第1章 有理数 单元测试培优卷 2026-2027学年湘教版七年级数学上册

**基本信息** 湘教版七年级上册《有理数》培优卷，以文化传承（如《九章算术》经分术）与现实应用（如密码加密、马拉松赛事）为情境，覆盖有理数核心知识，梯度设计适配单元复习，培养数学抽象、运算及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|相反数、绝对值、数轴等基础概念|第2题考查绝对值的相反数，第6题结合数轴判断代数式符号| |填空题|8题24分|绝对值性质、新定义运算|第15题引入高斯定义计算，第16题通过卡片排序强化数的大小比较| |解答题|8题66分|数轴与绝对值综合、实际应用|第19题结合数轴探究距离公式，第24题创设“除方”概念考查运算转化能力|

第1章《有理数》培优卷-2026-2027学年湘教版（新教材）数学七年级上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列四个数中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 2．|－2|的相反数为（　　） A．2 B．－2 C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（　　） A． B． C． D． 5．以下哪个选项的说法不准确(　　) A．属于负数、分数，同时也是有理数 B．0并非正数，也非负数，但属于整数 C．是负数和整数，然而并非有理数 D．0为正数与负数的界限 6．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是(　　) A．a-b>0 B．c-a<0 C．a+c>b D．|c|>a 7．下列说法正确的个数是（　　） ①如果两个数的和为0，则这两个数互为倒数；②绝对值是它本身的有理数是正数；③几个有理数相乘，积为负数时，负因数个数为奇数；④若a+b<0，则a<0，b<0；⑤若|a|=|b|，则a2=b2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（　　）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 9．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（　　） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 10．战争时期为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．已知有一种密码，将英文26个小写字母依次对应0，1，2…25，这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所是的余数作为密文中的字母对应的序号，例如：明文对应密文；明文对应密文．按上述规定，将明文“”译成密文后是（　　） 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共24分） 11．绝对值不大于3的所有整数的和为　 　. 12．如果“收入 元”记作“ 元”，那么“支出 元”记作　 　元． 13．数轴上点A表示的数为3，距离A有5个单位的点B对应的数为　 　． 14．若，，且，则的值为　 　． 15．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则　 　． 16．有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 的相反数 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是　 　． 17．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： (1)f(1)=0， f(2)=1， f(3)=2， f(4)=3，…f(10)=9， …； (2). 利用以上规律计算： 　 　 18．现有七个数-1，-2，-2，-4，-4，-8，-8，将它们填入图1(3个圆两两相交分成7个部分)中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，图2给出了一种填法，此时m=64，在所有的填法中，m的最大值为　 　． 三、解答题（共8题，共66分） 19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|； （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示-3和2两点之间的距离是　 　； （2）如果=3，求数； （3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值． 20．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： （1）正数：{ }； （2）负数：{ }； （3）整数：{ }； （4）分数：{ }． 21．河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）： ，，，，，，. （1）这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ （2）若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 22．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉.例如： （1）【初步体验】 根据上面的规律，把下列式子写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)： 　 　； （2）【拓广应用】 计算 的值； （3）计算 的值。 24．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 25．年月日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分信息． ．比赛共吸引了名选手参赛，比赛路线全长公里； ．组委会在沿途共设置个补给站，自公里起，每隔公里设置一个； ．组委会在起点、终点、处、处、处均设立固定医疗站．赛事沿途自公里起，至公里，每隔公里设置固定医疗站；自公里，每隔公里设置固定医疗站． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全如图补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）； 公里点 补给站 （2）下列说法中，所有合理说法的序号是______． ①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个； ②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里； ③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数量的两倍． 26．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： （1）M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； （2）①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； （3）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】0 12．【答案】-100 13．【答案】或8 14．【答案】或 15．【答案】1.1 16．【答案】 17．【答案】1 18．【答案】256 19．【答案】（1）3；5 （2）解：由（1）结论知：|x+1|＝3，解得＝2或-4，故值为2或-4 （3）解：|a+4|+|a-2|表示的是a点到-4和2的距离和， ∵a的点位于-4与2之间，∴a点到-4和2的距离和为6，故|a+4|+|a-2|＝6． 20．【答案】（1） （2） （3） （4） 21．【答案】（1）解：这位交警在最后一个路段行车里程最远为 （2）解： 答：这天下午汽车共耗油8.3升. 22．【答案】（1）=-68+19-24 =-49-24； =-73 （2）=-4×(-3)×(-3) =-36 （3）=36×+36×-36× =3+1-6 =-2 （4）=-4×(-9)+16÷(-8)-20 =36-2-20 =14 23．【答案】（1） （2） （3） 24．【答案】（1）；9； （2）；； （3） ． 25．【答案】（1）解：由表知，补给站的第一站的公里点是， ∵自公里起，每隔公里设置一个， ∴补给站的公里点是的整数倍时，需要设置补给站， ∴补全补给站的信息表如下： 公里点 补给站 （2）②③ 26．【答案】（1）；2；9 （2）G；或11 （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $