第1章 因式分解（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 新教材湘教版初中数学第1章因式分解拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖选择（10题）、填空（6题）、解答（7题），针对性强、覆盖面广，通过基础巩固与创新应用梯度设计，量化掌握程度，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|公因式、因式分解正误判断、代数式求值|结合期中/期末真题，基础概念辨析| |填空题|6/18|因式分解、错误分析、图形面积与因式分解|融入几何直观，考查逆向思维| |解答题|7/72|分组分解、换元法、阅读理解与证明|综合过程纠错、跨情境应用，体现推理意识与创新意识|

第1章 因式分解 ·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 2．（25-26九年级下·重庆开州·期中）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：平方差公式为 ，逐一判断：对选项 A ，A错误； 对选项B ，括号内为平方和，无法因式分解，B错误； 对选项C ，C未分解彻底，C错误； 对选项D ，分解正确，D正确． 3．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 4．如果能被n整除，则n的值可能是　　 A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】两项的底数可以进行转化，25写成5的平方，利用幂的乘方转化后，就可提取公因数进行分解即可解答． 【详解】， 能被n整除，则n的值可能是30， 故选B． 【点睛】本题考查了分解因式在计算中的应用，将所给的式子化成积的形式，关键是将两项的底数转化成相同的． 5．已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 【答案】A 【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解． 6．（25-26八年级上·福建漳州·期末）若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】两式作差后，利用因式分解进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 7．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 【答案】A 【分析】本题考查多项式的因式分解与整数性质的综合应用，解题关键是利用多项式乘法展开后对应系数相等，枚举所有满足条件的整数对计算k的可能值，进而判断选项. 【详解】解：∵ ∴对比系数可得， ∵a、b为整数且 ∴所有满足条件的整数对及对应k值为： ； ； ； ； ； ； （交换a、b位置，k值不变，略） ∴k的可能值为，6不在其中 ∴k的值不可能是6， 故选：A 8．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 9．（2026·湖北武汉·一模）由，，三个数字组成进制数记作，若，且，，为整数，各位数字均小于，则的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先将不同进制的数转换为十进制数，根据题意列等式化简，再结合的范围和各位数字的限制验证得到的值。 【详解】解：将p进制数转换为十进制，得值为，十进制数的值为， ∵， ∴， 化简得， 提取公因式得， ∵，， ∴，即， 又∵，且为整数， ∴可取， 当时，，得， ∵，最大，此时，不符合要求； 当时，，得，可得，，满足；由得，所有条件符合要求； 当时，，得， ∵，最大，无解； 综上，． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： _______． 【答案】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【答案】 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键． 经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积， 而这个大长方形的长为，宽为，面积为， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 _____种填法． 【答案】5 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 16．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据“矩数”定义，设，，由得方程，整理为．因t和s为正整数，枚举因子对求解，得，． 【详解】解：由题意，“矩数”p的最佳拆分点为t，故 ；“矩数”q的最佳拆分点为s，故． ∵，代入得：， 即， 因式分解得：， 由于t和s均为正整数，故和均为整数，且， ∴可能因子对为或， ①当，时，联立方程解得，； ②当，时，联立方程解得，，不满足正整数条件，舍去， 故，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·浙江·阶段检测）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．因式分解；． 解：原式……第一步 …………第二步 ………………第三步 ………………………第四步 (1)以上变形过程中，第一步运用了因式分解的 ． A．提公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)以上分解过程第 步开始出现错误，写出正确的分解过程． 【答案】(1)B (2)三， 原式 【分析】（1）根据整体思想结合平方差公式的形式解答即可； （2）先根据平方差公式分解，再分别提出公因式确定错误的步骤，然后解答即可． 【详解】（1）解：将和都看成整体，符合平方差公式； （2）略 18．（8分）（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 19．（10分）（25-26八年级下·江苏扬州·期中）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分组分解法分解即可； （2）利用拆项添项法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（10分）（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 21．（12分）（25-26八年级下·广东深圳·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 数学方法 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例：把因式分解 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 任务： (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为____________． (2)请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式因式分解，并说明你选择这种方法的理由． 【答案】(1) (2)若选择整体换元法，因式分解结果为，理由：该方法思路直接，易于理解掌握；若选择均值换元法，因式分解结果也为，理由：该方法计算更简便，运算量更小． 【分析】（1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）选择整体换元法：把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解；选择均值换元法： 把“”看成一个整体，令，进一步可求解． 【详解】（1）解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． （2）解：选择整体换元法：把“”看成一个整体，令． ； 该方法思路直接，易于理解掌握； 选择均值换元法： ∵， ∴把“”看成一个整体，令． 原式 ， 该方法计算更简便，运算量更小． 22．（12分）（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 【答案】(1)提公因式法，2； (2)，； (3) (4) 【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）结合（1）和阅读材料即可得结论； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （4）利用规律进而得出答案即可． 【详解】（1）阅读因式分解的过程可知： 上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， （2）原式，则需应用上述方法次，结果是， 故答案为：，； （3） ． （4） 23．（14分）（25-26八年级下·福建宁德·期中）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） (1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________） （________）； ②______________________； (2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； (3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 【答案】(1)①8，6；② (2)见解析 (3)兴趣小组猜测正确，证明见解析 【分析】（1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）利用平方差公式变形分析，进一步证明即可． （3）假设，其中x，y均为自然数．再分下列三种情形分析即可． 【详解】（1）解：①由规律可得，； ②由规律可得，． （2）解：若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数， 则 ， ∵k，m均为自然数， ∴、为整数， ∴整数为4的倍数． （3）证明：兴趣小组猜测正确．理由如下： 假设，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，其中k，m均为自然数， 则，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为偶数；                          ②若x，y均为奇数，由（2）知，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为奇数；                       ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 这与是偶数相矛盾，故x，y不可能一个是奇数另一个是偶数． 综上，形如（n为正整数）的正整数N不能表示为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 因式分解 ·拔尖卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·重庆开州·期中）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 4．如果能被n整除，则n的值可能是　　 A．20 B．30 C．35 D．40 5．已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 6．（25-26八年级上·福建漳州·期末）若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 7．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 8．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 9．（2026·湖北武汉·一模）由，，三个数字组成进制数记作，若，且，，为整数，各位数字均小于，则的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： _______． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 13．（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解_____． 15．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 _____种填法． 16．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·浙江·阶段检测）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．因式分解；． 解：原式……第一步 …………第二步 ………………第三步 ………………………第四步 (1)以上变形过程中，第一步运用了因式分解的 ． A．提公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)以上分解过程第 步开始出现错误，写出正确的分解过程． 18．（8分）（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 19．（10分）（25-26八年级下·江苏扬州·期中）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 20．（10分）（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 21．（12分）（25-26八年级下·广东深圳·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 数学方法 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例：把因式分解 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 任务： (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为____________． (2)请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式因式分解，并说明你选择这种方法的理由． 22．（12分）（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 23．（14分）（25-26八年级下·福建宁德·期中）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） (1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________） （________）； ②______________________； (2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； (3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $