专项突破02 勾股定理的应用（期末复习讲义-知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册精讲练

该初中数学讲义通过分层梳理勾股定理的应用、逆定理的应用及两者综合应用，结合技巧点拨（如适用范围、勾股数），以框架图呈现知识脉络，突出重难点内在联系，构建系统知识体系。 讲义亮点在于12个培优题型覆盖网格、折叠、航海等实际场景，精讲加变式设计，培养几何直观与推理意识，如最短路径问题引导空间观念，帮助分层提升，支持自主复习与教师精准教学。

专项突破02 勾股定理的应用 （知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理的应用 1 知识点梳理02：勾股定理逆定理的应用 2 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理的应用 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 勾股定理与网格问题 3 题型2 勾股定理与折叠问题 4 题型3 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 4 题型4 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 6 题型5 解决航海问题（勾股定理的应用） 7 题型6 求河宽（勾股定理的应用) 8 题型7 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 9 题型8 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 9 题型9 判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 10 题型10 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 11 题型11 求最短路径（勾股定理的应用） 12 题型12 勾股定理逆定理的实际应用 13 期末真题 实战演练 14 知识点梳理01：勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 知识点梳理02：勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【技巧点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （为正整数）； 题型1 勾股定理与网格问题 【精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·期中）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 题型2 勾股定理与折叠问题 【精讲】（25-26八年级上·甘肃兰州·月考）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为多少？ 【变式】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 题型3 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某医院高12米的大楼上有一块高3米的宣传牌，为美化环境，对宣传牌进行维护．一辆工程车在大楼前点处，伸长20米的云梯（云梯最长20米）刚好接触到的底部点处．问工程车向大楼方向行驶多少米时，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 【变式】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 题型4 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 【精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 【变式】（24-25八年级上·北京·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 题型5 解决航海问题（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 【变式】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处（即米，于点A），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处拉船靠岸，开始时绳子的长为12米．为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处（点D在上），求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 题型6 求河宽（勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【变式】（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 题型7 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【精讲】（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【变式】如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 题型8 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【精讲】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【变式】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 题型9 判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【变式】（25-26八年级上·福建漳州·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 题型10 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 【变式】（25-26八年级上·全国·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 题型11 求最短路径（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为 ． 【变式】（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 题型12 勾股定理逆定理的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【变式】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．      1．（21-22七年级下·广东佛山·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 6．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 8．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ． 9．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，若，则 ． 11．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 12．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 13．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 14．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 15．（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破02 勾股定理的应用 （知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理的应用 1 知识点梳理02：勾股定理逆定理的应用 2 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理的应用 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 勾股定理与网格问题 3 题型2 勾股定理与折叠问题 4 题型3 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 6 题型4 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 8 题型5 解决航海问题（勾股定理的应用） 10 题型6 求河宽（勾股定理的应用) 11 题型7 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 12 题型8 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 14 题型9 判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 15 题型10 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 18 题型11 求最短路径（勾股定理的应用） 19 题型12 勾股定理逆定理的实际应用 22 期末真题 实战演练 24 知识点梳理01：勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 知识点梳理02：勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点梳理03：勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【技巧点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （为正整数）； 题型1 勾股定理与网格问题 【精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【规范解答】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·期中）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的性质画图即可，由图可得，即△是等腰三角形． （2）利用网格按照题意画图即可，由图可得可得，得出． 【规范解答】（1）解：如图1，等腰△即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图2，△即为所求（答案不唯一）． 题型2 勾股定理与折叠问题 【精讲】（25-26八年级上·甘肃兰州·月考）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为多少？ 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质勾股定理列出方程求解即可解答． 【规范解答】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 【变式】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 题型3 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某医院高12米的大楼上有一块高3米的宣传牌，为美化环境，对宣传牌进行维护．一辆工程车在大楼前点处，伸长20米的云梯（云梯最长20米）刚好接触到的底部点处．问工程车向大楼方向行驶多少米时，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 【答案】工程车向大楼方向行驶米，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处． 【思路引导】本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在根据勾股定理求出米，在中根据勾股定理求出米，根据计算即可． 【规范解答】解：由题意得：（米），（米）， 在中，由勾股定理得： （米） 在中，由勾股定理得： （米） （米） 答：工程车向大楼方向行驶米，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处． 【变式】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 【答案】（1）宣传标语的悬挂高度为；（2）宣传标语的悬挂高度为． 【思路引导】本题考查勾股定理的实际应用，运用方程建模思想与勾股定理变形技巧，解题关键是设未知数后利用直角三角形三边关系列方程并联立求解，易错点是混淆勾股定理中斜边与直角边的平方关系． 【规范解答】（1）解：设，则标语长为， ∴由勾股定理得：，解得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． （2）解：设 ，则标语长为， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：． ∴． ∴在中，由勾股定理得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． 题型4 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 【精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【规范解答】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 【变式】（24-25八年级上·北京·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，则；由勾股定理即可得证． 【规范解答】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； 即尺，尺； 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 题型5 解决航海问题（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 【答案】遥控信号会相互干扰 【思路引导】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是通过设时间为未知数，结合两车距终点的距离和求出行驶时间，再利用勾股定理计算两车距离并判断是否干扰． 设行驶时间为秒，根据两车距的距离之和为列方程求；再利用勾股定理计算此时两车的距离，与比较得出结论． 【规范解答】解：设行驶时间为秒， 由题意得： ， 解得． 此时，小王的赛车距的距离为（）， 小林的赛车距的距离为（）． 由勾股定理，两车之间的距离为：（）． ∵， ∴遥控信号会相互干扰． 答：遥控信号会相互干扰． 【变式】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处（即米，于点A），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处拉船靠岸，开始时绳子的长为12米．为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处（点D在上），求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】米 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 在中，利用勾股定理计算出长，继而可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【规范解答】解：在中，，米，米， （米）， 工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处， （米）， 在中，（米）， 米． 题型6 求河宽（勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【规范解答】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 【变式】（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 题型7 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【精讲】（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 【变式】如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【规范解答】解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 故选：B． 题型8 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【精讲】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【规范解答】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 【变式】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 题型9 判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【规范解答】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 【变式】（25-26八年级上·福建漳州·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点C作于点D，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【规范解答】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作于点D，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港C受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图， 时，正好影响海港C， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为7小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度20千米/小时． 题型10 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【规范解答】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 【变式】（25-26八年级上·全国·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 【答案】市场应建在距点20km的位置 【思路引导】可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【规范解答】解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 【考点剖析】本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键． 题型11 求最短路径（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为 ． 【答案】20 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用-路径最短问题，熟练掌握知识点是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，再根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由题意得，圆柱的侧面展开图如图所示： 用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕4圈到B的运动最短路线是， ∵柱子底面圆的直径为，高， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：20． 【变式】（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）画出圆柱侧面展开图，求出，，根据勾股定理即可求出； （2）由题意得，米，求出米，根据勾股定理求出米， 米．问题得解． 【规范解答】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： （2）解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 题型12 勾股定理逆定理的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【思路引导】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【规范解答】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 【变式】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．      【答案】符合安全标准，理由见解析 【思路引导】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到，证明结论． 【规范解答】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 1．（21-22七年级下·广东佛山·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． ， ， ， ， ， 故选：C． ， 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为， 将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为， ∴h的取值范围是， 故选：B． 3．如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到的长，由折叠的性质得到，，，从而求得的长，设，在中，根据勾股定理求解可得的长，在中，根据勾股定理求解可得的长． 【规范解答】解：在中，，，， ， 将沿翻折，使点与边上的点重合， ，，， ， 设， ， 在中，， ，解得， 即， 在中，． 故选：A． 4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【规范解答】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 5．（22-23八年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【规范解答】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 6．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设米，则有米，然后利用勾股定理可进行求解． 【规范解答】解：由题意可设米，则有米， ∵米， ∴，即， 解得：， ∴米； 故答案为：2． 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【规范解答】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为 ． 故答案为：． 8．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理分类讨论．根据几何体的展开图分三种情况讨论，并利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：①如图①，   长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在中，； ②如图②，   长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在中，； ③如图③，   长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在中，， ， 蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 9．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 故选：A． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，若，则 ． 【答案】 【思路引导】先根据30°直角三角形的特点求出CD、，再根据折叠求出BC的长，最后证明即可利用30°直角三角形的特点求出． 【规范解答】∵等边三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵折叠 ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查折叠的性质、勾股定理、30°的直角三角形的性质、等边三角形的性质，证明是解题的关键． 11．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 12．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为 【思路引导】（1）过点作于点，此时线段为点到线段的距离，通过三角形面积相等可求出线段的长，若，则海港受台风影响，若，则海港不受台风影响； （2）通过勾股定理可求出线段、的长，从而求出线段的长，利用路程除以速度即可求出时间； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，过点作于点构建直角三角形是解题的关键． 【规范解答】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是直角三角形． ∴， 即， 解得． ∵， ∴海港受台风影响． （2）设台风到达点时开始影响该海港，到达点时解除影响该海港， ∴． ∵于点， ∴， ， ∴． ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 13．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 【答案】(1)是，理由见解析 (2)新路比原路少百米 【思路引导】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据点到直线垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近路； （2）解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， ， 百米， 新路比原路少百米． 14．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 15．（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； 【规范解答】（1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即 ； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $