第2章 一元二次方程（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，融合工业机器人销量、商品利润等时代与生活情境，考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习强化需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|定义、配方法、根与系数关系|第7题结合工业机器人销量考增长率（时代情境）| |填空题|8/16|方程构造、参数取值、韦达定理|第9题自编含1的方程（抽象能力）| |解答题|11/68|含参问题、几何应用、新定义|第27题“邻根方程”（创新意识）、第20题商品利润（模型意识）|

第2章 一元二次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C A C A C 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．（答案不唯一） 10． 11． 12． 13．4 14． 15． 16． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17． 【详解】解：， ， ， ． ， ，．...............3分 18． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴根的判别式， 解得：，...............2分 又∵k为正整数， ∴， 将代入原方程，得， 整理得：， 解得：．...............5分 19． 【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以，...............2分 正确解答： ， ， 或 解得，．...............5分 20． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为；...............2分 （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元．...............5分 21． 【详解】（1）证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根．...............2分 （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得．...............5分 22． 【详解】（1）解：右边宽与天头长的比为，右边宽为， 天头长为；...............2分 （2）由题意可知：装裱后长为，装裱后宽为， （舍去），， 答：右边宽为厘米．...............6分 23． 【详解】（1）解：由韦达定理可知： ，， ∴原式 ， ∴原式的值为；...............3分 （2）解：原式      ∴原式的值为．...............3分 24． 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为．...............3分 （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米．...............6分 25． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：；...............2分 （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ．...............6分 26． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根．...............4分 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，．...............10分 27． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③．...............2分 （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或．...............6分 （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴．...............11分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 3．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 4．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程求出参数k的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得 ，化简得， 解得， 原方程为，对方程左边因式分解得， 解得或， 因此方程的另一个根为． 5．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 6．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 7．近年来，我国机器人产业综合实力实现了大步跨越．2023年我国市场工业机器人销量约为28.2万台，2025年我国市场工业机器人销量约为38.6万台．设从2023年到2025年我国市场工业机器人销量的年平均增长率为，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长规律，用初始销量、年平均增长率表示出两年后的销量，即可列出方程． 【详解】解：∵从2023年到2025年共经过年，年平均增长率为，2023年销量为万台，2025年销量为万台， ∴2024年销量为万台， 2025年销量为万台， 因此可列方程为． 8．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．写出一个它的解包含1的一元二次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由于一元二次方程的解包含1，根据根的定义，代入后方程成立，即系数满足，因此可构造满足此条件的方程即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（）， 若是该方程的一个解， 则代入后，有； 因此，只需选择系数使即可， 例如方程可以为； 故答案为（答案不唯一）． 10．将一元二次方程化成一般形式为__ ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式：（）． 通过移项将方程化为一般形式（）． 【详解】解：原方程为，移项得． 故答案为：． 11．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 12．若是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，解题的关键是正确掌握一元二次方程的解的意义． 首先把代入一元二次方程中，可得到即可求解． 【详解】是一元二次方程的一个根， ， ． 故答案为：． 13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，且方程有两个相等的实数根， ， 解得． 14．已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据根与系数的关系有：，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴， ∴． 15．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 16．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【分析】设两条直角边长为一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理即可求出斜边长． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴ ， ， 又∵该三角形为直角三角形， ∴， ∴ ， ∵ ， ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 18．关于x的方程有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 【答案】 ，此时方程的解为 【分析】先利用一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式非负，据此求出k的取值范围，再结合k为正整数确定k的取值，最后代入原方程求解方程的根即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴根的判别式， 解得：， 又∵k为正整数， ∴， 将代入原方程，得， 整理得：， 解得：． 19．甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【详解】略 20．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1)证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合互为相反数的两数和为，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 22．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为________；（用含的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2)右边宽为厘米 【详解】（1）解：右边宽与天头长的比为，右边宽为， 天头长为； （2）由题意可知：装裱后长为，装裱后宽为， （舍去），， 答：右边宽为厘米． 23．已知是方程的两实数根，利用韦达定理求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数的值，解题的关键是掌握韦达定理． （1）利用韦达定理进行求解即可； （2）利用韦达定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由韦达定理可知： ，， ∴原式 ， ∴原式的值为； （2）解：原式      ∴原式的值为． 24．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【答案】(1)； (2)的长度为16米 【分析】（1）由的长为x米，可得边所用隔栏绳，将绳子全长减去，边所用隔栏绳绳长，即可表示出的长度，根据的长度不超过墙的最大可利用长度为24米列出不等式，求解即可； （2）根据表演区的面积为320平方米列出方程，求解并结合（1）中x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米． 25．已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 26．已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出和，再整理，代入和列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，． 27．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章一元二次方程（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.下列是一元二次方程的是() A.x2+3=1 B.x2-x=2 C.2(x-1)=4x D.x2+3y=1 2.关于x的一元二次方程2x2+3x+3=0的常数项是() A.4 B.0 C.3 D.-3 3.将方程2+4x-7=0用配方法化为x+=b的形式，则a,b的值为（) A.a=2,b=3B.a=2,b=11C.a=-2,b=11D.a=-2,b=3 4.已知关于x的一元二次方程2x2+x-6=0的一个根是2，则它的另一个根是() 3 A.-3 B.3 c.2 3 D. 5.已知一元二次方程-3x-5= 的两根为，无，则5--的值为() A.-8 B.-2 C.8 D.2 6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 7.近年来，我国机器人产业综合实力实现了大步跨越.2023年我国市场工业机器人销量约为28.2万台， 2025年我国市场工业机器人销量约为38.6万台.设从2023年到2025年我国市场工业机器人销量的年平均 增长率为x,依题意可列方程为() 28.21+x)2=38.6 28.21-x)2=38.6 A. B 28.2(1+2x)=38.6 D.28.201-2x)=38.6 8若关于x的一元二次方程2+m=0的一个根为1，则方程m(x+3+”=0的根是() A.-1或1 B.-1或-2 C.-2或-4 D.1或4 1/4 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.写出一个它的解包含1的一元二次方程： 10.将一元二次方程x2-3=4x化成一般形式为一. 11. 若关于x的方程c-)r+9x-4= 是一元二次方程，则c= 12.若x=1是一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，则b+c的值为 13.关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为一 14.已知一元二次方程x2+3x-2=0的两个实数根分别为a、b,则代数式a2-3b+3的值为 15.如图，一块长16m、宽10m的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪， 3 石板小径的总面积占矩形地块面积的10，则石板小径的宽度为 一m 16m 16.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是一元二次方程x2-7x+4=0的两个根，则这个直角三角 形的斜边长是」 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.解方程：x2+8x-9=0 18.关于x的方程x2-2x+k=0有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解 19.甲同学在解方程(x-4)+4=x 时的解答过程如下： 解：移项，得(-4)=x-4 …① 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两边同除以：-4) 得=1 …② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答， 20.某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为 90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件.设该商品的售价定为x元件. (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量： (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价。 21.已知关于*的一元=次方程-(m+2x+2m=0 (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值， 22.小字要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白 处统称为边，已知原作品的长为60cm,宽为24cm,在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相 等，且右边宽与天头长的比为l:5,设右边宽为xcm, 天头长 雄 才 左边宽 大 右边宽 略 地头长 (1)天头长为 cm;(用含x的代数式表示) (2)若装裱后作品总面积为2700cm’,则右边宽为多少厘米？ 23.已知 是方程 2-4x-6=0 的两实数根，利用韦达定理求下列各式的值. 0)545+5x 1,1 (2)xx2 24.为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一 边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的 3/4 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中AB的长度用x米表示. D 出口 入口 B (I)BC的长度可表示为_米，并直接写出x的取值范围： (2②)若矩形表演区的面积为320平方米，那么AB的长度多少米？ 25.己知四边形4BCD相邻两边AB,AD的长度分别是关于x的一元二次方程 2+(2a-1)x+a2=0 的两个 实数根， (I)若四边形ABCD为菱形，求a的值： ②)若四边形1BCD为矩形，且该矩形对角线4C的长度为 ，求”的值。 26.己知，关于x的一元二次方程x2+ax+a-2=0 (I)求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根： (②若方程的两个实数根，，满足+巧=-3 求的值. 27.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+br+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其 中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”. ()下列方程中，按上述定义_（填序号）是“邻根方程”· ①x2+x=0；②x2-2x+1=0;③x2+3x+2=0. (2)若(x-2)x+m)=0是“邻根方程”，求n的值. (3)若一元二次方程ar+br+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)为“邻根方程”，求出a,b,C应满足 的数量关系 414