1.4 正方形的性质与判定 第2课时 教案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦正方形的判定定理及中点四边形，通过观察实物正方形、复习概念性质及矩形菱形判定，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究正方形判定方法。 以动手操作（折纸）和问题链驱动探究，如矩形邻边相等或对角线垂直时变正方形的猜想与证明，培养几何直观和推理能力（数学思维）。中点四边形探究通过类比矩形、菱形，发现对角线对形状的影响，发展抽象能力和创新意识（数学眼光）。例题与练习结合，强化用数学语言规范证明，提升应用意识，帮助学生构建知识体系，也为教师提供可操作的探究式教学范例。

第一章 特殊平行四边形 4 正方形的性质与判定 第2课时   一、教学目标 1.理解并掌握正方形的判定定理，并会用正方形的判定定理进行证明和计算； 2.经历正方形判定定理及中点四边形的探索过程，进一步发展合情推理能力. 3.能够用综合法证明正方形的判定定理，进一步发展演绎推理能力. 4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.   二、教学重难点 重点：理解并掌握正方形的判定定理，会用正方形的判定定理进行证明和计算. 难点：探究证明正方形的判定定理，探究并证明中点四边形.   三、教学过程 · 情境导入 问题1：观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？ 预设答案：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 问题2：正方形具有哪些性质呢？ 预设答案：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 问题3：你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？ 追问：怎样判定一个四边形是正方形呢？ 设计意图：通过对实物中的正方形的直观观察，及动画演示复习回顾正方形的概念和性质，为本节课要学习的内容做准备. · 探究新知 活动一：正方形的判定定理 做一做：如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形. 追问：你知道这样做的道理吗？ 做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证. 追问：满足怎样条件的矩形是正方形？ 猜想：当矩形的一组邻边相等时，会变成一个正方形. 当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方形. 追问：你能证明这两个猜想吗？ 已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形 又∵ AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形. 已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°. 又∵ AC⊥BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS）. ∴AB = AD. ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）. 设计意图：通过探究当矩形满足一组邻边相等或对角线互相垂直时，所得的四边形是正方形，通过证明，让学生明确正方形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力. 总结：正方形的判定定理： 定理 有一组邻边相等的矩形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形. 定理 对角线互相垂直的矩形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形. 设计意图：通过归纳进一步熟悉正方形的判定定理，培养归纳概括能力. 做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 追问：满足怎样条件的菱形是正方形？ 猜想：当菱形的一个角是直角时，会变成一个正方形. 当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形. 追问：你能证明这两个猜想吗？ 已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC，四边形ABCD是平行四边形 又∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD. 又∵ AC=BD， ∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°. ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠BAD=90° ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义） 设计意图：通过探究当菱形满足有一个角是直角或对角线相等时，所得的四边形是正方形.通过证明让学生明确正方形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力. 总结：正方形的判定定理： 定理 有一个角是直角的菱形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 定理 对角线相等的菱形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. 设计意图：通过归纳进一步熟悉正方形的判定定理，培养归纳概括能力. 活动二：中点四边形 想一想：(1)如图，四边形ABCD是正方形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想. 猜想：以正方形的四边中点为顶点可以组成一个正方形. 追问：你能证明这个猜想吗？ 已知：如图，点 A1，B1，C1，D1 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 A1B1C1D1 为正方形. 证明：连接 AC，BD， ∵A1，B1 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ A1B1∥AC 且A1B1=AC， 同理可证 C1D1∥AC 且 C1D1 =AC， A1D1∥BD且A1D1 =BD， B1C1∥BD且B1C1 =BD. ∴四边形 A1B1C1D1为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）， ∴A1B1= A1D1 =B1C1= C1D1，∠1 = 90°. ∴四边形 A1B1C1D1 是菱形，∠2 = 90°. ∴四边形 A1B1C1D1 为正方形. 想一想：(1)如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜想：以矩形的四边中点为顶点可以组成一个菱形. 追问：你能证明这个猜想吗？ 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF =AC， 同理可证 HG∥AC且HG =AC， EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD. ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等）， ∴EF =EH， ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）. 想一想：(2)类比上述问题，你还能提出什么问题？你能解决它们吗？与同伴进行交流. 预设答案：以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？ 猜想：以菱形的四边中点为顶点可以组成一个矩形. 追问：你能证明这个猜想吗？ 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠BOC = 90°.∴∠EFG=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 想一想：(3)在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律？请说明理由. 预设答案：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形. 决定中点四边形的形状的主要因素是：原四边形的对角线的长度和位置关系. 设计意图：利用类比的方法分别提出了以菱形、矩形以及平行四边形各边中点为顶点所组成图形的形状问题，除了让学生猜测、证明外，还希望学生能进一步分析、概括得到一个一般性的结论：所得的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系. 议一议：回顾平行四边形和特殊平行四边形的性质及判定条件的探究过程，你有哪些感悟？积累了哪些经验？与同伴进行交流. 预设答案：在探究平行四边形和特殊平行四边形的性质及判定条件的过程中，我们使用了直接证明、反证法、归纳法等.思维方式上，我们运用了正向思维和逆向思维,并且有时需要构造辅助线使问题更加直观，便于我们找到证明的途径.在证明过程中，有时需要对不同的情况进行分类讨论，确保证明的全面性和严谨性. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1：已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形. 分析：由BF∥CE，CF∥BE，可证四边形 BECF 是平行四边形，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCB=90°，又由BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，可得∠EBC = ∠ECB =45°，所以EB = EC.从而四边形BECF 是菱形，在△BEC中，∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC =∠ABC = 45°， ∠ECB =∠DCB = 45°. ∴∠EBC=∠ECB. ∴EB = EC. ∴▱ BECF 是菱形（菱形的定义）. 在△EBC中， ∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC=180°−∠EBC−∠ECB=180−2×45= 90°. ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对正方形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【自选练习】 1.已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是菱形. 证明: 在正方形 ABCD 中，BE ＝DF， 易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ， 即 CE ＝AE ＝AF ＝FC， ∴四边形 AECF 是菱形． 2.如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且 AE = BF = CG = DH. 四边形 EFGH 是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 解：四边形 EFGH 是正方形. ∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH， 易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE， 即EH ＝HG＝GF＝FE，且∠AHE＝∠DGH ． ∵∠DGH ＋∠DHG＝90°， ∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°， ∴四边形 EFGH 是正方形. 【教材练习】 3.如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴进行交流. 解：新四边形是平行四边形.证明如下： 连接AC. ∵E，F，H，G分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF，HG分别为△ABC和△ADC的中位线. ∴EF∥AC∥HG，EF=AC=HG. ∴四边形EFGH为平行四边形. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.正方形的判定定理有哪些？ 2.什么叫中点四边形？ 3.中点四边形的形状与什么有关？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $