1.4 正方形的性质与判定 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过“长方形纸对折两次剪角”的动手操作导入，以四边形到平行四边形、矩形、菱形再到正方形的转化关系为支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合动手实践与逻辑推理，通过折纸探究、定理证明及中点四边形规律分析，培养学生几何直观与推理能力。课堂小结用表格清晰呈现判定思路，助力学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

1.4 正方形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 第1课时 正方形的判定 1 创设情境，导入新课 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形。 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？ 探究新知，经历过程 提示：剪口线与折痕成 45°角即可。 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 四 边 形 平行四 边 形 正方 形 菱形 两组对边分别平行 (或两组对边分别相等 或一组对边平行且相等) 两条对角线互相平分 两组对角分别相等 四条边都相等 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一组邻边相等，且有一个角是直角 有三个角是直角 有一个角是直角 （或对角线相等） 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 距形 有一个角是直角 (或对角线相等) 判断四边形是正方形有哪些方法？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角。（定义法） 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边（对角线互相垂直）相等。 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角（对角线相等）。 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD， 又∵AC ⊥ BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS）， ∴AB = AD， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90°， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 定理：对角线相等的菱形是正方形。 已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD， ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）。 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形。 ∴∠ABC = 90°。 ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。 求证：四边形 BECF 是正方形。 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形。 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°。 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°。 ∴∠EBC = ∠ECB。∴ EB = EC。 ∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）。 在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 180°－∠EBC －∠ECB = 180°－ 45°－ 45°= 90°。 ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。 求证：四边形 BECF 是正方形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF = 30°，则∠A =______。 ②若 EF = 8 cm，则 AC =______。 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 一般四边形的中点四边形 如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。 任意四边形的中点四边形是平行四边形。 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ 尝试·思考 （1）如图，四边形 ABCD 是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想。 A B C D 猜想：以四边形四边中点为顶点的四边形是正方形。 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为正方形。 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且 HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD。 ∴四边形 PFQO 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）， ∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°。 ∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°。 ∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为正方形。 矩形的中点四边形 矩形的中点四边形会是什么形状？ 矩形的中点四边形是菱形。 你能试着证明这个结论吗？ 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为菱形。 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD。 ∴四边形 EFGH 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF = EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）。 尝试·思考 （2）类比上述问题，你还能提出什么问题？你能解决它们吗？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 菱形 菱形 ？ 正方形 正方形 平行四边形的中点四边形会是什么形状？ 平行四边形的中点四边形是平行四边形。 你能试着证明这个结论吗？ （提示：连接AC、BD） 平行四边形的中点四边形 菱形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形。 你能试着证明这个结论吗？ 菱形的中点四边形 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为矩形。 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD。 ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1 = 90°，∠2=90°。 ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）。 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 正方形 （3）在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律？请说明理由。 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 归纳 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 回顾·反思 回顾平行四边形和特殊平行四边形的性质及判定条件的探究过程，你有哪些感悟？积累了哪些经验？ 课堂小结 判定一个四边形是正方形的思路 思考角度 证明思路 边 角 对角线 四边形 + 对角线相等且互相垂直平分 → 正方形 平行四边形 + 对角线相等且互相垂直 → 正方形 菱形 + 对角线相等 → 正方形 矩形 + 对角线互相垂直 → 正方形 菱形 + 一个角是直角 → 正方形 矩形 + 一组邻边相等 → 正方形 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 1. 下列说法中不正确的是（　D　） A. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形 B. 两条对角线相等的菱形是正方形 C. 两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 D. 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 D —— 课堂练习 —— A层基础练 2. 学习了特殊平行四边形之后，小颖同学用下图所示的方式 表示了特殊四边形的关系，则图中的“M”表示（　C　） A. 四边形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 以上都不正确 第2题图 C A层基础练 3. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝ 90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是（　D　） A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BC D. AC⊥BD D A层基础练 4. 如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，使BE＝AB，连接 CE，BD，且CE＝CD。 （1）求证：四边形DBEC是菱形； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD。∵BE＝AB，∴BE＝CD。 又∵BE∥CD，∴四边形DBEC是平行四边形。 ∵CE＝CD，∴▱DBEC是菱形。 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD。 又∵BE∥CD，∴四边形DBEC是平行四边形。 ∵CE＝CD，∴▱DBEC是菱形。 ∵BE＝AB，∴BE＝CD。 A层基础练 4. 如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，使BE＝AB，连接 CE，BD，且CE＝CD。 （2）连接DE，若DA＝DE，判断四边形DBEC的形状，并 说明理由。 （2）解：四边形DBEC是正方形。理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA＝BC。∵DA＝DE，∴BC＝DE。 ∴菱形DBEC是正方形。 （2）解：四边形DBEC是正方形。理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA＝BC。 ∴菱形DBEC是正方形。 ∵DA＝DE，∴BC＝DE。 A层基础练 5. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线 EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝BE。求证： （1）四边形BECF是菱形； 证明：（1）∵EF垂直平分BC， ∴BE＝EC，BF＝CF。又∵CF＝BE， ∴BE＝EC＝CF＝BF。 ∴四边形BECF是菱形。 证明：（1）∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF。 又∵CF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF。 （2）四边形BECF是正方形。 （2）∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45°。∴∠ECB＝∠EBC＝45°。 ∴∠BEC＝180°－45°－45°＝90°。 ∴菱形BECF是正方形。 ∴四边形BECF是菱形。 A层基础练 6. 如图，已知AC＝ cm，小红作了如下操作：分别以点 A，C为圆心，1 cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B， D，依次连接A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是 （　D　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 D B层 提升练 7. 如图，在Rt△ABC中，E是两锐角的平分线的交点， ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F。求证：四边形 CDEF是正方形。 证明：如图，过点E作EM⊥AB于点M。 ∵ED⊥BC，EF⊥AC，∠C是直角， ∴∠CDE＝∠CFE＝∠C＝90°。 ∴四边形CDEF是矩形。 ∵AE，BE分别平分∠CAB，∠CBA， ∴EF＝EM，EM＝ED。∴EF＝ED。 ∴四边形CDEF是正方形。 证明：如图，过点E作EM⊥AB于点M。 ∵ED⊥BC，EF⊥AC，∠C是直角， ∴∠CDE＝∠CFE＝∠C＝90°。 ∴四边形CDEF是矩形。 ∵AE，BE分别平分∠CAB，∠CBA， ∴EF＝EM，EM＝ED。∴EF＝ED。 ∴四边形CDEF是正方形。 答图 B层 提升练 8. （核心素养·创新意识）如图，▱ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，过点O的直线EF交BC于点E，交AD于点F， 连接AE，CF。 （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC。 ∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO。 ∴△OAF≌△OCE（AAS）。 ∴OE＝OF。∴四边形AECF是平行四边形。 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC。 ∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO。 ∴△OAF≌△OCE（AAS）。 ∴OE＝OF。∴四边形AECF是平行四边形。 C层 拓展练 8. （核心素养·创新意识）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交 于点O，过点O的直线EF交BC于点E，交AD于点F，连接 AE，CF。 （2）当OE与AC有何关系时，四边形AECF是正方形？请说明 理由。 （2）解：当OE＝ AC，且OE⊥AC时，四边形AECF是正方 形。理由如下： ∵OE＝ EF，OE＝ AC， ∴EF＝AC。∴平行四边形AECF是矩形。 ∵EF⊥AC，∴矩形AECF是正方形。 （2）解：当OE＝ AC，且OE⊥AC时，四边形AECF是正方 形。理由如下： ∵OE＝ EF，OE＝ AC， ∴EF＝AC。∴平行四边形AECF是矩形。 ∵EF⊥AC，∴矩形AECF是正方形。 C层 拓展练 1. 如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接 四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH 成为矩形，应添加的条件是（　A　） A. AC⊥BD B. AB＝CD C. AB∥CD D. AC＝BD 第1题图 A —— 中点四边形练习 —— A层基础练 2. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四边中点，已知 AB＝5，BC＝8，则四边形EFGH的面积是（　A　） A. 20 B. 26 C. 30 D. 40 A A层基础练 3. 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边中点，则下 列说法不正确的是（　C　） A. 若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形 B. 若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形 C. 若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD 互相平分 D. 若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相 垂直且相等 第3题图　　　 C A层基础练 4. 如图，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户（四边形 ABCD），工人师傅准备连接窗户各边中点E，F，G，H来 制作精美的装饰边框。若他们测得边AB的长为1米，边BC的 长为2.4米，则四边形EFGH的周长为 米。 第4题图 5.2　 A层基础练 5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD。若AC＝9， BD＝12，求四边形ABCD各边中点连线构成的四边形EFGH的面积。 解：∵E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点， AC＝9，BD＝12， ∴EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC， EF＝ BD＝ ×12＝6，EH＝ AC＝ ×9＝ 。 ∴EF∥GH，EH∥FG。∴四边形EFGH是平行四边形。 ∵AC⊥BD，EF∥BD，EH∥AC，∴EF⊥EH。∴∠FEH＝90°。 ∴▱EFGH是矩形。∴S四边形EFGH＝EF·EH＝6× ＝27。 解：∵E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点， AC＝9，BD＝12， ∴EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC， EF＝ BD＝ ×12＝6，EH＝ AC＝ ×9＝ 。 ∴EF∥GH，EH∥FG。 ∴四边形EFGH是平行四边形。 ∵AC⊥BD，EF∥BD，EH∥AC， ∴EF⊥EH。∴∠FEH＝90°。 ∴▱EFGH是矩形。∴S四边形EFGH＝EF·EH＝6× ＝27。 A层基础练 6. 【材料】中方四边形定义：对于一个四边形，我们把依次 连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边 形”。如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么我们把这 个原四边形叫作“中方四边形”。 根据中方四边形的定义可知，对角线互相垂直且相等的四边形 是中方四边形。下面是这个结论的证明过程： B层 提升练 证明：如图，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G， H，连接EF，FG，GH，EH，EH与AC相交于点P，EF与 BD相交于点Q， 则EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC， HG∥AC，EH＝ BD，EF＝ AC。 ∴EH∥FG，EF∥HG。∴四边形EFGH为平行四边形。 ∵AC＝BD，∴EH＝EF。∴四边形EFGH为菱形。 …… 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝BD， AC⊥BD。求证：四边形ABCD为中方四边形。 B层 提升练 【任务】请认真阅读上面的材料，并补全材料中的证明过程。 解：补全证明过程如下：∵EH∥BD，EF∥AC， ∴四边形EQOP为平行四边形。 ∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°。 ∴▱EQOP为矩形。∴∠FEH＝90°。 ∴菱形EFGH为正方形。 ∴四边形ABCD为中方四边形。 解：补全证明过程如下：∵EH∥BD，EF∥AC， ∴四边形EQOP为平行四边形。 ∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°。 ∴▱EQOP为矩形。∴∠FEH＝90°。 ∴菱形EFGH为正方形。 ∴四边形ABCD为中方四边形。 B层 提升练 7. 【创新点·几何探究】如图，在四边形ABCD中，AC＝a， BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得 到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点， 得到四边形A2B2C2D2，…如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn，则四边形A2 031B2 031C2 031D2 031的周 长为 （用含a，b的代数式表示）。 　 C层 拓展练 $