专题01 根据实际问题列代数式的五大类型（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦列代数式五大实际应用类型，通过分层题型构建从具体情境到代数表达的完整逻辑链，培养用数学语言表达现实世界的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字问题|9题（含选择、填空、规律探究）|考查数位表示与数字变换|基于数的组成原理，建立数字与代数式的对应关系| |和倍差问题|9题（含选择、应用）|强调数量间倍数与差量关系|通过实际数量描述抽象出代数表达式，强化符号意识| |百分率问题|9题（含经济应用）|涉及折扣、增长率等实际场景|结合百分率概念，构建经济问题的代数模型| |几何面积问题|8题（含图形拼接、面积计算）|需结合图形性质列代数式|运用几何直观，将图形关系转化为代数表达| |规律问题|9题（含数字、图形规律）|通过归纳推理抽象代数式|发展推理意识，从具体规律中提炼一般表达式|

专题1 根据实际问题列代数式的五大类型 题型一 列代数式中的数字问题 题型二 列代数式中的和倍差问题 题型三 列代数式中的百分率问题 题型四 列代数式中的几何面积问题 题型五 根据数字规律或图形规律列代数式 题型一：列代数式中的数字问题 1．D 2．D 3．B 4．A 5．561，583 6． 7．/5+211x 8．(1)十位和个位 (2)（答案不唯一） (3)． 【详解】（1）解：由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位， 故答案为：十位和个位． （2）． （3）． 9．(1)，7221； (2)，见解答过程． 【详解】（1） ， 故答案为：，7221； （2）， 右边， 故等式成立． 故答案为：． 题型二：列代数式中的和倍差问题 10．B 11．B 12．A 13．A 14．2413 8241 15． / 16． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：根据题意可得． 18．(1)； (2)； (3)元 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：根据题意可得； （3）解：根据题意可得售价是元． 题型三：列代数式中的百分率问题 19．D 20．B 21．D 22．D 23． 24． 25． 26．(1)每件商品加价了元，售价为元 (2)现售价为元，每件还能盈利元 【详解】（1）解：由题意得：每件商品加价了元， 每件商品的售价为元； 答：每件商品加价了元，售价为元； （2）解：由题意得：现售价为元； 每件还能盈利元． 27．任务1：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱 任务2： 任务3：选择活动二更加优惠，理由： ∵清风牌纸巾已有存货1袋， ∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾． 参加活动一：返券情况， ①满200元送60元券：（元）， 还需支付（元）， 实付（元）． ②满300元送90元券：（元），，无需再支付，实付300（元）． 参加活动二：当时，（元）． ∵， ∴选择活动二更加优惠． 【详解】解：（1）任务1 解：（包）， （袋）； （包）， （箱）， 答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱； （2）任务2 清风纸巾（元）， 4D纸巾，元， 故答案为：； （3）任务3 略 题型四：列代数式中的几何面积问题 28．D 29．D 30．D 31．C 32．①③ 33． 34．(1) (2)举例1：∵，， ∴； 举例2：∵，， ∴； ∴任意两个数的平方差都具有这样的特征． (3)， (4)4051 【详解】（1）解：∵方法一图中的涂色部分是边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积， ∴， ∵方法二图中的涂色部分为长为，宽为的一个长方形的面积， ∴； ∴． （2）略 （3）解：如图所示： 图1中的涂色部分面积为，图2中的涂色部分面积为， ∵图1与图2中的涂色部分面积相等， ∴， ∴如果和表示两个数，这样的规律可以表示为． （4）解：． 35．(1)，图见详解； (2)． 【详解】（1）解：次卧的实际宽度是，图纸上的宽度是， 比例尺为：； 次卧的实际长度为， 次卧的在图纸上的长度为：， 客厅的实际长度为， 客厅的在图纸上的长度为：， 厨房的实际长度为， 厨房的在图纸上的长度为：， 依据上述数据补全图形如图所示： （2）依题意得：图纸上房屋的面积为：， ，， ， 该房屋的实际面积为：， 答：该房屋的实际面积为． 题型五：根据数字规律或图形规律列代数式 36．B 37．A 38．B 39．C 40．D 41．12 42．66 43． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1根据实际问题列代数式的五大类型 题型归纳 题型一列代数式中的数字问题 题型二列代数式中的和倍差问题 题型三列代数式中的百分率问题 题型四列代数式中的几何面积问题 题型五根据数字规律或图形规律列代数式 题型专练 题型一：列代数式中的数字问题 1.一个两位数，十位数字是，个位数字比十位数字小1，则这个两位数是() A.10(m-1)+mB.m-1+m C.(m-1)m D.10m+(m-1) 2.一个三位数，百位上的数是a,十位上的数是b,个位上的数是C,如果把十位上的数与个位上的数对 调，所得的三位数是() A.acb B.100a+cb C.100a+10b+cD.100a+10c+b 3.有一个两位数，十位数字为，个位数字为b,将其十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到一个 新的两位数，那么原来两位数十位上的数字与个位上的数字和与这个新两位数的积用代数式表示为() A.ba(a+b) B.(a+b)(10b+a)C.(a+b)(10a+b)D.(a+b)(b+a) 4.一个两位数，十位数字是a,十位数字比个位数字小2，这个两位数是() A.10a+(a+2）B.10a-(a+2） c.a(a+2) D.10a(a+2) 5,一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“如意数”，如572 的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，则572是“如意数”.若一个“如意数”为奇数，且十位 数字比个位数字大5，则所有符合条件的“如意数”为 6.一个两位数，十位上的数字是m,个位上的数字比十位上的数字少1，则这个两位数可以表示为 一；若在这个两位数的十位数字与个位数字中间加个“0”，得到一个三位数，则这个三位数可以表 示为 119 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.一个三位数，它的十位数字是x,个位数字比十位数字多5，百位数字是十位数字的2倍，则这三位数 用含x的式子表示为 8.计算两个两位数（十位上的数字大于2）的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于 10.例如： 53×57=3021,38×32=1216,84×86=7224.71×79=5609 (1)发现：上面每两个两位数的积都是由两位数的十位数字乘十位数字加一的积作为千位和百位，个位数字 相乘的积作为， (2)请写出一个符合上述规律的算式： (3)设其中一个数的十位数字为(a>2),个位数字为b,请用含a,b的式子表示这个规律. 9.“速算”指利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算.如：十位数字相同，个位数字的和 为10的两个两位数相乘时，它的“速算”方法是：用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的 结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积。 如：24×26=100×2×3+24=624：48×42=100×4×5+16=2016 (1)仿照上面的方法，写出计算87×83的“速算”过程与结果：87×83= (2)为说明两位数相乘“速算”方法的正确性，同学们进行了不同层次的思考：若两个两位数的个位数字分 别是1和9，十位数字为a,用含a的式子表示上述“速算”的过程为(10a十10a+9)=一，并说明等 式的正确性。 题型二：列代数式中的和倍差问题 10.比x的2倍小5的数是() A.2x+5 B.2x-5 C.5-2x D.2(x-5) 11.如果长方体的长、宽都扩大3倍，则它的体积扩大()倍. A.3 B.9 C.6 D.27 12.用代数式表示：“a的相反数与b的3倍的差”，结果正确的是() A.-a-3b B.-a+3b c.-(a-3b) D.3(-a-b) 13.下列能够表示比x的2倍多8的代数式为() A.2x+8 .+8 C.2-8 D.x-8) 14.一个四位自然数，各位上的数字各不相同，若它的千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 字大1，则称m为“倍差数”·例如：最小的“倍差数”为一；将“倍差数”m千位数字与个位数字 之和记为5，百位数字与十位数字之和记为，当m能被3整除，且，2时，满足条件的m的值为 15.填空： (1)x的3倍与5的和是 (2)a与b的差的平方是 2 (3)m的一半与n的3的和是 (4)某商品原价为卫元，打8折后的售价是 元. 16.b的15倍的相反数与2的和用代数式表示为 17.根据下列语句列代数式： (1b的3倍的相反数： (2)比a与b的积的2倍小5的数. 18.根据下列语句列代数式： (1b的3倍的相反数： (2)比a与b的积的2倍小5的数： (3)一件商品原价为a元，现按原价的九折销售，则售价是多少元？ 题型三：列代数式中的百分率问题 19.我校现有学生x人，预计明年将增加15%，则我校明年的学生人数为() x A.1+15% B.1-15% C.(1-15%)x D.(1+15%)x 20.为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄m元存入学校合作银行，定期年，年利率为2.8%. 到期后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为() A.m+2.8%tB.m×(1+2.8%1)C.m+2.8%m+1 D.m×(2.8%+) 21.一件商品进价a元，按进价提高20%标价，再打八折销售，则售价为() A.0.12a元 B.0.16a元 c.0.8a元 D.0.96a元 22.某中学七年级学生人数为x,八年级比七年级多10%，九年级比八年级少10%，则该中学的学生总人 数为() 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x+(x+10%)x+(x-10%) B.x+(1+10%)1-10%)x C.x+(1+10%)x+(1-10%)x D.x+(1+10%)x+(1+10%)1-10%)x 23.近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为m元，现打八五折，再让利P元，那么该平板现在的 售价为元 24.某精品手办打八折销售，己知原价为300元/件，则小明购买m件该商品需要 元 25.苹果原价是a元/kg,现在按九折优惠出售，打折后苹果的售价为 元/kg 26.一种商品每件进价a元，商家在进价的基础上增加20%定为售价.回答下列问题： (1)每件商品加价了多少元？售价为多少元？ (2)现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 27.国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探 索完成任务. 揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封 素材 顶，送的券当天有效，一次性用完 度道 1 活动二：所有商品打8折. 欧价送形 注：两种活动不能同时参加. 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价），1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋 1箱4D溶纸巾共12包，超市标价60元/箱 素材 2 H102012 12 盟 2。 40元/袋 60元/箱 素材 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存 货，4D溶纸巾存货不清楚 问题解决 任务 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？ 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任务 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用 为多少元？（用含x的代数式表示）· 任务 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过 3 程 题型四：列代数式中的几何面积问题 28.如图，用16m长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为m.那 么窗框的面积是() A.x(16-3-x)m B.x16-x)m2 C.x(8-3x)m2 。8m 29.将长为23cm、宽为l0cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm,50张 白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 23 10 2 A.1150cm B.954cm C.1050cm D.1052cm 30.如图，阴影部分的面积是() b a A.ab- 2 B.ab-tb2 2 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.ab-al2) 31.如图，大长方形的长为，宽为b,从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多 种方法表示.下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是() b A.ab-(b-1)(a-1) B.1(a-1)+bt c.t(a-)+b(a-) D.2[a-0+a]4+[6-0+b]4 32.下列各式中，可以表示图中正方形ABCD的面积的是 (填所有正确结论的序号)· ①(x+a)x+a；②x2+a2；③(x+a)a+(x+ax. 33.如图，在长方形ABCD中，点E在AB边上，分别以AE,BE为边作正方形AEMK和正方形EBGN.点 P,Q在CD边上，以PO为边作正方形FHPO.记正方形AEM的面积为S,正方形FHPO面积为S.若 阴影部分的面积为m,BC-AB=n,则S+S的值为一.（用含m,n的代数式表示） K D S E M B G 34.本学期在数学广角单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙地解决有关数的 问题，比如聪聪在算52-3这个数的计算问题时，就借用形来思考. 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法1： 方法2： 5 5 3 S涂色=52-32 S涂色=(5+3)×(5-3) (1)他发现52-32= (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你 的发现 举例1： 举例2： (3)如果a和b表示两个数(a>b),这样的规律可以表示为-b=( (4)根据以上结论计算：20262-20252= 35.项目学习 小明在学习了“比例的世界”之后，利用课余时间绘制自己居住房子的平面示意图如下 主题 绘制居住房平面示意图 测量工具 卷尺、铅笔、橡皮、绘图纸 北 个 6 3 书房 1.5 a 主卧 卫生间下1 测量数据及部分测量示意图 2 次卧 客厅 厨房 6 习单位：cm 在一个长方形图纸中绘制出自己居住房的平面示意图， 图中下半部分从西向东分别是次卧、客厅、厨房，其宽 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度是4m,长分别为4m,6m,2m.(忽略墙体占地面 积) 请根据以上测量数据，回答下列问题： (1)计算比例尺，补全示意图： (2)测量图纸得到a=1.5cm,b=1.8cm,计算房屋的面积. 题型五：根据数字规律或图形规律列代数式 36.按一定规律排列的代数式：2a-b,4a2+b,6a3-b,8a4+b,10a-b,,则第n个代数式是 () A.2na"±b B.2na”+(-1)"b C.2”a+(-1)b D.2na”+(-1)+b 37.如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个 图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是( 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 A.44 B.49 C.54 D.59 38.喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块 摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中 含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是() 第一幅图 第二幅图 第三幅图 A.54 B.64 C.72 D.80 39./规律探索/如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成.第1个图案中有10 根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒… 依此规律，第n个图案中小木棒的根数（用含n的代数式表示）为() 第1个 第2个 第3个 第4个 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3n B.3n+4 C.8n+2 D.8n 40.如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第1个图形中有6个等边三角形，第2个图 形中有10个等边三角形，第3个图形中有14个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第10个图形中等边 三角形的个数是() 4 4 △△ △ △ △ 4 图1 图2 图3 A.36 B.38 C.39 D.42 41.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物.如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中 灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1个图形中有4个氢原子，第2个图形中有6个氢原子，第3个图 形中有8个氢原子，…，依此规律，第5个图形中有 个氢原子 第1个图形 第2个图形 第3个图形 42.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式(+b)的展开式的 各项系数，此三角形称为“杨辉三角”· (a+b)0 1 (a+b)' 。……………。 11 (a+b)2 121 (a+b)3 …1331 (a+b)4 …14641 (a+b)5…15101051 根据“杨辉三角”请计算(a+b)'的展开式中从左起第三项的系数为 43。观察下列一组代数式：分，分，-分，，，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 919 专题1 根据实际问题列代数式的五大类型 题型一 列代数式中的数字问题 题型二 列代数式中的和倍差问题 题型三 列代数式中的百分率问题 题型四 列代数式中的几何面积问题 题型五 根据数字规律或图形规律列代数式 题型一：列代数式中的数字问题 1．一个两位数，十位数字是m，个位数字比十位数字小1，则这个两位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式．根据题意可得：个位数字为，从而得到这个两位数可表示为 【详解】解：∵十位数字是m，个位数字比十位数字小1， ∴个位数字为， ∴这个两位数可表示为 ． 故选：D． 2．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的三位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，百位上的数乘以得到实际数的大小，十位上的数乘以得到实际数的大小，个位上的数乘以得到实际数的大小，即可表示出这个三位数． 【详解】解：一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的三位数是， 故选：D． 3．有一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到一个新的两位数，那么原来两位数十位上的数字与个位上的数字和与这个新两位数的积用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列与数字有关的代数式，该题的易错点是：新两位数的表示及原来两位数的数字之和的表示，表示错误容易引起列式错误． 原来两位数表示为，所以新两位数应表示为，原来两位数十位上的数字与个位上的数字和为，所以可列代数式为． 【详解】解：原来两位数十位上的数字与个位上的数字和为，新两位数应表示为， 所以可列代数式为． 故选：B． 4．一个两位数，十位数字是，十位数字比个位数字小2，这个两位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是，两位数的表示方法：十位数字×10+个位数字，要求掌握该方法．两位数为：十位数字个位数字，进而得出答案． 【详解】解：∵一个两位数，十位数字是a，十位数字比个位数字小2， ∴这个两位数是：． 故选：A． 5．一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“如意数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，则572是“如意数”．若一个“如意数”为奇数，且十位数字比个位数字大5，则所有符合条件的“如意数”为________． 【答案】561，583 【分析】本题考查了代数式，理解题意并列出式子是解题的关键． 设百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据“如意数”的定义解题即可． 【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为， 由题意知，， ∴， ∵该数为奇数， ∴或或或或， 代入解得或（的值舍去）， ∴该数为或． 故答案为：、． 6．一个两位数，十位上的数字是m，个位上的数字比十位上的数字少1，则这个两位数可以表示为_______；若在这个两位数的十位数字与个位数字中间加个“0”，得到一个三位数，则这个三位数可以表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，要注意数的表示，十位上的数字要乘10，百位上的数字要乘100．根据题意先表示出个位数的数字为，再根据数的表示列式整理即可得解． 【详解】解：∵一个两位数，十位上的数字是m，个位上的数字比十位上的数字少1， ∴个位数的数字为， 则这个两位数为． ∵在这个两位数的十位数字与个位数字中间加个“0”，得到一个三位数， ∴这个三位数为． 故答案为：，． 7．一个三位数，它的十位数字是x，个位数字比十位数字多5，百位数字是十位数字的2倍，则这三位数用含x的式子表示为________． 【答案】/5+211x 【分析】先分别表示出各个数位上的数字，再根据数的表示列式整理出即可． 【详解】由题意得，这个三位数它的个位数字是 ，十位数字是x，百位数字是，则 故答案为： ． 8．计算两个两位数（十位上的数字大于2）的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．例如： ． (1)发现：上面每两个两位数的积都是由两位数的十位数字乘十位数字加一的积作为千位和百位，个位数字相乘的积作为____________； (2)请写出一个符合上述规律的算式：____________； (3)设其中一个数的十位数字为，个位数字为b，请用含a，b的式子表示这个规律． 【答案】(1)十位和个位 (2)（答案不唯一） (3)． 【分析】本题主要考查的是规律的发现与整理，属于基础题型．找出一般性的规律是解决这个问题的关键．（1）根据题意得出其一般性的规律，从而得出答案； （2）模仿示例即可写出符合规律的算式即可； （3）利用代数式表示出其一般规律得出答案． 【详解】（1）解：由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位， 故答案为：十位和个位． （2）． （3）． 9．“速算”指利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算．如：十位数字相同，个位数字的和为10的两个两位数相乘时，它的“速算”方法是：用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积． 如：． (1)仿照上面的方法，写出计算的“速算”过程与结果： ______＝______； (2)为说明两位数相乘“速算”方法的正确性，同学们进行了不同层次的思考：若两个两位数的个位数字分别是1和9，十位数字为a，用含a的式子表示上述“速算”的过程为______，并说明等式的正确性． 【答案】(1)，7221； (2)，见解答过程． 【分析】（1）利用所给的方法进行求解即可； （2）列出相应的代数式，把式子进行整理即可求证． 【详解】（1） ， 故答案为：，7221； （2）， 右边， 故等式成立． 故答案为：． 题型二：列代数式中的和倍差问题 10．比的倍小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倍为，比小的数为． 11．如果长方体的长、宽都扩大3倍，则它的体积扩大（   ）倍． A．3 B．9 C．6 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，列代数式，解题的关键是熟练掌握长方体的体积公式． 根据长方体的体积公式分别列出放大前的长方体体积和放大后的长方体体积，即可求解． 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则体积为，长、宽都扩大为原来3倍后变为、，体积为， 因此它的体积扩大为原来的9倍， 故选：B． 12．用代数式表示： “ 的相反数与 的 3 倍的差”，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 【详解】解：的相反数可表示为，的3倍可以表示为，所以的相反数与的三倍的差可表示为． 故答案选：A． 13．下列能够表示比x的倍多8的代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是列代数式，先表示的倍为，再表示比其多8即可，理解代数式中的运算顺序是解本题的关键． 【详解】解：比x的倍多8的代数式为． 故选：A． 14．一个四位自然数m，各位上的数字各不相同，若它的千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字大1，则称m为“倍差数”．例如：最小的“倍差数”为______；将“倍差数”m千位数字与个位数字之和记为s，百位数字与十位数字之和记为t，当m能被3整除，且时，满足条件的m的值为______． 【答案】 2413 8241 【分析】本题考查了用代数式表示数字，根据未知数的范围推算最小值，根据整除的性质将代数式转化为较小的系数进而分析是解题的关键．设个位数字为x，十位数字为y，再表示出千位数字为，百位数字为，进而用代数式表示出m；根据s与t，之间的关系，推算出y与x之间的关系，利用x表示出m，再根据整除的性质求解即可． 【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y， ∵它的千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字大1， ∴千位数字为，百位数字为， ∴， ∵， ∴当时，m最小，为2110，但有相同数字，不合题意， ∴，，此时；； ∵“倍差数”m千位数字与个位数字之和记为s，百位数字与十位数字之和记为t， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∵m能被3整除， ∴能被3整除， ∴或4或7， 当或7时，y不合题意， ∴， ∴， 故答案为：2413，8241． 15．填空： （1）x 的 3 倍与 5 的和是_________； （2）a 与 b 的差的平方是_________； （3）m 的一半与 n 的 的和是_________； （4）某商品原价为 p 元，打 8 折后的售价是_________元． 【答案】 / 【详解】对于文字描述转化为代数式的问题，先明确每个描述对应的运算：“倍”对应乘法，“和”对应加法，“差”对应减法，“平方”对应乘方运算，“打折”对应按比例乘法． 处理运算顺序相关表述时，如果描述是“某两个数的差/和的平方”，那么先算差/和，再对结果做乘方，需要用括号明确运算优先级． 处理分数、比例类表述时，“m的一半”对应m乘以，“打8折”对应原价乘以0.8或，按对应比例写出乘法表达式后，再按描述组合加法即可． 【分析】解：（1）x的3倍即为，再与5相加（和），可得，故填； （2）a与b的差为，其平方需对整体进行乘方，即，注意不要误写为，故填； （3）m的一半为，n的为（即），两者求和，可得，故填； （4）打8折即售价为原价的（或），原价为p元，所以售价为元（也可写作元），故填（或）元． 16．b的倍的相反数与2的和用代数式表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示式子． 先求出b的倍的相反数，再加2即可． 【详解】解：b的倍为，其相反数为， ∴b的倍的相反数与2的和用代数式表示为， 故答案为：． 17．根据下列语句列代数式： (1)b的倍的相反数； (2)比a与b的积的2倍小5的数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列代数式，解答此类题正确分析数量关系，理清顺序，列出相应的代数式，同时要求学生注意代数式的书写格式：数字与字母或字母与字母相乘时，乘号省略，且数字要写在字母的前面；除法要写成分数形式；后面有单位，代数式为加减运算的一定要将代数式加上括号，且在后面带上单位等． （1）先求出的倍，再求出它们的相反数； （2）先求出与的积的2倍，再减去5． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：根据题意可得． 18．根据下列语句列代数式： (1)b的倍的相反数； (2)比a与b的积的2倍小5的数； (3)一件商品原价为a元，现按原价的九折销售，则售价是多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)元 【分析】此题考查了列代数式，解答此类题正确分析数量关系，理清顺序，列出相应的代数式，同时要求学生注意代数式的书写格式：数字与字母或字母与字母相乘时，乘号省略，且数字要写在字母的前面；除法要写成分数形式；后面有单位，代数式为加减运算的一定要将代数式加上括号，且在后面带上单位等． （1）先求出的倍，再求出它们的相反数； （2）先求出与的积的2倍，再减去5； （3）根据题意可得售价为元． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：根据题意可得； （3）解：根据题意可得售价是元． 题型三：列代数式中的百分率问题 19．我校现有学生人，预计明年将增加，则我校明年的学生人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，根据题意列式即可． 【详解】解：现有学生人数为，明年人数比现有增加， 增加的学生人数为， 明年学生人数为 ． 20．为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄元存入学校合作银行，定期年，年利率为．到期后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用利息本金利率期数，进而可得到本息表示为，化简即可． 【详解】解：由题意可知，利息表示为， 则本息表示为， 即投入金额表示为． 21．一件商品进价a元，按进价提高标价，再打八折销售，则售价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】先求出提高后的标价，再计算打八折后的售价即可． 【详解】解：∵商品进价为元，按进价提高标价， ∴标价为（元）， ∵再打八折销售，打八折即按标价的销售， ∴售价为（元）． 22．某中学七年级学生人数为，八年级比七年级多，九年级比八年级少，则该中学的学生总人数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】解：由题意得，八年级学生人数为， ∴九年级学生人数为， ∴该中学的学生总人数为． 23．近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 【答案】 【分析】根据题意，先计算打八五折后的价格，再减去让利的元，即可得到该平板现在的售价． 【详解】解：原售价为元，打八五折即按原售价的出售， 故打八五折后的价格为元. 再让利元，即从打折后的价格中减去元， 故现在的售价为元． 24．某精品手办打八折销售，已知原价为300元/件，则小明购买件该商品需要__________元． 【答案】 【详解】解：每件手办现价为（元），购买件，总价为（元）． 25．苹果原价是元/，现在按九折优惠出售，打折后苹果的售价为__________元/． 【答案】 【详解】解：打折后售价为元． 26．一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： (1)每件商品加价了多少元？售价为多少元？ (2)现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 【答案】(1)每件商品加价了元，售价为元 (2)现售价为元，每件还能盈利元 【分析】本题考查了列代数式． （1）每件商品加价了元，每件商品的售价为元； （2）由题意得：现售价为元；每件还能盈利元； 【详解】（1）解：由题意得：每件商品加价了元， 每件商品的售价为元； 答：每件商品加价了元，售价为元； （2）解：由题意得：现售价为元； 每件还能盈利元． 27．国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务． 揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠 素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加．    素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋 1箱4D溶纸巾共12包，超市标价60元/箱    素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． 问题解决 任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？ 任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为多少元？（用含x的代数式表示）． 任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程． 【答案】任务1：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱 任务2： 任务3：选择活动二更加优惠，理由： ∵清风牌纸巾已有存货1袋， ∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾． 参加活动一：返券情况， ①满200元送60元券：（元）， 还需支付（元）， 实付（元）． ②满300元送90元券：（元），，无需再支付，实付300（元）． 参加活动二：当时，（元）． ∵， ∴选择活动二更加优惠． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，方案选择，解题的关键是理解题意． 任务1：根据题意，列出算式进行计算即可； 任务2：根据题意，列出代数式即可； 任务3：根据题意，算出两种活动价格，最后进行比较即可． 【详解】解：（1）任务1 解：（包）， （袋）； （包）， （箱）， 答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱； （2）任务2 清风纸巾（元）， 4D纸巾，元， 故答案为：； （3）任务3 略 题型四：列代数式中的几何面积问题 28．如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察窗框可知，共有3根横档，每根横档长为，因此所有横档总长度为， 剩余木料是2根竖直边框，总长度为， 因此单根竖直边框长度为， ∴窗框的面积是． 29．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：50张白纸会有49个间隔，故粘合后长度会减少，则总长度为． 30．如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白半圆的面积． 长方形的长为，宽为，空白半圆的直径为． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为 ， ∴长方形的面积为 ． ∵空白部分是一个半圆，且直径为， ∴半圆的半径为 ∴半圆的面积为， ∴阴影部分的面积为． 31．如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用大长方形面积减去长方形面积表示该阴影部分面积为， A选项表达式正确，不符合题意； 如图①，用上半部分的长方形面积加下半部分长方形的面积表示该阴影部分面积为，B选项表达式正确，不符合题意；C选项表达式错误，符合题意； 如图②，用两个梯形的面积表示该阴影部分面积为， D选项表达式正确，不符合题意． 32．下列各式中，可以表示图中正方形的面积的是________（填所有正确结论的序号）． ①；②；③． 【答案】①③ 【分析】根据图形确定正方形的边长，利用正方形面积公式直接计算，或利用割补法将正方形分割为两个长方形计算面积，进而判断各选项是否正确． 【详解】解：由图可知，正方形的边长为． 根据正方形面积公式，面积，故①正确． 表示两个小正方形的面积和，而非正方形的面积，故②错误． 可以将正方形分割为上下两个长方形，上方长方形的长为，宽为，面积为；下方长方形的长为，宽为，面积为；总面积为两者之和，即，故③正确． 综上所述，可以表示图中正方形面积的是①③． 33．如图，在长方形中，点在边上，分别以为边作正方形和正方形．点在边上，以为边作正方形．记正方形的面积为，正方形面积为．若阴影部分的面积为，，则的值为____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了代数式，设，，先表示和的面积，再得到，结合阴影部分的面积为得出结论． 【详解】解：如图所示， 设，， 则，， ，，四边形是长方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， ， 即， ． 34．本学期在数学广角单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙地解决有关数的问题，比如聪聪在算这个数的计算问题时，就借用形来思考． (1)他发现___________． (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你的发现． 举例1：                               举例2： (3)如果和表示两个数，这样的规律可以表示为 (4)根据以上结论计算：___________ 【答案】(1) (2)举例1：∵，， ∴； 举例2：∵，， ∴； ∴任意两个数的平方差都具有这样的特征． (3)， (4)4051 【分析】（1）通过计算两个算式的结果，即可得出结论； （2）举出两个算式的例子再计算出结果，即可归纳得出结论； （3）结合题干中给出的图，用字母标出边长，通过涂色部分的面积即可得出结论； （4）利用（3）的结论，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵方法一图中的涂色部分是边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积， ∴， ∵方法二图中的涂色部分为长为，宽为的一个长方形的面积， ∴； ∴． （2）略 （3）解：如图所示： 图1中的涂色部分面积为，图2中的涂色部分面积为， ∵图1与图2中的涂色部分面积相等， ∴， ∴如果和表示两个数，这样的规律可以表示为． （4）解：． 35．项目学习 小明在学习了“比例的世界”之后，利用课余时间绘制自己居住房子的平面示意图如下． 主题 绘制居住房平面示意图 测量工具 卷尺、铅笔、橡皮、绘图纸 测量数据及部分测量示意图 在一个长方形图纸中绘制出自己居住房的平面示意图，图中下半部分从西向东分别是次卧、客厅、厨房，其宽度是，长分别为，，．（忽略墙体占地面积） 请根据以上测量数据，回答下列问题： (1)计算比例尺，补全示意图； (2)测量图纸得到，，计算房屋的面积． 【答案】(1)，图见详解； (2)． 【分析】此题主要考查了比例尺，列代数式，代数式求值，准确识图，熟练掌握比例尺的定义，有理数的运算，列代数式，求代数式的值是解决问题的关键． （1）根据次卧的实际宽度是，图纸上的宽度是得比例尺为，再根据次卧，客厅，厨房的实际长度计算出次卧，客厅，厨房在图纸上的长度，然后补全图形即可； （2）先求出图纸上房屋的面积为，将，代入计算出该房屋图纸上的面积，由此即可得出该房屋的实际面积． 【详解】（1）解：次卧的实际宽度是，图纸上的宽度是， 比例尺为：； 次卧的实际长度为， 次卧的在图纸上的长度为：， 客厅的实际长度为， 客厅的在图纸上的长度为：， 厨房的实际长度为， 厨房的在图纸上的长度为：， 依据上述数据补全图形如图所示： （2）依题意得：图纸上房屋的面积为：， ，， ， 该房屋的实际面积为：， 答：该房屋的实际面积为． 题型五：根据数字规律或图形规律列代数式 36．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 37．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】A 【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n个图案的木棍数的规律． 【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是， 当时，木棍根数为． 38．喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 【答案】B 【分析】先确定当图中含有20个灰色小方块时是第几幅图，再结合图中规律求解即可． 【详解】解：由图形规律可知，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个，第三幅图中有6个，依次类推，第n幅图中有个灰色小方块， ∴当含有20个灰色小方块时是第十幅图， 第一幅图中的白色小方块的个数是个； 第二幅图中的白色小方块的个数是个； 第三幅图中的白色小方块的个数是个； …… 第n幅图中的白色小方块的个数是， ∴第十幅图中的白色小方块的个数是， 故选：B． 39．/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图形，得到后一个图形比前一个图形多8根小木棒，列出代数式即可． 【详解】解：第1个图案中小木棒的根数为； 第2个图案中小木棒的根数为； 第3个图案中小木棒的根数为 依此规律，第个图案中小木棒的根数为． 40．如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据前几个图形中等边三角形个数，得到变化规律为：第个图形中有个等边三角形，当时，计算即可求解． 【详解】解：第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 当时， 有个等边三角形． 41．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1个图形中有4个氢原子，第2个图形中有6个氢原子，第3个图形中有8个氢原子，…，依此规律，第5个图形中有________________个氢原子． 【答案】12 【分析】观察前三个图形中氢原子的个数，发现后一个图形比前一个图形多2个氢原子，归纳出第n个图形中氢原子个数的代数式，将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，第1个图形中有个氢原子， 第2个图形中有个氢原子， 第3个图形中有个氢原子， ⋯⋯ 由此规律可得，第n个图形中有个氢原子， 当时，氢原子的个数为． 42．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． 43．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 【答案】 【分析】观察代数式可得分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为，由此即可得出结果． 【详解】解：分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为． ∴可表示为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $