1.2 菱形的性质与判定 提优特训A·B卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 该练习通过A·B卷分层设计，A卷夯实菱形定义、性质与判定基础，B卷强化综合应用与创新思维，形成从概念理解到问题解决的完整巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷·基础过关|菱形定义、性质（边、角、对角线）、判定定理基础应用|结合生活实例（中国结、衣挂），设置基础证明与计算，巩固符号语言表达| |B卷·强化提优|菱形与平移/折叠结合、动态几何、跨知识整合（勾股定理、坐标系）|设计动点问题、图形变换题，渗透分类讨论思想，提升空间观念与创新意识|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形第二节菱形的性质与判定》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.精准把握菱形定义：一组邻边相等的平行四边形，厘清菱形与平行四边形的从属关系，区分菱形、矩形、普通平行四边形概念边界，能从生活实物、几何图形中抽象出菱形模型。 2.能严谨证明菱形边、对角线专属性质；熟练掌握三类菱形判定定理，可根据题干条件，合理选择判定方法完成几何证明，规范书写演绎推理步骤。 3.熟知菱形轴对称（2条对称轴）、中心对称双重特征，结合对角线拆分出4个全等直角三角形、含60 ° 内角拆分出等边三角形，依托图形结构解决折叠、角度、线段最值问题。 4.灵活运用勾股定理结合菱形对角线求边长，熟练使用两种菱形面积公式计算，攻克含特殊角度的边长、对角线、面积综合运算题型，提升几何计算准确率。 ) 二．知识梳理 ( （一）菱形的定义 1. 菱形的定义 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 定义的核心理解 （ 1 ） 菱形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形。 （ 2 ） 菱形区别于一般平行四边形的特殊条件：一组邻边相等，这是判断菱形的基础依据。 （ 3 ） 从图形构成来看，菱形的四条边都具备相等的潜在特征，由平行四边形对边相等+一组邻边相等，可推导出菱形四条边均相等。 （ 二 ） 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质 外，还具有 以下 特殊性质 。 1 . 边的性质：菱形的四条边都相等；对边相互平行。 几何符号语言： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AB ‖ CD，AD ‖ BC。 2 ， 角的性质：菱形的对角相等，邻角互补，与平行四边形角的性质一致。 3 . 对角线性质：菱形的对角线互相平分且垂直；每一条对角线平分一组对角。 菱形邻边相等，对角线平分平行四边形，可拆分出等腰三角形，根据等腰三角形 “ 三线合一 ” ，可证对角线互相垂直且平分顶角。 几何符号语言： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC ⊥ BD，AC平分 ∠ BAD和 ∠ BCD，BD平分 ∠ ABC和 ∠ ADC。 4 . 对称性：菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点；也是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线。 5 . 面积公式： （ 1 ） 常规公式：面积 = 底 × 高 （ 2 ） 对角线公式：面积 = 两条对角线长度乘积的一半，即S= ab（a、b分别为两条对角线的长） 。 （ 三 ） 菱形的判定方法 1. 菱形的定义判定 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，定义是最基础的判定方法，可直接用于判定菱形。 2. 菱形的判定定理 （ 1 ） 判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ) ( 几何语言： ∵ 在平行四边形ABCD中，AC ⊥ BD， ∴ 平行四边形ABCD是菱形。 （ 2 ） 判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。 几何语言： ∵ 在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， ∴ 四边形ABCD是菱形。 3. 判定方法总结 （ 1 ） 定义法：平行四边形+一组邻边相等 （ 2 ） 定理法1：平行四边形+对角线互相垂直 （ 3 ） 定理法2：四边形+四条边都相等 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025贵阳云岩区九年级期末）菱形具有而一般平行四边形不具备的性质是（ ） A.对边互相平行 B.对角相等 C.四条边相等 D.对角线互相平分 【答案】：C 【解析】：平行四边形性质包含对边平行、对角相等、对角线互相平分，菱形特殊性质为四条边相等、对角线互相垂直平分一组对角。 2.如图,在菱形ABCD中,∠B=40°,点E在BC上,若AE=AC,则∠CAE=(　　) A.40°　　 B.50°　　 C.55°　　 D.65° 【答案】A　 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=（180°-∠B）=70°,∵AC=AE, ∴∠AEC=∠ACE=70°,∴∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=40°,故选A. 3.（2025贵阳南明区九年级期中）下列条件可以判定平行四边形为菱形的是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.有一个内角为直角 D.对角线互相平分 【答案】：B 【解析】：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线相等判定为矩形。 4.下图入口处进入，最后到达的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】：D 【解析】：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；∴最后到达的是丁故选：D． 5.如图在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=16,BD=12,则菱形ABCD的周长(　) A.40　　 B.80　　 C.48　　 D.96 【答案】A　 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,BO=OD=BD=6,AO=OC=AC=8,AC⊥BD, ∴AB==10,故菱形ABCD的周长为4×10=40.故选A. 6.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，∴， ∴四边形ABEC是平行四边形，故①正确；∵平移△ABC到△BDE的位置，∴AB=BD=CE，BC=DE，∵AB=BC，∴AB=BD=CE=BC=DE，∴四边形BDEC是菱形，故②正确；∵四边形BDEC是菱形，∴，∵，，故③正确；∵四边形BDEC是菱形，∴DC平分∠BDE， 故④正确；∴正确的有4个．故选D． 7.（2025山东青岛市北期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图，小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD,测得BD=16 cm,AC=12 cm,则此菱形的周长为 ( ) A.28 cm B.40 cm C.56 cm D.80 cm 【答案】B 【解析】∵ 四边形ABCD为菱形,且BD=16cm,AC=12cm, ∴AB=BC=CD=AD,OB=OD=BD=8cm，OA=OC=AC=6cm,AC⊥BD,∴∠AOB=90°,在Rt△OAB 中,由勾股定理得AB=10cm，∴菱形ABCD的周长=4AB=4×10=40(cm),故选 B. 8.（2025山西大学附中月考）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，其中点B 的坐标是(6，2),点D的坐标是(0,2),点A在x轴上,则点 C的坐标是 ( ) A.(3,2) B.(3,3) C.(3,4) D.(2,4) 【答案】 C 【解析】连接AC,BD,相交于点 E,∵四边形ABCD 是菱形,∴AE=CE,BE=DE,AC⊥BD,∵点A 在x轴上，点B的坐标为(6，2)，点D 的坐标为(0,2),∴BD=6,AE=2,∴DE=BD=3,AC=2AE=4,∴点 C 的坐标为(3,4).故选 C. 9.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线BD的长是（ ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【解析】连接AC，交BD于点O，∵菱形ABCD中∠ABC=60°，AB=3，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC∴AO=×3=，∴BO=，∴BD=2BO=2×=，故选B 10．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是（　　） A．18 B．18 C．36 D．36 【答案】B 【解析】如图，过点AE⊥BC于点E，在菱形ABCD中，BC＝AB＝6，∠ABC＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝3，∴AE＝BE＝3，∴菱形ABCD的面积＝BC•AE＝6×3＝18．故选：B． 二．填空题（共30分） 11.（2025贵阳观山湖区期中）对角线互相垂直平分的四边形是______。 【答案】：菱形 【解析】：对角线互相平分说明是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形。 12.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD 于点 O.请添加一个条件： ，使四边形ABCD 成为菱形. 【答案】 AD∥BC(答案不唯一) 【解析】 答案不唯一.当添加“AD∥BC”时,∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AC⊥BD,..四边形ABCD 是菱形. 13.（2025花溪区期末）菱形对角线长为2，2，菱形面积为________。 【答案】：2 【解析】：面积=×2×2=2。 14.如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号) 【答案】 【解析】如图，连接CD、EF分别交AB于点M、N，∵四边形ACOD是菱形，∠CAD=60°，∴∠AMC=90°，∠CAM=30°，∴CM=AC=8，∴AM=，∴AO=16，AB=48，同理可得：BN=，∴CE=MN=. 15.在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝_________. 【答案】4 【解析】∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB， ，，∴DF∥BC，，，， ，，，即， ，故C正确．故选：C． 16.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为________. 【答案】：9＋ 【解析】：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝4，AB∥CD.∵∠BAD＝120°，∴∠ADC＝60°.∴∠ADB＝∠CDB＝30°.∵O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD.在Rt△AOD中，AO＝AD＝2，∴OD＝＝2 .∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°.在Rt△DOE中，OE＝OD＝，∴DE＝＝3.∴四边形AOED的周长为4＋2＋＋3＝9＋. 17.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为________. 【答案】：10 【解析】：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8.∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，点A′与点C重合，∴O′C＝OA＝2，O′B′＝OB＝8，∠CO′B′＝90°，∴AO′＝AC＋O′C＝6，∴AB′＝＝＝10. 18．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是_________. 【答案】：25° 【解析】：如图：∵ABCD是菱形∴AD＝AB，BO＝OD，∴∠BAD＝2∠CAD＝50°∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝65°∵DH⊥AB，BO＝DO∴HO＝DO∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25° 19．如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为_________． 【答案】 【解析】∵四边形菱形且对角线交于原点O，∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴，∴． 20．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    【答案】75° 【解析】连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°． 三．解答题（共60分） 21.如图在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由． 解：(1)连结AC，∵BD也是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC (2)点F是线段BC的中点．理由：在菱形ABCD中，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，∴∠EAC＝∠BAC，∴AF是△ABC的角平分线，∵△ABC是等边三角形，∴AF是△ABC的BC边上的中线，∴点F是线段BC的中点 22.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB＝4，AD＝8，求△BMD的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠BNO，∵对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，∴BM＝DM，BO＝DO， 在△MDO和△NBO中，，∴△MDO≌△NBO（ASA），∴MD＝BN，∵AD∥BC， ∴四边形BMDN是平行四边形，∵BM＝DM，∴四边形BMDN是菱形； （2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，由勾股定理得：AB2+AM2＝BM2，∵AB＝4，AD＝8，∴42+AM2＝（8﹣AM）2，解得：AM＝3，∴DM＝5，∴△BMD的面积=×DM×AB=×5×4=10 23.（2025云岩区期末）已知四边形ABCD，AB‖CD，AB=CD，AB=BC。 (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠BCD=120o，BC=4，求对角线BD长度。 解：(1)AB‖CD,AB=CD，四边形是平行四边形，又AB=BC，邻边相等，平行四边形为菱形。 (2)BC=CD=4，∠BCD=120o，△BCD中，∠CDB=30o，可求得BD=4。 24.如图,四边形ABCD 是菱形,∠ACD=30°,BD=6,求: (1)∠BAD 和∠ABC 的度数. (2)AB 和AC 的长. 解 (1)∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ DC = BC,AC ⊥ BD,∠BCD = 2 ∠ACD,∠ABC =2∠CBD, ∵∠ACD=30°,∴∠BCD=60°,∴ ∠BAD = ∠BCD = 60°,△BCD 为等边三角形, ∴ ∠CBD=60°,∴∠ABC=2∠CBD=120°. (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形,△BCD 为等边三角形,BD=6,AC⊥BD,∴AO=OC,BC=BD=6,∴AB=BC=CD=6.在 Rt△COD中,∠ACD=30°, 25.如图四边形ABCD，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． 解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形； （2）∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52． 26.．如图1，已知平行四边形ABCD中，BD平分∠CBA． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）如图2，E为边AB上一动点，连接CE，作CE的垂直平分线交CE于F，交DB于G，连接AG、EG， ①求证：△AGE为等腰三角形； ②若∠CBA＝60°，求的值． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴DC＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形； （2）①∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝DA，∠CDG＝∠ADG，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG，∵GF是EC的垂直平分线，∴CG＝EG，∴AG＝EG，即△AGE是等腰三角形； ②连接AC交BD于O，∵GC＝GE，∴∠GCE＝∠GEC，∵AG＝CG＝GE，∴∠GCA＝∠GAC，∠GAE＝∠GEA，∵∠CBA＝60°，BC＝AB，∴∠CAB＝∠ACB＝60°，∴∠GAC+∠GAE＝60°，∴∠GAC+∠GCA+∠GAE+∠GEA＝120°，∴∠AGC+∠AGE＝240°，∴∠CGE＝120°，∴∠GCE＝30°，∴CG＝2GF，∴AG＝2GF，∴=． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图，在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段 AB 水平向右平移a(a<6)个单位长度得到线段EF，若四边形 ECDF 为菱形，则a的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 B 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,CE∥FD,CD=AB=4,∵将线段 AB 水平向右平移得到线段 EF,.. AB∥EF∥CD，∴四边形 ECDF 为平行四边形.根据菱形的定义可知,当CD=CE=4时,▱ECDF为菱形,此时a=BE=BC-CE=6-4=2.故选 B. 2．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　） A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】C 【解析】 过点A作于E，于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又 ∴四边形ABCD是菱形．故选C． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，延长EO交BC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OF，∴OF＝， ∴根据菱形的对称性得EF＝2OF＝．故选：C． 4．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】延长FP交AD于点G，如图所示：在菱形ABCD中，AD∥BC，∠DAC＝∠BAC，∵PF⊥BC，∴PF⊥AD，∴∠AGP＝90°，∵PE⊥AB，∴∠AEP＝90°，∴∠AEP＝∠AGP，又∵∠EAP＝∠GAP，AP＝AP，∴△EAP≌△GAP（AAS），∴GP＝EP，∵菱形ABCD的周长为24，∴BC＝6，∵菱形ABCD面积为24，∴FG＝24÷6＝4，∴PE+PF＝GF＝4，故选：B． 5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC+BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2＝25，∵AC+BD＝14，∴OA+OB＝7，∴（OA+OB）2＝72＝49，即OA2+2AO•OB+OB2＝49， ∴2OA•OB＝49﹣25＝24，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2OA•OB＝24．故选：C． 6．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　） A．16 B．16 C．32 D．32 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠DAB＝45°，∴∠BCD＝∠BAD＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，CD＝DE，∵PF⊥CD，∴△DPF是等腰直角三角形，∴PF＝DF，PD＝PF，设PF＝DF＝x，则PD＝x，∵△PDF的周长为8，∴x+x+x＝8，解得：x＝8﹣4，∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF＝x，∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，∴BC＝CD＝DE＝8，∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32，故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B（﹣3，0）、C（2，0），则点D的坐标为（　　） A．（4，5） B．（5，4） C．（5，3） D．（4，3） 【答案】B 【解析】∵菱形ABCD的顶点A在y轴上，B（﹣3，0），C（2，0），∴AB＝AD＝BC，OB＝3，OC＝2，∴AB＝AD＝BC＝OB+OC＝5，∴AD＝AB＝CD＝5，∴OA＝＝＝4， ∴点D的坐标为（5，4）．故选：B． 8.（2024 上海崇明模拟）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】如图,∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°,∵ BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故选 C. 9.（2025陕西启迪中学月考）如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,E 是线段 BD 上一动点(点E 不与点B、D 重合),当△ABE 是等腰三角形时,∠DAE 的度数为( ) A.30° B.70° C.30°或60° D.40°或 70° 【答案】C 【解析】在菱形ABCD中,∠ABC=80°,∴ ∠ABD=∠ABC =40°,∵ AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC=100°,∵△ABE是等腰三角形,点 E不与点 B、D 重合,∴AE=BE或AB=BE. 当AE=BE时,∠ABE=∠BAE=40°,∴∠DAE=100°-40°=60°当AB=BE 时,∠BAE=∠AEB=(180°-40°)=70°,∴∠DAE=100°-70°=30°.综上所述，当△ABE 是等腰三角形时，∠DAE 的度数为30°或60°,故选 C. 10.(2024甘肃中考)如图1,动点 P 从菱形ABCD 的点A 出发,沿边 AB→BC 匀速运动，运动到点 C 时停止.设点 P 的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点 P 运动到BC 中点时，PO 的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.2 【答案】C 【解析】结合图象可得,当x=0时,PO=AO=4,当点 P运动到点 B 时,PO=BO=2,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,∴ ∠AOB =∠BOC = 90°,∴ AB = BC = .当点 P 运动到BC 中点时,PO 的长为BC=故选 C. 二．填空题（共30分） 11.（2026观山湖区二模）菱形ABCD，∠ABC=120o，对角线AC=6，则边长为_____。 【答案】：6 【解析】：∠ABO=60o，AO=3→在Rt△ABO中，AB=6。 12．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是：　 　． 【答案】四条边相等的四边形是菱形． 【解析】∵已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，∴AB＝AD，∵分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，∴BC＝CD＝AB， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∴所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形．故答案为：四条边相等的四边形是菱形． 13．将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为2，则阴影部分的周长总和等于__. 【答案】8100 【解析】：根据题意知，将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2025个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致，如图，由题意知，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝∠EOF，由菱形的对角线平分一组对角可知∠EOC＝∠DAO，∴OE∥AD，∴OE是△ACD的中位线．∴OE＝AD＝1，∴一个阴影菱形的周长为：1×4＝4，∴2025个阴影菱形的周长和为：4×2025＝8100， 14．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______. 【答案】2.5 【解析】：∵菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，∴菱形ABCD的面积＝×2×5＝5， ∴S△ABC＝，∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形PEAF是平行四边形，∴S△PEF＝S△APE＝S平行四边形AEPF， ∴阴影部分的面积＝S△ABC＝， 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为_______. 【答案】（0，﹣1） 【解析】：∵A（2，3），∴OD＝2，AD＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝3， 在Rt△ODC中，OC＝＝＝1，∴C（0，﹣1）． 16.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________． 【答案】105°或45°　 【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°. 17.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2， ∠A＝120°，则EF的长为________． 【答案】：2 【解析】：如图，连接BD，AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，BO＝OD， ∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABO＝90°－60°＝30°，∴AO＝AB＝×2＝1， 在Rt△AOB中，由勾股定理得，BO＝，∴OD＝，∴BD＝2 .易知EF⊥AC，EF平分AO. ∵AC⊥BD，∴EF∥BD，易得点E，F分别为AB，AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝BD＝×2 ＝. 18.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为__________cm. 【答案】：10 －10 【解析】：如图，连接BD，AC，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10 cm， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°.∴△ABD，△BCD都是等边三角形．①若以边BC为底，则BC的垂直平分线上(在菱形的边上及其内部)的点满足题意，此时就转化为“直线外一点与直线上所有点连接的线段中，垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值为10 cm；②若以边PB为底，∠PCB为顶角，则以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，那么弧BD上的所有点(除点B外)都满足题意．当点P为弧BD与AC的交点时，AP最小，最小值为(10 －10)cm；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，则以点B为圆心，BC长为半径作圆，那么弧AC上的点D满足题意，此时PA＝10 cm.综上所述，PA的最小值为(10 －10)cm. 19．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为________. 【答案】32 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠DAB＝45°，∴∠BCD＝∠BAD＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，CD＝DE，∵PF⊥CD，∴△DPF是等腰直角三角形，∴PF＝DF，PD＝PF，设PF＝DF＝x，则PD＝x，∵△PDF的周长为8，∴x+x+x＝8，解得：x＝8﹣4，∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF＝x，∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，∴BC＝CD＝DE＝8，∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32， 20．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为____． 【答案】7 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝，∴AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°.由折叠的性质，得EF⊥BO.又∵∠ABO＝∠CBO，∴BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF＝60°，∴∠OEF＝60°，∴∠AEO＝60°.又∵∠BAO＝60°，∴△AEO是等边三角形．同理，△CFO也是等边三角形，∴AE＝EF＝CF＝AO＝1，∴五边形AEFCD的周长为1＋1＋1＋2＋2＝7. 三．解答题（共60分） 21．如图，在菱形ABCD中，∠A＝72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数． 解：如图(答案不唯一)． 22．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE＝CF. (1)求证：△ABE≌△ADF. (2)过点C作CG∥EA，交AF于点H，交AD于点G.若∠BAE＝25°，∠BCD＝130°，求∠AHC的度数． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.∵CE＝CF，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)． (2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD＝130°.由(1)得△ABE≌△ADF，∴∠DAF＝∠BAE＝25°.∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝80°.∵CG∥EA，∴∠EAF＋∠AHC＝180°，∴∠AHC＝180°－∠EAF＝100°. 23．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD． （1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质： 性质1：　 　；性质2：　 　． （2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形． 解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC；故答案为：对角线互相垂直，是轴对称图形； （2）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BO＝DO，同理：BC＝DC，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠ODC，在△ABO和△CDO中，，∴△AOB≌△CDO（ASA），∴AB＝CD， ∴AB＝CD＝BC＝AD，∴四边形ABCD为菱形． 24.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 解：（I）（i）利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2； （ii）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴四边形ABFE是菱形；（II）如图，必为a＞3，且a=4；②如图，必为2＜a＜3，且a=2.5；③如图，必为＜a＜2，且a﹣1+（a﹣1）=1，解得a=；④如图，必为1＜a＜，且3（a﹣1）=1，解得a=．综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 25．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)． (1)直接写出线段AP，AQ的长： AP＝__2t__，AQ＝6－t(用含t的代数式表示)． (2)设△APQ 的面积为S，写出S与t的关系式． (3)如图②，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.又∵AB＝12 cm，∴AC＝6 cm.由题意，得AP＝2t，AQ＝6－t. (2)过点P作PH⊥AC于点H.在Rt△APH中，∵∠A＝60°，∴∠HPA＝30°.∵AP＝2t，∴AH＝t.∴PH＝t.∴S＝AQ·PH＝(6－t)×t＝－t2＋3t(0<t<6)． (3)存在．过点P作PM⊥AC于点M.由(2)可知，AM＝AP＝t，∴QC＝AM，∴AQ＝CM. 当四边形PQP′C为菱形时，PC＝PQ，此时CM＝MQ，∴AQ＝CM＝MQ＝AC＝2 cm， 此时6－t＝2，解得t＝4，即当t＝4时，四边形PQP′C是菱形． 26．借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2） 如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． 解：理解发现∶ （1）如图①，由定义可知，∵为四边形的分角点，＝，∴，故答案为∶； （2）分角点在四边形的对角线上，理由如下∶如图①，，，∴∴点，，共线， ∴分角点在四边形的对角线上； （3）如图1，菱形有无数个分角点，理由如下∶∵四边形是菱形，∴．∴．∴∴．即．∴点是四边形的分角点，∵为BD上任意一点，∴菱形有无数个分角点， 尝试思考： （1）如图2（2）如图3，找出点A关于BD的对称点E，作射线CE，交BD于点T，则点T就是求作的图形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形第二节菱形的性质与判定》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.精准把握菱形定义：一组邻边相等的平行四边形，厘清菱形与平行四边形的从属关系，区分菱形、矩形、普通平行四边形概念边界，能从生活实物、几何图形中抽象出菱形模型。 2.能严谨证明菱形边、对角线专属性质；熟练掌握三类菱形判定定理，可根据题干条件，合理选择判定方法完成几何证明，规范书写演绎推理步骤。 3.熟知菱形轴对称（2条对称轴）、中心对称双重特征，结合对角线拆分出4个全等直角三角形、含60 ° 内角拆分出等边三角形，依托图形结构解决折叠、角度、线段最值问题。 4.灵活运用勾股定理结合菱形对角线求边长，熟练使用两种菱形面积公式计算，攻克含特殊角度的边长、对角线、面积综合运算题型，提升几何计算准确率。 ) 二．知识梳理 ( （一）菱形的定义 1. 菱形的定义 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 定义的核心理解 （ 1 ） 菱形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形。 （ 2 ） 菱形区别于一般平行四边形的特殊条件：一组邻边相等，这是判断菱形的基础依据。 （ 3 ） 从图形构成来看，菱形的四条边都具备相等的潜在特征，由平行四边形对边相等+一组邻边相等，可推导出菱形四条边均相等。 （ 二 ） 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质 外，还具有 以下 特殊性质 。 1 . 边的性质：菱形的四条边都相等；对边相互平行。 几何符号语言： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AB ‖ CD，AD ‖ BC。 2 ， 角的性质：菱形的对角相等，邻角互补，与平行四边形角的性质一致。 3 . 对角线性质：菱形的对角线互相平分且垂直；每一条对角线平分一组对角。 菱形邻边相等，对角线平分平行四边形，可拆分出等腰三角形，根据等腰三角形 “ 三线合一 ” ，可证对角线互相垂直且平分顶角。 几何符号语言： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC ⊥ BD，AC平分 ∠ BAD和 ∠ BCD，BD平分 ∠ ABC和 ∠ ADC。 4 . 对称性：菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点；也是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线。 5 . 面积公式： （ 1 ） 常规公式：面积 = 底 × 高 （ 2 ） 对角线公式：面积 = 两条对角线长度乘积的一半，即S= ab（a、b分别为两条对角线的长） 。 （ 三 ） 菱形的判定方法 1. 菱形的定义判定 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，定义是最基础的判定方法，可直接用于判定菱形。 2. 菱形的判定定理 （ 1 ） 判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ) ( 几何语言： ∵ 在平行四边形ABCD中，AC ⊥ BD， ∴ 平行四边形ABCD是菱形。 （ 2 ） 判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。 几何语言： ∵ 在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， ∴ 四边形ABCD是菱形。 3. 判定方法总结 （ 1 ） 定义法：平行四边形+一组邻边相等 （ 2 ） 定理法1：平行四边形+对角线互相垂直 （ 3 ） 定理法2：四边形+四条边都相等 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025贵阳云岩区九年级期末）菱形具有而一般平行四边形不具备的性质是（ ） A.对边互相平行 B.对角相等 C.四条边相等 D.对角线互相平分 2.如图,在菱形ABCD中,∠B=40°,点E在BC上,若AE=AC,则∠CAE=(　　) A.40°　　 B.50°　　 C.55°　　 D.65° 3.（2025贵阳南明区九年级期中）下列条件可以判定平行四边形为菱形的是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.有一个内角为直角 D.对角线互相平分 4.下图入口处进入，最后到达的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5.如图在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=16,BD=12,则菱形ABCD的周长(　) A.40　　 B.80　　 C.48　　 D.96 6.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.（2025山东青岛市北期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图，小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD,测得BD=16 cm,AC=12 cm,则此菱形的周长为 ( ) A.28 cm B.40 cm C.56 cm D.80 cm 8.（2025山西大学附中月考）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，其中点B 的坐标是(6，2),点D的坐标是(0,2),点A在x轴上,则点 C的坐标是 ( ) A.(3,2) B.(3,3) C.(3,4) D.(2,4) 9.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线BD的长是（ ） A． B． C．6 D．3 10．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是（　　） A．18 B．18 C．36 D．36 二．填空题（共30分） 11.（2025贵阳观山湖区期中）对角线互相垂直平分的四边形是______。 12.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD 于点 O.请添加一个条件： ，使四边形ABCD 成为菱形. 13.（2025花溪区期末）菱形对角线长为2，2，菱形面积为________。 14.如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号) 15.在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝_________. 16.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为________. 17.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为________. 18．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是_________. 19．如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为_________． 20．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    三．解答题（共60分） 21.如图在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由． 22.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB＝4，AD＝8，求△BMD的面积． 23.（2025云岩区期末）已知四边形ABCD，AB‖CD，AB=CD，AB=BC。 (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠BCD=120o，BC=4，求对角线BD长度。 24.如图,四边形ABCD 是菱形,∠ACD=30°,BD=6,求: (1)∠BAD 和∠ABC 的度数. (2)AB 和AC 的长. 25.如图四边形ABCD，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． 26.如图1，已知平行四边形ABCD中，BD平分∠CBA． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）如图2，E为边AB上一动点，连接CE，作CE的垂直平分线交CE于F，交DB于G，连接AG、EG， ①求证：△AGE为等腰三角形； ②若∠CBA＝60°，求的值． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图，在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段 AB 水平向右平移a(a<6)个单位长度得到线段EF，若四边形 ECDF 为菱形，则a的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　） A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，延长EO交BC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC+BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 6．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　） A．16 B．16 C．32 D．32 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B（﹣3，0）、C（2，0），则点D的坐标为（　　） A．（4，5） B．（5，4） C．（5，3） D．（4，3） 8.（2024 上海崇明模拟）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 9.（2025陕西启迪中学月考）如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,E 是线段 BD 上一动点(点E 不与点B、D 重合),当△ABE 是等腰三角形时,∠DAE 的度数为( ) A.30° B.70° C.30°或60° D.40°或 70° 10.(2024甘肃中考)如图1,动点 P 从菱形ABCD 的点A 出发,沿边 AB→BC 匀速运动，运动到点 C 时停止.设点 P 的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点 P 运动到BC 中点时，PO 的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.2 二．填空题（共30分） 11.（2026观山湖区二模）菱形ABCD，∠ABC=120o，对角线AC=6，则边长为_____。 12．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是：　 　． 13．将2026个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为2，则阴影部分的周长总和等于__. 14．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______. 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为_______. 16.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________． 17.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2， ∠A＝120°，则EF的长为________． 18.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为__________cm. 19．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为________. 20．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为____． 三．解答题（共60分） 21．如图，在菱形ABCD中，∠A＝72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数． 22．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE＝CF. (1)求证：△ABE≌△ADF. (2)过点C作CG∥EA，交AF于点H，交AD于点G.若∠BAE＝25°，∠BCD＝130°，求∠AHC的度数． 23．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD． （1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质： 性质1：　 　；性质2：　 　． （2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形． 24.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 25．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)． (1)直接写出线段AP，AQ的长： AP＝__2t__，AQ＝6－t(用含t的代数式表示)． (2)设△APQ 的面积为S，写出S与t的关系式． (3)如图②，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 26．借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2） 如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $