专题04 认识实数（无理数、实数）（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“认识实数”核心知识点，先回顾有理数（整数、分数，有限或无限循环小数），再定义无理数（无限不循环小数，含开方不尽、含π、构造小数三类），整合为实数概念，通过分类Venn图梳理关系，结合数轴建立实数与点的一一对应，延伸学习相反数、倒数、绝对值性质，构建从有理数到实数的完整知识支架。 资料以核心素养为导向，用Venn图和分类表培养抽象能力，数轴表示无理数发展几何直观，易错点辨析（如带根号不一定无理数）强化推理意识。典例、变式与分层训练结合，课中助教师高效授课，课后供学生针对性练习，有效查漏补缺，提升知识应用与迁移能力。

专题04 认识实数（无理数、实数概念） 1. 理解实数的完整概念，分清有理数、无理数的区别； 2. 能对实数正确分类，看懂实数分类Venn图； 3. 掌握实数与数轴上点一一对应的关系； 4. 会求实数的相反数、倒数、绝对值； 5. 能在数轴上表示简单无理数（如，）。 一、有理数回顾 整数和分数统称有理数，小数形式为有限小数、无限循环小数。 二、无理数定义 无限不循环小数叫做无理数，三类常见无理数： ①开方开不尽：，，； ②含类：，3，； ③构造无限不循环小数：0.2020020002（相邻2之间0逐次加1）。 三、实数定义 有理数和无理数统称为实数。 实数分类（Venn图文字版） 实数 ├─有理数：有限小数、无限循环小数（整数、分数） └─无理数：无限不循环小数 实数也可分为正实数、0、负实数。 四、实数与数轴 1. 数轴上每一个点，都对应唯一实数； 2. 任意一个实数，都能在数轴上找到对应点； 核心结论：实数和数轴上的点一一对应。 五、 实数相关性质（和有理数完全一致） 1. 相反数：实数a的相反数是-a； 2. 绝对值：正数绝对值是本身，负数绝对值是它的相反数，|0|=0； 3. 倒数：非0实数a的倒数为 关键易错注意点 1. 带根号不一定是无理数：=2是有理数； 2. 无限小数≠无理数，无限循环小数属于有理数； 3. 分数全部为有理数，不存在分数形式的无理数； 4. 0是有理数，既不是正数也不是负数。 题型01 实数分类（区分有理数、无理数） 【典例】在下列数字中：① ，②0，③ ，④ ，⑤ ；⑥2.101001000…，⑦32%；无理数有 _____（填序号）． 【变式】下列各数：，，，，，0.010203040506，，中，是无理数的有__个． 题型02 实数的相反数、绝对值计算 【典例】的相反数是___；的绝对值是___；的相反数是___． 【变式】（1）的绝对值为___；的相反数为___； （2）的绝对值为___；的相反数为___． 题型03 数轴上表示无理数、实数大小比较 【典例】如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A．a B．b C．c D．d 【变式】 如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，且，则点C所表示的数是____． 【巩固训练】 1.在数，0，，，π，， 中，属于无理数的个数是（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2.下列说法错误的是（    ） A．无限不循环小数是无理数 B．面积为的正方形的边长是一个无理数 C．是一个分数，所以也是有理数 D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数 3.如图：正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长是无理数的边数有(   )条 A．0 B．1 C．2 D．3 4.下列各数：，，3.14，中，属于有理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.下列说法中，正确的个数为（    ） ①无限小数都是无理数： ②无限不循环小数都是无理数； ③无理数都是无限小数： ④无理数也有负数； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图，每个小正方形的边长都是1，图中A，B，C，D四个点分别为小正方形的顶点，下列说法：①△ACD的面积是有理数；②四边形ABCD的四条边的长度都是无理数；③四边形ABCD的三条边的长度是无理数，一条边的长度是有理数．其中说法正确的有(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7.下列各数：①面积是2的正方形的边长；②面积是9的正方形的边长；③两直角边分别为6和8的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线的长．其中是无理数的是(    ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 8.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是(    ) A．3.0<AB<3.1 B．3.1<AB<3.2 C．3.2<AB<3.3 D．3.3<AB<3.4 9.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 10.与-2最接近的两个整数是（   ） A．-6和-7 B．-5和-6 C．-4和-5 D．-3和-4 【强化训练】 1.写出和为6的两个无理数_________(只需写出一对) 2.如图，四个完全相同的小球上分别写有：0，，﹣5，π四个实数，把它们全部装入一个布袋里，从布袋里任意摸出1个球，球上的数是无理数的概率为_____． 3.请写出两个无理数，使得他们的和为有理数__________． 4.如图，直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，则点O'对应的数是________．    5.若在数轴上表示整数的点叫做整点，则直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动周，经过的整点的个数是___（不包括原点）． 6.下列数中：①﹣|﹣3|，②﹣0.3，③﹣，④，⑤，⑥，⑦0，⑧﹣，⑨1.2020020002…（每两个2之间依次多一个0） （请填序号） 无理数是__，整数是__．负分数是__． 7.如图为边长为1的正方形组成的网格图，A，B两点在格点上，设AB的长为x，则x2＝____，此时x____整数，________________分数，所以x____有理数． 8.如图，分别以Rt△ABC的边为一边向外作正方形，已知AB＝2，BC＝1. (1)求图中以AC为一边的正方形的面积； (2)AC的长是不是无理数？若是无理数，请求出它的整数部分？ 9.已知Rt△ABC中，两直角边长分别为a＝2，b＝3，斜边长为c. (1)c满足是什么关系式？ (2)c是整数吗？ (3)c是一个什么数？ 10.国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么边长x的最大取值是多少（精确到0.001）？ 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 认识实数（无理数、实数概念） 1. 理解实数的完整概念，分清有理数、无理数的区别； 2. 能对实数正确分类，看懂实数分类Venn图； 3. 掌握实数与数轴上点一一对应的关系； 4. 会求实数的相反数、倒数、绝对值； 5. 能在数轴上表示简单无理数（如，）。 一、有理数回顾 整数和分数统称有理数，小数形式为有限小数、无限循环小数。 二、无理数定义 无限不循环小数叫做无理数，三类常见无理数： ①开方开不尽：，，； ②含类：，3，； ③构造无限不循环小数：0.2020020002（相邻2之间0逐次加1）。 三、实数定义 有理数和无理数统称为实数。 实数分类（Venn图文字版） 实数 ├─有理数：有限小数、无限循环小数（整数、分数） └─无理数：无限不循环小数 实数也可分为正实数、0、负实数。 四、实数与数轴 1. 数轴上每一个点，都对应唯一实数； 2. 任意一个实数，都能在数轴上找到对应点； 核心结论：实数和数轴上的点一一对应。 五、 实数相关性质（和有理数完全一致） 1. 相反数：实数a的相反数是-a； 2. 绝对值：正数绝对值是本身，负数绝对值是它的相反数，|0|=0； 3. 倒数：非0实数a的倒数为 关键易错注意点 1. 带根号不一定是无理数：=2是有理数； 2. 无限小数≠无理数，无限循环小数属于有理数； 3. 分数全部为有理数，不存在分数形式的无理数； 4. 0是有理数，既不是正数也不是负数。 题型01 实数分类（区分有理数、无理数） 【典例】在下列数字中：① ，②0，③ ，④ ，⑤ ；⑥2.101001000…，⑦32%；无理数有 _____（填序号）． 【答案】③⑥ 【分析】根据无理数的概念求解即可． 【详解】无理数有 ，2.101001000…， 故答案为：③⑥． 【变式】下列各数：，，，，，0.010203040506，，中，是无理数的有__个． 【答案】2 【详解】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，是无理数，其余的数都是有理数，即上述各数中，无理数有2个. 点睛：带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，如是有理数中的整数；带有根号且开方开不尽的数就一定是无理数． 题型02 实数的相反数、绝对值计算 【典例】的相反数是___；的绝对值是___；的相反数是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是； 故答案为：；；． 【变式】（1）的绝对值为___；的相反数为___； （2）的绝对值为___；的相反数为___． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：（1）的绝对值为；的相反数为； （2）的绝对值为；的相反数为． 故答案为：（1）；；（2）； 题型03 数轴上表示无理数、实数大小比较 【典例】如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知， ， 则最小的实数为a， 故选：A． 【变式】 如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，且，则点C所表示的数是____． 【答案】 【分析】本题考查数轴与实数；首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段的长度，然后由利用两点间的距离公式便可解答．解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 【巩固训练】 1.在数，0，，，π，， 中，属于无理数的个数是（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，π是无理数，故符合要求； 故选：A． 2.下列说法错误的是（    ） A．无限不循环小数是无理数 B．面积为的正方形的边长是一个无理数 C．是一个分数，所以也是有理数 D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数 【答案】C 【分析】根据无理数的定义对以下选项进行一一分析、并作出判断． 【详解】A. 无限不循环小数是无理数，符合定义，正确； B. 面积为的正方形的边长是，是一个无理数，正确； C. 是一个无限不循环小数，是无理数，错误； D. 任何有限小数或无限循环小数都不是无理数，是有理数，正确. 故选C 3.如图：正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长是无理数的边数有(   )条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC==5，是有理数； BC==，是无理数； AB==，是无理数； 即网格上的△ABC三边中，边长为无理数的边数有2条． 故选：C． 4.下列各数：，，3.14，中，属于有理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 【详解】，是负整数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数： 3.14是分数，属于有理数； 是正整数，属于有理数. 综上所述，属于有理数的有3个. 故选C． 5.下列说法中，正确的个数为（    ） ①无限小数都是无理数： ②无限不循环小数都是无理数； ③无理数都是无限小数： ④无理数也有负数； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据实数的分类进行选择即可． 【详解】解：①无限小数都是无理数，错误； ②无限不循环小数都是无理数，正确； ③无理数都是无限小数，正确； ④无理数也有负数，正确； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，错误； 故选：． 6.如图，每个小正方形的边长都是1，图中A，B，C，D四个点分别为小正方形的顶点，下列说法：①△ACD的面积是有理数；②四边形ABCD的四条边的长度都是无理数；③四边形ABCD的三条边的长度是无理数，一条边的长度是有理数．其中说法正确的有(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】①∵△ACD的面积=×2×3=3， ∴①说法正确； ②∵CD=2， ∴说法②错误； ③由勾股定理得：AB=, ∴说法③正确； 正确的说法有2个. 故选C． 7.下列各数：①面积是2的正方形的边长；②面积是9的正方形的边长；③两直角边分别为6和8的直角三角形的斜边长；④长为3，宽为2的长方形的对角线的长．其中是无理数的是(    ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【详解】①面积是2的正方形的边长是，故是无理数； ②面积是9的正方形的边长是3，故不是无理数； ③两直角边分别为6和8的直角三角形的斜边长是，故不是无理数; ④长为3，宽为2的长方形的对角线的长是，故是无理数. 故是无理数的是①④. 故选C. 8.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是(    ) A．3.0<AB<3.1 B．3.1<AB<3.2 C．3.2<AB<3.3 D．3.3<AB<3.4 【答案】B 【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3， ∴AB=, ∴3.1＜AB＜3.2． 故选B． .9一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【详解】解：∵一个正方形的面积是15 ∴该正方形的边长为 ∵9＜15＜16 ∴3＜＜4 故选：B． 10.与-2最接近的两个整数是（   ） A．-6和-7 B．-5和-6 C．-4和-5 D．-3和-4 【答案】A 【分析】求出-2π的值大约是多少，判断出与-2π最接近的两个整数是多少即可． 【详解】∵-2π≈-2×3.14=-6.28， ∴与-2π最接近的两个整数是-6和-7． 故选A． 【强化训练】 1.写出和为6的两个无理数_________(只需写出一对) 【答案】答案不唯一，如:与与 【分析】只要使无理数部分和为0即可． 【详解】答案不唯一，如:与与 2.如图，四个完全相同的小球上分别写有：0，，﹣5，π四个实数，把它们全部装入一个布袋里，从布袋里任意摸出1个球，球上的数是无理数的概率为_____． 【答案】 【详解】因无理数只有π，所以球上的数是无理数的概率为. 3.请写出两个无理数，使得他们的和为有理数__________． 【答案】，（答案不唯一） 【详解】根据互为相反数的两数和为0，可知π+（-π）=0.故可知这两个无理数为π和-π符合条件，答案不唯一. 4.如图，直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，则点O'对应的数是________．    【答案】2+π 【分析】点O′对应的数为该半圆的周长． 【详解】解：半圆周长为直径+半圆弧周长 即2+π， 故答案为2+π． 5.若在数轴上表示整数的点叫做整点，则直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动周，经过的整点的个数是___（不包括原点）． 【答案】9 【分析】本题考查了实数与数轴，掌握圆的周长公式以及数轴上的点的特征是解答本题的关键．先求出圆的周长，再根据滚动可以求出，即问题随之得解． 【详解】解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为：， ∴圆滚动三周的距离为：， ∴经过的整点的个数是：1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个， 故答案为：9． 6.下列数中：①﹣|﹣3|，②﹣0.3，③﹣，④，⑤，⑥，⑦0，⑧﹣，⑨1.2020020002…（每两个2之间依次多一个0） （请填序号） 无理数是__，整数是__．负分数是__． 【答案】 ③④⑨ ①⑥⑦ ②⑧ 【详解】（1）由无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”可知，上述各数中，无理数是③④⑨ ； （2）根据有理数定义和有理数的分类可知：上述各数中，整数是①⑥⑦ ，负分数是②⑧ ． 7.如图为边长为1的正方形组成的网格图，A，B两点在格点上，设AB的长为x，则x2＝____，此时x____整数，________________分数，所以x____有理数． 【答案】 5 不是 也不是 不是 【详解】由勾股定理得：x2=12+22=5， ∴x= ，不是整数，也不是分数，不是有理数，是无理数； 故答案是：5，不是，也不是，不是． 8.如图，分别以Rt△ABC的边为一边向外作正方形，已知AB＝2，BC＝1. (1)求图中以AC为一边的正方形的面积； (2)AC的长是不是无理数？若是无理数，请求出它的整数部分？ 【答案】 (1)5 ；(2)AC的长是无理数，它的整数部分为2 【详解】试题分析：（1）先根据勾股定理，求得Rt△ABC中的AC边的平方，进而得到以AC为一边的正方形的面积； （2）根据勾股定理可得，AC的长为无理数 ，再根据求得其整数部分即可． 试题解析： （1）∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1， ∴AC2=AB2+BC2=4+1=5， ∴以AC为一边的正方形的面积为5； （2）∵AC=， 又∵， ∴， ∴的整数部分为2, 所以AC的长是无理数，它的整数部分是2. 9.已知Rt△ABC中，两直角边长分别为a＝2，b＝3，斜边长为c. (1)c满足是什么关系式？ (2)c是整数吗？ (3)c是一个什么数？ 【答案】(1) 13；(2) 不是整数；(3)c是无理数. 【详解】试题分析：（1）根据勾股定理，即可求出斜边长c； （2）根据整数的分类即可求解； （3）根据实数的分类即可求解． 试题解析： (1)c2＝a2＋b2＝13 (2) 不是整数 (3)c是无理数 10.国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么边长x的最大取值是多少（精确到0.001）？ 【答案】5.291. 【详解】试题分析： （1）根据正方形的面积是边长的平方，可得该正方形的边长为米，化简可知边长不是有理数； （2）把化简并按指定“精确度”取近似值可得答案. 试题解析： （1）由题意可得正方形边长为：，这个正方形客厅的边长x不是有理数； （2）由（1）可得这个正方形边长x的最大取值为：. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $