3.6 三元一次方程组及其解法-【绿卡初中创新题】2026-2027学年七年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦三元一次方程组的概念及解法，通过“数学史话”中的古代问题导入，引导学生列出含三个未知数的方程组，对比二元一次方程组，以旧知为支架构建新知学习脉络。 此资料亮点在于结合多例题（如营养餐配餐、三数和问题）渗透消元法与化归思想，培养学生运算能力和推理意识，联系生活实际问题发展模型意识和应用意识，帮助学生理解数学本质，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

*3.6 三元一次方程组及其解法 课题 三元一次方程组及其解法 课型 新授课 教学内容 教材第124-128页的内容 教学目标 1.了解三元一次方程组的概念. 2.会解简单的三元一次方程组. 3.通过探索解三元一次方程组的过程，进一步了解“消元”思想，体会“化未知为已知”的化归思想在数学中的应用. 4.能用三元一次方程组解决某些实际问题.并通过列方程组解决实际问题，培养学生应用数学的能力，体会数学与实际生活的联系. 教学重难点 教学重点：会用消元法解简单的三元一次方程组. 教学难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，导入课题 许多实际问题涉及的未知数往往不止两个，如本章“数学史话”--“方程”的由来. “方程”中的第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.” 按今天的算法，即设上、中、下等稻子（禾）每捆（秉）分别可出谷子（实）x，y，z（斗），于是得含三个未知数的方程组： 这个方程组和我们以前学过的二元一次方程组有什么区别呢？又怎样求出这个方程组的解呢？(提示课题：三元一次方程组及其解法) 2.观察探究，学习新知 【归纳总结】上面这种由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 【思考】解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢? 【师生活动】同学交流讨论，老师引导学生一起探究. 【教材例题】 例1 解方程组： x+y+2z=3, ① -2x-y+z=-3， ② x+2y-4z=-5. ③ 解：先用加减消元法消去x. ②+①×2，得 y+5z=3. ④ ③-①，得 y-6z=-8. ⑤ 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组. ④-⑤，得 11z=11， z=1. ⑥ 将⑥代入④，得 y=-2. 将y，z的值代入①，得x=3. 所以 x=3， y=-2， z=1. 例2 某营养餐应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含A，B，C三种食物.下表给出的是每份（50g）食物分别所含的铁、钙和维生素的量. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 （1）设配餐中A，B，C三种食物分别为x，y，z份，请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C的份数. 解：（1）设配餐中A，B，C三种食物分别为x，y，z份，由题意得 5x+5y+10z=35， ① 20x+10y+10z=70， ② 5x+15y+5z=35. ③ （2）由①得 x=7-y-2z. ④ 将④代入②③，得 y+3z=7， ⑤ 2y-z=0. ⑥ 解这个方程组，得 y=1， z=2. 将 y=1， z=2.代入④，得x=2. 所以 答：A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份. 例3 已知甲、乙两数之和为3，乙、丙两数之和为6，甲、丙两数之和为7，求这三个数. 解：设甲、乙、丙三数分别为x，y，z，由题意得 x+y=3， ① y+z=6， ② x+z=7. ③ ①+②+③，两边同除以2，得x+y+z=8. ④ ④-①得z=5， ④-②得x=2， ④-③得y=1. 答：甲、乙、丙三数分别为2，1，5. 【归纳总结】 解三元一次方程组的思路是通过消元，把方程组化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程. 解三元一次方程组的一般步骤： (1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数． (2)消元，得到一个二元一次方程组． (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值． (4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解. 3.学以致用，应用新知 考点 三元一次方程组的解法 例 解下列三元一次方程组： 解： 将①代入②③，消去x，得 解得 把x＝2，y＝3代入①，得z＝5。 所以原方程组的解为 变式训练 解方程组： 解： ①－②，得x＋2y＝11.④ ①＋③，得5x＋2y＝9.⑤ ④与⑤组成方程组 解得 把x＝－，y＝代入②，得z＝－. 所以原方程组的解是 4.随堂训练，巩固新知 1.下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　) A. B. C. D. 答案：D 2．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：D 3.解方程组则x＝_____，y＝______，z＝_______。 答案：6，8，3 4.某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？ 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km，y km和z km. 由题意，得解得 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km. 5.课堂小结，自我完善 (1)本节课学到了什么？ 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 解三元一次方程组的一般步骤： (1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数． (2)消元，得到一个二元一次方程组． (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值． (4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解. (2)你还有什么疑惑？ 6.布置作业 课本P128习题3.6第1-4题. 通过数学史书中的实例，引导学生列出方程组，体会生活中还存在比两个未知量还多的情况．与二元一次方程(组)比较，体会三元一次方程(组)的概念． 通过师生共同探究教材例题，了解三元一次方程组的解法--消元法. 通过例题讲解，巩固所学内容. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 板书设计 三元一次方程组及其解法 1.三元一次方程组的概念 2.解三元一次方程组的一般步骤 提纲掣领，重点突出. 教后反思 .本节课的内容属于选修学习的内容，主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用，在数学方法和思想方面需重点引导.通过引导，使学生明白解多元方程组的一般方法和思想，理解巩固环节需多注意多种解题方法的引导，并且比较各种解题方法之间的优劣，总结出解多元方程的基本方法. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $