3.4　函数的应用(一)课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一次函数、二次函数、分段函数模型的应用，通过工厂污水处理、蛋糕销售等实际问题导入，衔接函数概念，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以数学建模为核心，结合数学思维，通过典例解析、解题总结和即学即练，如工厂利润计算、蛋糕利润最大化实例，培养学生用数学解决实际问题的能力。学生能提升建模与应用意识，教师可获得系统教学资源。

3.4　函数的应用(一) 【学习目标】 1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.(数学抽象) 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.(数学建模) 类型1 一次函数模型(数学建模) 【典例1】某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计了两个污水处理方案,并准备实施. 方案1:工厂污水净化后再排出,每处理1立方米污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元; 方案2:工厂污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元排污费. (1)若工厂每月生产3 000件产品,在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪个污水处理方案?请通过计算加以说明. (2)当工厂每月生产6 000件产品时,又该如何决策呢? 【解析】设工厂生产x件产品时,依方案1得到的利润为y1元,依方案2得到的利润为y2元,则y1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x. (1)当x=3 000时,y1=42 000,y2=54 000. 因为y1<y2,所以应选择方案2处理污水. (2)当x=6 000时,y1=114 000,y2=108 000. 因为y1>y2,所以应选择方案1处理污水. 【解题有招】 一次函数模型应用问题的关注点 (1)特点:图象是一条直线. (2)方法:求一次函数解析式的常用方法是待定系数法. (3)单调性:当一次项系数为正时,一次函数为增函数;当一次项系数为负时,一次函数为减函数. 提醒:建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围. 【即学即练】 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示. 根据图象数据,求y与x之间的函数关系式. 【解析】设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 由题中图象可知,当x=60时,y=6;当x=80时,y=10. 所以解得 所以y与x之间的函数关系式为y= 类型2 二次函数模型(数学建模)  【典例2】(2026·太原高一检测)某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元,每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量S(x)(单位:个)与销售单价x(单位:元)满足S(x)=100-x(10<x<100).假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润P(x)表示为销售单价x的函数; (2)当销售单价x为多少元时,蛋糕店每日利润P(x)最大?其最大利润是多少元? (3)当销售单价x为多少元时,蛋糕店每个蛋糕的平均利润W(x)最大?并求出其最大值. 【解析】(1)由题意得P(x)=S(x)(x-20)-900=(100-x)(x-20)-900 =-x2+120x-2 900,10<x<100. (2)由(1)得P(x)=-x2+120x-2 900=-(x-60)2+700, P(x)在区间(10,60)上单调递增,在区间(60,100)上单调递减, 所以,当x=60时,P(x)取得最大值700, 所以,当销售单价为60元时,每日的利润最大,最大利润是700元. (3)由(1)得W(x)= ==80-[(100-x)+]≤80-2×30=20, 当且仅当100-x=, 即当x=70元时,W(x)取得最大值20元. 【解题有招】 二次函数模型应用的关注点 (1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 【即学即练】 (2026·北京高一检测)用一段长为l米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙的长大于l米),则菜地的面积最大值为　　　　平方米.(答案用l表示)  【解析】设矩形菜地与墙壁所在直线平行的边的长度为x米,则另外一边的长为米,由x>0且>0,可得0<x<l. 设矩形菜地的面积为S,则S=x·=-+≤. 当且仅当x=时,等号成立,故矩形菜地面积的最大值为平方米. 答案: 类型3 分段函数模型(数学建模) 【典例3】(2026·武汉高一检测)某乡镇依托生态农业政策,打造“树莓特色采摘小 镇”,助力乡村旅游与产业融合.已知该小镇种植树莓的固定投入成本为50万元,有 机肥料、棚架维护、病虫害防治等培育成本为每万千克树莓90万元,假设所有果 实均能售罄.树莓每万千克的售价W(单位:万元)与年产量x(单位:万千克)满足关 系:W(x)=.记树莓的年利润为f(x)(单位:万元). (1)求f(x)的函数关系式; (2)当年产量为多少万千克时,该树莓特色采摘小镇的利润最大?最大利润是多少? 【解析】(1)f(x)=x·W(x)-90x-50,所以f(x)=. (2)当0<x≤20时,f(x)=-x2+85x-50,故在(0,20]上单调递增, 所以当x=20时,f(x)取得最大值,f(x)max=-400+1 700-50=1 250, 当x>20时,f(x)=-19x-+2 030=2 011-[19(x-1)+]≤ 2 011-2=1 251,当且仅当x=21时等号成立, 因为1 251>1 250,所以当x=21时,f(x)max=1 251, 综上,当年产量为21万千克时,该小镇获得最大利润,最大利润为1 251万元. 【解题有招】 分段函数模型应用的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 【即学即练】 (2025·信阳高一检测)数学建模,就是根据实际问题建立数学模型,对数学模型进行求解,然后根据结果去解决实际问题.小明和他的数学建模小队现有这样一个问题:提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,那么,怎样才可以提高呢?我们理想化地建立这样一个关系,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明,当x∈(20,200]时,车流速度v是车流密度x的一次函数.问:当车流密度为　　　　辆/千米时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)可以达到最大?(　　)  A.60　 B.100　 C.200　 D.600 √ 【解析】选B.当20≤x≤200时,设v=kx+b,则解得k=-,b=, 于是v= 设车流量为q,则q=v·x= 当0≤x≤20时,q=60x,此时,函数在区间[0,20]上单调递增,恒有q≤1 200,当且仅当x=20时等号成立; 当20<x≤200时,q=-x2+x,此时函数在区间(20,100]上单调递增,在区间(100,200]上单调递减,因此恒有q≤,当且仅当x=100时等号成立;综上所述,当x=100时,函数取得最大值,即车流量最大,最大值约为3 333辆. $