4.5.3函数模型的应用（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，核心内容包括解决实际问题的基本流程、模型选择及数据拟合。课堂通过出租车计费、复利增长等生活情境提问，回顾一次、二次、指数、对数函数旧知，搭建新旧知识支架引导学习。 其亮点是以人口增长、投资方案等真实案例为载体，通过模型选择与数据检验培养数学眼光和思维。如人口模型结合统计局数据验证，体现模型观念与数据意识，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师可借助典例与误区总结提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3函数模型的应用 4.5 函数的应用（2） 学 习 目 标 1 2 3 掌握利用函数模型解决实际问题的基本流程； 能够根据实际情境，选择一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等合适函数模型； 学会根据数据拟合函数模型，利用模型解释现象、预测变化。 生活情境 知识讲解 互动探究 新课引入 生活中存在大量变化规律问题： 出租车计费、匀速行驶路程问题适合什么函数？ 2. 物价复利增长、细菌繁殖一般是什么变化规律？ 3. 地震震级、酸碱度pH常用哪类函数刻画？ 回顾：我们已经学习一次、二次、指数、对数函数。现实中很多变量关系无法直接列式，需要借助数据，搭建函数模型进行分析预测 3 探究问题 知识讲解 互动探究 新课引入 某商品销售单价上涨，销量随之下降，已知几组价格与销量数据。 探究序号 探究问题 核心思考要点 ① 变量是什么？自变量、因变量分别是谁？ 先理清题目中相互关联的两个量； 主动变化的量→自变量； 随自变量变化而变化的量→因变量 ② 二者变化趋势是直线上升下降，还是爆炸式增长/缓慢增长？ 直线升降 ⇒ 一次函数特征； 爆炸式增长/衰减 ⇒ 指数函数特征； 增速越来越缓慢 ⇒ 对数函数特征； 先增后减/先减后增 ⇒ 二次函数特征 ③ 是否可以直接套用某一类函数？算出结果后一定符合现实吗？ 不能盲目套用模型； 函数模型只是对现实规律近似刻画； 计算结果必须检验，若与实际矛盾，需要更换模型 讨论 总结 不能盲目选模型；求出解析式后，要带回实际情境检验，如果与现实偏差过大，需要更换模型。 4 目标一：利用函数模型解决问题的步骤 步骤 知识讲解 互动探究 新课引入 1. 利用函数模型解决实际问题一般步骤 步骤 核心操作 关键注意点 1. 审题 提取题目已知条件，找准相关变量，区分自变量与因变量，梳理变量之间的对应关系 杜绝看错条件、混淆变量，明确实际问题的研究对象 2. 建模 分析变量变化趋势，结合特征选择合适函数模型（一次、二次、指数、对数函数等） 线性变化选一次、最值变化选二次、爆炸增减选指数、缓增缓变选对数 3. 求模 代入已知数据求解参数，确定完整函数解析式，结合实际场景确定自变量取值范围 必须标注实际定义域，变量不能出现负数、小数无意义等情况 4. 解模 利用函数单调性、最值、方程求解等性质，解答题目所求问题（预测、最值、求值等） 严格依据函数性质运算，规范代数求解过程 5. 检验 验证计算结果是否符合实际意义，判断模型是否适配题目情境 结果不合理需更换模型重新计算，不能直接套用数学结果 6. 作答 结合实际场景，用文字规范写出最终结论，回应题目问题 避免只写数字答案，必须贴合实际问题完整作答 6 场景 知识讲解 互动探究 新课引入 2. 常见函数模型适用场景 函数类型 特征 典型应用 一次函数 匀速变化，均匀增减 行程、线性收费、稳定增减量 二次函数 存在最大值或最小值 利润最值、面积最值问题 指数函数 爆炸式增长/衰减 细胞繁殖、复利、衰变 对数函数 增长越来越缓慢 震级、pH、声学分贝 实际问题务必标注定义域，自变量要符合现实！ 7 目标二：应用已知函数模型解决实际问题 人口增长问题 例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律, 可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就 提出了自然状态下的人口增长模型 y = yoert,其中t表示经过的时间,yo表示 t=0 时的人口数,r表示人口的增长率,r是常数. (1)根据国家统计局网站公布的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据,用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型. 典例分析 牛刀小试 分析:用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型,就是要确定其中的 初始量 y。和增长率 r. 解:(1)由题意可设1950年为 t = 0,则 y。 = 55196. 根据马尔萨斯人口增长模型,有67207=55196e9r, 由计算工具得r≈ 0.021876. 因此,用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950~1959年期间的 人口增长模型为y=55196e0.021876t, t∈ [0,9]. 人口增长问题 例1 (2) 利用 (1) 中的模型计算 1951~1958 年各年末的人口总数, 查阅国家 统计局网站公布的我国在 1951~1958 年间各年末的实际人口总数, 检验所得模 型与实际人口数据是否相符. (3) 以 (1) 中的模型作预测, 大约在什么时候我国人口总数达到 13 亿? 典例分析 牛刀小试 (2)分别取t=1, 2, …, 8,由y=55196e0.021876t 可得我国在1951~1958 年间的各年末人口总数;查阅国家统计局网站,得到我国1951~1958年各年末的 实际人口总数,如表所示. 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得 人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 实际人口 总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994 人口增长问题 例1 (2) 利用 (1) 中的模型计算 1951~1958 年各年末的人口总数, 查阅国家 统计局网站公布的我国在 1951~1958 年间各年末的实际人口总数, 检验所得模 型与实际人口数据是否相符. (3) 以 (1) 中的模型作预测, 大约在什么时候我国人口总数达到 13 亿? 典例分析 牛刀小试 根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图,并画出函数 y = (t∈ [0,9])的图象(如图). 由表和图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. 人口增长问题 例1 (2) 利用 (1) 中的模型计算 1951~1958 年各年末的人口总数, 查阅国家 统计局网站公布的我国在 1951~1958 年间各年末的实际人口总数, 检验所得模 型与实际人口数据是否相符. (3) 以 (1) 中的模型作预测, 大约在什么时候我国人口总数达到 13 亿? 典例分析 牛刀小试 (3) 将 y = 130000 代入 y = 55196e0.021876t, 由计算工具得 t ≈ 39.16. 所以, 如果人口按照 (1) 中的模型增长, 那么大约在 1950 年后的 第 40 年 (即 1990 年), 我国的人口就已达到 13 亿. 人口增长问题 例1 思考:事实上,我国1990年的人口数为11.43亿,直到2005年才突破13亿. 对由函数模型所得的结果与实际情况不符,你有何看法? 典例分析 牛刀小试 因为人口基数较大,人口增长过快,与我国经济发展水平产生了较大矛盾, 所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策.因此这一阶段的人口增长 条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件,自然就出现了依模型得到的结果与 实际不符的情况. 举一反三 1. 已知某种放射性物质经过100年后剩余质量是原来质量的95.76%.设质量为1的这种物质,经过x年后剩余质量为y,则x,y之间的关系式是( ) A. y = 0.9576100x B. y = 0.9576 C.y =(0.9576)x D. y=1-0.0424 答案:B 解析:设质量为1的物质1年后剩余质量为a, 则a100 = 0.9576, 所以a=0.9576 ,所以y=ax=0.9576 . 举一反三 2. 放射性核素锶 89的质量 M会按某个衰减率衰减,设初始质量为M。,质量M与时间t(单位:天)的函数关系为 (其中h为常数), 若锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为 50天,那么质量为M。 的锶89 经过 30天衰减后质量大约变为(参考数据:20.6≈1.516)( ) A.0.72M。 B.0.70M。 C.0.68M。 D.0.66M。  答案： 解析：由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，即 ，则.所以质量为的锶89经过30天衰减后，质量大约为.故选D. 举一反三 3.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式中的参量提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能.阿伦尼乌斯公式中的为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度（单位为开尔文，简称开），为频率因子.已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时， ______.（参考数据：）  答案： 解析：由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，即 ，则.所以质量为的锶89经过30天衰减后，质量大约为.故选D. 举一反三 4.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式中的参量提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能.阿伦尼乌斯公式中的为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度（单位为开尔文，简称开），为频率因子.已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时， ______.（参考数据：）  解析:根据题意,温度每增加10开,反应速率常数k变为原来的2倍,则当 温度从300开上升到400开时,反应速率常数k变为300开时的2倍,由 ,当开时,,当开时,,所 以 , , , , , . 举一反三 5.市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中 废气中的污染物含量（单位：毫克 / 升）与过滤时间（单位：小时）之 间的函数关系式为（为自然对数的底数，为污染物的初始 食量）.过滤小时后检测，发现污染物的含量为原来的，则函数的 关系式为；要使污染物的含量不超过初始值的，至少需要 过滤小时.（参考数据：）  答案: ； 解析: 根据题意，得 ，解得 ，所以 . 由 ，得 ，两边取以 为底的对数, 并整理，得 ，所以 .因此，至少需要过滤 小时. 目标三：建立函数模型解决实际问题 水坝何时修建 例2 2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹 泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的? 典例分析 牛刀小试 分析:因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减, 属于指数衰减,所以应选择函数y = kax(k ∈ R,且k≠0; a>0,且a ≠ 1) 建立数学模型. 解:设样本中碳14的初始量为k,衰减率为 p(0< p < 1),经过 x 年后, 残余量为y.根据问题的实际意义,可选择如下模型: y = k(1-p)x (k∈ R, 且k≠0;0<p<1; x≥0). 由碳14 的半衰期为5730年,得k(1-p)5730 = k. x 于是1-p=所以 由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知,= 55.2%k, 即 = 0.552.解得 .由计算工具得x≈4912. 因为2010年之前的4912年是公元前2903年,所以推断此水坝大概是公元 前2903年建成的. 投资方案选择 建模 例3 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种 方案的回报如下: 方案一:每天回报 40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报 10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 典例分析 牛刀小试 分析:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较 它们的增长情况,为选择投资方案提供依据. 解:设第x天所得回报是y 元, 则方案一可以用函数 y = 40 (x∈N*)进行描述; 方案二可以用函数 y =10x(x∈N*)进行描述; 方案三可以用函数 y = 0.4 × 2x−1(x∈N*)进行描述. 三个模型中,第一个是常数函数,后两个都是增函数. 要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析. 投资方案选择 例3 列表 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种 方案的回报如下: 方案一:每天回报 40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报 10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 典例分析 牛刀小试 分析:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较 它们的增长情况,为选择投资方案提供依据.   方案一 方案二 方案三 x y 增加量/元 y 1 40   10 2 40 0 20 3 40 0 30 4 40 0 40 5 40 0 50 6 40 0 60   方案一 方案二 方案三 x y 增加量/元 y 7 40 0 70 8 40 0 80 9 40 0 90 10 40 0 100 … … … … 30 40 0 300 投资方案选择 例3 散点图 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种 方案的回报如下: 方案一:每天回报 40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报 10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 典例分析 牛刀小试 分析:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较 它们的增长情况,为选择投资方案提供依据. 再画出三个函数的图像（如图）. 投资方案选择 例3 增速分析 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种 方案的回报如下: 方案一:每天回报 40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报 10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 典例分析 牛刀小试 分析:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较 它们的增长情况,为选择投资方案提供依据. 由表和图可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函 数,但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到,尽管方案 一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长量 固定不变,而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从第7天开 始,方案三比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二所无 法企及的. 从每天所得回报看,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案 二一样多,方案三最少;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三比其 他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元. 投资方案选择 例3 累计分析 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种 方案的回报如下: 方案一:每天回报 40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报 10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 典例分析 牛刀小试 因此,投资1~6天,应选择方案一;投资7天,应选择方案一或方案二; 投资8~10天,应选择方案二;投资11天(含11天)以上,则应选择方案三. 下面再看累计的回报数,通过信息技术列表如下表. 方案 天数   1 2 3   4 5 6 7 8 9 10 11 -   40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二   10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三   0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 举一反三 1.跟踪训练 2 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司 2024 年全年投入研发资金130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) ( ) A.2024 年 B.2024 年 C.2025 年 D.2026 年 解析设x年后研发资金开始超过200万元, 所以130(1+12%)x>200, 所以1.12x>,所以x>log1.12(), 所以x,所以x>3.8, 故2024年研发资金开始超过200万元, 目标三：建立拟合函数解决实际问题 奖励方案选择 例3 思路 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的 奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元, 同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y = 0.25x, y = log7x + 1,y = 1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求? 典例分析 牛刀小试 分析:本例提供了三个不同增长方式的奖励模型,按要求选择其中一个函数 作为刻画奖金总数与销售利润的关系,由于公司总的利润目标为1000万元,所 以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润,于是,只需在区间[10,1000] 上,寻找并验证所选函数是否满足两条要求:第一,奖金总数不超过5万元,即 最大值不大于5;第二,奖金不超过利润的25%,即y≤0.25x. 不妨先画出函数图象,通过观察函数图象,得到初步的结论,再通过具体计 算,确认结果. 奖励方案选择 例3 图象分析 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的 奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元, 同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y = 0.25x, y = log7x + 1,y = 1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求? 典例分析 牛刀小试 解:借助信息技术画出函数y=5, y = 0.25x, y = log7x + 1, y = 1.002x的图象(如图). 观察图象发现,在区间[10,1000]上,模型 y = 0.25x, y = 1.002* 的图象都 有一部分在直线y=5的上方,只有模型 y = log7x +1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型 y = log7x +1 进行奖励时才符合公司的要求. 奖励方案选择 例3 计算分析一次与指数 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的 奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元, 同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y = 0.25x, y = log7x + 1,y = 1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求? 典例分析 牛刀小试 下面通过计算确认上述判断.先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元. 对于模型 y = 0.25x,它在区间 [10,1000]上单调递增,而且当x=20时, y=5,因此,当x>20时,y>5,所以该模型不符合要求; 对于模型 y = 1.002x,由函数图象,并利用信息技术,可知在区间(805,806) 内有一个点 xo满足 1.002xo = 5,由于它在区间 [10,1000]上单调递增,因此当 x> xo时,y>5,所以该模型也不符合要求; 奖励方案选择 例3 计算分析一次与对数 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的 奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元, 同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y = 0.25x, y = log7x + 1,y = 1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求? 典例分析 牛刀小试 对于模型 y = log7x+1,它在区间 [10,1000] 上单调递增,而且当x=1000时, y = log71000+ 1 ≈ 4.55 <5,所以它符合奖金总数不超过5万元的 要求.再计算按模型 y = log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x∈ [10,1000]时,是否有y≤0.25x,即log7x +1≤0.25x 成立. 令 f(x) = log7x +1 -0.25x, x ∈ [10,1000],利用信息技术画出它的图象 由图象可知函数f(x)在区间 [10,1000] 上单调递减, 因此 f(x)≤f(10) ≈- 0.3167 < 0, 即 log7x + 1 < 0.25x. 所以,当x∈ [10,1000] 时, y≤0.25x,说明按模型 y = log7x +1 奖励, 奖金不会超过利润的25%. 综上所述,模型 y = log7x +1 确实能符合公司要求 举一反三 1. 近年来,我国积极参与国际组织,承担国际责任,为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多 机遇,因此,面临职业选择时,越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.其中,某位 大学生带领其团队自主创业,通过直播带货的方式销售农产品,下面为三年农产品销售量的统 计表: 年份 2024 2024 2024 销售量/万斤 41 55 83 结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况,该大学生提出了2024年销售115万斤特色 农产品的目标,经过创业团队所有队员的共同努力,2024年实际销售123万斤,超额完成预定目标. (1)将2024,2024,2024,2024年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年,现有两个函数模型:二 次函数模型为f(x)=ax²+bx+c(a≠0);幂函数模型为g(x)=kx³+mx+n(k≠0).请你通过计算解题思路确定:选 解 (1)若选择二次函数模型， 依题意,将前三年数据分别代入 得解得 所以 将代入 得 所以此与2024年实际销售量的误差为 (万斤). 若选择幂函数模型， 依题意,将前三年数据分别代入, 得解得 所以. 将代入, 得, 所以此与2024年实际销售量的误差为 (万斤). 显然, 因此,选用二次函数模型能更好地反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系. (2)依据(1),选用二次函数模型进行预测, 得(万斤). 即预测该创业团队在2024年的农产品销售量为181万斤. 目标四：小结 学海拾贝 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) 幂函数型模型 f(x)=ax𝛂+b(a,b为常数,a≠0) 常见 的函数模型 学海拾贝 常见误区: 1. 忽略自变量实际定义域，出现无意义解（人数、产量不能负）； 2. 随意选择函数模型，不分析变化趋势； 3. 算出数学结果直接作答，缺少实际检验环节； 4. 混淆指数增长与对数增长特征； 5. 应用题最终不回归文字作答。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $