专题12 二次函数解答题压轴（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编2024-2026年全国多省市中考二次函数解答题压轴真题，聚焦7大核心考点，含新定义、存在性等综合题型，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|30+题/4-12分|二次函数图象与性质、新定义问题、最值、定值定点、角度相等、面积相等、存在性|新定义类问题（如2026四川广元“顶点弦”）、存在性问题（如2026江苏连云港等腰三角形存在性），贴合全国中考压轴命题趋势，注重分类讨论与代数几何综合|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12二次函数解答题压轴 答案版 品 考点01二次函数的图象与性质解答题 1【许解】新：铠物线cy=a+x+ca0经过点0，后2 :c=1-a a 、1 .抛物线C1的对称轴为X=二 品日 ∴.b=-2: (2)解：设点Mt,y' .M是抛物线C1上的点， ∴y=at2-2t+1-0 由题意，抛物线C2:y=ax-t}+at2-2t+1-a 设抛物线C2与y轴交于点N(0,y2,则y,=2at2-2t+1-0 a 无论t为何值，抛物线C2都不经过点O, ∴无论t为何值，都有y2≠0， 关于t的方程2at2-2t+-0=01a≠0没有实数根. a .4<0,即4-8a.1-0<0. 4-81-a<0, 化简得：8a-4<0, 1/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：a<立 1 a<号且a≠0. 2【详解】(1)解：：a=3 :.二次函数y=3x-4ax+4=3X2-4×3x+4=3x2-6x+4=3x-1+1, 2 ∴函数图象的顶点坐标为1,1： (2)解：二次函数为y=3x2-4ax+4, ÷对称维为线=2智-号 ,当1≤x≤4时，y随x的增大而减小， .2 3a≥4，解得a≥6： ,当8≤x≤12时，y随x的增大而增大， 2 0≤8，解得a≤12 ∴.a的取值范围是6≤a≤12。 3.【详解】(1)解：b=1,c=2, 1+9 y=-x+x+2=-x-2+4 :抛物线的顶点坐标为 19 4 (2)i证明：：抛物线上的点Px,y,在x轴上方， ∴.yo=-x0+bx+c>0' ∴.c=x-bxo+yo ∴.b2-4×-1×c=b2+4c=b2+4x6-4bx+4y=2x0-b2+4y0>0' 即方程-x+bx+c=0有两个不相等的实数根， 2/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .抛物线与X轴有两个交点. (B)CD和DE的数量关系是CD=DE' 证明：.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C0,2,如图， M D 故可设AX1,0Bx2,0X1>x2 则X1,X2是方程-x2+bx+2=0的两根， 由求根公式可得X=b+9D+8·为-b-8, 2 2 又坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC, 由对称性可设M m 2 由勾股定理可得，MA2=2b+6+8 2 2 bb+9b2+8 2 +lm-02= +m-22; 2 2/ 解得m=立 1 .点M的坐标为b,1: 22 .直线y=bx+2与y=-bx-1相交于点D, .b≠0， 3/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 X=- 联立y=bx+2,解得 2b y=-bx-1/ 1-2 y .:点D的坐标为 31, 2b'2 又.'MC=ME ∴.MD垂直平分CE, ∴.CD=DE 3.【详解】(1)解：当m=0时， 二次函数为：y=x2+2V3x-3, “二次函数的对称轴为直线x= 23=-3. 2×1 (2)解：“y=x-m+23x-m-3 =x2-2mx+m2+2V3x-2V3m-3 =x2+2/3-2mx+m2-2V3m-3· 抛物线的对称轴为直线X= 23-2m_2m-233=m-3, 2×1 2 ,当x>0时，y随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小， .-1≤m-3≤0， 解得：3-1≤m≤3， ∴m的取值范围为：3-1≤m≤V3, (3)解：“y=x-m+23x-m-3的对称轴为直线x=m-3 而该二次函数的图象上有一点A,且点A到x轴的距离为21， 六ya=21' 当yA=21时， 4/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 六x-m2+23x-m-3=21,即x-m2+23x-m-24=0' x-m-23x-m+43=0' 解得：X=m+23'x=m-43 六Am+2V3,21或Am-43,21 “点A到对称轴的距离为：|m-3-m-23=33 当y4=-21时， x-m2+23x-m-3=-21,即x-m2+23x-m+18=0' 4=2只3}-4×1×18=12-72=-60<0 ∴方程无解， 综上：点A到对称轴的距离为：33， 解：把M2,-3代入抛物线y=X-mx-m,得 解得m=3. …y=x2-2x-3=(x-12-4 ∴抛物线的顶点坐标为1，-4. (2)“y=X-2x-3=(x-1P-4 ∴.抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x=1, ,抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ,点Na,b在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴.-4<a<4, ·当a=1时，b最小为-4当a=-4时，b最大为-4-1？-4=21 .-4≤b<21: (3),直线y=x向下平移nn>0个单位长度， '.平移后直线解析式为y=X一n. 5/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x-n, ly=x2-2x-3, 得x2-2x-3=x-n'即x-3x+n-3=0: ,直线y=x-n与抛物线有两个交点， :方程x-3x+(n-3)=0有两个不相等的实数根. .△=9-4n-3=21-4n>0. 水m号 又当n=3时，X-3x+3-3=0 解得X1=3,X2=0, ∴直线y=X-3与抛物线的两个交点为0，-3,3,0，恰好在坐标轴上， 六n的取值范围为3<n<2头 4 6【详解】(1)解：把M2,-3代入抛物线y=X2-名mx-m,得-3=4-号m-m 3 解得m=3. 六y=x2-2x-3=(x-1-4 ∴.抛物线的顶点坐标为1，-4. (2)“y=x-2x-3=(x-12-4 ∴.抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 6/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,点Na,b在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴.-4<a<4, 当a=1时，b最小为-4当。=-4时，b最大为-4-1P-4=21 .-4≤b<21: (3),直线y=x向下平移nn>0个单位长度， ∴.平移后直线解析式为y=x-n. 由 y=x-n, y=x2-2x-3, 得x-2x-3=x-n'即×-3x+n-3到=0 ,直线y=x-n与抛物线有两个交点， “方程X-3x+(n-3=0有两个不相等的实数根. ∴.4=9-4n-3=21-4n>0」 解得n< 21 又当n=3时，X-3x+3-3=0' 解得X1=3,X2=0, ,直线y=x-3与抛物线的两个交点为0，-3,3,0，恰好在坐标轴上， ∴.n的取值范围为3<n< 21 4 7【详解】①)解：将2，-1代入y=号-mx*m-1,得：-1=号×2-2m*m-1, 7/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得m=2, 故答案为：2： 2解：A=-m-4×号×m-1=m2-2m+2=m-1P+1, .m-12≥0 ∴.m-12+1>0 .△>0， .该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； 解：y号X-mx+m-1的对称锚为直线二m 3+ “二次项系数2>0， ∴.二次函数图像开口向上， .y1<y2, .点Am+1,y,到对称轴的距离小于点Bm+P,y,到对称轴的距离， ∴.m+1-m<m+p-m, 即p>1, .p>1或p<-1. 考点02二次函数中新定义类问题 1.【详解】(1)解：：一次函数y=x+2的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点， 令y=0,即2x+2=0,解得x=-4, 令X=0,y=2: .A-4,0,B0,2, 点P为线段AB的中点， -4+00+2即P-2,1 p2,2 8/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二次函数 y=aX2+bx+ca≠0的“顶点弦”为线段PB且点p为顶点， .设二次函数解析式 y=ax+22+1' 将点B0,2代入，得4Q+1=2,解得a= 4 二次硒数解折式为y子x+2P+1=子X++2, (2)解：设直线PE与X轴交于F点，过点P作PH⊥X轴于点H, .P-2,1 .OH=2,PH=1, .∠BPE+∠BAO=45°，∠APF=∠BPE, ∴.∠PFH=∠APF+∠BAO=∠BPE+∠BAO=45°， 又，∠PHF=90°， ∴△PHF为等腰直角三角形， .FH=PH=1, ∴.OF=OH+FH=3, ∴点F-3,0, 设直线EF的解析式为y=kx+b, 将点P-2,1,F-3,0代入得： -2k+b=1 k=1 -3k+b=0 解得b=3 ∴.直线EF的解析式为y=X+3, :令x+3=X+x+2,解得X,=2,X,=-2(舍去)， 4 .E2,5: 9/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解： 设cm,m+2 1 ay=a,x-m+号m+2,y=a,x-m+ m+2, ,A-4,0在抛物线F1上，B0,2在抛物线F2上， a-4-m+号m+2=00,,m+2m m+2=2②， 2 ,a1+2a2=0③， a-4-mr+m2=0 .联立①②③，得到 2m+2=2 解得m,=-8m=-4（合去)， 3 a1+2a2=0 如图，过点G作GK⊥x轴于点K, G A K O .GK‖y轴， GA-AK 3--4) GB OK 8 2 2.【详解】(1)解：点B是点A的“黄金搭档点”，A0,-3,点B的纵坐标为12， .B(3,12), :点A0,-3和点B在抛物线y=x+bx+c上， c=-3 9+3b+c=12 10/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c=-3 解得：b=2 (2)解：①设点M的横坐标为t,则点N的横坐标为t+3, 由(1)得y=x2+2x-3, ,点M,N的纵坐标相等， t2+2t-3=(t+32+2(t+3)-3 解得：t~ t+3=- 2 ∴.点M的横坐标为- 2点N的横坐标为2 ②由(1)得y=x+2x-3, 对称轴为：X= 2 2x711, 当x=-1时，y=-4, .顶点坐标为-1，-4)， 当y=0时，x2+2x-3=0, .(x+3)(x-1)=0 解得：x1=-3,X2=1, ∴抛物线与x轴的交点为-3,0)，(1,0)， ,点N是点M的“黄金搭档点”，点M的横坐标为m,当 <m<0时， 2 ∴.点N的横坐标为：m+3, 2<m+3<3, 当多m-1时，m*3<2, ,抛物线与x轴的一个交点为1,0)， 当是m-1,壹m+3<1时，知周商示： 11/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 珠 人 2 -5-4-12-10L M 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点(-1，-4)， 号-1-1<m-(-1-1-(1即-2m+1<0, 合-1m*3--1小1--12m+42, ,此时点N离对称轴较远，最高点为点N, ,图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5， ∴.点N到x轴的距离为5-4=1， 此时点N的纵坐标为-1， (m+32+2(m+3)-3=-1' 解得：m=-4+3:m,=-4-3（不符合题意，舍去)： 5<m<-1,1<m+3<2时，如图所示： 当 12/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 2 1-N -5-4-3-2-10 23x 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点(-1，-4)， ∴.此时点N离对称轴较远，最高点为点N, ,图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5， ∴.点N到x轴的距离为5-4=1， 此时点N的纵坐标为1， (m+3P+2(m+3)-3=1' 解得：m,=-4+5:m,=-4-5(不符合题意，舍去)： 当-1<m<0时，2<m+3<3, 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M,最高点为点N, 六yM=m2+2m-3,yw=(m+3P+2(m+3)-3' 六yM+yw=5即m2+2m-3+(m+32+2m+3)-3=5 -m2-2m+3+(m+32+2(m+3）-3=5 整理得：6m+10=0, 5 解得：m=3(不符合题意，舍去)， 综上可得：m=-4+3或m=-4+V5】 目【详解】D解：已知函数y=2X+3,可得02，b0,次通数对称轴为X0,对称销 13/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 轴交点A坐标为0,0)， 将A向右平移1个单位得到B, B的横坐标为0+1=1， 根据定义，C横坐标为1，纵坐标为2a=4.即C(1,4), 设派生直线AC解析式为y=kx, 代入C(1,4)得k=4. 因此该函数的派生直线解析式为y=4x. (2)解：由题意，A是派生直线y=2x-6与x轴的交点，A纵坐标为0， 将y=0代入y=2x-6得0=2x-6, 解得x=3,因此A(3,0), 根据定义，B横坐标为3+1=4，因此C横坐标为4， 将x=4代入y=2x-6得y=2, 因此C(4,2), 将P(1,m)代入y=2x-6得 m=-4,即P(1,-4), 将Q(7,n)代入y=2x-6得n=8,即Q(7,8), P℃=(4-1+(2-(-4)P=35CQ=V(7-4+(8-22=351 :e=351 ∴CQ35 由定义，抛物线对称轴为X=3, C纵坐标为2a=2,得 a=1, 设抛物线解析式为 y=(x-32+k “P(1,-4)在抛物线上，代入得-4=1-3P+K 解得k=-8, :抛物线解析式为y=(x-32-8=x-6x+1' ∴.将x=7代入抛物线解析式得y=7-6×7+1=8,与Q的纵坐标相等， 因此点Q在抛物线上. 14/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.【详解】(1)解：由题意，吸收函数的表达式为y=x+mx+n. 根据题意，得乙， 解得乙； (2)解：①：y=X2+2x-3=(x+12-4 .y=x+2x-3的最小值为-4. 由题意，吸收函数的表达式为y=X+m+2x+n-3 根据题意， 4n-3-(m+2=-4. 4 ,,n=m+2-1. 4 .(m+22≥01 m+2-12-1,即n2-1. 4 ,m为一次函数的系数即m≠0， 考虑到当m=0时，n=0+2-1=0. 4 但当m=-4时，n=4+2-1=0. 4 故n=0可取， 综上所述，n≥-1： ②如图，过点M作y轴平行线交AB于点N,过点A,B分别作l的垂线段，垂足为C,D Ch. 根据题意，列出方程组为心 15/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 把②代入①得：mx+n=x2+m+2x+n-3' 即x+2x-3=0. 解得X1=1,X2=-3. ∴点A,B的横坐标分别是x1=1、X=-3. ∴.XA-XB=4 M为“吸收函数”的顶点， XM=xw=-m+2 2 MN=yx -yu)=(mXw +n)-xi+(m+2)xx+n-3=-x-2xx+3) w-24 △AB面Nk,-m小48m ,△ABM的面积为4， 12 82m=4 解得m,=22,m,=-22,m3=26,m4=-261 5.【详解】(1)解：y=x-4x+4与y=-x+2x互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： y=X2-4x+4=x-2的顶点为2.0r 将x=2代入y=-x2+2x中，得y=-2+2×2=0, 即y=-x2+2x经过2,0： y=-X2+2x=-x-1+1的顶点为1,1小 将x=1代入y=x2-4x+4中，得y=12-4×1+4=1, 即y=x2-4x+4经过1,1. 16/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故y=x2-4x+4与y=-x+2x互为“伴随对称抛物线”. (2)①a1+a2=0,证明如下： “C:y=ax-h+k与C2y=a2x-hz+k, 六A1h1,kAzh2,k :若C,:y=a,x-h,P+k与C,y=a,x-h,?+k,互为“伴随对称抛物线”， k1=a2h1-h22+k2'k2=a(h2-h12+k1' 两式相加得a,+a,h,-h2=0 .h≠h2 ∴.a1+a2=0 ②C为中心对称图形， ∴.C的对称中心为线段A1A2的中点. ③.C1:y=x2,a1+a2=0, ∴.a1=1,a2=-a1=-1, .C2y=-x-h22+k2 A(0.0 Az(hz,k2k=hz2 如图，设A1A2与B1B2相交于点P, VA B2 A :四边形A1B1A2B2为正方形， .P为C的对称中心，A1A2⊥B1B2,B1P=A1P, 17/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 hz k2 2’2 过点P作直线l⊥y轴，垂足为M,过点B1作BN⊥L,垂足为N. 则∠B1NP=∠A1MP,∠B1PN=∠MA1P=90°-∠MPA1, △PB,N≌△A1 PMAAS' .PN=A M,B N=PM. 设B(x,y _h2-k2_h2+k2 2,少=2 又：k2= _h2-h,_h+h. ∴.X12 2 y122 点B1在C1上， :b+位--妈，化简整理符-2-h,=2 22 .h2-2jh2-1h2+1=h2-2jh,2-1=h,3-2h2-h2+2=2+2=4 6【详解】)解：①当y=×=时，X=±2， E-2t,t,F2t,t ∴.EF=22t, ∴.当t=2时，EF=4, 此时在线段EF的延长线上或线段FE的延长线上，存在点P使PE+P℉=6，满足题意； 96 当时，-22×号 ∴，当点P在线段EF上时，PE+PF=EF=6,满足题意： 当t=5时，EF=2V2×5=2V10>6, ∴.直线EF上不存在点P使PE+PF=6,不满足题意； 18/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上：使该函数图像有T~6生长点的t的值是2,2 9 【详解】1)解：①当y×-时，x=±2z。 六E-9V2t,t,F2t,tr .EF=22t, ∴.当t=2时，EF=4, 此时在线段EF的延长线上或线段FE的延长线上，存在点P使PE+PF=6,满足题意； 当t= -22×号6 9 ∴.当点P在线段EF上时，PE+PF=EF=6,满足题意： 当t=5时，EF=2V2×5=2/10>6, ∴直线EF上不存在点P使PE+PF=6,不满足题意： 综上：使该函数图像有T~6生长点的t的值是2,2： 9 ②略 （2):二次函数y=x-+k、k为常数)的图像经过点6,1 1=26-h+k: .P3,5是该函数图像的T~6生长点， .t=5, 当y=之x-h+k=5时，则：x-h=25-k, x=h±R25-k Eh-V25-k,5,Fh+V25-k,5 六EF=2V25-k ①当点p在线段EF上时，则：PE+PF=EF=2V25-k=6' 19/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴只25-k=3 解翔头号 把k=代入1=6-h+k,得：h=5或h=7. 当h=5时，E2,5,F8,5,满足题意： 当h=7时，E4,5,F10,5,此时点P不在线段EF上，不符合题意，舍去： .y ②当点p在点E的左侧时，则：PE=h-y2I5-k-3,PF=h+R25-R-3' 六PE+PF=h-25-k-3+h+25-k-3=6' ∴.2h=12, h=6, Eh=6.代入1=号6-h2+k,得：k=, 此时E6-22,5l,F6+22,5符合题意： y=2x-6+1: ③当点p在点F的右侧时，则：PE=3-h+215-k,PF=3-h-/25-k' PE+PF=3-h+V25-k+3-h-V25-k=6' .h=0, 把h=0.代入1=号引6-h+k,得：k=-17, 六V25-k=V2×22=2V11 此时E-2,5,F2,5点p不在点F的右侧，不符合题意，舍去： 综上：yx-5+号y=x-6+1 20/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2):二次函数y=x-hP+k(、k为常数)的图像经过点6,1， 1-=26-h+k :P3,5是该函数图像的T~6生长点， ,t=5, 当yx-hP+k=5时，则：x-h=25-k, x=h±V25-k ∴Eh-25-k,5,Fh+V25-k,5 ·EF=2V25-k ①当点p在线段EF上时，则：PE+PF=EF=2V25-k=6' 925-k=3 解得太之 把k=代入1=号6-h+k,得：h=5或h=7, 当h=5时，E2,5,F8,5,满足题意； 当h=7时，E4,5,F10,5,此时点P不在线段EF上，不符合题意，舍去： y=号x-5+ ②当点p在点E的左侧时，则：PE=h-2I5-k-3,PF=h+/25-k-3' PE+PF=h-V25-k-3+h+V25-k-3=6' .2h=12, .h=6, 把h=6,代入1=号6-h+k得：k=1, 21/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时E6-22,5,F6+22,5符合题意： y=号x-6+1 ③当点p在点F的右侧时，则：PE=3-h+V25-k,PF=3-h-25-k' 六PE+PF=3-h+25-k+3-h-V25-k=6 ∴.h=0, 把h=0.代入1-=6-h+k,得：k=-17, V215-k=V2×22=2/11 此时E-2T,5,F2V1,5点p不在点F的右侧，不符合思意，合去： 综上：yx-5+或y号x-6+1. 7.【详解1(1)解：y=经过点1,1，点1,1是“1阶近轴点”，故①符合愿意： X 设y=-x+3存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为m,-m+3, -1≤m≤1 由题意得， -1≤-m+3≤1 ,不等式组无解， ∴y=-x+3图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； 'y=x2-2x+3=x-12+2 ,函数y=x-2x+3的最小值为2， ∴.函数y=x2-2x+3图像上的点到x轴的距离大于等于2， ∴函数y=x2-2x+3不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意： ∴.函数图像上存在“1阶近轴点”的是①： 故答案为：①： (2)解：设一次函数y=2x+m的图像上“3阶近轴点”的坐标为t,2t+m, -3≤t≤3 由题意得， -3≤2t+m≤3 22/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -3≤t≤3 解得： =3-m≤t≤3m ,一次函数y=2x+m的图像上存在“3阶近轴点”， -3≤t≤3 “关于的不等式组-3-m≤t≤3，m有解， 2 2 、、-m人-3≤2或-3223或m≤3≤ 2 2 2 2 解得：3≤m≤9或-3<m<3或-9≤m≤-3，即-9≤m≤9， ∴.实数m的取值范围为-9≤m≤9； (3)解：设“2阶完美点”的坐标为2c,c, 由题意得，-2≤2c≤2， 2阶完关点”在函数yX-2≤x≤2L, ,二次函数y=ax-ax-2a+2的图像上有且只有一个“2阶完美点”， 两数y=0-ax-2a+2与函数y-=X-2≤X≤2l只有一个交点， 令a-0x-2a+2-x竖理网g-0+ x-2a+2=0' 设函数y,=QX-a+X-2a+2则函数，与x轴的交点的横坐标有且只有一个满足-2≤X≤2 2 当x-2y=4a-2a+ 2a+2=1>0 若函数y1与x轴有2个交点，则当x=-2时，有y1≤0， ∴4a+2a+2 2a+2≤0 解得：as-3 者3必与，只有1个交点：州4号 -4a-2a+2=0: 23/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得：9a-7a+=0, 41 解得：q 7+2V10 或a=7-2/10 18 18 当a=7+210时，则y,与x轴的交点的横坐标为0+ 18 =4-9V101 2a .-2<4-10<2, :a=7+2/10 合题意： 18 当a=7-210 则y,与x轴的交点的横坐标为？大 18 =4+V10>2'不符合题意，舍去： 2a 综上所述，实数的取值范围为a≤- 4或0=7+210 18 考点3二次函数中最值问题 1.【详解】(1)解：，一次函数y=- 2x+2的图象与反比例函数y女x<0的图象相交于点Am,3, X 2m+2, 3= .m=-2, A-2,31 3= -2’ k=-6 (2)解：由(1)知：反比例函数的解析式为y=-6 如a.过BB01yFn过PEL于点0a,0+2 24/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 是一次函数y=二)X+2在第一象限内的图象上的点，B℃垂直 a>0 0*2>0 1 BD=a,BC=-1 +2, .0<a<4, :P是反比例函数y=- x<0的图象上的点，且点P到y轴的距离是点B到y轴的距离的2信， .'PE=2BD=2a, ,点P的横坐标为-2a, ∴p-2a,a SAPBC= BC(PE+BD) =1x-la+2x(2atal 22 =-3a2+3a 4 3 a-22+3, 4 又0<a<4,-3<0, 4 ∴当a=2时，SAPBC取得最大值，最大值为3， 此时p-42引 25/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 六△PBC面积的最大值为3：此时点p的坐标为 4引 2.【详解】(1)解：二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A-3,0, ∴，将点A-3,0代入y=-x2+bx+3,则-9-3b+3=0 解得b=-2 ∴.二次函数的解析式为y=-x2-2x+3: (2)解：过点C作CT⊥AB于点T COx 对于y=-x2-2x+3,当x=0时，y=3, .B0,3, .OB=3, A-3,0, .OA=3, AB-0A2+0B=32 ”y=-x2-2x+3=-x+1}2+4 .对称轴为直线X=-1 .C-1,0, .0C=1,AC=-1--3=2 六BC=V0C2+0B-V10' .CT⊥AB ABxCT--AG×OB :.CT=2x3-2 32 26/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·BT=VBC2-CT=22 在Rt△BCT中，cos∠ABC=BT=22=25 BC9/105 (3)解：过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D,E, A D E CO 图2 由(2)知OA=OB=3, ,∠AOB=90° .∠A=45°， ,∠ADE=∠QDP=45°，△ADE为等腰直角三角形 .QP⊥AB, ∴△QDP为等腰直角三角形，QP=DP ∴QD=Qp2+Dp=2DP 设PQ=PD=m,则QD=V2m, 同理设DE=AE=n,则AD=V2n .'.OE=OA-AE=3-n 六Qn-3,n+/2m' 将点Qln-3,n+y2m代入y=-X-2x+3 则-n-3?-2n-3+3=n+2m 整理得，m=一 2m+32n. 2 .BP=AB-AP=32-2n-m :BP+2PQ=3/2-2n-m+2m=32-2n-】 2,+32n -n+ 2 27/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得，BP+2PQ=- 22 n+3V2 2 设抛物线顶点为点F,对称轴与线段AB的交点为点G, ”y=-x+12+4 F-1,4, 同理可得△ACG为等腰直角三角形， ∴.CA=CG=2, .G-1,2, BF2+BG2=-1-02+4-32+-1-02+3-22=4'FG2=4-22=4 ∴.BF2+BG2=FG2 .BF⊥AB ,当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G, .0<n≤2， :-2<0 2 2 .当n= 1时， 2 2 BP+2PQ取得最大值， 2x 2 ∴最大值为2 2 x1}+2×1+32=252 22 8 3.【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+4经过点A-1,0,B4,0, a-b+4=0 16a+4b+4=0 a=-1 解得b=3 .y=-x2+3x+4: (2)解：当x=0时，y=4, .C0,4, 设直线BC的解析式为y=k1x+b1, 28/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则4k+b,=0 b1=4 解得k=-1 b1=4 ,直线BC的解析式为y=-x+4, :点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂，足为N,交BC于点M,点Q的横坐标为m- 21 pm,-m2+3m+40<m<4 ,Nm,0' Mm,-m+4Q的纵坐标为 m+3m24=-m+6mgm多-+6m 0 M B A B -10N 4 -10 或 N4 MN=-m+4'PM=-m2+3m+4--m+4=-m2+4mx,-Xxg=m-m- .S=S1+S2 =Mwxw+号PMx,刘 =-m+4m+-m+4m2 5m m2+5m 5 m-2}2+5, 4 :-5<0. 4 29/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .当m=2时，S有最大值， 此时-m2+3m+4=-22+3×2+4=6, .P2,6: 3)解：：地物线y-X+3x+4=-x-+25沿射线BC方向平移。平移后，新谈物线，过点C 24 ∴.相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线y, 的戏的对系部为线-受0 FO平分∠CFE, .∠EFO=∠CFO. :EF‖y轴， ∴.∠EFO=∠COF, ∴.∠CFO=∠COF, ..CF=CO, .C0,4,00,0, 0+ 2 +4-n2=4' 解得n=8±39 2 ·F的坐标为_ 58+V39 或 58-39 2’ 2 30/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 或 4.【详解】(1)解：将A-2,0,B4,0代入抛物线的解析式y=ax2+bx+4,得 4a-2b+4=0 a- 16a+4b+4=0 解得 2 b=1 2*+x+4, 12 .抛物线的解析式为y= (2)解：设点Pp,2P+p+4 12 9 12 当x=0时，y=- x+x+4=4. 2 ∴.C0,4. 设直线BC的解析式为y=kx+4,, .B4,0, .4k+4=0,则k=-1, ∴，直线BC的解析式为y=-x+4, .PD⊥x轴，.Ep,-p+4. PE=p+p+4-p+4=p2+2p =-2p-2f+2l0<p<4, ,当p=2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为2,4： (3)解：对于y=- 专x+x+4,当x=0时，y=4,则C0,4) 31/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·A-2,05=12+22” ∴将抛物线y=一 5X+x+4沿射线AC方向平移5个单位长度，相当于将敬物线y=一号X+x+4先向右 平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， 六新抛物线的解标式为y=号x-+x-14+2=一方×+2x+号 21 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线AC的解析式为y=k1x+4, 将A-2,0代入，得0=-2k1+4,解得k1=2, ∴.直线AC的解析式为y=2x+4, .∠CBQ=∠ACB, ..BQ AC, ∴.设直线BQ的解析式为y=2x+b1, 将B4,0代入，得0=8+b1,解得b1=-8, ∴.直线BQ的解析式为y=2x-8, y=2x-8 联立方程 y=-x+2x+9 ,解得 x=5 x=-5 =2/或 y=-18 (舍去)， 21 Q5,2: 当点Q在x轴下方时，如图，过Q作QD⊥x轴， 32/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .OB=OC=4,OA=2, ∴.∠OCB=∠OBC,又∠CBQ=∠ACB, ∴.∠DBQ=∠ACO, tan∠DBQ=tan∠Ac0=OA=1 0C2 9+2q 9 tam∠DBQ-P0 21,整理得q2-3q-13=0, BD 4-q 解得g=3-V61 或q= 2 3+只61（舍去） 2 -1 +号=×36+2x3-6+95+6, 24+2q+2-2× 2 2 2 4 …Q 3-V615+V61 2 4 综上，满足条件的Q的坐标为5,2或3-6，-5+6： 2’ 4 (4)解：如图，作MH⊥y轴，MG⊥x轴 33/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 T- B G 由(2)知，P(2,4,E2,2,直线BC的解析式为y=-x+4, .:∠MOM=90, ∴.∠MOH+∠MOG=90°，且∠MOH+∠OMH=90, .∴.∠OMH=∠MOG ∠OHM=∠MGO=90° 在△OMH和△MOG中， ∠OMH=ㄥMOG OM=OM ∴.△OMH≌△M OGAAS' ∴.OH=MG,MH=OG, 设Mm,-m+4则M-m+4,-m .N是OM的中点， :N -m+4-m 2 -，2 .E2,2,00,0, ∴.△ODE为等腰直角三角形， ∴.∠E0D=45°， 设直线OE的解析式为y=k2x,代入E2,2,得k2=1, ∴.直线OE的解析式为y=x, NF⊥OE于F, .设Ft,t,且NF与x轴所形成的锐角为45°， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K, 34/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 则∠FNK=45°，∠NFK=∠45°， ∴.△NKF是等腰直角三角形， ∴K=FK,即Xn-t=t-y,可得m+4-t=t-m 2 1 ∴m=2-2t,则Nt+1,t-1, 六AN=t+1+2+t-1-0P=t+3+t-12, 如图，设G-3,1, G .AN=FG. AN+PF=FG+PF=t+3+t-1P+t-2P+(t-4P 问题转化为求直线OE上的点F到点G-3,1和点P2,4的距离和的最小值， 设点G关于直线y=x的对称点为G,则G引1，-3 则AN+PF的最小值为GP的长度， “GP=2-1P+14+3=50=52 ∴.AN+PF的最小值为5V2 35/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.【详解】(1)解：如图， B 对于y=x-t川x-3t,当y=0时，则x-tx-3t=0, 解得X1=t,X2=3t, .At,0,B3t,0, 若t=1:则A1,0,B3,0y=x-1x-3=x2-4x+3=x-2P-1 .AB=3-1=2,P2,-1 将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D, .AD=AB=2,∠BAD=90° .D1,-2, 设直线PD:y=kx+b, 2k+b=-1 则k+b=-2 k=1 解得b=-3 ∴.直线PD:y=x-3; 对于y=x-22-1当x=0时，y=3 .C0,3 由y=x-2P-1可得对称轴为直线x=2 ∴，点C关于二次函数图象对称轴的对称点C为4,3， 当x=4时，y=4-3=1≠3， ∴点C不在直线PD上： (2)解：由(1)可得At,0,B3t,0, 36/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对称轴为直线X=+3t=2t, 2 当2t<3,即t<1.5时， ,抛物线y=x-tx-3t中，1>0，则抛物线开口向上， ,当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大， ∴.当x=6时，函数取得最大值， ∴.6-t6-3t=9, 整理得，t2-8t+9=0,解得t=4-只V7或t=4+V7(舍去)： 32Ls6,23时，X-35-号 22 若21号可号51，此时x=6离对更运。 n39 6 3 2t2 ∴.当x=6时，函数取得最大值9， .6-t6-3t=9, 整理相，r-8t+9=0:解得=4-7=4+97。均不在号1≤骨范国内，放合去： 4 若2t>9时，即9 t≤3，此时x=3离对称轴更远， 4 3 9 22t ∴当X=3时，函数取得最大值， ∴.3-t3-3t=9, 37/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得，-4=0，解得=4或=0，均不在？<t≤3范围内，故舍去： 当2t>6,即t>3时， ∴.当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小， .当x=3时，函数取得最大值， .3-t3-3t=9, 整理得，t2-4t=0,解得t=4或t=0(舍去)： 综上：t的值为4-/7或4； (3)解：At,0,B3t,0, 同(1)可求Dt,-2t 对于y=x-tx-3t,对称轴为直线x=2t, a把x=2代入y=x-tx-3t可得，y=2t-tl2t-3t=-t2 pl2t,-t 设直线OP:y=px,则-2=p2t,解得p=- DE OP, 设直线DE:y= 2x+n, 代入Dl6,-2.则5×t+n=-2,解得n=号-2t, ∴直线DE:y=-X -2t, 2 2 当x=0时，m= -2=2-2-2, 2 ∴，当t=2时，m取得最小值为-2； 6【详解】（1)解：：抛物线y=aX+bx+cla≠0与x轴交于A-1,0八B2,0两点， ∴.y=ax+1x-2 ,抛物线与y轴交于点C0,-2. 38/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.-2a=-2, 解得a=1 ∴y=x+1x-2,即y=x2-x-2: ②)△ABD是等腰直角三角形，理由如下： 对于被物线y=术-X-2,对称轴为直线x=一2女) 2×121 设直线BC:y=px+q,代入点B2,0、C0,-2) ÷2p+g0 (9=-2 0p=1 解得q=-2 ∴.直线BC:y=x-2 将x代入y=x-2,得y方2-昌 p3} .'AD=BD, 2 An+Bn-号 2+ 2-AR-9 ..AD2+BD2=AB2 .∠ADB=90°， △ADB为等腰直角三角形： (3)解：如图，过点B作BK⊥AC于点K, 39/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .A-1,0,C0,-2 .0A=1,0C=2, ·AC=0A2+0C=5 :在Rt△A0C中，sin∠OAC-0C=2=25 AC 955 .BK⊥AC, :在Rt△ABK中，BK=AB×sin∠OAC=3×2S=5, 5 5 :点B2,0、C0,-2 ..OB=OC=2 ,∠BOC=90° ∴.△BOC为等腰直角三角形， ∴.∠ABC=45°， ∴.∠EBF=∠ABC=45° 作△EBF的外接圆，记作⊙T,连接TE,TF,TB,过点T作TR⊥AC于点R,连接BR, 则∠ETF=2∠EBF=90, .TE=TF ∴，△TEF为等腰直角三角形，∠TEF=∠TFE=45°， ,TR⊥AC ∴.△TRE,△TRF均是等腰直角三角形， ..=RF=RT, 设=RF=RT=X, 40/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则TE=TR2+ER-2x :.TB=TE=V2x, ,TB+TR≥BR≥BK, x+吃x25, 解得x 6V10-65 5 当点B,7R三点英线，且点K,R重合时，X取得最小值为610-6S 5 .EF=ER+FR=2x, .∴此时EF取得最小值为 10-65×2=1210-125 而高BK= 5为定值， 5 △BF的面积最小恤为号x2西-125x95=36吃-6 5 5 ∴△EBF的面积为 62-36 7(②)△ABD是等腰直角三角形，理由如下： 对于抛物线y=父-X~2,对称辅为直线x=-=号 2×1-2 设直线BC:y=px+q,代入点B2,0、C0,-2 .2p+q=0 (9=-2 解得 p=1} 9=-2 ∴.直线BC:y=x-2 将x=代入y=x-2,y=号2= 2 p3- 41/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2/ ∴AB=2--1=3'AD 1 2 .AD=BD, AD4D-侵22式-g4-g 12 ∴.AD2+BD2=AB ∴.∠ADB=90°， ∴.△ADB为等腰直角三角形； 8.【详解】(1)解：由题意得y=-X-2x+3=-x+1+4 ∴点P的坐标为-1,4； (2)解：①由题意得y=- x+c. 对称轴为直线X=一 b=b, 2a 顶点p的标为b,b+c 作PH⊥y轴于点H, C 10 如图，由题意得点A-c,0,C0,c, ∴.OA=OC=c, ∴，△OAC是等腰直角三角形， .∠AC0=45°， :∠PCA=90, .∠PCH=45°， ∴，△PCH是等腰直角三角形， 42/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PH=CH=-b,OH=号b2+c, :.OH=-b+c=-b+c, 解得b=0(舍去)，b=-2, ,抛物线经过点A-c,0, -c-2-c*c=0. 解得C=0(舍去)，c=6, ∴.c的值为6： ②：点Bm,0,∠ACB=75°， ∴.∠OCB=75°-45°=30°，∠OBC=60°，OB=m, ..BC=2m,OC=3m, C0,c, .3m=c, i.m=93c 3 .BC=283c 3 :D为线段BC的中点，BD=3 作ME⊥y轴于点E,则△CME是等腰直角三角形， ∴.CM=CE,CM=V2ME, ..CM=2BN, ∴.ME=BN=CE, 由题意得ME‖BN, ∴.四边形MEBN是平行四边形， ∴BE=MN, 过点B作BF⊥BC,且BF=BC, 43/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D B ∴.∠NBF=90°-60°=30° .∠NBF=∠ECB=30°， .BN=CE,BF=BC, ∴△NBF≌△ECB SAS, .FN=BE, ∴.FN+DN≥DF, ∴.当D、N、F共线时，FN+DN有最小值，即MN+ND有最小值， BD=3c BF=BC=2 3 ,∠DBF=90°，且MN+ND取得最小值为5， BF2+BD=DR,23c+3c2 13 3 解得c=±V15, .c的值为V15 9.【详解】(1)解：直线y=-x-6与x轴交于点A,与y轴交于点C, 当x=0时，y=-6,当y=0时，x=-6, A-6,0,C0,-6, 3 “抛物线与X轴的另一个交点为B,抛物线的对称轴为直线x= .B3,0 设抛物线解析式为y=ax+6x-3,代入C0,-6, ∴.-6=-18a 解得：Q=号 y-x+6x-3号x+x-6, (2)解：：A-6,0,C0,-6 44/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OA=OC=6, ∴△AOC是等腰直角三角形， .∠AC0=45° 设直线AC的解析式为y=kx+b,代入A-6,0,C0,-6 -6k+b=0 k=-1 b=-6 解得：b=-6 ∴.直线AC的解析式为y=-x-6 如图，取点E0,-3,F-9,0,过点E,F分别作AC的平行线l1,l2,过点E,F分别作AC的垂线，垂足 分别为K,G, A O /B x F .∠GCF=∠ECK=∠ACO=45°，EC=FC=3 △ECK,△GCF是等腰直角三角形， EK=2C=32 2 2 点D到直线AC的距离为) D在l1,12上， .l1,l2平行AC, ∴.11,12的解析式分别为y=-x-3,y=-x-9 y=-x-3 联立 y-1x+x-6 3 指去y得，方+x-6=-3 解得：X,=-3-3V2,x2=-3+32 45/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-x-9 联立 -+x-6 1 消去y得， 3X2+x-6=-x-9 解得：x=-3 点D横坐标为t, ∴.t=-3-3V2或t=-3+3V2或t=-3 y-6 如图，过点p作PQ1HQ使得PQ=2QH:则PH=PQ+QH=5Q' Q品2 En∠PQ-2.w∠P0-9 ∴.PQ 25PH, 5 T A P ON H 过点O作ON⊥QH,设HQ的延长线交x轴于点T,PH交x轴于点L,则 ∠TON=90°-∠OTH=∠PHQ PH+35 PO-525 PH+PO-5PQ+PO)25ON 25 2 当P在ON上时，PH+E 0N PO取得最小值，最小值为2 LH=27 4 46/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴d=LHtan∠PHQ=2LH= 2 :ON=OT×cos∠10N=15×5=35. PH+5P0=5oN=5x35=5 10.【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+c过点B4,0,C0,4,对称轴是直线x=1, 16a+4b+c=0 C=4 b=1 2 a=- 解得 b=1 c=4 y=- (2)解：设直线BC的解析式为y=kx+4,把B4,0代入得， 0=4k+4, 解得k=-1. y=-x+4. *1 当x=1时，y=-1+4=3, E1,3. E=号-3号 ,四边形DENP为平行四边形， .NP=DE= 1 47/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P, 设p,2t+4N,-+4 Pw=-+4-t+4+2号 解得t1=1,t2=3, D 9, ∴.t=1不符合题意，舍去， t=3: (3)解：由题意，得0Q=0.5t,则BQ=4+0.5t, 由2》得，Pw=-+2 ∴.S四边形玩8BcQB+SACPB -BQ0C+PN-OB 4+a5d4+f+24 -1<0, ∴.抛物线开口向下， 四边形PCQB的面积最大，最大面积为 57 4 考点04二次函数中定值定点问题 1.【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点， .y=ax+3x-1 ,抛物线与y轴交于点C(0,-3) ∴.-3a=-3, 48/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得a=1 ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3; (2)解：过点D作DT‖y轴，交AC于点T, 图1 设直线AC:y=px+q, 代入A(-3,0),C(0,-3)可得， -3p+q=0 (q=-3 解得p1 q=-3 ∴.直线AC:y=-x-3 :Sw表n5a度+Sm号AB×0C+Sn号×1-3x3+Sam=6+Sen ∴，当△ACD面积最大时，四边形ABCD面积最大， 设pd,d+2d-3-3<d<02,则Td,-d-3到 DT=-d-3-d+2d-3=-d-3d 5n-58mx+s7 eD1x-w小-f-3d×3. 即s6en=3d-9d=-3a+3+2 2 2 2 2 8 、3 <0,-3<d<0, ·当d=-3。 时，△ACD的面积最大为 7 8 :四边形ABCD面积最大值为6+22=75 88 49/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时标y2-引3一号 (3)解：MP·MQ是定值， 如图，不妨设点E、F分别位于对称轴的左右两侧， YA B E 备用图 抛物线y=X2+2x-3=x+12-4 顶点N-1,-4 .M-1,0 设Ex1,X2+2x1-3Fx,x2+2x3) 联立直线y=k+k-1与抛物线y=x2+2x-3, 则y=x+k-1 y=x2+2x-3 整理得，X+2-kx-k+2=0' .X1+X2=k-2,X1X2=-k-2, 设直线NE:y=kX+b,则， -k1+b=-4 k1x1+b=x12+2x1-3 解得k=x1+1 b=X1-3 50/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴直线NE:y=x1+1x+x1-3 令y=0则x+1X+x,-3=0解得x=3-, x1+1 03.0 同理可得p X1+1 3-x2,0 x2+10 p=k44 16 16 16 +1x+1厂 =16 x2+1x1+1厂0 2.【详解】(1)解：令y=x2-2x-3=0,解得x1=3,X2=-1, :抛物线C:y=x2-2x-3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， .A-1,0,B3,0. 【详解】(1)解：令y=x2-2x-3=0,解得x1=3,X2=-1, ,抛物线C:y=X-2x-3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， .A-1,0,B3,0 (2)解：①略 ②C:y=X-2x-3的对称轴为X=-)号=1，当x=1时，y=X2-2x-3=-4, 2 .顶点P1,-4, 如图，过点P作直线m‖x轴，过点D、E分别作m的垂线段，垂足分别为M、N, B E D MP N ∴.∠DMP=∠PNE=90°， 51/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠MDP+∠MPD=90°. 又.∠DPE=90°， .∠DPM+∠EPN=90°. .∠DPM=∠PEN」 ∴.△DPM一△PEN, DM MP PNEN' 设Dx1,X-2x-3Ex,-2x,-3引 MP=1-x1:PN=x2-1'DM=x-2x1-3--4=(x1-12,EN=x-2x2-3--4=(x2-12, (x1-121-x1 x2-1(x2-12 整理得X1+X2-X1X2=2. :直线l:y=x+bk≠0与抛物线C交于D,E两点. ∴联立 y=kx+b y=x2-2x-3 可得X-2+kx-3-b=0 .X1+X2=2+k,X1x2=-3-b 代入X1+X2-x1X2=2可得2+k--3-b=2, b=-3-k ∴.y=kx+b=-3-k=kx-1-3, .当x=1时，y=-3固定不变， ∴直线l过定点1，-3. ②：C:y=2-2x-3的对称轴为X=-)号=1，当x=1时，y=X2-2x-3=-4, 2 .顶点P1,-4, 如图，过点P作直线m‖x轴，过点D、E分别作m的垂线段，垂足分别为M、N, 52/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B衣 E D MP N ∴.∠DMP=∠PNE=90°， ∴.∠MDP+∠MPD=90°. 又：∠DPE=90°， ∴.∠DPM+∠EPN=90. .∠DPM=∠PEN ∴，△DPM一△PEN 器器 设Dx1,X-2x-3}Ex,号-2x,-3 MP=1-x'PN=x2-1?DM=x-2X1-3--4=(x1-12,EN=x号-2x2-3--4=(x2-12, :(x-1Y1-x1 x2-1(x2-17 整理得X1+X2-X1X2=2, :直线：y=kx+bk≠0与抛物线C交于D,E两点. 联立 y=kx+b y=x2-2x-3 可得X-2+kx-3-b=0' ,水1+X2=2+k,X1X2=-3-b. 代入X1+X2-X1X2=2可得2+k--3-b=2, ∴b=-3-k ..y=kx+b=kx-3-k=kx-1-3, 53/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.当x=1时，y=-3固定不变， ∴直线过定点1，-3。 考点05二次函数中已知角度相等求点坐标 1.【详解】(1)解：，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A-2,0、B1,0两点， 4a-2b+2=0 a=-1 a+b+2=0 解得：b=-1 ∴抛物线的表达式为y=-x2-X+2: (2)解：由(1)可知：抛物线的表达式为y=-x2-x+2, ∴.令x=0时，则有y=2,即C0,2, 连接0D:设Dt,-t2-t+2其中-2<t<0 D .A-2,0,C0,2, ∴.OA=OC=2, 580c20A0C=2.5ao0-0Ayo=-f-+2.5ao0cko=-6 SANC=SAOD+SACOD-SAN0C=-12-t+2-t-2=--2t--t+1+1 ∴.当t=-1时，△ACD的面积最大，最大值为1； (3)解：存在点Q,使得∠ACQ=2∠OCB, .A-2,0,C0,2,B1,0, ..OA=OC=2,OB=1, BC=OB2+0C=5'∠AC0=45' 过点O作OE‖CQ,交AC于点E,过点E作EG⊥OC,取OA的中点F,连接CF,过点F作FH⊥BC, 过点O作OP⊥AC,如图所示： 54/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V B :0F=OA=1=0B,∠ACQ=∠OEC,OP=0Csin45°=2=CP, OC⊥BF ..CF=BC=5, .∠BCO=∠FCO, .∠BCF=2∠BCO=∠ACQ=∠OEC, S3BF.0C=号Bc-FH, 2×2_4V5 :.FH=5 5, ∴.sin∠FCB= FH4 FC 5 ∴.sin∠OEC= OP4 OE 5' 0E=5/2 4 PE=0E2-0p_32 1 GE-CP+PE-782 9 7 ∴.EG=CG=CE·sin45o= 41 :0G=0C-CG= 4 71, 4’4 设OE的解析式为y=心，则有- 2k=2 4 4 55/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k=月 OE的解析式为y=- 七， .OE‖CQ 1 ∴设直线CQ的解析式为y=- 方x+m,把点C0,2代入得：m=2, 1 ∴.直线CQ的解析式为y=- x+2, 6 1 联立y= 7x+2 X=- 解得： 或x=0(不符合题意，舍去)， y=-x2-x+2 104 y= y=2 49 oi- 104 ’49 2.【详解】(1)解：：抛物线y=ax+12x-6(a≠0与y轴交于B0,63 .6V3=a×0+12×0-6, 解得a=- 3 12 y=- 3 12 x+12x-6=- 323 x+6V3, 12 2 即y=- 3x2- 12 2x+63: (2)解：①，抛物线y=- 5x-3 1 +6V3与x轴负半轴交于点A, 3 2 ∴.A-12,0,对称轴为直线x=- 3 -=-3, 1 .×2 ,原点O,点B关于抛物线对称轴x=-3对称的点分别记为点C,点D, c-6,0,D-6,63 :.OC=6,AC=-6--12=6,CD=6V3-0=6V3 56/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :tam∠0AD=GD=623=5. AC 6 ∴.∠OAD=60°， ,'AE平分∠OAD, ∴∠CAE=3<0AD=30°， :tan∠CAE=Cg=tan30=3 AC 3 CE_3 631 解得CE=2V3, ·E-6,23 ②如图2，过点H作HM⊥CD于M,则MHCG, D Mh-__ H G衣 图2 ,6则-6，语6 2 2 MH=h--6=h+6' DM=6-- -5h+63 h2+3h 12 2 12 Ms=2-要+67-2s语-要+45 12 12 .MH‖CG, ∴.△DMH一△DCG, 兴把 33R:h h6 2 63 CG 57/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得CG=72 ,∠DEH=∠乙，∠些=∠CEG, ∴.∠DEH=∠CEG, ∴.tan∠DEH=tan∠CEG, 72 ”瓷 h+6 h 即 323 h+4V3 2V3 12 2 解得h=35-3或h=-35-3(不合题意，舍去)， “点H的横坐标为35-3. 3.【详解】(1)解：由抛物线y=ax2+bx+3经过点A-1,0,对称轴为直线x=1 a-b+3=0 得， b=1 2a a=-1 解得b=2/ ∴.抛物线的表达式为y=-x+2x+3: (2)解：过点A关于直线BC的对称点A,连接BA,PA,OA, A ∴.PA+PO=PA+PO≥AO,当点A,P,O三点共线时，PA+PO取得最小值，此时点P为AO与直线 BC的交点， 对于y=-x2+2x+3,当X=0时，y=3 C0,3 .A-1,0,对称轴为直线x=1 .B3,0 ∴.OB=OC=3,而∠BOC=90° 58/106 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠OBC=∠OCB=45, 由对称可得， ∠0BC=∠ABC=450'BA=BA=3--1=4 .∠ABA=45°+45°=90° A3,4 设直线OA:y=kx 则3k=4,解得k-专 :直线0A:y=3X 4 设直线BC:y=k1x+b1 :3k1+b,=0 b=3 解得k,=-1 b1=3 .直线BC:y=-X+3 y=-X+3 联立y=3 4 9 X= 解得 12 y= 点p 号 (3)解：当点Q在直线BC上方时，过点B作BG⊥CB交射线CQ于点G, 59/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G Ee 4 备用图 ,∠BCQ=∠ACO tan∠BCQ=tan∠AC0=BC=0A=l CBOC3 过点G作GH⊥x轴于点H, ∴.∠BOC=∠GHB=90° .BG⊥CB .∠CBO=∠BGH=90°-∠HBG ∴.△BHG一△COB :.BG=HG_BH_1 BC BO CO 3 .HG=BH1 333 .'GH=BH=1 .G4,1 .C0,3, 同理可求直线CG:y=- x+3, 2 y=-x2+2x+3 与抛物线表达式联立可得， 1 y=2+3 5 X三 解得x=0或， -2 y=3 7 y= 4 60/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 o 当点Q在直线BC下方时，设直线CQ与X轴交于点T,取点E-9,0,连接CE, 则tan∠E=C0=3-1 OE 9 3 am∠ncQ-3 ∴.tan∠E=tan∠BCQ .∠E=∠BCQ ,∠CBT=∠EBC ∴.△CBT一△EBC 品腮 32+3 3+9 BT 32+3 号 ∴.0T=3- 3_3 22 C0,3, 同理可求直线CQ:y=-2x+3, 与抛物线表达式联立可得，y=-x2+2x+3 y=-2x+3 x=0 X=4 解得y=3或y=-5 Q4,-5, 综上：点Q的坐标为5,7或4，-5引 2’4 4【详解】(1)解：抛物线y=aX+bx+5与x轴相交于A-1,0,B15,0两点，将两点坐标代入抛物线， 61/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a×-1+bx-1+5=0 2 a×52+b×5+ 0 解得 a=- b=2 ∴抛物线的表达式y=-号x2+2x+5 2 (2),y=- 2x 5 .当x=0时，y= "co - D B F1 P 作BC的中垂线交X轴于点E,连接CE,则：CE=BE, ∴.∠ECB=∠ABC, ∴，∠AEC=∠ABC+∠BCE=2∠ABC, 85oco副 ∴OB=5,OC= 5 设OE=m,则：CE=BE=5-m, 62/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12 在Rt△COE中，由勾股定理，得m+号 =5-m2, 解得m=15 1 设直线CE的解折式为y=kx+5,把E15,0代入，得0=15k+5,解得k=-4, 28 8 2 y=- .5 x+2 过点A作AP‖CE,交y轴于点F,交抛物线于点P,则：∠PAB=∠CEA=2∠ABC, 设直线AP的解析式为y= ×+n,把A-10代入，0=含-1+n解得a=号 4 y=- 44 3x-3 联立 y 44 X 3 3 y=- 人x+2x*5 2 23 X= 解得 3 或x=-1, 104 (y=0 9 23-104 :. 3 9 44 y=-3x-3 当x-0时y=青 r0, 63/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作点关J粒的对孩点G连接AG:G0∠GAB=∠BF-2∠ABC ∴.直线AG与抛物线的交点也满足题意， 4 4 同法可得：直线AG的解析式为y= 3+ 3 4 4 7 联立 y 3++ 3 解得 X- 或x=-1, y=- +2x*月 40 (y=0 y= 9 n740 39 综上：P (3)①：y=- +2x+x-2+号 C. 同法可得直线CD的解析式为y=X+ 2 由题意，∠BCD即为旋转角，作BE‖CD,交y轴于点E,作CF⊥BE于点F,则：∠CBF=∠BCD, D E 64/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.tan∠CBF=tan∠BCD, 同法可得直线BE的解析式为y=x-5, ∴.当x=0时，y=-5, E0,-5, 0E=0B=5,CE=5+5=15 22 ..BE=52, S。E=BECF=CE0B, 5V2CF=5x15 :CF=152 4 _5R5, 2 ·BF=VBC2-CF-5V2 4 tan∠BCD=tan∠CBF=CF 3， ②将抛物线沿直线CD平移，等同于将抛物线沿直线BE平移， .OB=OE, .抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移tt>0个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为 y-x-2-+2+u w2*t号* 联立 =x2-+号 2 y=x-2+ 65/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得： 2 y-- ++4 2 o2台台4 作QK⊥y轴，ML⊥QK交KQ的延长线于点L, M ∠CKQ=∠MLQ=90°=∠CQM, 0K9+后4首号0k学02*学1*号址号冒54后片 2 282822 ∴.∠CQK=∠QML=90°-∠MQL, ∴.△CQK一△QML, CK QK ·QLML ∴.CK·ML=LQ·QK, 借后 解得t=2+42或t=-2(舍去)或t=2-4V2(舍去)： ∴.抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为2+4√2， ∴抛物线的平移距离为22+4V2=22+8 当抛物线沿直线CD向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为22+4V2=2V2+8: 66/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上：抛物线的平移距离为2V2+8. 5.【详解】(1)解：当m=3时，二次函数y=ax2+bx-4的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0), .设二次函数的交点式为y=a(x+1)(x-3), .y=a(x+1(x-3)=ax2-2x-3=ax2-2ax-3a’y=ax2+bx-4 ∴.-3a=-4, 解得a二4 1 “函数的解析式为y=号x2- 3 34, 3-4, 2)解：对于三次函数y号x-8 令x=0,可得y=-4,则点C的坐标为(0，-4)，则OC=4 ,∠CDE=∠CED, ∴.CD=CE, .OB=3,OC=4 ·BC=-OB+0C2=5 如图，作∠DCE的角平分线CG交X轴于点G,则∠OCG=∠BCG,AF⊥CG 图1 :∠OAD=90°-∠AGC=∠OCG=∠OCB. 设G到BC的距离为d,则d=OG, 、Sso62 OC OG学⊙CxQG SABCG BCxd 号aGx0d 67/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0C-0G-4 :BC BG 5 :0G=40B= 4 9 9 ×3=4 3 tam∠ocG=0C=3- 0C43 ,∠OCG=∠OAD, ..tan z OAD=OD=1 OA 3 .A-1,0,则0A=1, 00-号 .o. 设直线AF的解折式为y=+bk学0代入A-1,0rD0,-昌 -k+b=0 = 1 k=- 解得： 3 b=- 3 1.1 ∴直线AF的解析式y=-行X一号 (3)解：当m=4时，OB=OC=4, ∴，△OBC是等腰直角三角形， ∴.∠OCB=45°. ,∠DCE=∠DEC, ,∠CDE=90°，则D,O重合，F,B重合， 又，F是第四象限的点， ∴.当∠OCB>45°时，则∠CDF<90°，m>4. 68/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .要使得∠DCE=∠DEC成立，m的取值范围为m>4: (4)解：OD=OA=1, ∴.△OAD是等腰直角三角形 ∴.∠CDE=∠ADO=45° .∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5° 在Rt△OBC中，∠OBC=22.5° 如图所示，取H4,0. 图2 .OC=OH」 ∴.△OCH是等腰直角三角形. ∠OCH=45° ∴.∠HCB=∠OBC=22.5° .HC=HB =42 ..OB=OH+HB=4+42 即m=4+42. 6.【详解】(1)解：：二次函数y=aX2+号x+ca≠01的图象与×轴交于A-1,01、B两点，与y轴交于 2 点C0,2, a-1P+3x-1+c=0 2 c=2 ≈、1 2 c=2 三次函数的表达式为y=一)子x2+3 2X+2 69/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：如图所示，过点P作PQ‖y轴交BC于点Q y H B 2x+2=0, 解得x=-1或x=4, ∴.点B的坐标为4,0： 设直线BC的函数表达式为y=kx+bk≠0 :.4k+b=0, b=2 .k=- b=2 ·直线BC的函数表达式为y=- 2+2: 设点P的坐标为 2p*2/: p,-5p2+3 PQ‖y轴， 点Q的横坐标为卫p, 1 “点Q的纵坐标为 2p+2, PQ-- p+2-/1 2p+2+2n=2p-2+2 .PQ‖y轴， ∴.∠PQH=∠OCB, .sin∠PQH=sin∠OCB: 70/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .B4,0,C0,2, .OB=4,OC=2, ·BC=V0B+0C2=V42+2=251 ∴sin∠0CB=0B=4-25 BC 25 5 sin∠PQH=2s 5 .PH⊥BC, .∠PHQ=90°， sin∠PQH=PH PQ' PH2PQ=ξ 5p-2?+45 -5<0. 5 心当22=0，即P=2时，PH有装大值，最大值为4 (3)解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设DE交x轴于点H, A B D 图3-1 ,C0,2,点C与点D关于原点成中心对称， D0,-2, ..OC=OD=2, A-1,0,B4,0, .OA=1,OB=4, .tan∠AoC=oG=2,tan∠DBo=O0-1 OB 2 ∴.tan∠AOC=tan∠DBO, 71/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠AOC=∠DBO: ,∠BDE=∠ACO, ,∠BDE=∠DBO, ∴，DH=BH: 设DH=BH=t,则OH=4-t, 在Rt△DOH中，由勾股定理得DH=OD+OH2, 小t2=22+4-t2 解产月 0H=是 设直线DH的函数表达式为y=k,x+b,(k,≠0 k+h=0 b1=-2 k= 4 b1=-2 ∴，直线DH的函数表达式为y= 3x2, 4 y 32 X三 联立 解得x=3或 83 (舍去)， y=- y=2/ 50 y=- 9 ∴.点E的坐标为3,2， .点E的纵坐标为2： 如图3-2所示，当点E在点B下方时， 72/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B D E 图3-2 同理可得∠BDE=∠DBO, DEOB,即DEx轴， ∴.点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为-2； 综上所述，点E的纵坐标为一2或2. 考点06二次函数中面积相等问题 1.【详解】(1)解：，抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为3，-4， y=x-32-4=x2-6x+5 .b=-6,c=5: (2)解：存在，理由如下： 对于抛物线y=x2-6x+5, 当y=0,x2-6x+5=0, 解得：X1=1,X2=5, 当x=0,y=5, .OB=OC=5,AB=5-1=4, ,∠COB=90°， ∴.∠OBC=∠OCB=45°， 过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD=BA=4,连接AD与BC交于点E,则D5,4, 73/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA B .∠DBC=90°-∠OBC=45=∠OBC, .BC⊥AD,ED=EA, 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P, 5A号6C×A业，San号BC×DE, .SABCA=S△BcP, 设直线BC:y=mx+n, 5m+n=0 则n=5 m=-1} n=5/ .直线BC:y=-X+5, BC∥PD, ∴.设直线PD:y=-x+q, 代入D5,4得：-5+q=4, 解得：q=9, ∴直线PD:y=-X+9, 与抛物线解析联立得： y=-x+9, y=x2-6x+5 整理得：x2-5x-4=0 解得：x=5+/4红 成x5-a 2 5+V415-V41 ·点P的横坐标为2或2 74/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.【详解】(1)解：，二次函数y=-x+2x+3的图像与x轴交于A,B两点， ∴令x=0,则y=3, ∴.点C的坐标为0,3). 令y=0,则-x+2X+3=0. 解得x=-1,或X=3, 点B的坐标为3,0) 设直线BC对应函数的表达式为y=kx+b,由题意，得 b=3 3k+b=0 k=-1, 解得b=3. ∴.直线BC对应函数的表达式为y=-x+3. (2) 不存在实数m使得y1+2y2=10, 理由如下： 方法一：Mm,y,Nm+2,y,为二次函数y =-x2+2x+3图像上两点， .y1=-m2+2m+3 y2=-(m+22+2(m+2)+3=-m2-2m+3 ∴.y1+2y2=-m2+2m+3+2-m2-2m+3=-3m2-2m+9 2 配方，得y+2y2=-3m+3 +91. 3 ∴当m=- 3时，y+2y有最大值为9 .95<10, 3 ∴.不存在实数m使得y1+2y2=10, 方法二：由方法一，得y,+2y2=-3m2-2m+9 当y1+2y2=10时，-3m2-2m+9=10,即3m2+2m+1=0. 75/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△=4-12=-8<0， 方程没有实数根。 .不存在实数m使得y1+2y2=10, 1+9V 1-9V5 (3)m= 2 ,或m= 2 解答如下： 如图，作NH‖y轴，交x轴于点H,交BC于点N, -o 作PQ⊥H,垂足为Q,作MM‖y轴，交BC于点M,则MM‖NN. 当x=1-m时，y=-(1-m+2(1-m)+3=-m2+4 :点P的坐标为1-m,-m2+4)厂 .点N的坐标为m+2,-m2-2m+3} :.点Q的坐标为m+2,-m2+4点H的坐标为(m+2,0 点N的坐标为m+2,-m+1). .'NQ=PQ=2m+1'BH=H N=-m+1) ∴.∠PNQ=∠BNH=45°. ∴.PN‖BC, ∴.△MDE△MNP. MD=AMDE的面 △MNP的面4 MD=MW,即MD=ND 761106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .MM‖NN. ∴.△MMD~△NND :MM=MD-即MM=NN NN ND 1 点M的坐标为m,-m2+2m+3 ∴.点M的坐标为m,-m+3). ∴.m2-3m=-m2-m+2,即m2-m-1=0. 军悬三L十三或2=工一5 2 3.【详解】(1)略 (2)解：由二次函数的解析式 y=-[x-(a+2)]2+4 .函数图象对称轴为直线x=a+2,最大值为4， .a+2-(a+1)=1,2a+5-(a+2)=a+3≥2， ∴.a+2-(a+1川<2a+5-(a+2川， :当x=2a+5时，y取得最小值，最小值为-[2a+5-(a+2P+4=-(a+3P+4 ∴4--(a+3P+4=9解得a=0或a=-6(舍去)， ∴.二次函数的解析式为y=-x2+4x. (1) 证明：令y=0:则-x2+2a+4)x-a2-4a=0 “4=(2a+42-4a2+4a=16>0' ,不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点. (2)y=-x2+4x (3) ①证明：对称轴为直线x=a+2=1, a=-1 77/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.二次函数解析式为y=-x2+2x+3. 令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3, 则A(-1,0),B(3,0) 令x=0,则y=3,则C(0,3)】 ∴.D(2,3),M(1,3). 设Em,-m2+2m+3,Fn,-n2+2n+3由题意知m≠n'且均不为0,2. 设直线EF的解析式为y=k1x+b1, .-m2+2m+3=km+b1,解得k,=2-m-n -n2+2n+3=k1n+b1 b=mn+3 ∴.直线EF的解析式为y=(2-m-n)x+mn+3.(记为①式) 又，直线EF过点M(1,3), .3=2-m-n+mn+3,即mn=m+n-2 同理设直线CE的解析式为y=k2X+b2, 把Em,m2+2m+3l,0,3)代入得厂m+2m+3=km+b, 3=b2 解得k2=-m+2 b2=3 .直线CE的解析式为y=(-m+2)x+3.(记为②式) 同理得直线DF的解析式为y=-nx+2n+3.(记为③式) 由②③式联立得y=（-m+2)x+3, y=-x+2n+3 2n 解得 n-m+2 y= -2nm+4n+3 n-m+2 ..P/2n -2nm+4n+3 n-m+2’n-m+2 若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为y=kx+b,代入点P的坐标得 78/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -2m+4n+3=k:_2n+b,将①式代入化简得-5m+5n+10=-bm+(2k+b)n+2b, n-m+2 n-m+2 由对应系数相等得k=0,b=5, ∴.点P所在直线解析式为y=5,即点P在一条定直线上. ②解：直线1的解折式为yx+或y=-专x 3 .3 23 21 66 理由：.A(-1,0),B(3,0),C(0,3), ∴.AB=-1-3=4,OC=3 5aoM 0cw亏* 31 ×5AB·yp: *4 由①知yp=5, 六x,=4 .Xp=±4 当x,=4时， 2n =4,整理得n=2m-4. n-m+2 又.mn=m+n-2, ∴.m2m-4=m+2m-4-2 整理得2m2-7m+6=0, 解得m,=2,m,=2(不符合题意，舍去)， :n=2m-4=2×3-4=-1, 2 ki=2-m-n=7,b.=mnt3=3 21 直线1的解析式为y=号X 29 79/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当Xp=-4时， 2n。=-4,整理得n=2m-4 n-m+2 3 又.'mn=m+n-2, 1.2m-4=m+2m-4-2 .m 3 3 整理得2m2-9m+10=0, 5 解得m,=2,m,=2（不符合思意，舍去)， ∴n=2m-41 3 31 k1=2-m-n=- 6,b=m+3=23 6 ∴直线1的解析式为y=- 523 x+ 6 6 3 3,3 综上所述，当S△cop亏S&An时，直线1的解析式为y- +2或y=x+23 6 6 4.【详解】(1)解：，y=ax2+bx+c的图像经过0，-3， C=-3, :0,-3和-b,c关于对称轴x=-对称， 2a :0-b=- b 2 2a b≠0， .a=1, .a=1,c=-3 (2)解：①，a=1,c=-3, y=x2+bx-3, :y#4=12-b=-4, 解得b=±2， .ab>0,且a>0, b>0, ∴.b=2, 80/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴该二次函数的解析式为：y=x2+2x-3, 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得X1=-3,X2=1, A(-3,0),B1,0. ②设直线AC的表达式为：y=k1x+b, 则-3k+b,=0 b1=-3 解得k=一1 b1=-3 ∴直线AC的表达式为：y=-x-3, 当点P在点A右侧时，作CF⊥PD于F,如图所示： 设p(m,m2+2m-3-3<m<0则E(m,-m-3D(m,0): 则pE=-m-3-m2+2m-3=-m2-3m CF=0-m=-m, 5ar-PE-C--m-3ml-mlm+3ml. ,AB=1--3=4,0C=3,DE=--m-3=m+3, ∴.SACBE=S△ABe-S△ABE x ABX DE =1×4×3-1×4×m+3 2 2 81/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-2m, :S△PcE=3, SACBE 8 2m(m+3m) 3, -2m 8 解得：m1= -3+3 2 m,=3-93 2 -3+V 点P横坐标为 2 3或33 2 当点P在点A左侧时，作CF⊥PD于F,如图所示： EN B 设pm,m2+2m-3m<-3则E(m,-m-3D(m,0): 则pE=m2+2m-3--m-3=m2+3m1 CF=0-m=-m, Sxpce-PE-CF-jm+3m=-m(m+3ml. .AB=1--3=4,OC=3,DE=-m-3, ∴.SACBE=S△ABc+S△ABE =AB×OC+号xAB×DE =1×4×3+号×4×-m-3) 1 2 =-2m, 82/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SAPCE=3, SACBE 8 2m(m2+3m) 3, -2m 解得：m,=-3-/15 2 m,=-3+/15 2 (舍去)， 二点P横坐标为二3-V15, 综上所述，卫点横坐标为：33或3,3或3-正 2 2 2 考点07二次函数中存在性问题 1.【详解】(1)解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成： y=x-1-m2-m 将点3,0代入y=x-1-m2-m得：0=3-1-m2-m 解得m=1或m=4, 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：y=x+3-m2-m 将点3,0代入y=x+3-mP-m得：0=3+3-mP-m, 解得m=4或m=9, ∴.公共解为m=4, 把m=4代入y=x-m}-m 得出抛物线对应的函数表达式为 y=x-42-4=x2-8x+12 令y=0, 则0=x2-8x+12, 解得X1=2,X2=6, .A2,0,B6,0, 令x=0,则y=12, 83/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .C0,12, 设BC的解析式为y=kx+b, 6k+b=0 则b=12 [k=-2 解得b=12 ∴.直线BC对应的函数表达式为y=-2x+12. (2)解：如图1，设直线1：y=a, C we NIx1<x3<X2 C(0,12) B 图1 ∴.0<a<12. ,直线1与抛物线和直线BC都相交， x-8x1+12=a, ∴.可列方程xX-8x2+12=a, -2x3+12=a. 得x+x号-8x1+x2+24=2a .x7+x=2a-24+8x1+x2 ,抛物线的对称轴是X=4, .X1+X2=8, ∴.x1+x3=2a+40 %-6-号 x++名=2a+40+6-号4a-8+60 84/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0, ∴.抛物线开口向上， 又0<a<12, ÷当a=8a时，y取得最小值为60.当a=0时，y取得最大值为}0-8+60=76。 .60≤号a-82+60<76. 即60≤x+x号+x号<761 (3)解：如图2，连接BD,过点D作DE⊥X轴，垂足为E. 图2 ,抛物 y=x-42-4 ,顶点D4,-4. ·BD=4-6+-4-02=25 由(1)可知，0C=12'0B=6'DE=4BE=2'AB=4'BC=V10-6+12-07=65 am∠ABC=号-2，m∠DBE=号=2 6 .∴.tan∠ABC=tan∠DBE=2, .∴.∠ABC=∠DBE .'△PBD与△ABC相似， 点P在点B的左侧， ∴.存在△ABC一△PBD或△ABC一△DBP. 当△ABC一△PBD时， 85/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则ABPB BC BD 4 PB 得6525 ..PB=4 p叫学o 当△ABC一△DBP时， 有ABDB BC BP 4-2V/5 得5PB ∴.PB=15, ∴.点P-9,0. 综上，使△PBD与△ABC相似的点P的坐标为4,0或-9,0 3 2.【详解】(1)解：.∵AB=6, OB 1 OA 2' ∴.OA=4,OB=2, .A4,0,B-2,0, ∴.将A4,0,B-2,0代入y=ax2+bx+4中， 16a+4b+4=0 得 4a-2b+4=0: 解得 b=1 12 .∴抛物线的解析式为y= 2x+x+4, (2)解：①过点P作X轴的垂线交X轴于点D,交AC于点F,过点P作PE⊥AC于点E,如图， 86/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D F B O DA式 当X=0时，y=4, .C0,4, ∴.OA=OC=4,且OC⊥OA, ∴，△AOC为等腰直角三角形， ∴.∠OAC=45°， OC⊥OA,OA⊥DF, .DF OC, ∴.∠AFD=45°， ∴.∠EFP=45°， 在Rt△PEF中，PE=PF·sin∠PFE=PF·sin45°= 2 PE, 设AC的解析式为y=kx+b, 将A4,0和C0,4代入， ,4k+b=0 得b=4 k=-1 解得b=4' ∴，AC的解析式为y=-x+4, 设pm,2m+m+4 则Fm,-m+4 .P为第一象限内的点0<m<4, ∴.PF=yp-yE =-m2+m+4--m+4 2 1 2m+2m =号m-22, 87/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.当m=2时，PF最大，即当PF取最大值时，PE最大，此时P2,4: ②将点B向右平移1个单位长度得点B,则BB‖MN,连接BP交对称轴于点N,如图， A y .MN=1, B-2,0, .B-1,0 .BM+MN+NP=BB+BN+NP=1+BN+NP 当B,N,P三点共线时，BM+MN+NP最小，为1+BP, “B-1,0P24 六BP=-1-22+0-47=5 .BB+BP=1+5=6, ∴.BM+MN+NP的最小值为6； (3)解：由(2)得，点D坐标为2,0， .AD=4-2=2,PD=4-0=4, 在Rt△APD中，AP=VAD2+PD=/2+4=25 设AP的中点为G,连接QG,AP,如图， D A 88/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则G的坐标为 4+20+4, 2’2 明3,2且AG=3AP=5 :△QAP为等边三角形， ∴QA=QP=AP=2V5,且QG⊥AP, 在Rt△QGA中，QG=VQA2-AG=25-R5=V15 设Q1x,小由QA=QP得，x-4P+y=x-2P+y-4 x-42+y2=x-22+y-4 x2-8x+16+y2=x2-4x+4+y2-8y+16 解得x=2y-1, 又.QG=V15, x-3+y-2P=15 将x=2y-1代入，得2y-1-3P+y-27=15 2y-42+|y-22=15 4y-22+y-22=15 5y-22=15 y-22=3 解得y=2+3或y=2-3, 当y=2+3时，x=22+93-1=3+23即Q,3+23,2+3 当y=2-3时，x=22-3-1=3-23即Q,3-23,2-3 综上所述，点Q的坐标为3+23,2+3利13-23,2-3 3.【详解】(1)解：，直线y=x+m与x轴交于点D-3,0, ∴把D-3,0,代入y=x+m得0=-3+m, 89/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得m=3, ∴.直线解析式为y=x+3, ,直线y=X+3经过点C,且点C在y轴上， ∴.令x=0,得y=3, .C0,3, ,抛物线y=ax+1x-3与y轴交于点C, ∴把C0,3代入y=ax+1x-3,得3=-3a, 解得a=-1, ∴y=ax+1x-3=-x+1x-3=-x+2x+3' 综上所述，m=3,抛物线的函数表达式为y=-x+2x+3: (2)解：C0,3,D-3,0, .OC=3,OD=3, 六CD=0c2+0D=32+3=32 .EF=2, ∴.四边形DCEF的周长为：CD+EF+CE+DF=3V2+2+EC+DF, ∴求四边形DCEF周长的最小值，只需求CE+DF的最小值， :抛物线的函数表达式为y=-X+2x+3=-x-1+4' ∴.抛物线的对称轴为直线X=1, :E、F在直线x=1上，且EF=2,E在F上方， ∴.设E1,t,F1,t-2, 如图：把点D向上平移2个单位得D-3,2?作D与D关于直线x=1对称，则D5,2?连接DD DD、ED、ED、CD, y :m D D A 90/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在四边形DFED中， :DD⊥x轴，EF⊥x轴， :.DD EF, .DD=EF=2, '.四边形DFED是平行四边形， .DF=D E, ∴CE+DF=CE+DE, :D与D关于直线x=1对称，E在直线x=1上， ∴.DE=DE, ..CE+DF=CE+D E=CE+D E, ,两点之间线段最短， .当E点在CD与直线x=1的交点处时，CE+DE最小， 设直线CD的函数解析式为y=kx+b(k≠O, 3=b 把C10,31,D5,2代入y=kx+blk≠0得：2-5k+b k=- 1 解得 5 b=3 1 .直线CD的解析式为y=- X+3, 当x=1时，y=3 1, (3)解：，抛物线y=-x+2x+3与x轴交于A,B两点， .令y=0,得-x+2X+3=0, 解得：x=-1或X=3, :A在B左侧， .A-1,0,B3,0, .由(1)知，C0,3, ∴.OC=3,OB=3, 91/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=V0C2+0B=32+32=3V2 ,抛物线沿射线BC方向平移3V2个单位长度，且B在抛物线上，BC=3V2, ∴B点沿射线BC方向平移3V2个单位长度后与C点重合， .OB=3,OC=3, ∴抛物线沿射线BC方向平移3V2个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度， 如图： ,抛物线y=-x+2X+3的对称轴为直线x=1, ∴.平移后对称轴为直线X=-2, ,点G为平移后的抛物线对称轴上一动点， .设G-2,n, .A-1,0,C0,3, AC=-1-02+0-3P=10'AG=-1--2+0-n2=1+n CG=-2-0+n-32=√4+n-32, ①若∠ACG=90°，如图： D 则AC2+CG=AG2, 92/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10+4+n-32=1+n2 解贵 c-2 ②若∠AGC=90°，如图： 则AG+CG2=AC2, 1+n2+4+n-32=10 解得n=1或n=2, ∴G-2,1或G-2,2, ③若∠CAG=90°，如图： B 则AG2+AC2=CG2, 1+n2+10=4+n-32, 解得n 31 93/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 d2} 4.【详解】(1)解：把A(-1,0),C(0,5)代入y=-x2+bx+c中得， 0=-1-b+c b=4 15=c 解得c=5 ∴.y=-x2+4x+5: (2)解：.A(-1,0),C(0,5), ∴.AC=V26 .当AP+CP的值最小时，则△ACP的周长最小. 作点A关于对称轴的对称点，即为点B, 由(1)可知抛物线的解析式为y=-x+4x+5, 对称轴为直线X=一 4 2×(-1) =2,且A(-1,0), ∴.B(5,0). 如图，连接BC,与对称轴的交点即为点P, 设直线BC的解析式为y=x+b(k≠0)， 把B(5,0),C(0,5)代入y=kx+b(k≠0)中得， 5=b b=5 0=5k+b 解得k=-1: .直线BC的解析式为y=-x+5. .点P的横坐标为x=2, .∴把x=2代入y=-x+5得y=3, ∴.P(2,3): (3)解：设M(2,m'N(t,-t+4t+5)' 94/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①当AC为对角线时，设AC中点为E,根据平行四边形的性质，点E也为MN的中点， .A-1,0),C(0,5), - 2+t=-1 2 2 解得t=-3 m+(-+4t+5)-5 m=21 2 把=-3代入-t2+4t+5=-(-32+4×(-3)+5=-161 ∴.N(-3,-16)； ②当AM为对角线时，设AM中点为F,根据平行四边形的性质，点F也为CN的中点， .A-1,0),M(2,m), r吃 0+t=1 22 解得t=1, 5+(-2+4t+5=m m=13 3 2 把t=1代入-t+4t+5=-12+4×1+5=8, ∴.N(1,8): ③当AN为对角线时，设AN中点为G,根据平行四边形的性质，点G也为CM的中点， .A(-1,0)'N(t,-t+4t+5)月 6,405 -1+t-2+0 22 解得t=3 -t2+4t+5=m+5 m=3 2 2 把t=3代入-t+4t+5=-32+4×3+5=8, .N(3,8): 综上所述，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时点N的坐标为(-3，-16)或(1,8)或 95/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3,8). 5.【详解】(1)解：：点A的坐标是-1,0， ∴.OA=1, ,以原点为中心，把点A顺时针旋转90°， .∠AOA=90°，OA=OA=1, 此时点A在y轴正半轴上， A0,19 y=ax2-4axla<0' .对称轴为直线X=一 -40=2: 2a (2) ”y=aX2-4axla<0:对称轴为直线x=2: .当x>2时，y随x的增大而减小， .3≤x≤5， .当x=3,y有最大值为a×3-4×3a=-3a=1-2a, .a=-1, .y=-x+4x: (3)存在： y=-x2+4x, .当x=2时，y=-22+4×2=4, .P2,4 设M0,m,Ns,t, 由(1)知：A0,1 当以点A,P,M,N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当AP为对角线时，则△AMP为以M为顶点的直角三角形，PN‖AM,即PN‖y轴，AN‖PM, .PM⊥y轴， ∴.AN⊥y轴， .M0,4,N2,1: 96/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0+0=2+s S=-2 ②当以AM为对角线时，则： 1+m=4+t解得=t+3厂 M0,t+3,N-2,t, .A M=PN, +3-1=2+22+4-tR,解得t= 39 w-2引 ③当以PM为对角线时，要满足A,P,M,N为顶点的四边形是矩形，则需要满足△APM是以 ∠PAM为直角的直角三角形，即PA⊥y轴，与题意不符；故此种情况不存在 综上：N2,1或N-2,3 M M --W 1.4 6.【详解】解：(1)当M为0,0时，线段AM的垂直平分线为直线y=2,过点M垂直于x轴的垂线l2即为 y轴， 点P的坐标为0,2： 当M为4,0时，如图所示，点P的坐标为4,4， 97/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y A(0,4) 3 5-4-3-2012345定 M(0,4) 2 -3 -4 -5 故答案为：0,2,4,4： (2)由对称性可知，当M为-4,0时，如图所示，点P的坐标为-4,4， ∴由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数， 故答案为：②： （3)由勾股定理得，PA2=x-02+y-4=X+y-42,PM2=y” ..PA=PM, X+y-42=y2 y+2 (4)如图，当x=4时，点P4,4,此时∠APM=90°，四边形AOMP是正方形， 当-4<x<4时，可知∠AMO>45°，则∠PAM=∠PMA<45°， .∠APM>90°， 即△AMP为钝角三角形， 又由(1)可知当M为0,0时，点P的坐标为0,2，点A、M、P三点共线构成不了三角形， x≠0， 综上，要使△AMP为钝角三角形，x的取值范围为-4<x<4且X≠0 98/106 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y A(0,4) -4 M(0,4) -5-4-3-2-110123M45元 2 7.【详解】（1)解：由抛物线的表达式， y=ax2+bx-5la≠01可知，c=-5=yg ..OB=OC=5=50A, .OA=1, A1,0,B0,-5,C-5,0, 设抛物线的表达式为：y=ax-1x+5=alx2+4x-5=aX2+4ax-5a .-5a=-5, ∴.a=1, 故抛物线的表达式为：y=x2+4x-5; (2)解：由(1)可知，抛物线的表达式为：y=x2+4x-5, 对称轴为直线x=-2, ∴.点A关于抛物线对称轴的对称点为点C, .BC交抛物线的对称轴于点M,即为所求点的位置，即△ABM的周长 =AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC为最小， M B 已知B0,-5,C-5,0, 设直线BC的解析式为：y=kx+bk≠0， 99/106 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b=-5 -5k+b=0 k=-1 解得b=-5 ∴.直线BC的解析式为：y=-x-5, ,抛物线的对称轴为直线X=-2, ∴.当x=-2时，y=-x-5=-3, 则点M-2,-3: (3)解：由(1)和(2)可知，抛物线的解析式为y=x+4x-5,直线BC的解析式为y=-x-5, .∴，如图所示，设点Px,-x-5,根据过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,四边形OBQP为平行四边形， 则Qx,×2+4x-5 B 图① 图② ..PQ=OB=5, PQ=-x-5-x2+4x-5=-x2-5x=5 ∴.x+5x+5=0 25,为=5-6 解得：x=5+5 2 当x=-5+5时，-x-5=-5+85-5=-5,85,即p-5t85,-5,85 2 2 2 当x=5,5时，-x-5-5,85-5=-5+85,即p-5-5-5+5 2 2 2 2 2 100/106函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12二次函数解答题压轴 3年考情·探规律 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 以解答题前两小问为主，部分地区选择填空单独考 考点01二次 全国绝大多数省市必考：代表试 查，分值4-6分；核心考查待定系数法求解析式、 函数的图象与 卷：2024河北、2025山东统考、 开口、对称轴、顶点、增减性、函数与方程不等式 性质解答题 2026浙江统考 结合；整体中等偏易；易错点：配方运算出错、忽 略自变量取值范围。 多设置在解答题压轴，分值5-12分：给出陌生函数 考点02二次 新高考改革区、江浙、山东等地 新概念，要求现场阅读理解转化为函数、方程、不 函数中新定义 高频；代表试卷：2024江苏、 等式；阅读信息量大，难度中上；易错点：无法完 类问题 2025山东、2026湖南 成题意数学翻译，漏用定义条件。 选择、填空、解答均有考查，分值3-8分；分为实 考点03二次 全国高频考点：代表试卷：2024 际情境最值、定区间下动轴定轴最值两类；易错 函数中最值问 山东、2025河北、2026福建 点：直接套用顶点公式，不判断顶点是否落在自变 题 量给定区间内。 多为压轴解答中间小问，分值47分；主要考查含 考点04二次 江浙、两湖、山东压轴高频；代 参抛物线恒过定点、线段/代数式定值，侧重代数 函数中定值定 表试卷：2024湖南、2025江苏、 消参化简；中等偏难；易错点：参数整理不到位， 点问题 2026山东 代数化简计算失误。 考点05二次 集中于二次函数压轴最后一问，分值6-10分：角度 函数中已知角 全国压轴热门设问：代表试卷： 相等转化为对称、等腰、相似模型，普遍需要分类 度相等求点坐 2024湖北、2025浙江、2026江苏 讨论；综合性强，难度较高；易错点：分类讨论不 标 全，丢失部分符合条件的点。 考点06二次 解答题常规设问，分值5-8分：常用割补法、平行 全国各卷普遍考查；代表试卷： 函数中面积相 2024浙江、2025江苏、2026山东 线法处理面积相等，多数情况存在两组解；整体中 等问题 等难度；易错点：只求出一侧动点，遗漏另一组 1/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点分类 三年考情（2024-2026) 命题规律 解，坐标计算出错。 压轴大题，分值8-12分：以等腰三角形、直角三角 考点07二次 全国中考压轴必考；代表试卷： 形、平行四边形存在性为主，需要多情形分类讨 函数中存在性 2024湖南、2025湖北、2026浙 论，计算量大；难度大，区分度高：易错点：分类 问题 江、山东 逻辑遗漏、坐标运算出错。 二3年真题·精准练 品 考点01二次函数的图象与性质解答题 L.(2026北京中考真题)在平面直角坐标系0y中，抛物线C,:y=aX+hx+ca20经过点0，。2 对称轴为x=1 (I)求b的值，并用含a的式子表示c: (2)已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标为t,抛物线C2的顶点为M,且可以由抛物线C1平移得到（特 别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1),若无论t为何值，抛物线C2都不经过点O,求a的取值范围. 2.(2026四川攀枝花.中考真题)已知二次函数y=3x2-4ax+4,其中a为常数. Q)若a=弓求此函数图象的顶点坐标： (2)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围， 3.(2026福建中考真题)已知抛物线y=-x2+bx+c. (1)若b=1,c=2,求抛物线的顶点坐标： ②)若抛物线上存在一点PX,y在轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点： (3)抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C0,2,直线y=bx+2与y=-bx-1相交于点D,E是y轴 上不与点C重合的点.若坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC=ME,试探究CD和DE的数量关系， 并证明 2/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026山东德州：中考真题)已知二次函数y=x-mP+23x-m-3'm为常数. (1)当m=0时，求该二次函数的对称轴： (2)若当x>0时，y随x的增大而增大，当X<-1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点A,且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离. 5.（2025-山东滨州：中考真腰)在平面直角坐标系xOy中，已知点M2,-3在抛物线y=X2-乙 mx-m上. 3 (1)求抛物线的顶点坐标： (2)点Na,b在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围 (3)把直线y=x向下平移n(n>0个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围. 6.(2025山东德州中考真题)已知抛物线，」 y=X2+2m+3x+n（m,n为常数)过点1,5 (1)若该抛物线与y轴交于点0，-1. ①求该抛物线的解析式： ②已知AX1,y,B2,y,在该抛物线上，若对于3t-1<X,<3t+2:都有y>y,求，的取值范围： ②若对于任意实数x都有X+2m+3引x+n≥3x+2此时抛物线y=X+2m+3X+n与直线y=4交于 M,N两点，求MN的长， 7.(2025江苏淮安中考真慰)已知二次函数y=号X2-mx+m-1(m为常数)· (1)若点2，-1在该函数图像上，则m=_: (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点： 6)若该函数图像上有两个点A(m+1,y小Bm+p,y,当y,<y,时，直接写出p的取值范围. 考点02二次函数中新定义类问题 1.(2026四川广元中考真题)定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交 点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”· 直角坐标系xOy中，一次函数y=)x+2的图象与X抽，y轴分别交于A, 3/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 备用图 ①)图1，若点p为线段AB的中点，二次函数y=aX+bx+ca+0的“顶点弦”为线段PB'且点p为 顶点，求该二次函数的解析式： (②)在(1)的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E,使∠BPE+∠BAO=45°，求点E的坐标； 6)点G在线段AB上，若抛物线F,y=a1X2+b,x+C,a,≠0和抛物线F:y=a,X2+bX+ca,≠0的 顶点弦”分别为GA和GB,点G为E和E的顶点，且Q+2Q,0,求CA的值 2.(2026河南中考真题)定义：若点P,Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称 点Q是点P的“黄金搭档点”.例如，抛物线y=x上，点3,9是点0,0的“黄金搭档点”· 1)点A0,-3和点B在抛物线y=x+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12.求 b,c的值. (2)点M,N在(1)中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”， ①若点M,N的纵坐标相等，求点M,N的横坐标. ②抛物线上M,V两点之间的部分（含M,N两点）记为图象W,设点M的横坐标为m,当-) <m<0 时，若图象W上的最高点和最低点到X轴的距离之和为5，请直接写出m的值. 3.（2026上海：中考真题)对于函数y=0X2+bx+Ca≠0：对称轴与x轴交于点A将点A向右平移一个 单位得到点B,使点C与点B的横坐标相等，且点C的纵坐标为2a,则称点C为抛物线的“派生点”，并 且将直线AC称为抛物线的“派生直线”. (1)已知函数y=2x2+3,求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点C为某抛物线的“派生点”，点P1,m和Q7,n在其“派生直线”y=2x-6上，且点P是该抛 物线与其“派生直线”的交点，求PC 的值，并判断点Q是否在抛物线上. CO 4/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026江苏苏州中考真题)将一个二次函数y=ax+bx+c与一个一次函数y=mx+n求和，可以得 到一个新的二次函数y=aX+b+mX+c+n我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次 函数的“吸收”.“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”. (1)若二次函数y=x对一次函数y=x+n“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为-2,0， 4,0,求m,n的值； (2)已知二次函数y=x2+2x-3对一次函数y=mx+n“吸收”. ①若所得“吸收函数”的最小值与y=x2+2x-3的最小值相等，求的取值范围： ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M且与一次函数y=mx+n的图像交于A,B两点.当△ABM的面 积为4时，求m的值 5.(2026江西·中考真题)如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为 “伴随对称抛物线”· (1)试判断y=x-4x+4与y=-x+2x是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： 2)如图1，若C:y=a,x-h,P+k,与C,y=a,X-h,?+k,互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为A A2,记C1,C2组成的图形为C. y不 B2 图1 图2 ①试猜想a1与a2的数量关系，并证明： ②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若C1:y=x2,h,>0,B,B2分别为C1,C2上的点，且四边形A1B1A2B2为正方形，求 h2-2h2-1h,+1的值 6.(2025江苏镇江中考真题)在平面直角坐标系中，过点T0,t作y轴的垂线与二次函数 y=x-h+k(h、k为常数)的图像交于点E、F(点E在点F的左侧)，点P在直线EF上，当点P满 5/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 足PE+PF=6时，我们称点P是该二次函数图像的T~6生长点. VA (1)二次函数y=二x的图像如图所示. ①在t的不同取值2、 9 5中，使该函数图像有T~6生长点的的值是： ②已知Pm,n是该函数图像的T~6生长点，猜想n的取值范围，并说明理由. (2)二次函数y= )x-hP+k(kk为常数)的图像经过点6,1，若P3,5是该函数图像的T~6生长点， 求该函数的表达式. 7.（2025江苏宿迁.中考真题)定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于k的点叫 “k阶近轴点”，所有的“k阶近轴点”组成的图形记为图形W.如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的 图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域。 (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是 ①y-是：@y=-X+3:@y=X-2x+3. (2)若一次函数y=2x+m的图像上存在“3阶近轴点”，求实数m的取值范围； 3)特别地，当点P在图形W上，且横坐标是纵坐标的k倍时，称点P是图形W的“k阶完美点”，若二次函 数y=ax-ax-2a+2的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数a的取值范围. 6/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03二次函数中最值问题 1. （2026辽宁.中考真题)如图，一次函数y=- 2+2的图象与反比例画数y=长x<0的图象相交于点 X Am,3. (1)求m和k的值： 2)B是一次函数y=- 2 X+2在第一象限内的图象上的点，BC垂直于x轴，垂足为C.P是反比例函数 x<O的图象上的点.若点P到y轴的距离是点B到y轴的距离的2倍，求△PBC面积的最大值及此时 点P的坐标， 2.(2026广东中考真题)如图1，设0为坐标原点，二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A-3,0, 与y轴交于点B,其对称轴与X轴交于点C,连接AB,BC, 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (2)求Cos∠ABC的值： 3)如图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ,与二次函数在第二象限的图象交于点Q,求 BP+2PQ的最大值. 3.(2026黑龙江绥化中考真题)综合与探究，已知抛物线y=ax+bx+4与x轴交于点A-1,0, B4,0,与y轴交于点C,点O为坐标原点，作直线BC. 7/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA B B 1 4 -10 4主 备用图 (1)求该抛物线的解析式. (②)在抛物线上有两个动点P,Q,点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂足为N,交BC 于点M,点Q的横坐标为m-3 若△MCN的面积记作S1,△PMQ的面积记作S2,当S=S1+S2有最大 值时，求点P的坐标.（自行完成作图并解答）》 3)把抛物线y=ax+bx+4沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y过点C,点E是新抛物线y对称轴与 X轴的交点，点F是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC,FO.若FO平分∠CFE,请直接写出符合条 件的点F坐标.（自行完成作图并作答) 4.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=aX+bx+4a<0与轴交于点A-2.0?B4,0与y轴交于 点C,作直线AC,BC,点P为第，象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥X轴，垂足为D,PD交直线 BC于点E. 6 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)求PE的最大值及PE最大时点P的坐标： 3)如图2，若将抛物线y=ax2+bx+4沿射线AC方向平移V5个单位长度，得到新抛物线，点Q为新抛物 线上一点，且∠CBQ=∠ACB,则点Q的坐标为_； 8/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4)当PE最大时，作直线OE,若点M为直线BC上的一个动点，连接OM,将线段OM绕点O顺时针旋转 90°得到OM,取OM的中点N,过点N作NF⊥OE,垂足为F,连接AN,PF,则AN+PF的最小值 为 5.(2026河北中考真题)如图，二次函数y=x-tx-3t(其中t>0)的图象与x轴交于A,B两点 (点A在点B左侧)，与y轴交于点C,顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D. 1)若t=1,求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C是否在直线PD上： (②)当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值： 3)连接OP,当点D不在直线OP上时，过点D作直线DEOP交y轴于点EO,m,请直接写出m的最小 值. 6.（2026四川宜宾中考真题)抛物线 y=aX+bx+cla≠0卢x轴交于A-1,0八B2,0两点，与y轴交 于点C0,-2. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，连接BC,交抛物线的对称轴于点D,连接AD.试判定△ABD的形状，并说明理由： B)如图2，点E、F是直线AC上两动点，且∠EBF=∠ABC.求△EBF面积的最小值. 2 7.(2026甘肃天水中考真题)抛物线y=二x2+bx+c与x轴交于A,C(2,0)两点，与y轴交于点 3 9/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B(0,-6).动点D在线段OB上（点D与点O不重合）· y M D B B 图1 图2 图3 求抛物线yx+bx+c的表达 (2)连接CD,在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN. ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积： ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标： )如图3，在动点D的正上方有另一动点E(0,P,且ED=3 1 当点D从点B开始运动时，点E以相同的 速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动.连接AE,CD,求 AE+CD的最小值和此时P的值， 8.(2026天津.中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0,c>0)的顶点为P. 1)当Q=-1,b=-2,c=3时，求点P的坐标； (2)点A-C,0和点B为抛物线与X轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点. ①当a=2时，若∠PCA=90°，求c的值： ②若点Bm,0,∠ACB=75°，D为线段BC的中点，点M在线段AC上（不与点A,C重合），点N在 线段AB上，且CM=2BN,当MN+ND取得最小值为5时，求c的值. 9.(2026山东烟台中考真题)如图，直线y=-x-6与X轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线 y=ax+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一个交点为B.抛物线的对称轴为直线x=- 2 10/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O/B 备用图 (1)求抛物线的表达式： ②点D在抛物线上，横坐标为，若点D到直线AC的距离为2，求出所有满足条件的t的值， 2 )若H为抛物线的顶点，P为对称辅上一点，诗直接写出PH+5 O的最小值. 10.(2026四川凉山中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 其中B4,0,C0,4,对称轴是直线x=1.动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动， 设运动时间为t(0≤t≤4)秒，过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P. (1)求抛物线解析式： (2)抛物线的对称轴交BC于点E,顶点是点D,当t为何值时，四边形DENP为平行四边形： (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动.当t为 何值时，四边形PCQB的面积最大，并求最大面积 考点04二次函数中定值定点问题 1.（2026四川内江中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于 A(-3,0、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3). 11/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA B A M:O B Mi O B 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点D是直线AC下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标： 3)如图2，点N为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M,直线y=心x+k一1(k为常数)交 抛物线于E、F两点（点E、F分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF交x轴于点P,直线NE交x 轴于点Q.试探究MP·MQ是否为定值？若为定值，求出MP·MQ的值；若不是定值，请说明理由. 2.(2026四川乐山中考真题)己知抛物线C:y=x2-2x-3交X轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， 顶点为点P 备用图1 备用图2 (1)求A、B两点的坐标： 2)直线l:y=kx+b(k≠0与抛物线C交于D,E两点. ①若A、B两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由： ②若∠DPE=90°，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 3.(2026四川乐山中考真题)已知抛物线C:y=x-2x-3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， 顶点为点P 12/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B x 备用图1 备用图2 1)求A、B两点的坐标： (②)直线l:y=kx+bk≠0与抛物线C交于D,E两点. ①若A、B两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若∠DPE=90°，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 考点05二次函数中已知角度相等求点坐标 1.(2026四川巴中.中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A-2,0、B1,0两点. B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值： 3)在第二象限内的抛物线上是否存在点Q,使得∠ACQ=2∠OCB?若存在，求点Q的坐标；若不存在， 说明理由、 2.(2026四川甘孜中考真题)如图1，抛物线y=ax+12x-6)a≠0与x轴负半轴交于点A,与y轴 交于B0,63 13/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B H A G衣 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)将原点O,点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C,点D,连接CD,AD,作∠OAD的平分线 交CD于点E ①求点E的坐标： ②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE并延长交x轴于点G,连接DG交抛物线于点H,连 接EH,当∠DEH=∠就时，求点H的横坐标， 3.(2026四川眉山中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+3的图象与x轴相交 于A,B两点，与y轴相交于点C,连接AC,已知点A-1,0,对称轴为直线x=1. 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点P是直线BC上一个动点，连接PA,PO,当PA+PO的长度最小时，求点P的坐标： 3)点Q是二次函数图象上一个动点，当∠BCQ=∠ACO时，请直接写出点Q的坐标. 4.(2025:山东淄博中考真圈)如图，一条抛物线y=aX2+bx+5与X轴相交于A-1,0,B15,0两点， 与y轴相交于点C. 14/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BY (1)求抛物线对应的函数表达式： ②)问在抛物线上是否存在点P,使得∠ABC=号∠PAB?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理 由： 3)将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D,再将抛物线沿直线CD平移，得 到一条新的抛物线（其顶点为M)·设这两条抛物线的交点为Q ①求旋转角度的正切值： ②当∠CQM=90°时，求原抛物线平移的距离. 5.(2025西藏中考真题)已知抛物线y=ax2+bx-4过点A-1,0,Bm,0,与y轴交于点C.点B是 X轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC,AF,且AF交y轴于点D,交 BC于点E. VA B 图1 图2 (1)当m=3时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在(1)的条件下，若∠CDE=∠CED,求直线AF的解析式： 3)要使得∠DCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，∠DCE=∠DEC,当m为何值时，OD的长度等于1？ 6。（2026四川建宁中考真题）如图。在平面直角坐标系中，二次函微y=aX+号x+c口≠0的图象与： 轴交于A-1,0、B两点，与y轴交于点C0,2. 15/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)连接BC,点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作PH⊥BC于点H,求线段PH的最大值： 3)连接AC,点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E,作射线DE,使 ∠BDE=∠ACO,求点E的纵坐标. 考点06二次函数中面积相等问题 1. (2025黑龙江中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B,交y轴于点C,且点A在 点B的左侧，顶点坐标为3，-4. 1)求b与c的值. (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积与△ABC的面积相等.若存在，请直接写出点 P的横坐标；若不存在，请说明理由. 2.(2025江苏苏州中考真题)如图，二次函数y=-x2+2X+3的图像与x轴交于A,B两点（点A在点 B的左侧），与v轴交于点C作直线BC,Mm,y,Nm+2,y,内二次函数 y=-X2+2x+3图像上 两点. 16/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (备用图) (I)求直线BC对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得y1+2y2=10.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. (3)已知P是二次函数y=-x+2x+3图像上一点（不与点M,N重合)，且点P的横坐标为1-m,作 △MNP若直线BC与线段MN,MP分别交于点D,E'且△MDE与△MNP的面积的比为1：4请 直接写出所有满足条件的m的值。 3.(2024:山东日照，中考真题)已知二次函数y=-X+(2a+4)x-a2-4a(a为常数)， (1)求证：不论α为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (②)当a+1≤x≤2a+5(a≥-1)时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式： (3)若二次函数图象对称轴为直线x=1,该函数图象与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于 点C.点C关于对称轴的对称点为D,点M为CD的中点，过点M的直线1（直线1不过C,D两点）与二 次函数图象交于E,F两点，直线CE与直线DF相交于点P. ①求证：点P在一条定直线上； ②者SAc0SA,请直接写出满足条件的直线1的解析式，不必说明理虫 4.(2024山东济宁.中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过0，-3引，-b,c两点，其中a, b,c为常数，且ab>0. 17/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA 备用图 (1)求a,c的值： (2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图像与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C. ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,B的坐标： ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点P作x轴的垂线，垂足为D,与直线AC交于点 E,连接PC'CB'BE 是否存在点P,使S△CE=3？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说 SACBE 8 明理由。 考点07二次函数中存在性问题 1. （2026江苏连云椿中考真题)在平面直角丝标系x0y中，抛物线y=K一mP-mm为常数)与制 交于点A,B,点A位于点B的左侧，与y轴交于点C.若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单 位，都经过点3,0. (1)直接写出抛物线和直线BC对应的函数表达式： 2)若平行于x轴的直线1与抛物线交于点MX1,y,Nx,y,与直线BC交于点Qx,y,且 X<X,≤X,求x++x 2的取值范围； 3)设抛物线的顶点为D,连接AC,在x轴上找一点P,使以点P,B,D为顶点的△PBD与△ABC相似， 求点P的坐标. 2.(2026四川广安.中考真题)如图，二次函数y=ax+bx+4(a,b为常数，a≠0)的图象与X轴分别 18/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交于点A,点B,与y轴交于点C,8册 OB_1 AB=6 VA B 备用图 (1)求二次函数的解析式： (②)①连接AC,点P是第一象限内抛物线上的一动点，当点P到AC的距离最大时，求点P的坐标； ②在①的条件下，点M,N分别是y轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN⊥y轴，连接BM,MN,NP, 求BM+MN+NP的最小值； (3)在(2)的条件下，平面内是否存在点Q,使以点Q,A,P为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请 直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 3.(2026四川达州：中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+1x-3与x轴交于A,B 两点.与y轴交于点C.直线y=x+m经过点C、与x轴交于点D-3,0. D 备用图 (1)求m的值及抛物线的函数表达式； (②)若线段EF在抛物线的对称轴上运动，且EF=2,求四边形DCEF周长最小时点E的坐标： 3)将抛物线沿射线BC方向平移3V2个单位长度，点G为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在 以A,C,G为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G的坐标；若不存在.说明理由， 4.(2025山东东营.中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c交X轴于A、B两点，交y轴于点C,其中 A(-1,0),C0,5). 19/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求抛物线的表达式： (2)点P为对称轴上一点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； 3)点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直 接写出点N的坐标. 5.(2025青海西宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为 y=aX2-4aXa<0?点4的坐标是-10？以原点为中心，把点A顺时针旋转90。，得到点A (1)直接写出A点的坐标和抛物线的对称轴： (②)当3≤x≤5时，y有最大值为1-2a,求抛物线的解析式： 3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A,P,M,N为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由， 6.（2025四川巴中.中考真题)综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,4，M是x轴上一点，连接AM,作线段AM的垂直平分线l1, 过点M作x轴的垂线l2,记l1,12的交点为P 20/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 4A(0,4) 3 2 -5-4-3-2-19 12345 -2 -3 -5 【操作与发现】 (1)当M为0,0时，点P的坐标为 当M为4,0时，点P的坐标为 【猜想与证明】 (2)在X轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P,把这些点连接起来形成图象L,猜想L为我们学过 的 图象.（请填序号：①一次函数②二次函数） (3)设点P的坐标是x,y,根据PA与PM的关系，确定X,y满足的关系式. 【实践与运用】 (4)运用所学知识，要使△AMP为钝角三角形，直接写出X的取值范围. 7.（2024甘肃甘南.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线」 线y=aX+bx-5a≠0交x轴于A,C 两点，交y轴于点B,5OA=OB=OC. (1)求此抛物线的表达式： (2)己知抛物线的对称轴上存在一点M,使得△ABM周长最小，请求出点M的坐标： (3)连接BC,点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,求当四边形OBQP为平行四 边形时点P的坐标. 21/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2025四川资阳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与X轴相交于A,B两点（点A在点B 的左边)，与y轴相交于点C0,-3,且抛物线的顶点坐标为1，-4： B 备用图 (1)求抛物线的表达式： ②)p是抛物线上位于第四象限的一点，点D0,-1:连接BC,DP相交于点E:连接PB若△CDE与 △PBE的面积相等，求点P的坐标： )M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H是否存在点 M,N,使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由. 9.(2025青海中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线， y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A,B两点， 点B的坐标为1,0，点C2,5在抛物线上. (1)求抛物线的解析式： (2)①求点A的坐标： ②当y<O时，根据图象直接写出x的取值范围 3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请 直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由. 22/22 专题12 二次函数解答题压轴 考点分类 三年考情（20242026） 命题规律 考点01二次函数的图象与性质解答题 全国绝大多数省市必考；代表试卷：2024河北、2025山东统考、2026浙江统考 以解答题前两小问为主，部分地区选择填空单独考查，分值46分；核心考查待定系数法求解析式、开口、对称轴、顶点、增减性、函数与方程不等式结合；整体中等偏易；易错点：配方运算出错、忽略自变量取值范围。 考点02二次函数中新定义类问题 新高考改革区、江浙、山东等地高频；代表试卷：2024江苏、2025山东、2026湖南 多设置在解答题压轴，分值512分；给出陌生函数新概念，要求现场阅读理解转化为函数、方程、不等式；阅读信息量大，难度中上；易错点：无法完成题意数学翻译，漏用定义条件。 考点03二次函数中最值问题 全国高频考点；代表试卷：2024山东、2025河北、2026福建 选择、填空、解答均有考查，分值38分；分为实际情境最值、定区间下动轴/定轴最值两类；易错点：直接套用顶点公式，不判断顶点是否落在自变量给定区间内。 考点04二次函数中定值定点问题 江浙、两湖、山东压轴高频；代表试卷：2024湖南、2025江苏、2026山东 多为压轴解答中间小问，分值47分；主要考查含参抛物线恒过定点、线段/代数式定值，侧重代数消参化简；中等偏难；易错点：参数整理不到位，代数化简计算失误。 考点05二次函数中已知角度相等求点坐标 全国压轴热门设问；代表试卷：2024湖北、2025浙江、2026江苏 集中于二次函数压轴最后一问，分值610分；角度相等转化为对称、等腰、相似模型，普遍需要分类讨论；综合性强，难度较高；易错点：分类讨论不全，丢失部分符合条件的点。 考点06二次函数中面积相等问题 全国各卷普遍考查；代表试卷：2024浙江、2025江苏、2026山东 解答题常规设问，分值58分；常用割补法、平行线法处理面积相等，多数情况存在两组解；整体中等难度；易错点：只求出一侧动点，遗漏另一组解，坐标计算出错。 考点07二次函数中存在性问题 全国中考压轴必考；代表试卷：2024 湖南、2025湖北、2026浙江、山东 压轴大题，分值812分；以等腰三角形、直角三角形、平行四边形存在性为主，需要多情形分类讨论，计算量大；难度大，区分度高；易错点：分类逻辑遗漏、坐标运算出错。 考点01 二次函数的图象与性质解答题 1．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 3．（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又 ， 垂直平分， ． 【分析】（1）将，代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）由抛物线上的点在轴上方得，进而得， 进而得判别式为，得有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与轴有两个交点； （3）设，，，由对称性可设，根据抛物线与方程的关系可得、，根据勾股定理得，，由列式计算可得点的坐标，联立直线与可得点的坐标，进而得，由得垂直平分，进而得． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． （2）略 （3）略 4．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． （3）解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当时， ，即 ， ∴， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 5．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 6．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）略 （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 考点02 二次函数中新定义类问题 1．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 2．（2026·河南·中考真题）定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． (2)点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①点的横坐标为，点的横坐标为；②或 【分析】（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，根据题意建立方程求解即可； ②根据题意得出对称轴为：，顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“黄金搭档点”， ，点的纵坐标为12， ∴， ∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为， 由（1）得， ∵点，的纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为； ②由（1）得， 对称轴为：， 当时，， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴ 解得：， ∴抛物线与x轴的交点为， ∵点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时， ∴点的横坐标为：，， 当时，， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点， ∵即， 即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴， ∴即， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 3．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为． （2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上． 4．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 【答案】(1) (2) ； 【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可； （2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可； ②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ， ， ，即， 为一次函数的系数即， 考虑到当时，， 但当时，， 故可取， 综上所述，； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 5．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”． (2)①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ 【分析】（1）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答； ②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答； ③根据题意得出，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．证明，得出，．设，得出，．结合，点在上，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)① ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②略 （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 考点03 二次函数中最值问题 1．（2026·辽宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将代入求得，得，再将代入可得的值； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，得，，，继而得到，进一步得到，再根据二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 2．（2026·广东·中考真题）如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解，再由勾股定理求解，即可求解； （3）过点作轴交、轴于点，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴将点代入，则 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点作于点 对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴对称轴为直线 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中，； （3）解：过点作轴交、轴于点， 由（2）知， ∵ ∴， ∴，为等腰直角三角形 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 设，则， 同理设，则 ∴ ∴， 将点代入， 则， 整理得，， ∵ ∴ 整理得， 设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点， ∵ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， ∴最大值为． 3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得 ，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴ ，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； (3)如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为 ； (4)当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点位置：当在轴上方时，由得，联立直线与抛物线求交点得；当在轴下方时，由角度关系得，列方程解得； （4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：对于，当时，，则， ∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ∴； 当点Q在x轴下方时，如图，过作轴， 设，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为或； （4）解：如图，作轴，轴 由（2）知，，，直线的解析式为， , ，且， 在和中，， ， ， 设，则， 是的中点， ∴ ∵，， 为等腰直角三角形， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 直线的解析式为， ∵于F， ∴设，且与x轴所形成的锐角为， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K， 则， 是等腰直角三角形， ∴，即，可得， ∴，则， ∴， 如图，设， ∴， ∴， 问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值， 设点G关于直线的对称点为，则， 则的最小值为的长度， ∵， ∴的最小值为． 5．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，点不在直线上 (2)的值为或 (3) 【分析】（1）先求出，，若，则，，则，，由旋转可得，则，再由待定系数法求解直线；然后求出点关于二次函数图象对称轴的对称点为，再代入直线表达式验证即可； （2）先求出对称轴为直线，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可； （3）同（1）可求，可求，设直线，求出，由，可设直线，求出直线，当时，，再由二次函数的图象与性质求解即可； 【详解】（1）解：如图， 对于，当时，则， 解得， ∴，， 若，则， ∴， ∵将点绕点顺时针旋转得到点． ∴ ∴， 设直线， 则 解得 ∴直线； 对于，当时，， ∴ 由可得对称轴为直线， ∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， ∴点不在直线上； （2）解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， 当，即时， ∵抛物线中，，则抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 当，即时， 若，即时，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 综上：的值为或； （3）解：∵， 同（1）可求 对于，对称轴为直线， ∴把代入可得，， ∴， 设直线，则，解得， ∵， ∴设直线， 代入，则，解得， ∴直线， 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值为； 6．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； (3)如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由如下： 对于抛物线，对称轴为直线， 设直线，代入点、 ∴ 解得 ∴直线 将代入，得 ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，然后求出点坐标，再由勾股定理逆定理求解即可； （3）过点作于点，解，求出，再解中，求出，可得为等腰直角三角形，则，作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接，则，可得为等腰直角三角形，则设，那么，由于，则，求出，故当点三点共线，且点重合时，取得最小值为，则此时取得最小值为，而的高为定值，即可求解面积最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点． ∴， 解得 ∴，即； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴在中，， ∵点、 ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接， 则， ∵ ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴均是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当点三点共线，且点重合时，取得最小值为 ∵， ∴此时取得最小值为， 而高为定值， ∴的面积最小值为， ∴的面积为． 7．（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设 ，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设 ，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 8．（2026·天津·中考真题）已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为． (1)当，，时，求点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若，求的值； ②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)①的值为6；②的值为． 【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解； （2）①求得顶点的坐标为，作轴于点，得到和都是等腰直角三角形，推出，求得，把，代入求解即可； ②根据题意求得，，作轴于点，则是等腰直角三角形，得到四边形是平行四边形，推出，过点作，且，证明，得到，推出，则当共线时，有最小值，即有最小值，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴点的坐标为； （2）解：①由题意得， 对称轴为直线， 顶点的坐标为， 作轴于点， 如图，由题意得点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得（舍去），， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为6； ②∵点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点，， 作轴于点，则是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，即有最小值， ∵，，，且取得最小值为， ∴，即， 解得， ∴的值为． 9．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）根据一次函数先求得的坐标，进而根据对称轴求得点的坐标，设抛物线解析式为，代入，待定系数法即可求解； （2）根据是等腰直角三角形，点到直线的距离为，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂直分别为，得出在，根据一次函数的平移可得的解析式分别为，，分别联立抛物线解析式，即可求解； （3）先求得，根据转化为，构造的直角三角形，过点作使得，则，得出，，，当在上时，取得最小值，最小值为．进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ∴， 设抛物线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 如图，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点到直线的距离为 ∴在上， ∵平行， ∴的解析式分别为， 联立 消去得， 解得： 联立 消去得， 解得： ∵点横坐标为， ∴或或 （3）∵ ∴ 如图，过点作使得，则， ∴，，， ∴， 过点作，设的延长线交轴于点，交轴于点，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值，最小值为． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 10．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 考点04 二次函数中定值定点问题 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为；点的坐标为 (3)是定值，定值为 【分析】（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可； （2）过点作轴，交于点，可求直线，根据，可得当面积最大时，四边形面积最大，设（），则，那么，再由，得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点，则，设，，联立直线与抛物线，整理得，，则，可求直线，求出，同理可得，则，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点 ∴， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴，交于点， 设直线， 代入，可得， 解得 ∴直线 ∵ ∴当面积最大时，四边形面积最大， 设（），则 ∴， ∴， 即 ∵，， ∴当时，的面积最大为， ∴四边形面积最大值为， ∴此时点纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：是定值， 如图，不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧， 抛物线， ∴顶点 ∴ 设， 联立直线与抛物线， 则 整理得，， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 令，则，解得， ∴，同理可得， ∴，， ∴． 2．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)求A、两点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①定点； 如图，设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、． ∴． 又∵A、两点到直线的距离相等， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即：点为中点． ∵，， ∴中点， 即直线过定点； ②直线过定点 【分析】（1）令，解得，再根据抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），得到，． （2）①设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、．即可证明．得到，则点为中点，根据中点公式得到，即直线过定点； ②先求出顶点，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、，即可证明，得到，设，，分别表示出，，，，代入整理得，再联立，结合根与系数的关系得到，．即可得到，则，直线过定点． 【详解】（1）解：令，解得， ∵抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①略 ②∵的对称轴为，当时，， ∴顶点， 如图，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， 设，， ∴，，，， ∴． 整理得． ∵直线与抛物线交于，两点． ∴联立， 可得， ∴，． 代入可得， ∴． ∴， ∴当时，固定不变， ∴直线过定点． 3．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)求A、两点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①定点； 如图，设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、． ∴． 又∵A、两点到直线的距离相等， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即：点为中点． ∵，， ∴中点， 即直线过定点； ②直线过定点 【分析】（1）令，解得，再根据抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），得到，． （2）①设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、．即可证明．得到，则点为中点，根据中点公式得到，即直线过定点； ②先求出顶点，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、，即可证明，得到，设，，分别表示出，，，，代入整理得，再联立，结合根与系数的关系得到，．即可得到，则，直线过定点． 【详解】（1）解：令，解得， ∵抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①略 ②∵的对称轴为，当时，， ∴顶点， 如图，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， 设，， ∴，，，， ∴． 整理得． ∵直线与抛物线交于，两点． ∴联立， 可得， ∴，． 代入可得， ∴． ∴， ∴当时，固定不变， ∴直线过定点． 考点05 二次函数中已知角度相等求点坐标 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线 与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可； ①由题意可得，对称轴为，进而得到，即得，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点的坐标；②过点作于，则，设，得，即得，，，由得到，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 与轴交于， ∴， 解得， ∴， 即； （2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点， ∴，对称轴为直线， ∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，过点作于，则， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入点坐标以及利用对称轴公式求解即可； （2）过点关于直线的对称点，连接，由于，故当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点，然后求出，则直线，再求出直线，联立即可求解交点P的坐标； （3）分两种情况讨论，点在直线上方或者点在直线下方，通过添加辅助线构造相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线经过点，对称轴为直线 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点关于直线的对称点，连接， ∴，当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点， 对于，当时， ∴ ∵，对称轴为直线 ∴ ∴，而 ∴， 由对称可得，， ∴ ∴ 设直线 则，解得 ∴直线 设直线 ∴ 解得 ∴直线 联立， 解得 ∴点； （3）解：当点在直线上方时，过点作交射线于点， ∵ ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴； 当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接， 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴， 综上：点Q的坐标为或． 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 5．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得 ，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴ ． ∴． 即． 6．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，求出点B的坐标为；则可求出直线的函数表达式为；设点P的坐标为，则点Q的纵坐标为，故；可证明；则可证明，据此可得答案； （3）当点E在点B上方时，设交x轴于点H，可证明，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程推出，则直线的函数表达式为，联立，解得或（舍去），则点E的纵坐标为2；当点E在点B下方时，可证明，即轴，则点E的纵坐标为． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点Q 在中，当时，， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的横坐标为p， ∴点Q的纵坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设交x轴于点H， ∵，点C与点D关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点E的坐标为， ∴点E的纵坐标为2； 如图3-2所示，当点E在点B下方时， 同理可得， ∴，即轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为； 综上所述，点E的纵坐标为或2． 考点06 二次函数中面积相等问题 1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2) 不存在实数m使得， 理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）略； （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 3．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 【答案】(1) 证明：令，则， ∵， ∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． (2) (3) ①证明：对称轴为直线， ∴ ∴二次函数解析式为． 令，则，解得或， 则， 令，则，则 ∴． 设，由题意知，且均不为0，2． 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为．（记为①式） 又直线过点， ，即． 同理设直线的解析式为， 把代入得 解得， 直线的解析式为．（记为②式） 同理得直线的解析式为．（记为③式） 由②③式联立得， 解得 ． 若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得 ，将①式代入化简得， 由对应系数相等得， ∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上． ②或 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； （3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上； ②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论： 当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由二次函数的解析式得， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ，解得或（舍去）， 二次函数的解析式为． （3）①略 ②解：直线l的解析式为或 理由：， ∴， ， ， ， ∴， 由①知， ∴， ∴ 当时，，整理得． 又， ∴ 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ， 直线l的解析式为； 当时，，整理得． 又， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ∴直线l的解析式为． 综上所述，当时，直线l的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 4．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 考点07 二次函数中存在性问题 1．（2026·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． (1)直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； (2)若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； (3)设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，解出m的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出解析式即可． （2）设直线l：，根据已知条件得出a的取值范围，再联立直线l与抛物线和直线，得出，根据抛物线可知代入，最后得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． （3）连接，过点D作轴，垂足为E．根据正切的定义得出，进而可得出点P在点B的左侧．则存在或．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可得出答案． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， ∴公共解为， 把代入， 得出抛物线对应的函数表达式为； 令， 则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设的解析式为， 则， 解得 ∴直线对应的函数表达式为． （2）解：如图1，设直线l：， ，， ． ∵直线l与抛物线和直线都相交， ∴可列方程 得． ， ∵抛物线的对称轴是， ， ． 又， ． ∵， ∴抛物线开口向上， 又， ∴当时，y取得最小值为60，当时，y取得最大值为， ． 即． （3）解：如图2，连接，过点D作轴，垂足为E． ∵抛物线， ∴顶点． ∴， 由（1）可知，，，，，，， ∵， ， ． 与相似， ∴点P在点B的左侧． ∴存在或． 当时， 则， 得 ． ∴点． 当时， 有， 得 ， ∴点． 综上，使与相似的点P的坐标为或． 2．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②6； (3)存在，Q的坐标为， 【分析】（1）由且，可得，，即，．将两点坐标代入，求解即可； （2）①先求直线解析式为，由为等腰直角三角形，可知点到的距离与竖直线段成正比，设，表示出的长度并配方，当时最大，即可求出点P坐标；②先求出抛物线对称轴为，根据轴，可得为定值．将点向右平移1个单位得，则，原式转化为．当、、三点共线时和最小，由两点间距离公式得，即可求出最小值； （3）已知、，先求得，设的中点为G，则，由三线合一可得，设，由可得，，再结合等边三角形的高列方程求解，得到的两个坐标，对应线段两侧的两种情况． 【详解】（1）解：，， ，， ，， 将，代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①过点作轴的垂线交轴于点，交于点，过点作于点，如图， 当时，， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ， 在中，， 设的解析式为， 将和代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 设，则， 为第一象限内的点， ， ∵， 当时，最大，即当取最大值时，最大，此时； ②将点向右平移1个单位长度得点，则，连接交对称轴于点，如图， ∵，且， ∴， ∵， ， ∴ 当，，三点共线时，最小，为， ∵，， ∴， ， 的最小值为6； （3）解：由（2）得，点坐标为， ∴，， 在中，， 设的中点为G，连接，如图， 则G的坐标为，即，且， ∵为等边三角形， ∴，且， 在中，， 设，由得， 解得， 又∵， ∴ 将代入，得 解得或， 当时，，即； 当时，，即， 综上所述，点Q的坐标为和． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置． 3．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、 【分析】（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式； （2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线经过点，且点在轴上， ∴令，得， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述，，抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、在直线上，且，在上方， ∴设，， 如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，在直线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与直线的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴； （3）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，得， 解得：或， ∵在左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，， ∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴平移后对称轴为直线， ∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得或， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 6．（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）②；（3）；（4）且 【分析】（）结合图形找出点的位置即可求解； （）根据点位置的分布即可判断； （）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解； （）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键． 7．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)则点P的坐标为：或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点则，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：或． 8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 9．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $