²+CD²=AD²+BC², ∵AD=1,BC=4, ∴AB²+CD²=1²+4²=17. 故答案为：17. 9.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD²的长． 【答案】7 【分析】连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC².在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的长即可。 【详解】 解：连接AC. ∵∠B=90°,∴AC²=AB²+BC². ∵AB=BC=2,∴AC²=8 ∵∠D=90°,∴AD²=AC²-CD². ∵CD=1,∴AD²=7. 10.把一张长方形ABCD的纸片沿对角线BD折叠，折叠后，边BC的对应边BE交AD于F． (1)求证：BF=DF(长方形各内角均为90º)； (2)若AB=6，BC=8，求DF的长． 【答案】（2） 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理： （1） 由折叠的性质知，CD=ED，BE=BC，进而证明△ABF≌△EDF，根据全等三角形的性质，即可得证； （2） 勾股定理求得BD=10，由（1）知BF=DF，根据AB²+AF²=BF²得出 DF=BF=254，即可求解。 （3） 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，CD=ED，BE=BC， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AB=CD=ED，∠BAF=∠DCB=∠DEF=90º 在△ABF和△EDF中， ∠BAF=∠DEF=90º ∠AFB=∠EFD AB=ED， ∴△ABF≌△EDF ∴BF=DF； （2）解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A=90º，AD=BC=8 ∴BD²=AB²+AD²=6²+8²=100 ∴BD=10 由（1）知BF=DF ∴AF=8−DF=8−BF ∵AB²+AF²=BF² ∴6²+(8−BF)²=BF2 ∴DF=BF= 【强化训练】 1.如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的半径为 cm，那么最短路径AB的长为（        ） A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm 【答案】D 【分析】侧面展开图长方形对角线的长，也就是直角三角形斜边的长求得 【详解】1.计算底面圆周长：已知圆柱底面半径 𝑟=cm， 根据圆的周长公式𝐶=2𝜋𝑟，可得底面周长为： 𝐶=2𝜋×=12(cm) 2.确定直角三角形的边长：将圆柱侧面展开为矩形，点 A 与点 B 在展开图中的位置关系如下： 一条直角边（水平方向）为底面周长的一半： 水平距离 =𝐶=×12=6(cm)· 另一条直角边（垂直方向）为圆柱的高： 垂直距离 =8cm 3.利用勾股定理求解：在展开图的直角三角形中，斜边AB即为最短路径。 𝐴𝐵²=6²+8²=36+64=100 AB=10(𝑐𝑚) 2.如图所示，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺地毯.若每平方米地毯50元铺满整个楼梯至少需_________元. 【答案】1750 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据楼样高为BC的高=6m，楼样的宽的和即出AB的长.再把AB、BC的长相加即可. 【详解】在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中， 根据勾股定理𝐴𝐵²=𝐴𝐶²−𝐵𝐶²=102−62=64, ∴𝐴𝐵=8 ∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=14(米), ∴14×2.5×50=1750(元). 答：铺设地毯至少需要花费1750元. 3.暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____km． 【答案】10 【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解。 【解析】埋宝藏点过点B作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D， 根据题意可知，AD=8-3+1=6千米，BD=2+6=8千米， 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中，由勾股定理得AB²=𝐴𝐷²+𝐵𝐷²=100 ∴AB=10 答：登陆点到埋宝藏点的直线距离为10千米。 4.如图，ΔABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D．则CD的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理求出AB的长，利用网格求出△𝐴𝐵𝐶的面积，再根据面积法即可求出CD的长，利用网补格求出△𝐴𝐵𝐶的面积是解题的关键。 【详解】解：由勾股定理可得，𝐴𝐵²=3²+4²=25，∴AB=5 由网格可得，𝑆△𝐴𝐵𝐶=4×4−×4×1−×3×1−×3×4=， ∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵⋅𝐶𝐷=×5×𝐶𝐷= ∴𝐶𝐷=，故答案为： 5.利用4个全等的直角三角形拼出了如图所示的图形.根据图形解决下列问题： （1）四边形ABCD，四边形EFGH均为________； （2）大正方形的面积可以表示为_______，还可以表示为________； （3）根据（2）中大正方形面积的两种表示方法，你能得到勾股定理吗?请你说明理由. 【答案】(1) 正方形; (2) (𝑎+𝑏)², 4×𝑎𝑏+𝑐²; (3) 能 【分析】(1) 根据正方形的判定定理可以得出; (2) 直接根据正方形的面积公式可以得出面积；正方形的面积也等于4个三角形面积加中间的正方形面积; (3) 两种方式得到的面积相等，化简等式便可证明勾股定理。 【详解】(1) 正方形; (2) 大正方形的面积等于边长的平方为：(𝑎+𝑏)²； 大正方形的面积等于四个三角形面积加小正方形面积为： 4×𝑎𝑏+𝑐²; (3) 能理由如下： 由 (2)，得 (𝑎+𝑏)²=4×𝑎𝑏+𝑐², 即 𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²=2𝑎𝑏+𝑐², 所以 𝑎²+𝑏²=𝑐². 6.如图，在等腰直角△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝CD＝8，点M在DC上，且DM＝2，点N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是_______． 【答案】10 【分析】作D关于AC的对称点B，连接BM，BC，将DN，MN转化为DN，MN的值，从而找出最小值求解。 【详解】解：作D关于AC的对称点B，连接BM，BC， ∴𝐵𝑁=𝐷𝑁,∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴, ∵∠𝐴𝐷𝐶=90∘,𝐴𝐷=𝐶𝐷=8, ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=45∘, ∴∠𝐵𝐶𝐴=45∘, ∴∠𝐵𝐶𝐶=90∘, ∴𝐷𝑁+𝑀𝑁=𝐵𝑁+𝑀𝑁≥𝐵𝑀, 当B、N、M三点共线时，DN+MN的值最小 ∵BC=CD=8，DM=2， ∴CM=6， 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝑀中，𝐵𝑀²=𝐶𝑀²+𝐵𝐶²， ∴𝐵𝑀²=6²+8²=100， ∴BM=10， ∴DN+MN的值最小值为10。 7.如图所示，在直线l上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，求的值. 【答案】 【分析】先利用三角形的全等，得出中间斜放的正方形与相邻的两个正方形的边长刚好可以组成一个直角三角形，从而根据勾股定理可以得出，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答. 【详解】如图，因为四边形AACEF是正方形，所以AC=CE, ∠𝐴𝐶𝐸=90∘. 所以∠1+∠2=90∘. 又因为∠2+∠3=90∘, 所以∠1=∠3. 在△𝐴𝐵𝐶与△𝐶𝐷𝐸中， 因为∠1=∠3, ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐷𝐸, AC=CE, 所以△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(𝐴𝐴𝑆). 所以BC=DE.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中， 根据勾股定理，得𝐴𝐵²+𝐵𝐶²=𝐴𝐶² 所以𝐴𝐵²+𝐷𝐸²=𝐴𝐶² 即正方形. 同理. 所以. 8.我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 【答案】速度为30米每秒 【分析】根据勾股定理求得BC的长度，再根据速度等于路程除以时间即可求得敌方汽车的速度。 【详解】∵𝐴𝐵=400,𝐴𝐶=500,∠𝐵=90∘, ∴𝐵𝐶²=𝐴𝐶²−𝐴𝐵²=500²−400²=90000 ∴BC=300 300÷10=30米/每秒， 答：敌方汽车的速度为30米每秒， 9.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm为，现将直角边AC沿的角∠CAB平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 【答案】CD的长为 3cm. 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，折叠的性质，先根据勾股定理求出 AB，再根据折叠的性质得 AE=AC=6cm，∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐴𝐸𝐷=90∘=∠𝐶。然后根据勾股定理的列出方程，求根据求出解决即可。 【详解】解：设 CD 的长为 xcm，则 DE=CD=xcm. 根据勾股定理，得 𝐴𝐵²=𝐵𝐶²+𝐴𝐶²， 即 𝐴𝐵²=6²+8²，解得 AB=10cm. 根据折叠的性得得 AE=AC=6cm，∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐴𝐸𝐷=90∘=∠𝐶， ∴𝐵𝐸=10−6=4cm)，BD=(8-x)cm， 根据勾股定理，得 𝐵𝐷²=𝐷𝐸²+𝐵𝐸²， 即 (8−𝑥)²=𝑥²+16， 解得 x=3，所以 CD 的长为 3cm. 10.八年级A班的小李和小唐同学学习了“勾股定理”之后．为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD=8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC=17米； ③放风筝的小李牵线的手与地面的距离AB=1.5米，AB=DE． (1)求风筝的垂直高度CE； (2)如果小李想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米? 【答案】⑴16.5米，⑵7米 【分析】根据直角三角形中勾股定理求得 【详解】解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理得， CD²=BC²-BD²=17²-5²=225（米）， ∴CD=15（舍去负值）， ∴CE=CD+DE=15+1.5=16.5（米）； (2)如图，由题意得，CM=9米， ∴DM=15-9=6, ∴BM²=DM²+BD²=6²+8²=100（米） ∴BM=10 ∴BC-BM=17-10=7（米）， ∴他应该往回收线7米。 8 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 探索勾股定理 1. 通过数格子、割补法验证直角三角形三边关系，自主推导勾股定理； 2. 牢记勾股定理公式，已知直角三角形任意两条边长，熟练求出第三条边长； 3. 会利用勾股定理计算正方形、直角三角形面积； 4. 掌握赵爽弦图的证明思路，理解等面积法的核心逻辑； 5. 规避“不区分直角边与斜边”的计算易错点，规范几何答题步骤。 一、勾股定理的探究（方格纸验证） 1. 在直角三角形中，分别以三条边向外作正方形，直角边上两个正方形的面积之和 = 斜边上正方形的面积。 2. 面积关系转化边长关系：若直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则. 二、勾股定理核心内容 1. 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式表达：在△ABC中，∠ACB=90º，直角边a、b，斜边c，则a²+b²=c² 【注意】 （1）定理仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不能直接使用； （2）c 是斜边，为三角形最长边，做题优先判断最长边； （3）已知两边求第三边，若未指明斜边，必须分类讨论计算。 三、赵爽弦图（勾股定理经典证法） 1. 图形构成：4个全等的直角三角形围成一个大正方形，内部留出小正方形； 2. 证明思路：大正方形面积 = 4个直角三角形面积 + 中间小正方形面积，通过代数式化简推出a²+b²=c²； 3. 考点：考试常以弦图为背景，结合面积、线段长度出填空、解答题。 四、基础面积拓展结论 1. 以直角三角形三边向外作等边三角形、等腰直角三角形、半圆，依然满足：直角边上图形面积之和=斜边上图形面积； 2. 已知直角三角形两条直角边，可快速求三角形面积ab 五、本节高频易错点 1. 看到直角三角形直接把给出边长代入公式，忽略未知边有可能是直角边而非斜边； 2. 弦图计算题找错内外正方形的边长，导致列式错误； 3. 计算平方、开方时计算失误，不带单位、答题不写答。 题型01 方格纸中利用面积探究勾股定理 【典例】这道网格探究题，是初中讲勾股定理最经典的课堂探究原题 【变式】如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为，右边阴影部分面积为，则（　　） A．= B．＜ C．＞ D．无法确定 题型02 直接套用勾股定理求线段长度 【典例】在△ABC中，∠C=90⁰，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c ，a=3，b=4，求斜边c的长。 【变式】直角三角形两条边长为5和12，求第三条边的平方。 题型03 赵爽弦图综合计算 【典例】如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH的面积是______． 【变式】赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为__________． 综合压轴题型 勾股定理结合图形面积求值 【典例】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______． (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90º,BC=a,AC=b,AB=c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系为______． (3)如图3，如果以Rt△ABC的三边长，a，b, c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． 【变式】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感。他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明。下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中 ∠DAB=90º.求证： 证明：连接DC，DB，过点D作BC边上的高DF，交BC延长线于点F，DF=EC= 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明。 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90º 求证： 【巩固训练】 1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别为2，3，2，1，则正方形E的面积是（     ） A．18 B．20 C．21 D．22 2.如图所示，在RΔABC中，AB=4，AC=5，∠ABC=90º.分别以，AC，BC为直径作半圆（以AC为直径的半圆恰好经过点B，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．7 D．6 3.如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（ ） A． x²＋y²＝49 B．x－y＝2 C．2xy＋4＝49 D．x＋y＝13 4.如图所示，一根长度为17cm的筷子，斜放在底面半径为3cm的圆柱形水杯内，量得露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯的高AC是（       ） A．10cm B．8cm C．9cm D．7cm 5.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为_________ 6.如图所，已知Rt△ABC中，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于_____________ 7.⑴如图所示，已知两个正方形的面积分别是144和36，则正方形的面积为________； ⑵如图所示，已知两个正方形的面积分别是225和81，则正方形的面积为________. 8.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1，BC=4,则AB²+CD²=______________． 9.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD²的长． 10.把一张长方形ABCD的纸片沿对角线BD折叠，折叠后，边BC的对应边BE交AD于F． (1)求证：BF=DF(长方形各内角均为90º)； (2)若AB=6，BC=8，求DF的长． 【强化训练】 1.如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的半径为 cm，那么最短路径AB的长为（        ） A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm 2.如图所示，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺地毯.若每平方米地毯50元铺满整个楼梯至少需_________元. 3.暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____km． 4.如图，ΔABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D．则CD的长为______． 5.利用4个全等的直角三角形拼出了如图所示的图形.根据图形解决下列问题： （1）四边形ABCD，四边形EFGH均为________； （2）大正方形的面积可以表示为_______，还可以表示为________； （3）根据（2）中大正方形面积的两种表示方法，你能得到勾股定理吗?请你说明理由. 6.如图，在等腰直角△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝CD＝8，点M在DC上，且DM＝2，点N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是_______． 7.如图所示，在直线l上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，求的值. 8.我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 9.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm为，现将直角边AC沿的角∠CAB平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 10.八年级A班的小李和小唐同学学习了“勾股定理”之后．为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD=8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC=17米； ③放风筝的小李牵线的手与地面的距离AB=1.5米，AB=DE． (1)求风筝的垂直高度CE； (2)如果小李想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米? 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $