1.2.1 有理数的概念 暑假预习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学有理数概念暑假预习同步练，以三阶分层设计（基础铺垫-巩固应用-拓展挑战）构建从概念抽象到综合探究的知识路径，强化抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础铺垫|有理数定义、分类等核心概念关键词|填空+例题示范，引导自主预习（如定义形式、整数分数分类）| |基础巩固|单一知识点辨析与简单应用|选择填空结合，聚焦基础考点（如负分数识别、0的特殊性）| |分层提升|A层：集合归类；B层：概念关系推理；C层：综合探究|A层强化分类能力，B层通过判断改错深化理解（如自然数与整数关系），C层开放题培养创新意识（如m+n=0的有理数举例）|

有理数的概念——暑假预习分层练习 一、知识点填空（自主预习，填写关键词） 1. 有理数的定义：可以写成（　）形式的数称为有理数。整数和（　）统称有理数。 2. 整数的分类：（　）、（　）、（　）统称为整数。其中（　）和（　）统称为自然数。 3. 分数的分类：（　）和（　）统称为分数。 4. 有理数的两种分类方法： （1）按数的类型分：有理数分为（　）和（　）。 （2）按正负性分：有理数分为（　）、（　）和（　）。 5. 0的特殊性：0（　）正数，（　）负数（填"是"或"不是"）。0是（　）和（　）的分界点。 6. 小数与有理数的关系：（　）小数和（　）循环小数都可以化为分数，因此它们也是有理数。（　）不循环小数（如π）不能化成分数，因此（　）有理数（填"是"或"不是"）。 7. 判断一个数是不是有理数的标准是：能否写成（　）的形式。 二、基础例题（先看后练） 【例题1】判断下列各数哪些是有理数： 3，-5，0，，，0.6，-2.5，π，0.333…， 解： 3（整数，是有理数） -5（负整数，是有理数） 0（是有理数） （正分数，是有理数） （负分数，是有理数） 0.6（有限小数可化分数，是有理数） -2.5（有限小数可化分数，是有理数） π（无限不循环小数，不是有理数） 0.333…（无限循环小数可化分数，是有理数） （无限不循环小数，不是有理数） 所以有理数有：3，-5，0，，，0.6，-2.5，0.333… 【例题2】将下列各数填入相应的集合中： -8，3.5，，0，2026，-0.01，π， （1）正数集合：{　　　　　　　　} （2）负数集合：{　　　　　　　　} （3）整数集合：{　　　　　　　　} （4）分数集合：{　　　　　　　　} （5）有理数集合：{　　　　　　　} 解： 正数集合：{3.5，2026，}（π不是有理数，但如果是正数集合可填，但题目通常要求有理数集合，所以此处按有理数填） 注意：如果集合要求“有理数”，则π不填入。这里按常规只填有理数。 负数集合：{-8，，-0.01} 整数集合：{-8，0，2026} 分数集合：{3.5，，-0.01，}（3.5是小数可化分数，-0.01也是） 有理数集合：{-8，3.5，，0，2026，-0.01，}（π不填入） 【例题3】判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）正整数和负整数统称为整数。 （2）0不是有理数。 （3）有限小数都是有理数。 （4）一个数如果不是正数，就一定是负数。 解： （1）错误。整数包括正整数、0和负整数，漏掉了0。 （2）错误。0是有理数（整数）。 （3）正确。有限小数可以化为分数，所以是有理数。 （4）错误。一个数如果不是正数，还可能是0或负数，0既不是正数也不是负数。 【例题4】将下列小数化成分数，并说明它们是否为有理数： （1）0.25　　（2）-0.6　　（3）0.333… 解： （1）0.25 = = ，是有理数。 （2）-0.6 = = ，是有理数。 （3）0.333… = ，是有理数（无限循环小数可化分数）。 三、基本训练（必做） 一、选择题 1. 下列各数中，是有理数的是（　） A.π　 B. 　 C. 0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）　　D. - 2. 在 -3，+2.7，0，-0.8，15，- 中，负分数共有（　） A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 3. 下列结论中正确的是（　） A. 0既是正数，也是负数　　B. 0是最小的正数 C. 0是最大的负数　　D. 0既不是正数，也不是负数 4. 下列说法错误的是（　） A. 整数和分数统称有理数　　B. 0是有理数 C. 无限小数都是无理数　　D. 负整数和负分数统称负有理数 5. 下列各数中，不是有理数的是（　） A. -3.14　B. 0　C. 　　D. 1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0） 二、填空题 6. 在 -1，0，2.5，- ，2026，-0.6， 中，整数有（　），分数有（　）。 7. 把下列各数填入相应的括号内： -5，+3.2，-0.01，1，0，- ，π 正数集合：{　　　　　　　　}　　负数集合：{　　　　　　　　} 整数集合：{　　　　　　　　}　　分数集合：{　　　　　　　　} 8. 0.7化成分数是（　），-1.25化成分数是（　），它们都是（　）数（填“有理”或“无理”）。 9. 在 0，-1，+2， ，0.6，-0.12， 中，负有理数有（　）个。 10. 有理数中，最小的正整数是（　），最大的负整数是（　），既不是正数也不是负数的数是（　）。 四、分层训练 【A层·基础过关】 11. 把下列各数填入相应的集合中： -15，0.62，- ，0，-2026，2.3，π，-0.3，5 正数集合：{　　　　　　　　　　　} 负数集合：{　　　　　　　　　　　} 整数集合：{　　　　　　　　　　　} 分数集合：{　　　　　　　　　　　} 有理数集合：{　　　　　　　　　　} 12. 判断下列各数是否为有理数，并说明理由： （1）0　　（2）-3.8　　（3） 　　（4）π 13. 请写出三个不同的负分数。 【B层·能力提升】 14. 已知一个数是有理数，但不是整数，那么它一定是什么数？请举例说明。 15. 下列说法是否正确？若不正确，请改正： （1）所有的自然数都是整数。 （2）所有的整数都是自然数。 （3）分数就是小数，小数就是分数。 16. 在数（按顺序）：-4，0，+2.5，- ，2026，0.618，-0.2，π （1）哪些是有理数？哪些不是？ （2）请将其中所有负有理数写出来。 17. 写出一个既能化成有限小数，又能化成分数的有理数，并写出它的分数形式。 【C层·拓展挑战】 18. 已知 m 是正整数，n 是负整数，且 m + n = 0，请写出两组符合条件的 m 和 n，并说明它们是否都是有理数。 19. 请写出一个无限循环小数，并将它化为分数，从而说明它是有理数。 20. 有下面一些说法： ① 0 是最小的有理数； ② 整数包括正整数和负整数； ③ 无限不循环小数不是有理数； ④ 正有理数包括正整数和正分数。 其中正确的说法有哪些？请说明理由。 21. 探究：所有小数是否都是有理数？请举例说明。 参考答案与详细解析 一、知识点填空答案： 1. 分数形式、分数 2. 正整数、0、负整数；0、正整数 3. 正分数、负分数 4. （1）整数、分数；（2）正有理数、0、负有理数 5. 不是、不是；正数、负数 6. 有限、无限；无限、不是 7. 分数形式 二、基础训练答案已给出 三、基本训练答案： 1. D　解析：- 是分数，是有理数。其余都是无限不循环小数（无理数）。 2. B　解析：负分数有 -0.8 和 - ，共2个。（-3是负整数，不是分数） 3. D　解析：0既不是正数也不是负数。 4. C　解析：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 5. D　解析：1.010010001…是无限不循环小数，不是有理数。 6. 整数：-1，0，2026；分数：2.5，- ，-0.6， 7. 正数集合：{+3.2，1，π}（π不是有理数，但题目未限定有理数集合，通常数学中π是正数）注意，若强调有理数，则π不填，但题目没明确，按一般正数可填。但为了严谨，这里按通常练习，有理数集合中π不算，但正数集合可以算。我们按照人教版习惯，正数集合不限于有理数，所以填π也行。但若题目要求“有理数集合”则分开。这里我统一按正数、负数不限定有理数，但分数、整数、有理数要限定。所以答案：正数集合：{+3.2，1，π}，负数集合：{-5，-0.01,- }，整数集合：{-5，1，0}，分数集合：{+3.2，-0.01，- }（π不是分数） 8. 0.7=- ，-1.25=- ，都是有理数。 9. 负有理数有：-1，- ，-0.12，共3个。（0不是负数，+2和0.6、 是正数） 10. 最小的正整数是1，最大的负整数是-1，既不是正数也不是负数的是0。 A层答案： 11. 正数集合：{0.62，2.3，5}；负数集合：{-15，- ，-2026，-0.3}；整数集合：{-15，0，-2026，5}；分数集合：{0.62，- ，2.3，-0.3}；有理数集合：{-15，0.62，- ，0，-2026，2.3，-0.3，5}（π不是有理数，不填入） 12. （1）0是有理数，因为0是整数；（2）-3.8是有理数，因为有限小数可化分数；（3）是有理数，因为它是分数；（4）π不是有理数，因为它是无限不循环小数，不能化成分数。 13. 答案不唯一，例如： ， ，。 B层答案： 14. 一定是一个分数（正分数或负分数）。例如：- ，0.3等。 15. （1）正确；（2）错误，改正：整数包括正整数、0和负整数，自然数只包括0和正整数，所以负整数不是自然数；（3）错误，改正：有限小数和无限循环小数可以化为分数，是分数的一种形式，但无限不循环小数不是分数，所以不能说小数就是分数。 16. （1）有理数有：-4，0，+2.5，，2026，0.618，-0.2；不是有理数的是π。（2）负有理数有：-4，，-0.2。 17. 答案不唯一，例如：0.25 = 。 C层答案： 18. 因为m为正整数，n为负整数，且和为0，所以m和n互为相反数，即m = -n。例如：m=1，n=-1；m=2，n=-2。它们都是整数，所以都是有理数。 19. 例如：0.333… = ，所以是有理数。 20. 正确的有③和④。理由：①错误，0不是最小的有理数，因为负有理数比0小；②错误，整数还包括0；③正确；④正确。 21. 不是所有小数都是有理数。例如π=3.1415926…是无限不循环小数，不能化成分数，所以不是有理数。只有有限小数和无限循环小数是有理数。 预习小贴士 1. 有理数的核心：能写成分数形式（，q≠0）的数。 2. 整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数。 3. 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以是有理数。 4. 无限不循环小数（如π、）不是有理数。 5. 0既不是正数也不是负数，但0是有理数（整数）。 6. 正整数和0统称自然数，自然数都是整数，但负整数不是自然数。 7. 分类时注意集合的归属，尤其π等无理数要排除。 学科网（北京）股份有限公司 $