甘肃兰州市第五十九中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

**基本信息** 以数学文化情境（如刘徽测量球体高度、托勒密定理应用）与梯度化问题设计为亮点，覆盖向量运算、三角恒等变换、解三角形等高一核心知识，注重数学眼光（空间形式观察）与思维（逻辑推理）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量垂直判定（题1）、三角求值（题5）|基础概念辨析，结合几何直观| |多选题|3/18|解三角形命题判断（题11）、三角公式应用（题10）|多维度能力考查，体现推理意识| |填空题|3/15|向量与解三角形综合（题12）、三角恒等变换（题13）|知识交汇，强化运算能力| |解答题|5/77|向量几何应用（题15）、数学文化实践（题19）|分层设计，从基础运算到创新应用，突出数学语言表达|

兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 A.a⊥b　　　 　 B.|a|=|b| C.a∥b　　　　 D.|a|>|b| 2.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 3.下列各式中不能化简为的是 A.-()-() B.- C.()- D.-() 4.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 A.(-2,6)　　　　 B.(-6,2) C.(-2,4)　　　 D.(-4,6) 5.cos2= A. 6.已知,则tan= A.2 7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B= A. 8.古代数学家刘徽编撰的《海岛算经》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《海岛算经》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100 m,则该球体建筑物的高度约为 (cos 10°≈0.985) A.49.25 m　　　 　B.50.76 m　　　 　C.56.74 m　　　 　D.58.60 m 二、多选题（每题6分，共18分） 9.如图,已知△ABC中,B=,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则 A.2 B.的最小值为-2 C. D.若,则x+y的最大值为1+ 10.下列选项中,值为的是 A.2cos215° B.sin 27°cos 3°+cos 27°sin 3° C.2sin 15°sin 75° D. 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题为真命题的是 A.若A>B,则sin A>sin B B.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形 C.若acos A=bcos B,则△ABC为等腰三角形 D.若a=8,c=10,A=45°,则符合条件的△ABC有两个 三、填空题（每题5分，共15分） 12.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是　　　　.  13.已知0<β<α<,cos(α-β)=,cos αcos β=,则=　　　　.  14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2sin A=6sin C,(a+c)2=18+b2,则△ABC的面积为　　　　.  四、解答题（共77分） 15.（13分）完成下列小题： （1）设D为△ABC内一点,且,则△ACD与△BCD的面积比为是多少？ （2）已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,请计算a·b+b·c+c·a的值。 （3）已知正方形ABCD的边长为1,,其中λ,μ为实数,求λ+μ的值;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则的最小值为多少？  16.（15分）完成下列小题： （1）已知tan θ=2,则的值是多少？ （2）已知α为锐角,sin αsin,则sin α的值是多少？ （3）已知=6,tan αtan=3,则cos(4α+4β)的值是多少？ 17.（15分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由. 18.（17分）已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2b-2ccos A. (1)求角C; (2)若c=4,sin Asin B=,求△ABC的面积. 19.（17分）古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究,终于有重大发现:任意一凸四边形,两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积,当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长,四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料,解决以下问题: 如图,在凸四边形ABCD中, 　　 (1)如图1,若AB=,BC=1,∠ACD=,AC=CD,求线段BD长度的最大值; (2)如图2,若AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求四边形ABCD面积取得最大值时角A的余弦值,并求出四边形ABCD面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $