重难点专题03 二次根式的概念与性质（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-条件-性质”为逻辑主线，通过判定依据+解题步骤+分层训练构建二次根式专项突破体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的概念|多题型覆盖（选择/填空/解答）|两点判定法（根号+非负被开方数）、参数取值范围不等式组法|从识别到求值再到参数求解，形成概念应用递进链| |二次根式有意义的条件|多地区期末题|被开方数非负+分母不为0的不等式组解法|深化概念核心，强化隐含条件挖掘能力| |二次根式的性质|含复合根式化简题|性质公式法（√a²=|a|）、分层化简法（由内向外）|从基础化简到复合根式，实现性质应用拓展|

重难点专题03 二次根式的概念与性质 模块一、二次根式的概念 重难点一、二次根式的识别 判定依据：式子同时满足两点，一是带有二次根号 “”，二是被开方数为非负数。识别题目不要只看根号，需要观察被开方数取值范围。注意才是标准二次根式，像不是二次根式；同时区分四次根式等其他根式，避免混淆。 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式有意义的条件、二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数是非负数，据此逐一判断选项即可 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2，被开方数为非负数两个条件 选项A中，当时，无意义，不一定是二次根式，不符合要求； 选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式，符合要求； 选项D中，根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合要求 2．（25-26八年级下·吉林·期末）下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次根式的识别 【详解】解：二次根式要求被开方数是非负数． A、中的，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项A不符合题意； B、中的，当时不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项B不符合题意； C、中的，当时，，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项C不符合题意； D，中的，符合被开方数为非负数，故是二次根式，选项D符合题意． 3．（25-26八年级下·山东聊城·期末）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次根式的识别 【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：被开方数为负，根指数为3，均不是二次根式． 当时，的被开方数小于0，不是二次根式． ∵， ∴ ∴一定是二次根式． 4．（21-22八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 5．（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.78 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 7．（25-26八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、二次根式的识别 【分析】分别找出单项式的系数和次数的变化规律，即可推出第n个单项式的表达式． 【详解】解：将已知单项式按序号整理可得： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， ... 根据规律可得，第个单项式的系数为，的次数为， ∴第个单项式为． 8．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：；第个单项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、单项式的系数、次数、单项式规律题、二次根式的识别 【分析】分别找出单项式的系数和字母指数的规律，即可得到第个单项式． 【详解】解：将单项式分为系数和的指数两部分分别找规律： 时，第1个单项式为； 时，第2个单项式为； 时，第3个单项式为； ... ∵系数部分根号内的数随序号变化， 第个单项式的系数部分为； 的指数为连续奇数，第个单项式中的指数为； ∴第个单项式是． 重难点二、求二次根式的值 先确定被开方数数值，借助进行计算。代入数值前，先检验被开方数是否非负，保证根式有意义。若含有字母，结合已知条件判断符号，化简后再求值；运算遵循实数运算顺序，最终结果保持最简形式，不可保留能开方的因式。 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】求二次根式的值 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 3．（2026·山西晋中·二模）伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围、求二次根式的值 【分析】将已知的h和g代入公式得到t的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t的范围即可 【详解】解：∵ ，， 代入公式 得： ， 又∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间 4．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、立方根概念理解、求二次根式的值 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、求二次根式的值 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 6．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）当时，代数式的值为________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求二次根式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】将代入代数式，再根据二次根式的化简法则计算即可得到结果． 【详解】当时， ． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为__________． 【答案】2 【难度】0.95 【知识点】求二次根式的值 【详解】解：当时，． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求二次根式的值 【分析】将的值代入二次根式计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 9．（2024·四川德阳·中考真题）二次根式的值是 _________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求二次根式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 因此． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 11．（20-21八年级下·湖北荆门·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 重难点三、求二次根式中的参数 根据二次根式定义列出不等式：被开方数≥0；若同时存在分母，额外增加分母≠0 的限制条件。联立不等式求解参数取值范围，有多个限制条件时取解集的公共部分。求出范围后检验边界数值，确认能否取等号，防止出现增根。 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数、化为最简二次根式 【分析】先对72分解因数，将根号内整理为平方数与剩余因数乘积的形式，根据二次根式结果为整数的要求，即可求出最小正整数n． 【详解】解：∵ ∴ ∵是整数，且n为正整数 ∴是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为． 2．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 3．（25-26八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 4．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 5．（25-26八年级下·湖北·期中）已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.9 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的定义，先确定被开方数的取值范围，再结合是整数，得到为不大于18的非负完全平方数，即可求出符合题意的自然数． 【详解】解：根据二次根式的定义，得， 解得， 是自然数，是整数， 为不大于18的完全平方数，到之间的完全平方数有， 当时，，符合题意． 6．（24-25八年级下·吉林松原·阶段检测）若二次根式，则_______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求二次根式中的参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】将等式两边同时平方，转化为一元一次方程求解，再验证二次根式有意义的条件即可得到结果． 【详解】解：对两边同时平方， 得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 验证：当时，，满足二次根式有意义的条件． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与相等，则_______． 【答案】2 【难度】0.76 【知识点】求二次根式中的参数、同类二次根式 【分析】根据定义得出，求出，然后代入计算即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与相等， ∴， 解得， ∴． 8．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、负整数指数幂、求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）若是整数，且是自然数，则的值是__________． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及一元二次方程根的判别式．设（为自然数），则，整理得关于的二次方程，其判别式，需为完全平方数．令，得，因式分解后根据整数解条件求解和，再代入求根公式得的值即可解答． 【详解】解：设自然数满足（为自然数）， 则，整理得， 将方程看作关于的二次方程， 其判别式需为完全平方数：， 设（为整数）， 则， 因式分解得， 由于为质数，其整数因式分解为或， 故有：①， ，解得，， ②，，解得，， ③， ，解得（舍去，因为为自然数）， ④，，解得（舍去，因为为自然数）， 将代入原方程，解得，即或， 验证这两个解均满足原方程， 故答案为：或． 10．（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】或或 【难度】0.4 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 模块二、二次根式有意义的条件 重难点一、二次根式有意义的条件 核心规则：二次根式有意义，要求被开方数a≥0。如果式子同时包含分式、多个二次根式，需分别列出不等式组：每个根号内代数式≥0，分母不等于 0。求出所有不等式解集，取交集，得到自变量取值范围，做题不要遗漏隐藏限制条件。 1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求出的取值范围，再结合选项判断正确结果． 【详解】解：依题意，． 解得． 四个选项中只有，满足条件． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若是二次根式，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 各选项中只有满足． 3．（2022八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件逐个分析即可． 【详解】解：， ， 二次根式没有意义的是． 5．（2022七年级·湖南长沙·竞赛）代数式＋＋的最小值是（    ） A．0 B．1＋ C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、二次根式有意义的条件 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再结合算术平方根的性质求代数式的最小值． 【详解】解：要使代数式有意义，需满足，，．解得． ∵ 被开方数越大，算术平方根越大， ∴ 当时，，，的值均随的增大而增大． ∴ 代数式的值随的增大而增大． ∴ 当时，代数式取得最小值．代入得最小值为． 6．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段检测）当_________时，式子在实数范围内有意义． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数满足 ， 解得． 7．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）当_____时二次根式有最小值． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的被开方数为非负数，二次根式的最小值为0，据此列方程求解x即可． 【详解】解： 二次根式的被开方数满足非负要求， ， 的最小值为，此时， 解得， 即当时二次根式有最小值． 8．（21-22九年级下·云南曲靖·期中）若都是实数，且，则的算术平方根是______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式被开方数非负的性质求出的值，再代入求出的值，最后计算的算术平方根. 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴，， 解得， 把代入，得， ∴， ∵的算术平方根为， ∴的算术平方根是． 9．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）已知实数满足，则的值为________________； 【答案】 【难度】0.56 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再化简绝对值，然后两边平方可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， . 10．（25-26八年级下·云南昭通·期末）若，则______． 【答案】2027 【难度】0.4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 模块三、二次根式的性质 重难点一、利用二次根式的性质化简 熟练掌握两条核心性质：。化简关键先判断字母正负；正数绝对值为本身，负数绝对值取相反数。化简前挖掘题干隐含条件确定取值范围，去掉绝对值符号，最终结果保证不含平方因式。 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简 【详解】解：，故A错误； ，故B，D错误，C正确． 3．（25-26八年级下·吉林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 4．（2026·安徽芜湖·三模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、同底数幂相乘、幂的乘方运算、利用二次根式的性质化简 【详解】A选项，故A计算错误； B选项立方根性质正确； C选项，故C计算错误； D选项，故D计算错误． 5．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】无理数的大小估算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【详解】解：，且， ， ． 6．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】根据数轴可判断出的符号，根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 7．（21-22八年级下·辽宁盘锦·期中）化简：_______________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】先由点在数轴上的位置确定字母及式子符号，再由二次根式性质化简，然后去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由在数轴上的位置可得，且， ， 则． 重难点二、复合二次根式的化简 复合根式化简优先分层处理，先判断每层被开方数正负。遇到多层根号，由内向外逐步化简，常结合去掉根号。借助题目条件判定字母符号，准确去掉绝对值；化简完成后回代检验，保证每一层根式内数值均为非负数。 1．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 2．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 【答案】 2 2 【难度】0.85 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 3．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简：____________________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 7．（24-25八年级下·山东泰安·阶段检测）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【难度】0.85 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 8．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 9．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【难度】0.6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 10．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【难度】0.45 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的应用、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03 二次根式的概念与性质 模块一、二次根式的概念 重难点一、二次根式的识别 判定依据：式子同时满足两点，一是带有二次根号 “”，二是被开方数为非负数。识别题目不要只看根号，需要观察被开方数取值范围。注意才是标准二次根式，像不是二次根式；同时区分四次根式等其他根式，避免混淆。 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东聊城·期末）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：；第个单项式为（     ） A． B． C． D． 重难点二、求二次根式的值 先确定被开方数数值，借助进行计算。代入数值前，先检验被开方数是否非负，保证根式有意义。若含有字母，结合已知条件判断符号，化简后再求值；运算遵循实数运算顺序，最终结果保持最简形式，不可保留能开方的因式。 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026·山西晋中·二模）伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）当时，代数式的值为________． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为__________． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为________． 9．（2024·四川德阳·中考真题）二次根式的值是 _________． 10．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 11．（20-21八年级下·湖北荆门·阶段检测）已知，则________． 重难点三、求二次根式中的参数 根据二次根式定义列出不等式：被开方数≥0；若同时存在分母，额外增加分母≠0 的限制条件。联立不等式求解参数取值范围，有多个限制条件时取解集的公共部分。求出范围后检验边界数值，确认能否取等号，防止出现增根。 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 3．（25-26八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则正整数的最小值为____________． 4．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 5．（25-26八年级下·湖北·期中）已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 6．（24-25八年级下·吉林松原·阶段检测）若二次根式，则_______． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与相等，则_______． 8．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y满足，则的值为__________． 9．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）若是整数，且是自然数，则的值是__________． 10．（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 模块二、二次根式有意义的条件 重难点一、二次根式有意义的条件 核心规则：二次根式有意义，要求被开方数a≥0。如果式子同时包含分式、多个二次根式，需分别列出不等式组：每个根号内代数式≥0，分母不等于 0。求出所有不等式解集，取交集，得到自变量取值范围，做题不要遗漏隐藏限制条件。 1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若是二次根式，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 3．（2022八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022七年级·湖南长沙·竞赛）代数式＋＋的最小值是（    ） A．0 B．1＋ C．1 D．2 6．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段检测）当_________时，式子在实数范围内有意义． 7．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）当_____时二次根式有最小值． 8．（21-22九年级下·云南曲靖·期中）若都是实数，且，则的算术平方根是______． 9．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）已知实数满足，则的值为________________； 10．（25-26八年级下·云南昭通·期末）若，则______． 模块三、二次根式的性质 重难点一、利用二次根式的性质化简 熟练掌握两条核心性质：。化简关键先判断字母正负；正数绝对值为本身，负数绝对值取相反数。化简前挖掘题干隐含条件确定取值范围，去掉绝对值符号，最终结果保证不含平方因式。 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·吉林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽芜湖·三模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 7．（21-22八年级下·辽宁盘锦·期中）化简：_______________． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 重难点二、复合二次根式的化简 复合根式化简优先分层处理，先判断每层被开方数正负。遇到多层根号，由内向外逐步化简，常结合去掉根号。借助题目条件判定字母符号，准确去掉绝对值；化简完成后回代检验，保证每一层根式内数值均为非负数。 1．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 2．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 3．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简：____________________． 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 7．（24-25八年级下·山东泰安·阶段检测）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 8．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 10．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $