专题02 二次根式的运算（8题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以8大题型为框架，通过“概念辨析-运算技巧-综合应用”三级递进，系统提炼二次根式运算的核心方法与解题策略，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同类二次根式|3典例+3变式|最简根式化→被开方数比较|概念基础→加减运算前提| |乘除运算|3典例+3变式|合并被开方数→因式分解化简|定义推导→基础运算技能| |混合运算|1典例+3变式|公式优先（平方差/完全平方）→分步化简|运算律综合→统考大题核心| |分母有理化|4典例+4变式|匹配有理化因式（单项式/多项式）|根式性质→代数变形工具| |化简求值|4典例+10变式|先化简代数式→代入计算|代数化简→综合应用能力| |大小比较|2典例+3变式|平方比较/作差/有理化法|实数性质→逻辑推理训练| |应用|2典例+3变式|建立根式模型→解决实际问题|数学建模→现实应用素养|

专题02 二次根式的运算（8题型突破·举一反三） 题型01 同类二次根式 题型02 二次根式乘除基础运算 题型03 二次根式加减运算 题型04 二次根式混合运算（统考大题必考） 题型05 分母有理化（选择填空高频） 题型06 根式化简求值（期末解答题） 题型07 二次根式大小比较 题型08 二次根式的应用 ▌题型01 同类二次根式 将二次根式全部化为最简形式后，被开方数完全相同的二次根式互为同类二次根式。二次根式加减运算仅能合并同类二次根式，非同类根式不可合并。 【典例1-1】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意； B、∵，被开方数为2，与相同，故此选项符合题意； C、∵，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意． ∴ 故选：B． 【典例1-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 【典例1-3】若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 【答案】 【详解】∵与是同类二次根式， ∴设（为正整数）， 整理得， 当 时，，不是正整数，不符合要求， 当 时， ，是正整数，符合要求， ∴的最小正整数是． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解： A：，被开方数为，不符合题意； B：，化为最简二次根式后被开方数为，，被开方数为，不符合题意； C：被开方数为，被开方数不同，不符合题意； D：， ， 两者被开方数均为，是同类二次根式，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）在，，，，，中不是的同类二次根式的有________． 【答案】， 【详解】解：二次根式，，，，，， 与不是同类二次根式是：，． 故答案为：，． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． ▌题型02 二次根式乘除基础运算 相乘先合并被开方数，因式分解提取平方数，最终化为最简；除法统一写分式形式，再化简求值。 【典例2-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【典例2-2】（25-26八年级上·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【典例2-3】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海松江·期末）计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2-3】计算： 【答案】 【详解】解： ． ▌题型03 二次根式加减运算 先化简，后合并，非同类根式绝对不能合并。 【典例3-1】（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【典例3-2】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【典例3-3】（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-3】计算： 【答案】 【详解】解： 【变式3-4】（25-26八年级上·上海·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌题型04 二次根式混合运算（统考大题必考） 优先套用平方差、完全平方公式简化计算，减少运算失误。 【典例4】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： 【变式4-3】计算：． 【答案】 【详解】解： ． ▌题型05 分母有理化（选择填空高频） 分为单项式分母、多项式分母两类考法，核心是匹配对应有理化因式。 【典例5-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各选项中，的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据互为有理化因式定义可知： 与互为有理化因式的是． 故选：B． 【典例5-2】（24-25八年级上·上海·阶段检测）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 【典例5-3】分母有理化：_______． 【答案】 【详解】． 【典例5-4】（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】 移项，得. 合并同类项，得. ， . . 即． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 【变式5-2】（（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式5-3】（（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 【变式5-4】（（25-26八年级上·上海宝山·期末）求不等式的解集___________ 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． ▌题型06 根式化简求值（期末解答题） 先化简代数式，再代入数值计算，严禁直接硬算，简化运算量。 【典例6-1】（25-26八年级上·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 【典例6-2】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知：，，求的值． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例6-3】（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知：，，且，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 【典例6-4】阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式. 【变式6-1】（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·期中）化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】， 【详解】解： 当时，原式． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：原式 当，时，原式． 【变式6-4】（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴， ∴， ∴原式． 【变式6-5】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式6-6】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式6-7】（25-26八年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式， ， ， ， ，， 原式 ． 【变式6-8】（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 【变式6-9】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，求的值． 【答案】 【详解】解：由，得，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式6-10】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，其中a、x、y为两两不等的实数，求的值． 【答案】 【详解】解：∵在实数范围内成立， ∴，即，， 又∵， ∴，原等式可变为， ∴， ∴． ▌题型07 二次根式大小比较 三种通用解题方法： 1. 平方比较法（首选）：正数根式，平方后数值越大，原根式越大。 2. 作差法：两式相减，差大于0则前者大，差小于0则后者大。 3. 有理化法：分子相同，分母越大，根式数值越小。 【典例7-1】（24-25八年级上·上海·阶段检测）比较大小__________ 【答案】 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例7-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）比较大小： （1）________； （2）________． 【答案】 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，，用“”连接它们得______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【答案】（1）1，1；（2）；（3） 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：1，1； （2）∵ ， ∴ ， 故答案为：； （3） ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； (4)，理由如下： ， ， ， 故． ▌题型08 二次根式的应用 【典例8-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【详解】（1）解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； （2）解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 【典例8-2】现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 【变式8-1】情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 【答案】(1)的长为(2)剩余部分（阴影）的面积 【详解】(1)解：∵小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为， ∴小正方形①的边长，小正方形②的边长， ∵， ∴， ∴的长为； (2)解：由(1)知大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④， ∴切下两块完全相同的最大的正方形边长为， ∴切下两块完全相同的最大的正方形面积为， ∴剩余部分（阴影）的面积． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 【变式8-3】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算（8题型突破·举一反三） 题型01 同类二次根式 题型02 二次根式乘除基础运算 题型03 二次根式加减运算 题型04 二次根式混合运算（统考大题必考） 题型05 分母有理化（选择填空高频） 题型06 根式化简求值（期末解答题） 题型07 二次根式大小比较 题型08 二次根式的应用 ▌题型01 同类二次根式 将二次根式全部化为最简形式后，被开方数完全相同的二次根式互为同类二次根式。二次根式加减运算仅能合并同类二次根式，非同类根式不可合并。 【典例1-1】（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【典例1-3】若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）在，，，，，中不是的同类二次根式的有________． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． ▌题型02 二次根式乘除基础运算 相乘先合并被开方数，因式分解提取平方数，最终化为最简；除法统一写分式形式，再化简求值。 【典例2-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【典例2-2】（25-26八年级上·上海静安·期中）计算：． 【典例2-3】计算：． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海松江·期末）计算：； 【变式2-3】计算： ▌题型03 二次根式加减运算 先化简，后合并，非同类根式绝对不能合并。 【典例3-1】（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【典例3-2】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）计算：． 【典例3-3】（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【变式3-3】计算： 【变式3-4】（25-26八年级上·上海·期末）计算： (1)． (2)． ▌题型04 二次根式混合运算（统考大题必考） 优先套用平方差、完全平方公式简化计算，减少运算失误。 【典例4】计算：． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【变式4-3】计算：． ▌题型05 分母有理化（选择填空高频） 分为单项式分母、多项式分母两类考法，核心是匹配对应有理化因式。 【典例5-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各选项中，的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（24-25八年级上·上海·阶段检测）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【典例5-3】分母有理化：_______． 【典例5-4】（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集为_____． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【变式5-4】（（25-26八年级上·上海宝山·期末）求不等式的解集___________ ▌题型06 根式化简求值（期末解答题） 先化简代数式，再代入数值计算，严禁直接硬算，简化运算量。 【典例6-1】（25-26八年级上·上海·期中）先化简再求值∶，其中， 【典例6-2】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知：，，求的值． 【典例6-3】（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知：，，且，求的值． 【典例6-4】阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·期中）化简求值：当时，求代数式的值． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【变式6-4】（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式6-5】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）先化简，后求值：，其中． 【变式6-6】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，求的值． 【变式6-7】（25-26八年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【变式6-8】（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知，求的值． 【变式6-9】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，求的值． 【变式6-10】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，其中a、x、y为两两不等的实数，求的值． ▌题型07 二次根式大小比较 三种通用解题方法： 1. 平方比较法（首选）：正数根式，平方后数值越大，原根式越大。 2. 作差法：两式相减，差大于0则前者大，差小于0则后者大。 3. 有理化法：分子相同，分母越大，根式数值越小。 【典例7-1】（24-25八年级上·上海·阶段检测）比较大小__________ 【典例7-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）比较大小： （1）________； （2）________． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，，用“”连接它们得______． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【变式7-3】阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． ▌题型08 二次根式的应用 【典例8-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【典例8-2】现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【变式8-1】情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【变式8-3】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $