第一章特殊平行四边形-正方形讲义2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦正方形的性质与判定核心知识点，以平行四边形、菱形、矩形的性质与判定为学习支架，通过“温故知新”梳理从一般到特殊的知识脉络，明确正方形作为特殊矩形和菱形的定义，及边、角、对角线的性质与判定方法。 该资料以核心素养为导向，“温故知新”培养数学眼光建立知识联系，典例分析（如例1判定正误、例5证明与计算）与举一反三发展推理能力（数学思维），自我挑战与考场直播强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题能力。

2017年春季 正方形 温故知新 一、平行四边形的性质与判定 1、平行四边形的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 3、平行四边形的判别方法： 平行四边形中有4条判定定理：简记为一组两组两条 一组（对边平行且相等） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组（对边平行、对边相等） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两条（对角线相互平分） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ◆二、菱形的性质与判定： 1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。 2、菱形的性质： （1）对边平行，四边相等。（2）对角相等，邻角互补。 （3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。 ( A B C D 1 2 ) 四边形 四边形 3、菱形的判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。A B C D （2）对角线互相垂直的平行四边形。 （3）四条边都相等的四边形。 （4）菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。 ◆三、矩形的性质与判定： 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。 （1）边：对边平行且相等。 （2）角：四个角都是直角。 （3）对角线：互相平分且相等。 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 智慧乐园 知识要点一 正方形的定义及性质 （1）正方形的定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。 它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 （2）正方形的性质： 正方形具有矩形和菱形的一切性质。 边：对边平行，四边相等。 角：四个角是直角。 对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。 · 典例分析 例1、下列说法正确的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【解答】解：选D． 　 例2、已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（　　） A．256 B．900 C．1024 D．4096 【解答】解：∵∠MON=45°， ∴△OA1B1是等腰直角三角形， ∵OA1=1， ∴正方形A1B1C1A2的边长为1， ∵B1C1∥OA2， ∴∠B2B1C1=∠MON=45°， ∴△B1C1B2是等腰直角三角形， ∴正方形A2B2C2A3的边长为：1+1=2， 同理，第3个正方形A3B3C3A4的边长为：2+2=4， 第4个正方形A4B4C4A5的边长为：4+4=8， 第5个正方形A5B5C5A6的边长为：8+8=16， 第6个正方形A6B6C6A7的边长为：16+16=32， 所以，第6个正方形的面积S6是：322=1024．故选C． 例3、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（　　） A．4 B．3 C．2+ D． 【解答】解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示． ∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形， ∴∠CAB=45°，FM=BM． 在Rt△AFM中，∠AFM=90°，∠FAM=45°，AM=2， ∴FM=AM•sin∠FAM=． AB=AM+MB=2+． 故选C． 例4、如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为　　． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b， 则BE=a﹣b， ∵正方形AEFG的顶点E， ∴AF平分∠BAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CA平分∠BAD， ∴点F在正方形ABCD的对角线上， ∵G在正方形ABCD的边AB，AD上， ∴CF=a﹣b， ∴BE：CF=（a﹣b）：（a﹣b）=． 故答案为：． 　 例5、如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G． （1）求证：CG=CE； （2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积． 【解答】解：连接DE，则DE⊥BF， ∵∠ODG+∠OGD=90°，∠CBG+∠CGB=90°，∠CGB=∠OGD ∴∠CDE=∠CBG， 又∵BC=DC，∠BCG=∠DCE， ∴△BCG≌△DCE（ASA）， ∴CG=CE， （2）正方形边长BC=4，则BD=BC=4， 菱形BDFE的面积为S=4×4=16． 答：菱形BDFE的面积为16． 例6、【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC=　90°　． 【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M． （1）求证：ED=FC． （2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数． 【解答】解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=CD，∠ADC=90°， ∵△ADE≌△DFC， ∴DF=CD=AE=AD， ∵∠FDC=60°+90°=150°， ∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°， ∴∠FDE=60°+15°=75°， ∴∠MFD+∠FDM=90°， ∴∠FMD=90°， 故答案为90° （1）∵△ABE为等边三角形， ∴∠EAB=60°，EA=AB． ∵△ADF为等边三角形， ∴∠FDA=60°，AD=FD． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB． ∴EA=DC． ∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°， ∴∠EAD=∠CDF． 在△EAD和△CDF中， ， ∴△EAD≌△CDF． ∴ED=FC； （2）∵△EAD≌△CDF， ∴∠ADE=∠DFC=20°， ∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°． 学霸说： 熟练掌正方形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键； · 举一反三 1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置， 由题意可得出：△DAF≌△BAF′， ∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′， ∴∠EAF′=45°， 在△FAE和△EAF′中， ， ∴△FAE≌△EAF′（SAS）， ∴EF=EF′， ∵△ECF的周长为4， ∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4， ∴2BC=4， ∴BC=2． 故选A． 2、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 【解答】解：如图，连接BD， ∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC， ∴∠EBC=∠BEC=（180°﹣∠BCE）=15° ∵∠BCM=∠BCD=45°， ∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°， ∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60° ∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上， ∴∠AMD=∠AMB=60° 故选B． 3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是　14　． 【解答】解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E． ∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0）， ∴OA=3，OB=4． ∵ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠DAB=90°． ∴∠DAE=∠AB0． 在△ABO和△DAE中， ∴△ABO≌△DAE． ∴AE=OB=4． ∴OE=AE+AO=4+3=7． ∴△OBD的面积=OB•OE=×4×7=14． 故答案为：14． 　 4、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，则an=　（）n﹣1　． 【解答】解：由题意得，a1=1， a2=a1=， a3=a2=（）2， a4=a3=（）3， …， an=an﹣1=（）n﹣1． 故答案为：（）n﹣1． 　 5、如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F． （1）证明：△AGE≌△ECF； （2）求△AEF的面积． 【解答】（1）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点， ∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°； 又∵CF是∠DCH的平分线， ∴∠DCF=∠FCH=45°， ∠ECF=90°+45°=135°； 在△AGE和△ECF中， ； ∴△AGE≌△ECF； （2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF； 又∵∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形； ∵AB=a，E为BC中点， ∴BE=BC=AB=a， 根据勾股定理得：AE==a， ∴S△AEF=a2． 知识要点二 正方形的判定 判定方法 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个角是直角的菱形是正方形。 （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 · 典例分析 例1、下列说法不正确的是（　　） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【解答】解：选：A． 例2、如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形 【解答】解：选：D． 例3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=3AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为　a2　． 【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 又∵∠EPM=∠EQN=90°， ∴∠PEQ=90°， ∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°， ∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中， ， ∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN=S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC=a， ∵EC=3AE， ∴EC=a， ∴EP=PC=a， ∴正方形PCQE的面积=a×a=a2， ∴四边形EMCN的面积=a2， 例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足 分别是E、F． （1）求证：DE=DF； （2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明． 【解答】解：（1）连接AD， ∵AB=AC，D是的BC边的中点， ∴AD是∠BAC的角平分线， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DF=DE； （2）添加∠BAC=90°， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠AFD=∠AED=90°， ∴四边形AFDE是矩形， ∵DF=DE， ∴四边形EDFA是正方形． · 举一反三 1、菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【解答】解：A、不正确，菱形的对角线不相等； B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直； C、正确，三者均具有此性质； D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等； 故选C． 2、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是　16　． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB， ∴∠ABE=∠D=90°， ∵∠EAF=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°， ∴∠DAF=∠BAE， 在△AEB和△AFD中， ∵， ∴△AEB≌△AFD（ASA）， ∴S△AEB=S△AFD， ∴它们都加上四边形ABCF的面积， 可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16． 故答案为：16． 3、如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）判断四边形ACED的形状，并说明理由； （2）若BD=8cm，求线段BE的长． 【解答】解：（1）四边形ACED是平行四边形． 理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， 即AD∥CE， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）由（1）知，BC=AD=CE=CD， ∵BD=8cm， ∴BC=BD=×8=4cm， ∴BE=BC+CE=4+4=8cm． 考场直播 1、如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF． （1）证明：EF=CF； （2）当时，求EF的长． 【解答】证明：（1）∵正方形ABGD， 又∵DE⊥DC， ∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG， ∴∠ADE=∠GDC． 又∵∠A=∠DGC， 且AD=GD， 在△ADE与△GDC中， ， ∴△ADE≌△GDC（ASA）． ∴DE=DC，且AE=GC． 在△EDF和△CDF中， ， ∴△EDF≌△CDF（SAS）． ∴EF=CF． （2）∵， ∴AE=GC=2． 设EF=x，则BF=8﹣CF=8﹣x，BE=6﹣2=4． 由勾股定理，得x2=（8﹣x）2+42． 解之，得x=5， 即EF=5． 套路揭密： （1）考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法； （2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。 自我挑战 · 建议用时：30分钟 1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置， 由题意可得出：△DAF≌△BAF′， ∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′， ∴∠EAF′=45°， 在△FAE和△EAF′中， ， ∴△FAE≌△EAF′（SAS）， ∴EF=EF′， ∵△ECF的周长为4， ∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4， ∴2BC=4， ∴BC=2． 故选A． 2、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 【解答】解：如图，连接BD， ∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC， ∴∠EBC=∠BEC=（180°﹣∠BCE）=15° ∵∠BCM=∠BCD=45°， ∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°， ∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60° ∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上， ∴∠AMD=∠AMB=60° 故选B． 3、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接BP，过C作CM⊥BD， ∵S△BCE=S△BPE+S△BPC =BC×PQ×+BE×PR× =BC×（PQ+PR）× =BE×CM×， BC=BE， ∴PQ+PR=CM， ∵BE=BC=1，且正方形对角线BD=BC=， 又∵BC=CD，CM⊥BD， ∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形， ∴CM=BD=， 即PQ+PR值是． 故选：D． 4、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣，1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣1，） D．（1，﹣） 【解答】解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，如图所示： 则∠CFO=∠OEA=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC=OA，∠AOC=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠3=∠2， 在△OCF和△AOE中，， ∴△OCF≌△AOE（AAS）， ∴OF=AE=1，CF=OE=， ∴点C的坐标为（﹣1，）； 故选：C． 　 5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是（　　） A． B．14 C． D． 【解答】解：如图作BM⊥AC于M，延长BM交BD于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AEN=∠EAM=∠AMN=90°，' ∴四边形AENM是矩形， ∴AE=NM，AM=EN， 在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8， ∴AC===10， ∵AB•CB=•AC•BM， ∴BM=，AM==， 在RT△BEN中，∵∠BNE=90°，EN=AM=，BN=BM+AE=， ∴BE===2． 故选A． 6、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于　16　． 【解答】解：如图，过O点作OG垂直AC，G点是垂足． ∵∠BAC=∠BOC=90°， ∴ABCO四点共圆， ∴∠OAG=∠OBC=45° ∴△AGO是等腰直角三角形， ∴2AG2=2GO2=AO2==72， ∴OG=AG=6， ∵∠BAH=∠0GH=90°，∠AHB=∠OHG， ∴△ABH∽△GOH， ∴=， ∵AB=4，OG=AG=6， ∴AH=2.4， 在直角△OHC中，∵HG=AG﹣AH=6﹣2.4=3.6，OG又是斜边HC上的高， ∴OG2=HG×GC， 而OG=6，GH=3.6， ∴GC=10． ∴AC=AG+GC=6+10=16． 故AC边的长是16．故答案为：16． 7、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中， ∵， ∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF． （2）解：GE=BE+GD成立． 理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 正方形 温故知新 一、平行四边形的性质与判定 1、平行四边形的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 3、平行四边形的判别方法： 平行四边形中有4条判定定理：简记为一组两组两条 一组（对边平行且相等） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组（对边平行、对边相等） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两条（对角线相互平分） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ◆二、菱形的性质与判定： 1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。 2、菱形的性质： （1）对边平行，四边相等。（2）对角相等，邻角互补。 （3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。 ( A B C D 1 2 ) 四边形 四边形 3、菱形的判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。A B C D （2）对角线互相垂直的平行四边形。 （3）四条边都相等的四边形。 （4）菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。 ◆三、矩形的性质与判定： 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。 （1）边：对边平行且相等。 （2）角：四个角都是直角。 （3）对角线：互相平分且相等。 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 智慧乐园 知识要点一 正方形的定义及性质 （1）正方形的定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。 它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 （2）正方形的性质： 正方形具有矩形和菱形的一切性质。 边：对边平行，四边相等。 角：四个角是直角。 对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。 · 典例分析 例1、下列说法正确的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 　 例2、已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（　　） A．256 B．900 C．1024 D．4096 例3、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（　　） A．4 B．3 C．2+ D． 例4、如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为　 　． 　 例5、如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G． （1）求证：CG=CE； （2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积． 例6、【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC=　 　． 【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M． （1）求证：ED=FC． （2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数． 学霸说： 熟练掌正方形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键； · 举一反三 1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是　 　． 4、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，则an= ． 5、如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F． （1）证明：△AGE≌△ECF； （2）求△AEF的面积． 知识要点二 正方形的判定 判定方法 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个角是直角的菱形是正方形。 （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 · 典例分析 例1、下列说法不正确的是（　　） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 例2、如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形 例3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=3AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为　 　． 例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足 分别是E、F． （1）求证：DE=DF； （2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明． · 举一反三 1、菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 2、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是　 ． 3、如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）判断四边形ACED的形状，并说明理由； （2）若BD=8cm，求线段BE的长． 考场直播 1、如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF． （1）证明：EF=CF； （2）当时，求EF的长． 套路揭密： （1）考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法； （2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。 自我挑战 · 建议用时：30分钟 1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 3、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　） A． B． C． D． 4、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣，1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣1，） D．（1，﹣） 　 5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是（　　） A． B．14 C． D． 6、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于　 　． 7、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $