1.3 矩形的性质与判定 第1课时 教案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦矩形性质定理（四角直角、对角线相等）及直角三角形斜边中线性质，课堂导入通过回顾矩形定义、一般性质，追问类比菱形学习引出特殊性质，搭建平行四边形到特殊平行四边形的知识支架。 特色是以“观察 - 猜想 - 证明 - 应用”为主线，活动一让学生动手量角和对角线发现性质，培养几何直观与抽象能力（数学眼光），证明过程发展演绎推理（数学思维），例题多种解法提升应用意识（数学语言），助力学生掌握推理方法，为教师提供结构化探究流程与分层练习。

第一章 特殊平行四边形 3 矩形的性质与判定 第1课时   一、教学目标 1.理解并掌握矩形的性质定理，能利用矩形的性质定理进行证明和计算. 2.经历矩形性质定理和直角三角形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力. 3.能够用综合法证明矩形的性质定理和直角三角形性质定理，进一步发展演绎推理能力. 4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.   二、教学重难点 重点：掌握矩形的性质定理和直角三角形性质定理. 难点：探究证明矩形的性质定理和直角三角形性质定理.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：提出问题让学生思考后回答，再引出新问题. 问题：回顾学过的知识，完成下列填空： 矩形的定义： 有一个角是_______的______________叫作矩形. 矩形的一般性质： 矩形是_______图形，有_____条对称轴. 矩形还是__________图形，对称中心是______________. 矩形具有_____________的一切性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分. 预设答案：直角 平行四边形 轴对称 两 中心对称 对角线的交点 平行四边形 追问：矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究？与同伴进行交流. 预设答案：需要研究矩形的性质、判定方法，以及周长和面积的计算等问题. 可以通过观察猜想、几何证明来进行研究. 设计意图：回顾矩形的定义和与平行四边形的关系，引出矩形是特殊的平行四边形，具有特殊的性质，为本节课的学习作铺垫. · 探究新知 活动一：矩形的性质定理 做一做：你认为矩形还具有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？与同伴进行交流 预设答案：用量角器和直尺分别量一量矩形纸片的角和对角线， 可以发现： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 追问：你能证明这些性质吗？ 设计意图：鼓励学生自主量一量矩形的四个角及对角线，发现结论，并猜想. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；(2) AC = DB. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC +∠BCD = 180°. 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°. (2)∵四边形ABCD是矩形， ∴AB = DC(矩形的对边相等)， 在△ABC和△DCB中， ∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB. ∴△ABC ≌△DCB. ∴AC = DB. 设计意图：通过证明让学生明确矩形的性质，培养学生的逻辑推理能力. 总结：矩形的性质定理： 定理 矩形的四个角都是直角. 定理 矩形的对角线相等. 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90，AC=BD. 设计意图：通过归纳进一步熟悉矩形的性质，培养归纳概括能力. 活动二：直角三角形斜边中线的性质 想一想：如图(1)，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E.将矩形纸片沿AC剪开，得到图(2)所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ 预设答案：BE是Rt△ABC的中线，BE=AC. 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 追问：你能证明这个结论吗？ 设计意图：鼓励学生自主量一量两条线段，发现结论，并猜想. 已知：如图，在矩形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点E. 求证：BE=AC. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC = DB(矩形的对角线相等)， ∴BE==AC. 设计意图：通过证明让学生明确直角三角形的性质，培养学生的逻辑推理能力. 总结：定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120，AB=2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC=AC，OB=OD=BD(矩形的对角线互相平分).∴OA=OD. ∵∠AOD=120， ∴∠ODA=∠OAD=(180−120)=30. ∴BD=2AB=2×2.5=5. 追问：还有其他解法吗？ 分析：由矩形的性质可得，AC=BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，又由∠AOD=120，所以 ∠AOB=60，从而可得△AOB是等边三角形.再由等边三角形的性质可得AO=BO=2.5，从而AC=BD=2AO=5. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD. ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°. ∴△AOB是等边三角形. ∴AO=BO=AB=2.5.∴AC=2AO=5， 即矩形ABCD的对角线的长度为5. 设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对矩形的性质的认识和理解，培养学生的应用意识. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4，求BD与AD的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD(矩形的对角线相等)， ∴BD=2OA= 8， 在 Rt△ABD中，AD2 + AB2 = BD2， AD2 + 62 = 82，∴AD=. 【自选练习】 2.一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45， 求这个矩形的各边长. 解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠A =90°， 又∵∠ABD = 45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AB2 + AD2 = 62， ∴AB=AD=BC=CD =3. 3.一个矩形的两条对角线的一个夹角为60，对角线长为15，求这个矩形较短边的长. 解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD=15， ∴OD=OC=7.5， 又∵∠COD = 60°， ∴△COD是等边三角形， ∴ CD =7.5 . 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.矩形的性质定理有哪些？ 2.直角三角形斜边上的中线有什么性质？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $