专题1.2（2）绝对值、有理数的大小比较 考点变式培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦绝对值与有理数大小比较核心知识点，系统梳理绝对值的几何意义、性质及应用，构建从概念理解到非负性、实际问题解决的学习支架，同时整合有理数大小比较的法则、方法及易错点，形成连贯的知识脉络。 资料以探究式学习为特色，结合数轴开展距离问题探究，培养学生几何直观与抽象能力，通过温度比较、药品贮藏等实际题型渗透应用意识。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后检测与复盘笔记帮助学生查漏补缺，提升运算能力与理性思维。

简一数理 初中专题讲义 简一数理 初中专题讲义 专题1.2（2） 绝对值、有理数的大小比较 （新教材人教版） 2 3 3 4 4 5 6 6 7 10 14 知识点一：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4.绝对值的重要结论： （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 【题型1 绝对值的几何意义】 【例1】下列说法中，正确的有（     ） ①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的两个数互为相反数；③数轴上表示互为相反数的两个点与原点的距离相等；④若有理数a，b互为相反数，则它们一定异号． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【变式1-3】如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【题型2 求一个数的绝对值】 【例17】检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【变式2-2】2025的相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2025 D． 【变式2-2】已知，的相反数是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 绝对值非负性】 【例3】下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【变式3-1】已知，则的值等于（　　） A．1 B． C．4049 D． 【变式3-2】如果，那么的值是（   ） A．32 B．3 C． D．76 【变式3-3】若，则3a+b的值为____． 【题型4 绝对值的其他应用】 【例4】如图，一条街道旁有A，B，C三幢居民楼，A，B两幢楼之间相距200米，B，C两幢楼之间相距400米．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表： 楼号 A B C 大桶水数/桶 55 50 38 该经销商计划在这条街道上的某一处设置大桶水供应点，若要使得这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和最小，选择的地点应在（   ） A．B楼与C楼之间 B．A楼与B楼之间 C．B楼 D．A楼 【变式4-1】若，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点二：有理数的大小比较 1.定义：比较两个或多个有理数数值大小的过程。 2.运算法则（核心口诀）： · 正数 > 0 > 负数（正数永远大于负数，0大于所有负数小于所有正数）。 · 两个正数：绝对值大的数大（如 5 > 3）。 · 两个负数：绝对值大的反而小（如 -5 < -3，因为 |-5| > |-3|）。 3.常用比较方法（三种武器）： · 数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（最直观，适用于多个数排序） · 绝对值法：同号两数比较时，正数看绝对值（大即大），负数看绝对值（大即小）。 · 求差法（作差法）：计算 a - b。 若 a - b > 0，则 a > b； 若 a - b = 0，则 a = b； 若 a - b < 0，则 a < b。（适用于含字母或复杂式子比较） 4.易错提醒（避坑指南）： · 比较时先定符号（正负），再比数值（绝对值）。 · 遇到分数或小数，先统一形式（通分或化小数）再比较。 · 多个数比较时，建议先标在数轴上，再从左到右写顺序，不易漏不重。 【题型5 有理数的大小比较】 【例5】下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【变式5-1】下列有理数中最小的数是（   ） A． B．0 C． D．5 【变式5-2】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型6 有理数大小比较的实际应用】 【例6】已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 【变式6-1】下列温度中，最低的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 【变式6-3】比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是______； （2）是数轴上表示数x与数______的两点之间的距离，______． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使成立的x的值有哪些？ 2．探究数轴上两点之间的距离． 【数学探究】 （1）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，设A，B两点之间的距离为d．补全下列探究过程． 同学们尝试探究，将两点之间的距离转化为两点到原点的距离来研究． 当时，分三种情况： 当时， ； 当时， ； 当时， ① 同理，当时， ② ． 因为 ③ ，所以． 综上，． 【数学思考】 （2）数轴上，点M，N，P表示的数分别为m，n，p． ①若，点P到点M，N的距离相等吗？并说明理由； ②若，比较与的大小，直接写出结论． 【数学眼光】 （3）一段笔直的道路上有相距3千米的M，N两地，在两地之间距M地k（k为常数）千米处放置一个激光测速仪．一辆小汽车从M地驶向N地，当小汽车到M地的距离大于到测速仪的距离且小于到N地的距离时被测速，直接写出小汽车被测速的路段长度（用含k的代数式表示）． 3．如图1数轴上A、B两点表示的有理数分别为a，b则A、B两点间的距离． 研讨1：某高铁线路上有A、B两站，现要在AB段上选址物流中心M，使最短，M选在哪？ 甲的探究：由绝对值的几何意义，M应选在A、B之间时，才最短． 研讨2：如图2高铁线路上有A、B、C三站，如何选址物流中心M．使最短？ 乙的探究：物流中心M应选在C站，才最短． 研讨3：如图3高铁线路上有A、B、C、D四站，M选在哪，才使得最短？ 丙的探究：M应选在C、D之间，最短． 根据以上探究结论求的最小值． 【课后检测】 1．下列说法正确的有（   ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 2．数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在不完整的数轴上，从左到右的点，，，分别表示有理数，，，，，．若，则绝对值最大的数对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且，，则下列结论中①；②；③；④中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 6．已知都不为0，用数轴上的点表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 8．已知，，，则（        ） A．8 B．2 C．或 D．8或 9．如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 10．成立时，______． 11．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 12．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 13．一个正数乘以一个数，一定比这个正数大吗？为什么？ 14．如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 15．回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 16．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 17．若与互为相反数，求的值． 18．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 19．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【复盘笔记】 第 1 页 共 67 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 简一数理 初中专题讲义 专题1.2（2） 绝对值、有理数的大小比较 （新教材人教版） 2 2 4 6 8 11 12 14 15 21 33 知识点一：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4.绝对值的重要结论： （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 【题型1 绝对值的几何意义】 【例1】下列说法中，正确的有（     ） ①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的两个数互为相反数；③数轴上表示互为相反数的两个点与原点的距离相等；④若有理数a，b互为相反数，则它们一定异号． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此可判断①②④，根据绝对值的几何意义和相反数的定义可判断③． 【详解】解：①0的相反数是0，原说法错误； ②符号相反的两个数不一定互为相反数，例如和2的符号相反，但是它们不是相反数，原说法错误； ③数轴上表示互为相反数的两个点与原点的距离相等，原说法正确； ④0的相反数是0，故互为相反数的两个数不一定异号，原说法错误； 综上所述，正确的只有③，共1个． 【变式1-1】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 【变式1-2】如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 【变式1-3】如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 【题型2 求一个数的绝对值】 【例17】检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求． 【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,． ∵的绝对值最小， ∴B选项中的篮球是最接近标准质量的． 【变式2-1】如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 【变式2-2】2025的相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和绝对值的定义，解题的关键是依次根据相反数、绝对值的定义进行计算． 先求出2025的相反数，再计算该相反数的绝对值，得到结果． 【详解】解∶2025的相反数为， 又， 故选C． 【变式2-2】已知，的相反数是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，求代数式的值，掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键．由绝对值的性质知为或；由相反数的定义知为，分别计算的值即可． 【详解】解：，的相反数是， 或，， 当时，； 当时，， 的值为或． 故选：D． 【变式2-3】下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题的关键． 根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可． 【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确； 对于②：0既不是正数也不是负数，∴②正确； 对于③：0的相反数是0，∴③正确； 对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0和正数），不一定是正数，∴④不正确； ∴不正确的有①和④，共2个， 故选：B． 【题型3 绝对值非负性】 【例3】下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 【变式3-1】已知，则的值等于（　　） A．1 B． C．4049 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、平方的非负性、代数式求值等知识点，掌握几个非负数的和为0，则每个非负数均为0是解题的关键． 先根据非负数的性质求得x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【变式3-2】如果，那么的值是（   ） A．32 B．3 C． D．76 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握当几个非负数的和为零时，则每个非负数均为零，然后代入求值． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而求出a、b、c的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵， ， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-3】若，则3a+b的值为____． 【答案】13 【分析】本题主要考查了非负数的性质．根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，直接代入求值. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入原式可得3a+b=13 故答案为： 13 【题型4 绝对值的其他应用】 【例4】如图，一条街道旁有A，B，C三幢居民楼，A，B两幢楼之间相距200米，B，C两幢楼之间相距400米．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表： 楼号 A B C 大桶水数/桶 55 50 38 该经销商计划在这条街道上的某一处设置大桶水供应点，若要使得这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和最小，选择的地点应在（   ） A．B楼与C楼之间 B．A楼与B楼之间 C．B楼 D．A楼 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的应用，整式的加减运算，设大桶水供应点设置在数对应的点处，这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和为：，再进一步分析即可． 【详解】解：如图，记为数轴的原点，表示数，则，， ∴表示，表示， 设大桶水供应点设置在数对应的点处， ∴这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和为： ， 当时， ， 当时， ， 此时， 当时， ， 当时， ∴ ， 此时， 当时， ， 综上：当时，的值最小， ∴要使得这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和最小，选择的地点应在楼． 故选：C 【变式4-1】若，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据绝对值性质和，的条件求出x，y值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ，异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式4-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减和有理数的大小比较．由数轴确定a，b的正负，a，b和绝对值间的关系，是解决本题的关键． 根据各点在数轴上的位置，运算法则以及绝对值的性质求解即可． 【详解】由数轴知，，故①正确； 由于，所以，故②不正确； 由于，取的符号，所以，故③不正确； 由于，所以，故④不正确； 因为，所以，又因为，所以，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 【变式4-3】有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 知识点二：有理数的大小比较 1.定义：比较两个或多个有理数数值大小的过程。 2.运算法则（核心口诀）： · 正数 > 0 > 负数（正数永远大于负数，0大于所有负数小于所有正数）。 · 两个正数：绝对值大的数大（如 5 > 3）。 · 两个负数：绝对值大的反而小（如 -5 < -3，因为 |-5| > |-3|）。 3.常用比较方法（三种武器）： · 数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（最直观，适用于多个数排序） · 绝对值法：同号两数比较时，正数看绝对值（大即大），负数看绝对值（大即小）。 · 求差法（作差法）：计算 a - b。 若 a - b > 0，则 a > b； 若 a - b = 0，则 a = b； 若 a - b < 0，则 a < b。（适用于含字母或复杂式子比较） 4.易错提醒（避坑指南）： · 比较时先定符号（正负），再比数值（绝对值）。 · 遇到分数或小数，先统一形式（通分或化小数）再比较。 · 多个数比较时，建议先标在数轴上，再从左到右写顺序，不易漏不重。 【题型5 有理数的大小比较】 【例5】下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】只需计算出各选项中数的绝对值，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是． 【变式5-1】下列有理数中最小的数是（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】利用有理数比较大小的基本规则即可求出结果． 【详解】解：∵有理数大小比较规则为：正数大于0，0大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小. ∴四个数中，，，，只需比较与的大小， ∵，，， ∴， 因此可得四个数的大小关系为 ， ∴最小的数是． 【变式5-2】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 【变式5-3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 【题型6 有理数大小比较的实际应用】 【例6】已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义即可直接求解. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 【变式6-1】下列温度中，最低的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最低温度对应数值最小的有理数，比较四个数的大小即可． 【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数，两个负数中绝对值大的数更小． ，， ， ∴， ∴， 即最低的是． 【变式6-2】某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据标签得到合格温度的范围，判断各选项温度是否落在范围内即可． 【详解】解：据表可知，该药品的合格贮藏温度满足， 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，满足范围，符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求． 【变式6-3】比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据允许误差求出符合标准的乒乓球直径的取值范围，再判断各选项的数值是否在范围内即可得到答案． 【详解】解：∵标准直径为，允许误差为 ∴符合标准的直径满足 即 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，符合标准； 选项D：，不符合． 【探究式学习】 1．综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是______； （2）是数轴上表示数x与数______的两点之间的距离，______． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使成立的x的值有哪些？ 【答案】（1）；（2）；；（3）或3 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键； （1）根据数轴上两点间距离公式可得结论； （2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； （3） 利用分类讨论的方法即可得出x的值． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离为：； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离， ∵，即， ∴； （3）当时，， 当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 综上所述：成立的x的值是或3． 2．探究数轴上两点之间的距离． 【数学探究】 （1）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，设A，B两点之间的距离为d．补全下列探究过程． 同学们尝试探究，将两点之间的距离转化为两点到原点的距离来研究． 当时，分三种情况： 当时， ； 当时， ； 当时， ① 同理，当时， ② ． 因为 ③ ，所以． 综上，． 【数学思考】 （2）数轴上，点M，N，P表示的数分别为m，n，p． ①若，点P到点M，N的距离相等吗？并说明理由； ②若，比较与的大小，直接写出结论． 【数学眼光】 （3）一段笔直的道路上有相距3千米的M，N两地，在两地之间距M地k（k为常数）千米处放置一个激光测速仪．一辆小汽车从M地驶向N地，当小汽车到M地的距离大于到测速仪的距离且小于到N地的距离时被测速，直接写出小汽车被测速的路段长度（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）①，②，③0； （2）①相等，理由如下： 由题意得，点P到点M的距离；点P到点N的距离 ∴； ②当时，；当时，；当时，； （3） 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程等知识点，难度较大． （1）结合图示，根据绝对值的性质计算即可； （2）①由题意得，点P到点M的距离；点P到点N的距离，即可得到； ②时，则，，则作差得到，然后再分类讨论化简绝对值； （3）将点放在数轴原点处，则点表示的数为，设测速仪为点，则点表示的数为，设小汽车为点，表示的数为，小汽车到地的距离为，小汽车到地的距离为，小汽车到测速仪的距离为，当时，即，时，，解得，然后再分类讨论解绝对值方程． 【详解】解：（1）当时，分三种情况： 当时， ； 当时， ； 当时， 同理，当时，②． 因为③，所以． 综上，． 故答案为：①，②，③0； （2）①略 ②时，则，， ∴， 当时，，则； 当时， 若，，则； 若，，则； 若，，则； 当时，，则 综上：当时，；当时，；当时，； （3）解：将点放在数轴原点处，则点表示的数为，设测速仪为点，则点表示的数为，设小汽车为点，表示的数为， 小汽车到地的距离为，小汽车到地的距离为，小汽车到测速仪的距离为， 当时，即，时，，解得； 若，则， 解得； 若时，则， 解得（舍）， ∴当时，小汽车被测速， ∴被测速的路段长度为． 3．如图1数轴上A、B两点表示的有理数分别为a，b则A、B两点间的距离． 研讨1：某高铁线路上有A、B两站，现要在AB段上选址物流中心M，使最短，M选在哪？ 甲的探究：由绝对值的几何意义，M应选在A、B之间时，才最短． 研讨2：如图2高铁线路上有A、B、C三站，如何选址物流中心M．使最短？ 乙的探究：物流中心M应选在C站，才最短． 研讨3：如图3高铁线路上有A、B、C、D四站，M选在哪，才使得最短？ 丙的探究：M应选在C、D之间，最短． 根据以上探究结论求的最小值． 【答案】2550 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离． 由题意得：在多个绝对值相加时，要想和为最小值，是最中间一项为0，最中间一项是，代入即可求出答案． 【详解】解：由题意得：可以看成是到个点的距离之和. 在多个绝对值相加时，要想和为最小值，是最中间一项为0， ∵最中间一项是， ∴，即， 当时， 故的最小值为2550． 【课后检测】 1．下列说法正确的有（   ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴，根据绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴等知识逐一分析即可，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：绝对值越大的数不一定大，如，但，故错误，不符合题意； 非负数是零和正数的统称，故正确，符合题意； 表示向东，则应表示向西，而非向南，故错误，不符合题意； 数轴上与之间的有理数有无数个，故错误，不符合题意； ∴只有正确，正确的个数为个， 故选：． 2．数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据绝对值的性质可得，，，据此进行判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，则选项C错误； ∴，则选项A错误，选项B正确； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：B． 3．如图，在不完整的数轴上，从左到右的点，，，分别表示有理数，，，，，．若，则绝对值最大的数对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的应用，数形结合并找出原点的位置是解题的关键． 由题意可得原点在，之间，则绝对值最大的是点表示的数． 【详解】由数轴得，， 又， ，． 原点在，之间． ，， ，，，． 最大． ∴绝对值最大的数对应的点是点A． 故选：A． 4．如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且，，则下列结论中①；②；③；④中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 根据图示，可得，结合已知条件，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∴正确的有3个； 故选：C． 5．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，有理数的减法和加法，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． 由数轴得出，再根据有理数的加减运算法则判断即可． 【详解】解：由数轴知， ，，，， 上述选项中，A选项错误， 故选：A． 6．已知都不为0，用数轴上的点表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据题意和绝对值的意义，得到，且到原点的距离大于到原点的距离，进行判断即可． 【详解】解：∵都不为0， ∴，且到原点的距离大于到原点的距离， ∴符合题意的只有选项C； 故选：C． 7．下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，数轴，相反数和绝对值的概念，根据概念逐项判断正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、有理数包括正有理数、负有理数和零，故原选项错误，不符合题意； 、任何有理数都可以用数轴上的点表示，是有理数，能用数轴上的点来表示，故原选项错误，不符合题意； 、相反数是指数值相等但符号相反的数，而表示相反意义的量不一定数值相等，故原选项错误，不符合题意； 、负数的绝对值是它的相反数，故原选项正确，符合题意； 故选：． 8．已知，，，则（        ） A．8 B．2 C．或 D．8或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是绝对值的性质，代数式求值；根据绝对值的定义，和各有两种可能值，结合条件筛选出满足条件的组合，再计算． 【详解】解：， 或． ， 或． 又， 当，时，成立，此时； 当，时，成立，此时． 其他组合不满足． 或． 故选：C． 9．如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 【答案】5或2 【分析】利用数轴得出两点之间的距离，然后分两种情况进行讨论，即当原点位于点和点之间时和当原点位于点右侧时，最后根据线段的数量关系求出点的坐标． 【详解】解：由数轴得， ①当原点位于点和点之间时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； ②当原点位于点右侧时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； 综上，点所表示的数是5或2． 10．成立时，______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 11．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 12．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 13．一个正数乘以一个数，一定比这个正数大吗？为什么？ 【答案】不一定，理由：当一个正数乘以大于且小于的数时，积小于这个正数；当一个正数乘以时，积等于，小于这个正数；当一个正数乘以负数时，积为负数，也小于这个正数. 【详解】略 14．如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 15．回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 16．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 17．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，，然后将原式变形为，然后化简求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了绝对值的非负性，相反数的概念，分式求值，正确求解是解决此题的关键． 18．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【答案】(1)，4 (2)4.5或9 (3)每秒个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）由题意得，点P表示的数为，分别表示出、的长，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）利用两点间的距离求出，设，动点C，D运动的速度为，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧，分析可得；要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间，分析可得，联立方程即可求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9； （3）解：， C，D为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，动点C，D运动的速度为， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为3秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 即， 解得， 点的速度为每秒个单位． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的和与差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，运用分类讨论的思想是解题的关键． 19．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 【复盘笔记】 第 1 页 共 67 页 学科网（北京）股份有限公司 $