2.2 平方根与立方根 讲义 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“平方根与立方根”核心知识点，系统梳理算术平方根与平方根的定义、区别联系及性质，延伸至立方根的定义与特征，通过13类题型构建从基础计算到实际应用的学习支架，衔接知识逻辑与解题能力。 资料以“数学眼光”设计实际应用题（如正方形拼接、集装箱体积），用“数学思维”开发规律探索题（如小数点移动、立方根位数确定），题型分层递进。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，培养抽象能力与应用意识。

2.2 平方根与立方根（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 2··利用算术平方根的非负性解题】 2 【题型 3··估计算术平方根的取值范围】 3 【题型 4·与算术平方根有关的规律探索题】 3 【题型 5·算术平方根的实际应用】 4 【题型 6··求一个数的平方根】 5 【题型 7·已知一个数的平方根求这个数】 6 【题型 8··利用平方根解方程】 6 【题型 9·求一个数的立方根】 7 【题型10·已知一个数的立方根，求这个数】 8 【题型11·与立方根有关的规律探索】 8 【题型 12·立方根的实际应用】 9 【题型13·算术平方根和立方根的综合应用】 9 【随堂检测】 10 知识点1 平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3 平方根的性质 知识点4 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者左移动一位.例如：，，，. 【题型 1·求一个数的算术平方根】 【典例1】实数4的算术平方根为_____． 【变式1-1】______． 【变式1-2】17的算术平方根是_____． 【变式1-3】有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 题型 2··利用算术平方根的非负性解题】 【典例2】已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型 3··估计算术平方根的取值范围】 【典例3】估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【变式3-1】已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式3-3】估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 题型 4·与算术平方根有关的规律探索题】 【典例4】利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 25 250 … 根据以上规律，若，则（    ） A． B． C． D．411 【变式4-3】利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 则表格中，的值为（    ） A．250 B．79.06 C．2500 D．790.6 【题型 5·算术平方根的实际应用】 【典例5】图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 【变式5-1】某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为的长方形纸片，用来制作书签． (1)则大正方形的边长是______； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【变式5-2】小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，她不知能否裁得出来，正在发愁小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片、”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 【变式5-3】解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【题型 6··求一个数的平方根】 【典例6】4的平方根是（     ） A． B．2 C． D． 【变式6-1】实数16的平方根是（     ） A．8 B． C．4 D． 【变式6-2】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】的平方根是（   ） A．3 B． C． D．81 【题型 7·已知一个数的平方根求这个数】 【典例7】已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【变式7-1】一个正数的平方根是与，则这个正数是多少？ 【变式7-2】已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【变式7-3】已知正数m的两个不同的平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 题型 8··利用平方根解方程】 【典例8】解方程： (1) (2)． 【变式8-1】求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【变式8-2】求下列各式中的x． (1) (2) 【变式8-3】求下列各式中x的值． (1)； (2)． 知识点5 立方根 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型 9·求一个数的立方根】 【典例9】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】的绝对值等于（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知，那么的立方根为（     ） A． B．1 C． D． 【题型10·已知一个数的立方根，求这个数】 【典例10】若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式10-1】若的算术平方根是2，是27的立方根，则的值为（   ） A． B． C． D．0 【变式10-2】若一个数的立方根是，则该数是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】方程的解是（   ） A． B． C． D． 【题型11·与立方根有关的规律探索】 【典例11】我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【变式11-3】已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【题型 12·立方根的实际应用】 【典例12】已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【变式12-1】一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】我们知道，球的体积公式是，如图所示的乒乓球的体积为，则这个乒乓球的半径为（    ） A． B． C． D． 【题型13·算术平方根和立方根的综合应用】 【典例13】已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式13-1】已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式13-2】已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式13-3】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 随堂检测 【随堂检测】 1．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．16的平方根为（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．的立方根是（     ） A． B． C． D． 6.下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 7．若，，则的值为（    ） A． B．5 C．或 D．或5 8．计算：______． 9．观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① =____，②若 =0.18308，则x=____． 10．若，则的算术平方根为_______． 11．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 12．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 平方根与立方根（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 2··利用算术平方根的非负性解题】 3 【题型 3··估计算术平方根的取值范围】 4 【题型 4·与算术平方根有关的规律探索题】 6 【题型 5·算术平方根的实际应用】 7 【题型 6··求一个数的平方根】 11 【题型 7·已知一个数的平方根求这个数】 12 【题型 8··利用平方根解方程】 14 【题型 9·求一个数的立方根】 16 【题型10·已知一个数的立方根，求这个数】 17 【题型11·与立方根有关的规律探索】 19 【题型 12·立方根的实际应用】 21 【题型13·算术平方根和立方根的综合应用】 22 【随堂检测】 24 知识点1 平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3 平方根的性质 知识点4 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者左移动一位.例如：，，，. 【题型 1·求一个数的算术平方根】 【典例1】实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 【变式1-1】______． 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】17的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的定义，根据算术平方根的定义直接求解即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义，若一个正数满足，则正数为的算术平方根，记为. 因为，且是正数， 所以的算术平方根是． 【变式1-3】有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 【详解】∵． ∴的算术平方根是． 题型 2··利用算术平方根的非负性解题】 【典例2】已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 【变式2-1】若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴． 【变式2-2】若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】 ，，且， ，， 解得： ，， ． 【变式2-3】若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型 3··估计算术平方根的取值范围】 【典例3】估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴． 【变式3-1】已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 【变式3-2】估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】根据夹逼法估计无理数的取值范围，先找到和31相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的范围即可得到结果． 【详解】解：∵，，且 ∴，即 对不等式三边同时加1，得 即 ∴的值在6和7之间． 【变式3-3】估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，通过估计的值在3和4之间，利用不等式性质计算的范围，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 题型 4·与算术平方根有关的规律探索题】 【典例4】利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格归纳算术平方根的变化规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，再利用规律计算所求值． 【详解】解：由表格得到规律：被开方数小数点向左（右）移动两位，算术平方根的小数点同步向左（右）移动一位， 是将的小数点向左移动两位得到的，且已知， 根据规律，将的小数点向左移动一位，得． 【变式4-1】若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 【变式4-2】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 25 250 … 根据以上规律，若，则（    ） A． B． C． D．411 【答案】B 【分析】先根据表格数据总结被开方数和它的算术平方根的变化规律，即被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位，再利用规律计算的近似值，即可作答． 【详解】解：∵ ， 即的小数点向右移动两位得到1690， ∴， 又∵ ， ∴ ． 【变式4-3】利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 则表格中，的值为（    ） A．250 B．79.06 C．2500 D．790.6 【答案】B 【分析】先观察表格总结被开方数与算术平方根的小数点移动规律，再利用规律计算的值． 【详解】解：总结规律可得：被开方数的小数点每向右移动2位，它的算术平方根的小数点向右移动1位， ∵，且 是 的小数点向右移动2位得到的， ∴ 的结果是 的小数点向右移动1位，即． 【题型 5·算术平方根的实际应用】 【典例5】图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 理由如下，∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长和宽分别是，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴长方形纸片的长是， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 【分析】（1）先求出大正方形的面积，再结合正方形的面积公式计算即可得出结果； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，结合长方形的面积公式计算得出长方形纸片的长是，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：大正方形的面积， ∴大正方形纸片的边长为； （2）略． 【变式5-1】某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为的长方形纸片，用来制作书签． (1)则大正方形的边长是______； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】(1)14 (2)不能；理由见解析 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）解：不能；理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，根据题意得： ， 解得：，负值舍去， ∴长方形纸片的长为，宽为， ，， ∵， ∴， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片． 【变式5-2】小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，她不知能否裁得出来，正在发愁小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片、”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 【答案】不同意小明的说法，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片 【分析】当面积大的纸片的长小于面积小的纸片的长，则面积大的纸片不能裁出面积小的纸片，故不能同意小明的说法；设长方形纸片的长为，则宽为，根据题意列出方程，求出的值，再比较长方形纸片的长、宽与正方形纸片的边长的大小，即可得出结论． 【详解】解：当面积大的纸片的长小于面积小的纸片的长，则面积大的纸片不能裁出面积小的纸片， ∴不能同意小明的说法； 设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意得，， 整理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为， ∵面积为的正方形纸片， ∴正方形纸片的边长为， ∵，， ∴小丽能用这块纸片裁出想要的纸片． ∴综上所述，不能同意小明的说法，小丽能用这块纸片裁出想要的纸片． 【变式5-3】解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能；理由见解析 【分析】（1）设边长为1的小正方形的对角线长为x，利用面积求出对角线为，然后结合数轴求解； （2）求出小正方形的面积，然后求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积求出，然后得到长为，进而求解即可． 【详解】（1）解：设边长为1的小正方形的对角线长为x，由图1得：， ∴对角线为， ∴图2中A、B两点表示的数分别为和； （2）解：∵大正方形的面积为，两个小长方形的面积之和为 ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为； （3）解：不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 依题意，得， 解得， 此时． ∴不能裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片． 【题型 6··求一个数的平方根】 【典例6】4的平方根是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】， 的平方根是． 【变式6-1】实数16的平方根是（     ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：根据平方根的定义，若，则是的平方根， ∵ ， ∴ 16的平方根是. 【变式6-2】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：且， 的平方根是． 【变式6-3】的平方根是（   ） A．3 B． C． D．81 【答案】C 【详解】解： 3的平方根是 ∴的平方根为． 【题型 7·已知一个数的平方根求这个数】 【典例7】已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 【变式7-1】一个正数的平方根是与，则这个正数是多少？ 【答案】这个正数是． 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质，先列出方程求出的值，再根据平方根的定义计算得到正数的值． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， 将代入得，， ∴， ∴这个正数是． 【变式7-2】已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)的值为 (2)的算术平方根为 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得：，解方程即可求出的值； （2）根据的值求出的一个平方根的值，即可求出的值，把和的值代入求值，再求出它的算术平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 的值为； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 【变式7-3】已知正数m的两个不同的平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1； (2)7． 【分析】（1）由平方根的性质建立方程求解即可； （2）先求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由题意得， 解得， a的值为1． （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 题型 8··利用平方根解方程】 【典例8】解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式8-1】求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， 或， 或． 【变式8-2】求下列各式中的x． (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把方程两边同时除以9，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【变式8-3】求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用平方根的性质解方程即可得； （2）利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ∴或． 知识点5 立方根 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型 9·求一个数的立方根】 【典例9】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于的数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义可得，的立方根是． 【变式9-1】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于64的数，即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴ 64的立方根是4. 【变式9-2】的绝对值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先根据立方根的定义计算的值，再根据绝对值的性质求解结果． 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ 正数的绝对值是它本身， ∴ ． 【变式9-3】已知，那么的立方根为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用算术平方根和绝对值的非负性求出a，b的值，再计算的立方根得到结果． 【详解】解：∵，，又， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴的立方根为，即的立方根为. 【题型10·已知一个数的立方根，求这个数】 【典例10】若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵ ∴． 【变式10-1】若的算术平方根是2，是27的立方根，则的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据定义求出a和b的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， 解得， ∵是的立方根， ∴， 解得， 把，代入，得． 【变式10-2】若一个数的立方根是，则该数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的概念，由于立方根和立方为互逆运算，因此只需求得的立方即可解决问题，熟练掌握立方根的概念是解决此题的关键． 【详解】解：∵一个数的立方根是， ∴这个数， 故选：B． 【变式10-3】方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，把方程化为，再解方程即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选C 【点睛】本题考查的是利用立方根的含义解方程，掌握立方根的含义是解本题的关键. 【题型11·与立方根有关的规律探索】 【典例11】我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴只需先求的立方根； 第一步，确定位数： ∵ ， ，且 ， ∴，即是两位数； 第二步，确定个位数字： ∵的个位数字是，中只有的立方的个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步，确定十位数字： 划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 【变式11-1】已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 【变式11-2】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 【变式11-3】已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 【题型 12·立方根的实际应用】 【典例12】已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 【变式12-1】一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体体积等于棱长的三次方，已知体积求棱长，计算得出结果即可． 【详解】解：设这种正方体集装箱的棱长为． ∵正方体体积公式为体积等于棱长的三次方， ∴． ∵，棱长为正数， ∴． 【变式12-2】如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵二阶魔方的体积为， ∴它的棱长为． 【变式12-3】我们知道，球的体积公式是，如图所示的乒乓球的体积为，则这个乒乓球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，根据球的体积公式，代入数据即可求出答案 【详解】解：∵， ∴cm， 故选：A 【题型13·算术平方根和立方根的综合应用】 【典例13】已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 【变式13-1】已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 【变式13-2】已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； （2）解：， ， 的平方根是． 【变式13-3】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 随堂检测 【随堂检测】 1．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 的算术平方根是． 2．16的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴16的平方根为． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根非负，负数没有平方根的性质，化简各选项即可判断对错． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为，即，A错误； B、被开方数，负数没有平方根，无意义，B错误； C、，C错误； D、，计算正确． 4．若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】估算出即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且是正整数， ∴． 5．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义：若，则是的立方根，计算出结果即可选出正确选项． 【详解】解：∵ ， 6.下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 【答案】B 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：的平方根是，A错误； 选项B：是的算术平方根，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：负数没有平方根，D错误． 7．若，，则的值为（    ） A． B．5 C．或 D．或5 【答案】C 【分析】根据平方根和立方根的性质求得、，再代入计算即可． 【详解】解： ，， ，， 当时，， 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的应用，代数式求值，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 8．计算：______． 【答案】3 【详解】解：． 9．观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① =____，②若 =0.18308，则x=____． 【答案】 【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵=2.477， ∴ ， ∵=1.8308，=0.18308， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 10．若，则的算术平方根为_______． 【答案】或 【分析】先根据平方根的定义求出的所有可能值，再代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 当时，，此时的算术平方根为， 当时，，此时的算术平方根为， 综上所述，的算术平方根为或． 11．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 12．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1) (2)能将明信片不折叠就放入此信封，见解析 【分析】（1）根据正方形面积公式，求的算术平方根即可； （2）设信封的长是，则宽是，根据面积为，列方程，利用平方根的性质求出的值，即可求出信封的长和宽，比较宽与（1）中所求明信片的边长即可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形感恩明信片的面积为， ∴该明信片的边长为． （2）解：能将明信片不折叠就放入此信封，理由如下： ∵信封的长、宽之比为， ∴设信封的长是，则宽是， ∵信封的面积是， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴信封的长是cm，宽是cm． ∵， ∴能将明信片不折叠就放入此信封． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $