3.3幂函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象特征及性质，从函数概念自然过渡，作为函数性质学习的具体案例，搭建从一般到特殊的知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于通过表格对比不同幂函数性质、“判一判”辨析概念、例题应用单调性解决问题，培养学生用数学眼光观察图象规律，用数学思维进行逻辑推理，用数学语言规范表达。如类型二通过图象判断幂指数，类型三利用单调性解不等式，助力学生提升抽象能力和推理意识，也为教师提供系统的概念教学与能力训练资源。

　第三章　函数的概念与性质 3.3　幂函数 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质. 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会利用幂函数解不等式和根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 基础知识 填一填 1．幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象和性质 (1)在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝和y＝x-1的图象： y＝xα (2)幂函数的性质 R [0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞) 奇函数 非奇非偶函数 单调递增 单调递增 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 (1，1) 【说明】　一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1，1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 判一判 (1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(　 　) (2)幂函数的图象不可能出现在第四象限．(　 　) (3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关．(　 　) (4)当幂指数α取2，时，幂函数y＝xα均是增函数．(　 　) × √ × × 例题 类型一　幂函数的概念　　　　　　　　　 1．(多选)下列函数是幂函数的是(　 　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝ D．y＝(x＋1)3 解析　根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为y＝xα，y＝5x是系数为5的正比例函数，不是幂函数，选项A错误；y＝x5是幂函数，选项B正确；y＝是幂函数，选项C正确；y＝(x＋1)3不是幂函数，选项D错误．故选BC． BC 2．已知幂函数f(x)的图象过点 则f(6)等于(　 　) A．12 B．19 C．24 D．36 D 3．(2024·福建厦门期中)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm的图象与坐标轴没有公共点，则m＝(　 　) A．－2 B．－1 C．1 D．－2或1 解析　由题意m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，m＝2时，f(x)＝x2，图象与坐标轴的交点为(0，0)，舍去，m＝－1时，f(x)＝x-1满足题意．故选B． B 4．已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为（ ） 　 　 A．－2 B．2 C． D．－2或2 解析　因为幂函数f(x)＝(m2－3)xm在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－3＝1且m<0，解得m＝－2，故选A． A 方法总结 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 类型二　幂函数的图象及其应用 【例1】　 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　 　) B (2) 如图所示是函数y＝x和y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　 　) B 方法总结 依据图象高低判断幂指数大小的相关结论：在(0，1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． [跟踪训练1]　(1)已知某幂函数的图象经过点P则该幂函数的大致图象是(　 　) D (2)下列关于函数y＝xα与y＝αx，α∈的图象正确的是(　 　) C 类型三　幂函数的性质及其应用 角度1　比较大小 【例2】　(1)已知f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　 　) C (2)已知a＝ 则a，b，c的大小顺序正确的是(　 　) A．c>a>b B．a>b>c C．b>a>c D．a>c>b D 方法总结 比较幂函数值大小的方法 (1)若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小． (2)若指数不同，可采用中介值法或估值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1比较大小，直到比较出所有数的大小．若不能用中介值法，则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小． D 方法总结 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等相结合．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用. D B 课堂小结 1．知识清单 (1)幂函数的概念． (2)幂函数的图象及性质． 2．核心提示 (1)解决幂函数的问题不要忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质． (2)方法归纳：定义法(类型一)、数形结合法(如例1). 当堂检测 B 2．(2024·广东广州期中)下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数解析式大致对应的是(　 　) A 3．(2024·浙江丽水期末)写出一个为奇函数的幂函数f(x)＝ ． 解析　f(x)＝x，对于定义域内任意x，－x也在其定义域内，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，故f(x)＝x满足题意． x(答案不唯一) (－4，＋∞) Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 x∈[0，＋∞)， ；x∈(－∞，0]， 公共点 都经过点 解析　(1)设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点P，所以32α＝，即25α＝2-2，所以5α＝－2，解得α＝－，所以f(x)＝x－，则函数的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)－＝x－＝f(x)，故f(x)＝x－为偶函数，且函数在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．故选D. (2)函数y＝xα是幂函数，而y＝αx是一次函数．选项A，直线对应函数y＝x，曲线对应函数y＝x-1；选项B，直线对应函数y＝2x，曲线对应函数y＝；选项C，直线对应函数y＝2x，曲线对应函数y＝x2；选项D，直线对应函数y＝－x，曲线对应函数y＝x3，故C正确． 【例3】　若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　 　) A. B． C．(－1，2) D． [解析]　∵y＝x＝在[0，＋∞)上为增函数，∴⇔ 解得≤m<2，即m∈. [跟踪训练2]　(1)1.5-3.1，23.1，2-3.1的大小关系是(　 　) A．23.1＜2-3.1＜1.5-3.1 B．1.5-3.1＜23.1＜2-3.1 C．1.5-3.1＜2-3.1＜23.1 D．2-3.1＜1.5-3.1＜23.1 (2)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析　(1)1.5-3.1＝，2-3.1＝，又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜2，∴＜＜23.1，即2-3.1<1.5-3.1<23.1，故选D. (2)因为y＝x＝在[0，＋∞)上为增函数，(a＋1)<(3－2a)，所以解得－1≤a<. 1．已知幂函数f(x)＝kxa的图象经过点(2，)，则k＋a等于(　 　) A．2　　　B． C．1　　　D． 解析　由题意得k＝1，且2a＝，解得a＝，所以k＋a＝1＋＝. A．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x-1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x-1，④y＝x C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝x-1，④y＝x D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x-1 解析　幂函数y＝x3的定义域为R，且为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，对应图象①；幂函数y＝x2的定义域为R，且为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，对应图象②；幂函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，对应图象③；幂函数y＝x-1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，对应图象④.故选A. 4．不等式(a－3)<(1＋2a) 的解集为 ． 解析　因为幂函数y＝x在R上为增函数，(a－3) <(1＋2a) ，所以a－3<1＋2a，解得a>－4，所以不等式的解集为(－4，＋∞). $