专题17 二次函数解答题压轴题综合（7考点42题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦中考二次函数压轴题，涵盖7大核心考点，融合新定义（如“顶点弦”“黄金搭档点”）、动态几何（矩形限定最值、图形旋转）及实际应用（充电站运营、军事演习跳弹轨迹），适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|多题综合|二次函数图象与性质、对称及最值、平移、与方程应用结合、综合压轴|新定义题型（如“顶点弦”探究），动态几何与函数结合（矩形平移最值），实际情境建模（充电站净收益计算），分层设问区分难度（存在性与最值双设问）|

专题17 二次函数解答题压轴题综合 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点01、02 二次函数图象与性质综合 解答题核心必考，以解析式求解、对称轴、顶点、参数分析为基础，结合动点、线段最值、角度关系设问，侧重数形结合与分类讨论思想。 新增函数新定义题型，融合一次函数联动探究，弱化机械计算，强化参数推理、几何角度与函数性质的综合运用。 考点03 对称及最值问题 压轴高频难点，涵盖线段、面积、动态最值，结合抛物线对称、区间范围命题，常搭配动点、几何图形，分层设问区分难度。 创新矩形限定最值、整点取值探究，结合图形平移、旋转考动态最值，侧重区间分类讨论与几何模型结合。 考点04 二次函数图象的平移 高频压轴考点，考查抛物线平移规律，结合平移后解析式、交点、图形存在性设问，侧重变换规律与函数本质。 突破常规平移，结合射线定向平移，联动直角三角形、相似三角形存在性探究，强化动态变换综合应用。 考点05、06函数与方程、实际应用 结合一元二次方程根的关系、函数交点命题，实际场景依托运动、工程、几何建模，考查函数建模与问题求解能力。 实景情境更复杂，新增分段动态建模，结合障碍物、轨迹问题设问，强化方程思想与实际问题转化能力。 考点07 二次函数综合压轴 试卷终极难点，融合几何图形、相似、特殊三角形、面积最值多考点综合，分层设问，全面考查综合探究能力。 创新几何折叠、对称、定点定值探究，结合存在性、最值双设问，弱化套路解题，侧重逻辑推理与动态分析。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，则可分：①当时，②当时，③当时，④当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； （2）解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 2,（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①或；② (3)①是；②或或 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②令：，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解； ②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②令：， 解得：（舍去）， 如图， 又∵ 根据函数图象可得：当时， （3）①∵，：， 点为上一点，横坐标为，则， 点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， 点为上一点，横坐标为，，即 ∴点，是平移前后的一组对应点； ②解：∵点为上一点，横坐标为3． ∴时，，则， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， 即 ∴， 情形一：当时，点在轴及其上方部分， 最高点为， （i）如图，当时，最低点为 ∴ 当时，， 此方程无解，不存在此情形； （ii）如图，当时，最低点为 ∴ 当时， 解得：（舍去）或 情形二：当时，此时如图， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：或（舍去）； 情形三：当时， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当时，或或． 3．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 考点02 二次函数的图象与性质 1．（2026·广东·中考真题）如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解，再由勾股定理求解，即可求解； （3）过点作轴交、轴于点，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴将点代入，则 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点作于点 对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴对称轴为直线 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中，； （3）解：过点作轴交、轴于点， 由（2）知， ∵ ∴， ∴，为等腰直角三角形 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 设，则， 同理设，则 ∴ ∴， 将点代入， 则， 整理得，， ∵ ∴ 整理得， 设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点， ∵ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， ∴最大值为． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可； ①由题意可得，对称轴为，进而得到，即得，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点的坐标；②过点作于，则，设，得，即得，，，由得到，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴， 即； （2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点， ∴，对称轴为直线， ∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，过点作于，则， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 4．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为． （2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上． 5．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点，且关于直线对称，求二次函数的解析式； (2)当时，该二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，且是等腰三角形，求的面积； (3)当时，点，在该二次函数的图象上，若，求二次函数在上的最大值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系可得：，然后根据两点间距离公式及等腰三角形的定义进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据可得，则有该二次函数的对称轴范围为，进而根据二次函数的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∵该二次函数的图象经过点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，则有， 令，则有，即， ∴， 设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，不妨设， 当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根， ∴根据根与系数的关系可得：， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的右侧， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，解得：（负根舍去）， ∴把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴， ∴； 当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的左侧， ∵是等腰三角形， ∴， 同理可得：； 综上所述：的面积为； （3）解：当时，则有， ∵点，在该二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∴当时，即，此时二次函数在上，y随x的增大而增大， ∴二次函数在上的最大值为， ∵， ∴， 当时，即， ∴二次函数在上的最大值为， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述：最大值的取值范围为． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为；点的坐标为 (3)是定值，定值为 【分析】（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可； （2）过点作轴，交于点，可求直线，根据，可得当面积最大时，四边形面积最大，设（），则，那么，再由，得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点，则，设，，联立直线与抛物线，整理得，，则，可求直线，求出，同理可得，则，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点 ∴， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴，交于点， 设直线， 代入，可得， 解得 ∴直线 ∵ ∴当面积最大时，四边形面积最大， 设（），则 ∴， ∴， 即 ∵，， ∴当时，的面积最大为， ∴四边形面积最大值为， ∴此时点纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：是定值， 如图，不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧， 抛物线， ∴顶点 ∴ 设， 联立直线与抛物线， 则 整理得，， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 令，则，解得， ∴，同理可得， ∴，， ∴． 7．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可； （2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可； ②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ， ， ，即， 为一次函数的系数即， 考虑到当时，， 但当时，， 故可取， 综上所述，； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 8．（2026·湖南·中考真题）【问题背景】 如图 ，给定平行四边形，点是边上不与，重合的一动点．如图 ，作，使得，且当点运动时，保持，． 【动手操作】 将拼接于平行四边形的上方： 操作一：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，作交于点； 操作二：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，连接． 【问题解决】 (1)如图 ，当时，________°； (2)如图，从结论①，②中选一个给出证明； ①，②； (3)如图，在点运动过程中，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (4)如图，设，，当点运动时，求的最大值． 【答案】(1)100 (2)解：选择①， 证明：∵， ∴， 又， ∴； 选择②， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴； (3)解：， 理由：∵，， ∴①，， ∵， ∴②， 由①得， 由②得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (4) 【分析】（1）根据平角定义求解即可； （2）选择①：根据平行线的性质得出，结合即可得证；选择②：根据平行四边形的性质和平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得证； （3）根据（2）中∵，，可得出，，则，变形为，则，得出，然后根据等式的性质即可得出结论； （4）根据题意，得图3中和图4中全等，得出，由图3中，得出，结合，得出，则可证明，设，则，根据相似三角形的性质求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）略 （3）略 （4）解：根据题意，得图3中和图4中全等， ∴， ∵图3中， ∴， 由（3）知：， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴ ， ∴当时，取最大值为． 9．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”． (2)①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ 【分析】（1）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答； ②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答； ③根据题意得出，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．证明，得出，．设，得出，．结合，点在上，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 10．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入点坐标以及利用对称轴公式求解即可； （2）过点关于直线的对称点，连接，由于，故当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点，然后求出，则直线，再求出直线，联立即可求解交点P的坐标； （3）分两种情况讨论，点在直线上方或者点在直线下方，通过添加辅助线构造相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线经过点，对称轴为直线 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点关于直线的对称点，连接， ∴，当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点， 对于，当时， ∴ ∵，对称轴为直线 ∴ ∴，而 ∴， 由对称可得，， ∴ ∴ 设直线 则，解得 ∴直线 设直线 ∴ 解得 ∴直线 联立， 解得 ∴点； （3）解：当点在直线上方时，过点作交射线于点， ∵ ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴； 当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接， 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴， 综上：点Q的坐标为或． 11．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． （3）解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当时， ，即 ， ∴， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 考点03 二次函数的对称及最值问题 1．（2026·安徽·中考真题）已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）当时，；当时，． 理由如下：由（i）得，已知，显然成立， 令，解得， 也就是说，当时，恒成立， 故只用讨论的情形： 时，，故整数点只有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 综上所述，当时，；当时，． 【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标； （2）（i）根据点的纵坐标，令求出，即可求出 （ⅱ）根据（i）求出，那么不可能超过，令，可知时，恒成立，故只用对依次分类讨论即可． 【详解】（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为， 则抛物线的对称轴为， 把代入抛物线解析式得 解得，即为抛物线顶点的纵坐标． （2）解：（i）令，可得， 即， ， 故解得， ； （ⅱ）略 2．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； (3)如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为 ； (4)当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点位置：当在轴上方时，由得，联立直线与抛物线求交点得；当在轴下方时，由角度关系得，列方程解得； （4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：对于，当时，，则， ∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ∴； 当点Q在x轴下方时，如图，过作轴， 设，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为或； （4）解：如图，作轴，轴 由（2）知，，，直线的解析式为， , ，且， 在和中，， ， ， 设，则， 是的中点， ∴ ∵，， 为等腰直角三角形， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 直线的解析式为， ∵于F， ∴设，且与x轴所形成的锐角为， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K， 则， 是等腰直角三角形， ∴，即，可得， ∴，则， ∴， 如图，设， ∴， ∴， 问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值， 设点G关于直线的对称点为，则， 则的最小值为的长度， ∵， ∴的最小值为． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为 (2)①   ②    ③点M的坐标为或 【分析】（1）将点和分别代入，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标； （2）①根据题意知点，可得，再分当点N在点M上方的抛物线上时，当点N在点M下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围； ②根据题意得到矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称，再由矩形R的水平宽度，得，进而得，可得矩形R的垂直高度h的取值范围； ③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时， 第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可． 【详解】（1）解：将点和分别代入，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴它的顶点坐标为； （2）①解：根据题意知点， 当时，， ∴， 当点N在点M上方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， ∴点N的纵坐标为2，即，此时，矩形宽度的最小值为； 当点N在点M下方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， 当时，，解得(舍去)或， ∴，此时，矩形宽度的最大值为． 综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是 ； ②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称， ∵矩形R的水平宽度， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴矩形R的垂直高度h的取值范围是； ③解：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时，， ∴(舍去)； 第二种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第三种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第四种情况：当时，， ∴(舍去)； 综上，点M的坐标为或． 5．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①线段长度的最小值为；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴抛物线的解析式为， 设， ∴， 令，， ∴， ∴当时，线段长度的最小值为； ②设，， 设直线的解析式为， ∴， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴，的底边相同， ∴， ∴， ∴（舍去正值）， ∴ ∴直线的解析式为． 6．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，点不在直线上 (2)的值为或 (3) 【分析】（1）先求出，，若，则，，则，，由旋转可得，则，再由待定系数法求解直线；然后求出点关于二次函数图象对称轴的对称点为，再代入直线表达式验证即可； （2）先求出对称轴为直线，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可； （3）同（1）可求，可求，设直线，求出，由，可设直线，求出直线，当时，，再由二次函数的图象与性质求解即可； 【详解】（1）解：如图， 对于，当时，则， 解得， ∴，， 若，则， ∴， ∵将点绕点顺时针旋转得到点． ∴ ∴， 设直线， 则 解得 ∴直线； 对于，当时，， ∴ 由可得对称轴为直线， ∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， ∴点不在直线上； （2）解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， 当，即时， ∵抛物线中，，则抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 当，即时， 若，即时，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 综上：的值为或； （3）解：∵， 同（1）可求 对于，对称轴为直线， ∴把代入可得，， ∴， 设直线，则，解得， ∵， ∴设直线， 代入，则，解得， ∴直线， 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值为； 7．（2026·河南·中考真题）定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． (2)点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①点的横坐标为，点的横坐标为；②或 【分析】（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，根据题意建立方程求解即可； ②根据题意得出对称轴为：，顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“黄金搭档点”， ，点的纵坐标为12， ∴， ∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为， 由（1）得， ∵点，的纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为； ②由（1）得， 对称轴为：， 当时，， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴ 解得：， ∴抛物线与x轴的交点为， ∵点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时， ∴点的横坐标为：，， 当时，， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点， ∵即， 即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴， ∴即， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 8．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且． (1)若点的坐标为，求的值和点的坐标； (2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围； (3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)的取值范围是 (3)点E的坐标为， 【分析】（1）将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到点的坐标； （2）根据设出直线的解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系得到的值，再结合二次函数的图像性质，根据函数在区间上的最大值位置，列出关于函数对称轴的不等式求解； （3）先联立直线、与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到交点横坐标的和与积，再根据建立水平距离的关系，求出与的关系式，然后利用、、和、、三点共线的条件，得到关于的关系式，联立求解得到的值，进而求出的值和点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入， 则， 解得：， ， 联立，可得， 解得：，， 点的坐标为， 点的横坐标为， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：， 设的函数解析式为：， 联立， 则， 由根与系数的关系得， 函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：， 则，即， 解得：； （3）解：设的函数解析式为：， 联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， 同理，联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， ，， ， ，整理得， 即， 设， 如图， 、、三点共线， ∴直线的k值与直线的k值相等， ， 化简得，，则， 同理由、、三点共线得， ， 整理得，， ，，， ， 解得：， ， 解得：， ，， ， ， 点的坐标为，的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 9．（2026·江苏扬州·中考真题）如图1，在边长为1的正方形中，E是边上的动点（不与点A，D重合）．将沿翻折，得到．过点F作，，垂足分别为M，N． (1)如图2，若，求的值； (2)如图3，若E为中点，则的长为_______，的长为_______； (3)求点E运动过程中的最大值． 【答案】(1)1 (2)， (3) 【分析】（1）根据翻折可得，根据角平分线定理可得平分，可得，进而可得，即可求出的值； （2）根据翻折可得，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法计算即可，再证得四边形为矩形，，得到，即可解出的长； （3）如图，延长交于，连接，证明，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后表示出后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：延长交于， ∵正方形的边长为1，且E为中点， ∴，，，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，，， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，延长交于，连接 由翻转得，点A，M，F三点共线， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∴，， ∴ ∴ 整理得， ∴ ∵ ∴当时，取得最大值． 10．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、 【分析】（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式； （2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线经过点，且点在轴上， ∴令，得， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述，，抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、在直线上，且，在上方， ∴设，， 如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，在直线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与直线的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴； （3）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，得， 解得：或， ∵在左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，， ∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴平移后对称轴为直线， ∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得或， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 考点04 二次函数图象的平移 1．（2026·湖北·中考真题）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②，， 【分析】（1）把点代入抛物线表达式中可解出的值； （2）由（1）求出点和点的坐标，从而求出直线的表达式，得出当时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点的坐标； （3）利用结合点在直线上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形是边长为的正方形，接着可表示出点和点的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物线有两个交点，时，的取值范围；①分情况讨论当点在线段上时，的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得， 解得，； （2）解：由（1）得， 令得， 因式分解得， 解得或， 令得， ，， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 当时，， 当时，， 平行于轴， 的纵坐标为， 点是抛物线上位于第四象限的点， 又，化简得，， 解得， ； （3）解：由（2）知直线的表达式为， ， 设点的坐标为， ， ， 化简得， 解得， 点在直线上且位于点的右上方， ， ，即， ， 四边形是边长为的正方形， 如图，当沿移动时，点沿移动，点沿移动， 上图中点和点重合， ， ， ，，，， 当时，， 点在抛物线上， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把，，代入得，解得， 直线的表达式为， 点在直线上运动，点在直线上运动， 如图， 令，化简得，，解得， 令，化简得，因式分解得，解得或， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当四边形的边与抛物线有两个交点，时，， ①当点在线段上时，， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点纵坐标， ， 综上所述，当点在线段上时，； ②当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当时，，化简得，，解得不符合，舍去； 当时，，解得符合； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，解得不符合，舍去； 当时，，化简得，，无解； 综上所述，当时，的值为或或． 2．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)点M的坐标为或， 过程如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， ∵P是线段上方抛物线上的一动点，， 设过点P与平行的直线的表达式为， ∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值， 联立直线与抛物线， 得：， ∴ 整理得， ∴ 解得， 代入得， 解得， 将代入 ∴此时； 如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， ∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）略 3．（2026·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． (1)直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； (2)若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； (3)设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，解出m的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出解析式即可． （2）设直线l：，根据已知条件得出a的取值范围，再联立直线l与抛物线和直线，得出，根据抛物线可知代入，最后得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． （3）连接，过点D作轴，垂足为E．根据正切的定义得出，进而可得出点P在点B的左侧．则存在或．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可得出答案． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， ∴公共解为， 把代入， 得出抛物线对应的函数表达式为； 令， 则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设的解析式为， 则， 解得 ∴直线对应的函数表达式为． （2）解：如图1，设直线l：， ，， ． ∵直线l与抛物线和直线都相交， ∴可列方程 得． ， ∵抛物线的对称轴是， ， ． 又， ． ∵， ∴抛物线开口向上， 又， ∴当时，y取得最小值为60，当时，y取得最大值为， ． 即． （3）解：如图2，连接，过点D作轴，垂足为E． ∵抛物线， ∴顶点． ∴， 由（1）可知，，，，，，， ∵， ， ． 与相似， ∴点P在点B的左侧． ∴存在或． 当时， 则， 得 ． ∴点． 当时， 有， 得 ， ∴点． 综上，使与相似的点P的坐标为或． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又， 垂直平分， ． 【分析】（1）将，代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）由抛物线上的点在轴上方得，进而得， 进而得判别式为，得有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与轴有两个交点； （3）设，，，由对称性可设，根据抛物线与方程的关系可得、，根据勾股定理得，，由列式计算可得点的坐标，联立直线与可得点的坐标，进而得，由得垂直平分，进而得． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． （2）略 （3）略 2．（2026·云南·中考真题）已知，．某二次函数表示的图象为抛物线，抛物线经过，两点．函数表示的图象为抛物线．轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上． (1)求抛物线与轴的公共点的坐标； (2)比较与的大小． 【答案】(1) ， (2) 当时，；当时， 【分析】（1）令，求出值即可得出结果； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，当时，解得， ∴抛物线与轴的公共点的坐标为，； （2）解：由（1）知：抛物线与轴的公共点的坐标为，； ∵抛物线经过，两点，轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上， ∴或， ①当时，整理得，解得， 将代入得： ∵， ∴，即. ② 当时，整理得， 解得， ∴，两边除以得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上：当时，；当时，. 3．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 4．（2026·甘肃武威·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图，当时，求正方形的面积； ②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①8；② (3)， 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①由点B，C的坐标得到，，再利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式求解即可； ②过点作轴，垂足为，通过“”证明，得到，，设，可得点，代入抛物线解析式，即可求解； （3）过点，分别作，的平行线交于点，即，，则四边形为平行四边形，，，连接，由，得到当，，三点共线时，的最小值等于的长，根据勾股定理求出，得到的最小值．运用待定系数法求出直线的表达式，再求出点D的坐标后，求出点E的坐标，即可解答． 【详解】（1）解∶∵抛物线过点，点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由点，可得，， ， ， ， ． ②如图，过点作轴，垂足为， 则． 四边形为正方形， ，， ∵， ∴， ，，， ∴， ， 设，则， 点 点在抛物线上， ，解得，（不满足，舍去）， 点． （3）解：如图，过点，分别作，的平行线交于点，即，， 四边形为平行四边形， ，． 连接， ， 当，，三点共线时，，如图， 即的最小值等于的长． 令时，， 解得，，， 点， ∴点． 点， ， ， ∴在中，， 的最小值为 设直线的表达式为， ∵直线过点，， ，解得， 直线的表达式为， 点， ， 点， 当取最小值时，． 5．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)求A、两点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①定点； 如图，设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、． ∴． 又∵A、两点到直线的距离相等， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即：点为中点． ∵，， ∴中点， 即直线过定点； ②直线过定点 【分析】（1）令，解得，再根据抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），得到，． （2）①设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、．即可证明．得到，则点为中点，根据中点公式得到，即直线过定点； ②先求出顶点，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、，即可证明，得到，设，，分别表示出，，，，代入整理得，再联立，结合根与系数的关系得到，．即可得到，则，直线过定点． 【详解】（1）解：令，解得， ∵抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①略 ②∵的对称轴为，当时，， ∴顶点， 如图，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， 设，， ∴，，，， ∴． 整理得． ∵直线与抛物线交于，两点． ∴联立， 可得， ∴，． 代入可得， ∴． ∴， ∴当时，固定不变， ∴直线过定点． 考点06 实际问题与二次函数 1．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在（2）的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)， (2)能避开障碍物和暗礁 (3) 【分析】（1）将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； （2）先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； （3）设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴ 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， 即， ∵， ∴， 解得：． 2．（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解：为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 3．（2026·天津·中考真题）将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ， 分别在第一、第四象限，且关于 轴对称，，，． (1)填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； (2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点落在 轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线 分别与边，相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为，，与 相交于点 ，与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）连接交 轴于点，然后解，再根据轴对称的性质即可求解； （2）①导角得到，则，那么，然后解，即可求解，然后找出两个临界位置求解的取值范围即可； ②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解的取值范围． 【详解】（1）解：连接交 轴于点， ∵，，． ∴由对称可得，，， ∴，，， ∴，， ∵点A，C关于x轴对称， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴， ∴ ∴ ∴， 由得，， 在中，，得 ∴ 当点重合时，如图： 此时由（1）可得，； 当点重合时，如图： 此时，则， ∴的取值范围为； ②当时，如图，记直线 与交于点，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴由对称可得，，， ∴， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大 ∴时，；时，， ∴时，； 当，重叠部分为五边形，延长交直线于点， 在中，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴， 即 ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为， 当时，可求；当时，可求， ∴当时，； 当时，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴， ∴由对称可得，， ∴， 即， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，可求；时，可求， ∴当时， 综上：． 考点07 二次函数综合 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 3．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，求出点B的坐标为；则可求出直线的函数表达式为；设点P的坐标为，则点Q的纵坐标为，故；可证明；则可证明，据此可得答案； （3）当点E在点B上方时，设交x轴于点H，可证明，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程推出，则直线的函数表达式为，联立，解得或（舍去），则点E的纵坐标为2；当点E在点B下方时，可证明，即轴，则点E的纵坐标为． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点Q 在中，当时，， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的横坐标为p， ∴点Q的纵坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设交x轴于点H， ∵，点C与点D关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点E的坐标为， ∴点E的纵坐标为2； 如图3-2所示，当点E在点B下方时， 同理可得， ∴，即轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为； 综上所述，点E的纵坐标为或2． 4．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）根据一次函数先求得的坐标，进而根据对称轴求得点的坐标，设抛物线解析式为，代入，待定系数法即可求解； （2）根据是等腰直角三角形，点到直线的距离为，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂直分别为，得出在，根据一次函数的平移可得的解析式分别为，，分别联立抛物线解析式，即可求解； （3）先求得，根据转化为，构造的直角三角形，过点作使得，则，得出，，，当在上时，取得最小值，最小值为．进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ∴， 设抛物线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 如图，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点到直线的距离为 ∴在上， ∵平行， ∴的解析式分别为， 联立 消去得， 解得： 联立 消去得， 解得： ∵点横坐标为， ∴或或 （3）∵ ∴ 如图，过点作使得，则， ∴，，， ∴， 过点作，设的延长线交轴于点，交轴于点，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值，最小值为． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 5．（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 6．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； (3)如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由如下： 对于抛物线，对称轴为直线， 设直线，代入点、 ∴ 解得 ∴直线 将代入，得 ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，然后求出点坐标，再由勾股定理逆定理求解即可； （3）过点作于点，解，求出，再解中，求出，可得为等腰直角三角形，则，作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接，则，可得为等腰直角三角形，则设，那么，由于，则，求出，故当点三点共线，且点重合时，取得最小值为，则此时取得最小值为，而的高为定值，即可求解面积最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点． ∴， 解得 ∴，即； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴在中，， ∵点、 ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接， 则， ∵ ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴均是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当点三点共线，且点重合时，取得最小值为 ∵， ∴此时取得最小值为， 而高为定值， ∴的面积最小值为， ∴的面积为． 7．（2026·天津·中考真题）已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为． (1)当，，时，求点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若，求的值； ②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)①的值为6；②的值为． 【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解； （2）①求得顶点的坐标为，作轴于点，得到和都是等腰直角三角形，推出，求得，把，代入求解即可； ②根据题意求得，，作轴于点，则是等腰直角三角形，得到四边形是平行四边形，推出，过点作，且，证明，得到，推出，则当共线时，有最小值，即有最小值，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴点的坐标为； （2）解：①由题意得， 对称轴为直线， 顶点的坐标为， 作轴于点， 如图，由题意得点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得（舍去），， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为6； ②∵点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点，， 作轴于点，则是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，即有最小值， ∵，，，且取得最小值为， ∴，即， 解得， ∴的值为． 8．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②6； (3)存在，Q的坐标为， 【分析】（1）由且，可得，，即，．将两点坐标代入，求解即可； （2）①先求直线解析式为，由为等腰直角三角形，可知点到的距离与竖直线段成正比，设，表示出的长度并配方，当时最大，即可求出点P坐标；②先求出抛物线对称轴为，根据轴，可得为定值．将点向右平移1个单位得，则，原式转化为．当、、三点共线时和最小，由两点间距离公式得，即可求出最小值； （3）已知、，先求得，设的中点为G，则，由三线合一可得，设，由可得，，再结合等边三角形的高列方程求解，得到的两个坐标，对应线段两侧的两种情况． 【详解】（1）解：，， ，， ，， 将，代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①过点作轴的垂线交轴于点，交于点，过点作于点，如图， 当时，， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ， 在中，， 设的解析式为， 将和代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 设，则， 为第一象限内的点， ， ∵， 当时，最大，即当取最大值时，最大，此时； ②将点向右平移1个单位长度得点，则，连接交对称轴于点，如图， ∵，且， ∴， ∵， ， ∴ 当，，三点共线时，最小，为， ∵，， ∴， ， 的最小值为6； （3）解：由（2）得，点坐标为， ∴，， 在中，， 设的中点为G，连接，如图， 则G的坐标为，即，且， ∵为等边三角形， ∴，且， 在中，， 设，由得， 解得， 又∵， ∴ 将代入，得 解得或， 当时，，即； 当时，，即， 综上所述，点Q的坐标为和． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置． 2 / 147 1 / 147 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题17二次函数解答题压轴题综合 中考命题规律。 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点01、02二次 解答题核心必考，以解析式求解、对 新增函数新定义题型，融合一次函数 函数图象与性质 称轴、项点、参数分析为基础，结合 联动探究，弱化机械计算，强化参数 综合 动点、线段最值、角度关系设问，侧 推理、几何角度与函数性质的综合运 重数形结合与分类讨论思想。 用。 考点03对称及最 压轴高频难点，涵盖线段、面积、动 创新矩形限定最值、整点取值探究， 值问题 态最值，结合抛物线对称、区间范围 结合图形平移、旋转考动态最值，侧 命题，常搭配动点、几何图形，分层 重区间分类讨论与几何模型结合。 设问区分难度。 考点04二次函数 高频压轴考点，考查抛物线平移规 突破常规平移，结合射线定向平移， 图象的平移 律，结合平移后解析式、交点、图形 联动直角三角形、相似三角形存在性 存在性设问，侧重变换规律与函数本 探究，强化动态变换综合应用。 质。 考点05、06函数 结合一元二次方程根的关系、函数交 实景情境更复杂，新增分段动态建 与方程、实际应 点命题，实际场景依托运动、工程、 模，结合障碍物、轨迹问题设问，强 用 几何建模，考查函数建模与问题求解 化方程思想与实际问题转化能力。 能力。 考点07二次函数 试卷终极难点，融合几何图形、相 创新几何折叠、对称、定点定值探 综合压轴 似、特殊三角形、面积最值多考点综 究，结合存在性、最值双设问，弱化 合，分层设问，全面考查综合探究能 套路解题，侧重逻辑推理与动态分 力。 析。 真题考点精练 1/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01二次函数的图象与性质 1.(2026四川南充中考真题)已知抛物线’-(-少+1 (t为常数). (1)若抛物线过点 -3,m）(1,m) ,求t的值. (2)抛物线与x轴交于A、B两点， P(21-1,0)为线段4B上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直 线y=-2r-3交于点M,N,求MN最大值. 6)点C(,）,D(,4）都在抛物线，当21-1≤≤-2,2≤6≤4时，都有<为，求1的取值范围 2(2026吉林中考真题)如图0，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，函数"=(c+1-1(3≤x≤0)的 图象记为，顶点为点4，将C向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象C,点4的 G 对应点为点8，图案与合起米得到的图象记为6 G A 3 2 -4-3-入- 1234x -4-3-入 1234x B -5FD 图① 图② (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 G y=(x+1)2-1(-3≤x≤0) A( 2/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B( Or (2)观察图象G,解答下列问题： ①直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小： ②当-2≤x≤n时，-1≤y≤0，求n的取值范围. ®物图②。点P为G上一点，横坐标为m,点°为C上一点，横坐标为m+3:点C为上一点，横坠标 为3.过点C作轴的平行线，点关于直线的对称点为点D,过点D作×轴的平行线.图象G上P, 2两点之间的部分〈合P,巴 两点)的最高点和最低点到直线的距离分别为， ①请你判断点P,Q是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由： ②当h=2h时，直接写出m的值， 3.(2026四川广元中考真题)定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交 点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”· 在平面直角坐标系xO中，一次函数y=2+2的图象与x轴，y轴分别交于A'B两点. B 0 图1 备用图 )如图1，若点P为线段4B的中点，二次函数'=ar+bx+c(a≠0 的“顶点弦”为线段PB,且点P为 顶点，求该二次函数的解析式： 2)在(1)的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E,使∠BPE+∠BA0=45°，求点E的坐标： 3)点G在线段AB上，若抛物线 :y=ax2+bx+G(a1≠0) 和抛物线 :y=a,x2+b,r+c(a,≠0）的“顶点 3/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GA 弦”分别为GA和GB,点G为F和F的顶点，且a+2a,=0,求GB的值. 考点02二次函数y=ax+bx+c的图象与性质 1.(2026广东中考真愿)如图1，设0为坐标原点，二次函数'=-r+br+3 图象经过 A-3.0,与 y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点C,连接AB,BC C:O C:O 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (2)求Cos∠ABC的值； 3)如图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ,与二次函数在第二象限的图象交于点Q,求 BP+2PO 的最大值 2.(2026四甘孜中考真盟)如图1，抛物线'=a(+12(x-6(a+0)与‘轴负半轴交于点4，与'轴 交于B(0,65) D R G 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)将原点O,点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C,点D,连接CD,AD,作∠OAD的平分线 交CD于点E. 4/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求点E的坐标； ②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE并延长交x轴于点G,连接DG交抛物线于点H, 连接EH,当∠DEH=∠DEF时，求点H的横坐标. 3.(2026四川凉山中考真题)如图，抛物线"=+c+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其 中B(4,0),C(0,4),对称轴是直线x=1.动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动， 设运动时间为t(0≤t≤4)秒，过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P. D N Q0 (1)求抛物线解析式： (2)抛物线的对称轴交BC于点E,顶点是点D,当t为何值时，四边形DENP为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动.当t为 何值时，四边形PCQB的面积最大，并求最大面积 4.(2026上海中考真题)对于西数'=+c+(a≠0），对称轴与*轴交于点4，将点A向右平移 个单位得到点B,使点C与点B的横坐标相等，且点C的纵坐标为2a,则称点C为抛物线的“派生点”， 并且将直线AC称为抛物线的“派生直线”. y=2x2+3 (1)已知函数 ,求该函数的“派生直线”解析式： (②)已知点C为某抛物线的“派生点”，点 (,m）和(，川在其“派生直线”y=2x-6上，且点P是该抛 PC 物线与其“派生直线”的交点，求C0的值，并判断点o是否在抛物线上. y=ax2+bx+1 5.(2026四川泸州中考真题)己知二次函数 5/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1)若该二次函数的图象经过点3,4)，且关于直线x=1对称，求二次函数的解析式： 2 ②)当a=3时，该二次函数的图象与x轴分别交于A'B两点，与y轴交于点C,且△ABC是等腰三角形， 求△ABC的面积： 6)当h=1时，点 1,y)E2,y2 在该二次函数的图象上，若1>，求二次函数在 0≤x≤1上的最大值 m的取值范围。 6.(2026四川内江中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=ar+x+c与'袖交于 .A(-3,0) B(1,0) C(0,-3) 两点，与轴交于点 M:O B 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点D是直线AC下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标； 3)如图2，点N为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M,直线y=:+k-1(k为常数) 交抛物线于E、F两点（点E、F分别在抛物线对称轴的两侧），直线F交x轴于点P，直线E 交x轴于点2.试探究MP.M0是否为定值？若为定值，求出MP,M0的值：若不是定值，请说明理由. 7. (2026江苏苏州中考真题》将一个二次函数'=+x+C与一个一次函数'=m+ 求和，可以得到 一个新的二次函数'=ar+(b+m)x+(e+m) 我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数 的“吸收”.“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”， 山芳二次函数=‘对一次函数'=+n“吸收”，所得“吸收函数”的图像与箱的交点坐标为2,0) 6/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4,0 ,求m,n的值； y=x2+2x-3 (2)已知二次函数 对一次函 y=mr+”“吸收”， ①若所得“吸收函数”的最小值与 y=x2+2x-3 的最小值相等，求n的取值范围： ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M且与一次函数y=mx+n的图像交于A,B两点.当△ABM的面积 为4时，求m的值. 8.(2026湖南中考真题)【问题背景】 如图1，给定平行四边形ABCD,点P是AD边上不与A,D重合的一动点.如图2，作△YZ,使得 XY=AD,且当点P运动时，保持∠X=∠ABP,∠Y=∠DCP B 图1 图2 图3 图4 【动手操作】 将△YZ拼接于平行四边形ABCD的上方： 操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q,作QS‖AB交AD于点S: 操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R,连接RP. 【问题解决】 (I)如图1，当∠BPC=80°时，∠APB+∠DPC= (2)如图3，从结论①，②中选一个给出证明： ①ASOABAP,②△DSOACDP； 3)如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由： (4)如图4，设AD=4,AB=3,当点P运动时，求PR+PD的最大值. 9.(2026江西中考真题)如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为 “伴随对称抛物线”. 7/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )试判断'=r-4+4与少=-+2x 与 是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： 如图1，若9：)=a(x-A广+长与C:=a,(任-广+互为“件随对称抛物线”，顶点分别为4， 4,记G,C组成的图形为 A A B B 图1 图2 ①试猜想”与“的数量关系，并证明： ②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；（直接写出结果） Cy=2九>0.BB,分别为G,G上的点，且四边形 ABAB2 ③如图2，若 2分别为， 为正方形，求 (h-2)h-1)(h+1) 的值. y=ax+bx+3 10.(2026四川眉山中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴相交 于4，B两点，与y轴相交于点C,连接4C,已知点1(-，0) 对称轴为直线=1」 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点P是直线BC上一个动点，连接PA,PO,当PA+PO的长度最小时，求点P的坐标： 8/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)点Q是二次函数图象上一个动点，当∠BCQ=∠AC0时，请直接写出点Q的坐标. 1.(2026山东德州中考真题)已知二次函数”=(x-m+25(x-m)-3,m为常数 (1)当m=0时，求该二次函数的对称轴： (2)若当x>0时，'随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围： (3)若在该二次函数的图象上有一点A,且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离. 品 考点03二次函数的对称及最值问题 3 1,(2026安徽中考真题)己知抛物线y= a(2a-xa>0) (1)求抛物线顶点的纵坐标： x\2 3 A,2) (2)点 (<x)都在抛物线上. (i)求a的值： (i)设a为正整数，线段AB上横坐标为整数的点的个数为m,请比较m与2a-2的大小，并说明理由」 2.(2026广东深圳中考真题)综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效 益成为关注重点.某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收 支平衡问题 【研究条件】 条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系如下表： 2 50 100 150 200 250 该充电站的运营成本。（单位：元）与充电汽车数量之间满足：0=4+ 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ 9/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式： 【模型应用】 3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=mx，成本关系保持 不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入一成本）取得最大值，请写出符合条件的m值， 并说明理由. 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素， 后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策 3.(2026黑龙江齐齐哈尔：中考真题)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线"a+r+4a<0)与轴交于点 (-2.0)B(4,0).与'轴交于 点C,作直线AC,BC,点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,PD交直 线BC于点E. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)求PE的最大值及PE最大时点P的坐标； 6如图2，若将整物战'欧+加+4得别线4C方向平移5 个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物 线上一点，且∠CB0=∠ACB,则点2的坐标为： 4)当PE最大时，作直线OE,若点M为直线BC上的一个动点，连接OM,将线段OM绕点O顺时针旋 转90°得到OM',取OM'的中点N,过点N作NF⊥OE,垂足为F,连接AW,PF,则AN+PF的最小 值为_ 4.(2026江苏扬州中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线=+x+1经过点2,1)和(4-7) 10/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图1 备用图2 备用图3 (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标. (2)抛物线上有两动点M,N,横坐标分别为m,n(m<n),记抛物线在M,N之间的部分（包括M,N 两点)为图象G.过图象G的左右两端M,N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴 的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R. ①若m=-2,矩形R的垂直高度h=9,则矩形R的水平宽度p的取值范围是： ②若矩形R的水平宽度P=5，则矩形R的垂直高度h的取值范围是一： ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标. 52026四川自贡中考真腮)平面直角坐标系中，抛物线y=)2+m+n经过0,6)和2,4两点 (1)求m,n的值. (2)如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A,B,C,D(点A在第三象限，点C在第二象限). ①求线段OC长度的最小值： S S2 ②连接1C,BD分别交轴于E，,F两点，设△01E,△OBF的面积分别为，，是否存在直线MB 使8=29？若存在，求出直线48的解析式：若不存在，请说明理由。 6.(2026河北中考真题)如图，二次函数"=(-儿x-30）(其中>0)的图象与轴交于4，日两点 (点A在点B左侧)，与'轴交于点C,顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D. 11/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)若t=1,求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C'是否在直线PD上； (2)当3≤r≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值： E(0,m B)连接OP,当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交'轴于点 ”,请直接写出m的最 小值. 7.(2026河南中考真题)定义：若点P,，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则 称点P是点P的“黄金搭档点”.例如，抛物线=上，点但，9)是点Q,0的“黄金搭档点” A(0,-3) (1)点 和点B在抛物线'=+r+C上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点8的纵坐标为12求 b,C的值. (2)点M,N在(I)中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”. ①若点M,N的纵坐标相等，求点M,N的横坐标. ②抛物线上M,N两点之间的部分（含M,N两点）记为图象W,设点M的横坐标为m,当 5 <m<0时，若图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值。 xOy 8.(2026四川成都中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+2k>0、 0)与抛物线 y=x2 ( 相交于A,B两点.C,D两点在抛物线上，且CD∥AB. 12/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O 备用图 0)若点4的坐标为1， ,求K的值和点B的坐标 ②在(1的条件下，记C,D两点的横坐标分别为m,n(m<n),当m≤x≤m时，函数”=(-总 在x=n处取得最大值，求h的取值范围： 3)若AB=2CD,直线AC,BD的交点E恰好落在x轴正半轴上，求点E的坐标和k的值， 9.(2026江苏扬州中考真题)如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E是AD边上的动点（不与点A, D重合)，将△ABE沿BE翻折，得到△FBE.过点F作FM⊥BE,FN⊥BC,垂足分别为M,N. D B 图1 (I)如图2，若FM=FN,求FM+FN的值： D B 图2 (2)如图3，若E为AD中点，则FM的长为一，FN的长为一 13/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图3 (3)求点E运动过程中FM+FN的最大值. 10.(2026四川达州中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线’=a(x+1x-3引与轴交于A,8 D(-3,0) 两点.与'轴交于点C.直线'=x+m经过点C、与轴交于点 O B\ 备用图 (I)求m的值及抛物线的函数表达式： (2)若线段EF在抛物线的对称轴上运动，且EF=2,求四边形DCEF周长最小时点E的坐标； ®)将抛物线沿射线8C方向平移35个单位长度，点C为平移后的抛物线对称转上一动点，请问是香存在 BC 以A,C,G为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G的坐标：若不存在.说明理由. 考点04二次函数图象的平移 1.(2026湖北中考真慰)抛物线'=t-2x+C与*轴交于点 (-1,0) )和点B,与'轴交于点C.点P在 直线BC上，设点P的横坐标为t. 14/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA 图1 备用图 (1)求c的值： (2)如图1，点H是抛物线上位于第四象限的点，PH平行于x轴.当t=1时，求点H的坐标： ®点P在直线BC上且位于点P的右上方.PQ=25.过点P,0分别作轴和轴的垂线，四条垂线围 成四边形PEQF.若四边形PEQF的边与抛物线有两个交点M,N,记M,N的纵坐标之和为f. ①当点P在线段BC上时，求f关于t的函数解析式： @当/：号时，直接与出，的位， 2.(2026重庆中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-子+：+c与x箱交于点4， 4 B(4,0) 与y轴交于点 (0,1 ,连接AC,BC 备用图 (I)求抛物线的表达式： (2)P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC,垂足为D,E是x轴上一动点，连接PE.当 PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及PE+兰E的最小值， )将抛物线沿射线CA方向平移√2个单位长度得到抛物线'，点B的对应点为F,M是平移后抛物线'上 15/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一点，直线AM交直线BF于点N,且∠ANB=∠ACB-90°.请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写 出求解点M的其中一种情况的过程. 3.(2026江苏连云港中考真题)在平面直角坐标系0中，抛物线'=(K-m广-m(m为常数)与轴 交于点A,B,点A位于点B的左侧，与y轴交于点C.若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单 (3,0) 位，都经过点 (I)直接写出抛物线和直线BC对应的函数表达式； (2)若平行于x轴的直线1与抛物线交于点 Q(s),且 M(G,y),N(）,与直线BC交于点 x<3<x2 +x吃+5 ,求 的取值范围； (3)设抛物线的顶点为D,连接AC,在x轴上找一点P,使以点P,B,D为顶点的△PBD与△ABC相似， 求点P的坐标. 考点05二次函数与一元二次方程 1.(2026福建中考真愿)已知抛物线'=-+br+C (1)若b=1,c=2,求抛物线的顶点坐标 ②若抛物线上存在一点P(o)在式轴上方，求证：抛物线与'轴有两个交点， ⊙)靴物线与*轴交于A,8两点，与”轴交于点C(0,2列，直线=+2与y=-b- 相交于点D,E是' 轴上不与点C重合的点.若坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC=ME,试探究CD和DE的数量关系， 并证明 2,(2026云南中考真题)已知m≠0，S=m+m +924-118.某二次函数表示的图象为抛物线M: m2 m 抛物线M经过4(-10o),B(2m-4m,0）两点.函数y=(2x+43x-24)表示的图象为抛物线T.x轴上有 这样的点，它既在抛物线M上，又在抛物线T上， (1)求抛物线T与x轴的公共点的坐标： 16/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②比较°与45 的大小 3.(2026山东·中考真题)“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如 图1)，甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力， 花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）. ● 地面 O B 图1 图2 1)如图2，甲站在地面的0点处，从距离地面2m高的4点踢出花枪，4点与0点的水平距离OB是2m, 花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m ①设花枪离地面的高度为y(m),到O点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并求'关于x的函数 表达式： 21 1 ②花枪下落过程中，乙在与0点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为1。m,最小为2m，求d的 取值范围 (②)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度(m)与时间‘(S)之间 的关系式是h=-52+71+ （t>0),丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点.求丙的平均速度， 武威中考真题)抛物线？x+br+c与轴交于4，C2,0)两点， B(0,-6),动点D在线段OB上（点D与点O不重合）· VA D B 图1 图2 图3 17/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求抛物线y= 2x2+bx+c的表达式： (②)连接CD,在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积： ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标： 8)如图3，在动点D的正上方有另一动点E0,p),且ED 4，当点D从点B开始运动时，点E以相同的 速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动.连接AE，CD,求 AE+CD的最小值和此时P的值 5.(2026四川乐山中考真题)已己知抛物 C:y=r-2x-3交轴于A、B两点（点1在点B的左侧）， 顶点为点P 备用图1 备用图2 (1)求A、B两点的坐标： (2)直线 :y=+b(k≠0)与抛物线C交于D,E两点， ①若A、B两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由： ②若∠DPE=90°，试问直线I是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 考点06实际问题与二次函数 1.(2026贵州中考真题)某课外实践小组用A1模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示 如图①所示.跳弹在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.飞机在距水面垂直高度为8.1 的A处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为 C:y=-025x2+25x,C:y=-025r+m+n,C:y=-0.25r+r+g,与水面分别接触于点8，点C. 18/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计) G C月 BD 图① 图② ()已知点A与点O所在直线A0的表达式为y=-0.9x,分别求出A,B两点的坐标； D12,0) (2)若水面上 处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽D正=4的暗礁，抛物线9在 x=14时距水面最高，请判断跳弹沿路径C2运动时能否避开障碍物和暗礁： 3)在(2)的条件下，若跳弹从水面上点C弹起后，沿路径撞击对方目标截面F处时，启动跳弹内部回 弹装置，避开暗礁沿直线FM加速飞向水面，接触水面后沿直线MN撞向目标，该过程始终保持 FH MH 1 MNHˉ2·且目标露出水面的垂直高度HG=6,点H的坐标(20,0)，打击点N距水面的距离为NH, 且6≤M≤10，求抛物线C中P的取值范国. 2.(2026湖南中考真慰)如图，公路与铁路”垂直交汇于河岸0点处，公路与河岸的另一交点为4， 其中河岸OC 段为抛物线的一部分，AB段为线段， OA=7km,4B=5km,点B到公路的距离 BD=3km 抛物线的顶点C到公路与铁路的距离分别为4k与km.当地政府为了振兴乡村经济。 与 拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧.为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图 2,栅栏EF紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏EH1EF,点H在该段抛物线上：栅栏 FG1BF,点G在线段B上.以点O为坐标原点，直线与分别为轴与'轴，规定'个单位长度为 19/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1km ,建立平面直角坐标系 D 11AO A 图1 图2 (I)请直接写出点B的坐标： (2)分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）： 3)点E到铁路？的距离小于 5km,H=2G,己知建km长栅栏的各项开支为万元，建完棚栏需花 1km 费7万元.求栅栏EH到铁路的距离。 3.(2026天津中考真题)将一个四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴 的正半轴上，点A，C分别在第一、第四象限，且关于x轴对称，OA=6,∠A=90°，∠A0C=120° YA B B 图① 图② (I)填空：如图①，点B的坐标为 一，点C的坐标为 (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线1上x轴，沿直线！折叠该纸片，折叠后点O的对应点 O'落在x轴的正半轴上.设OP=t. ①如图②，若直线l分别与边AB,CB相交于点D,E,当折叠后重叠部分为五边形时，点A,C 的对应点分别为，C',A'O与DB相交于点F,C'O与EB相交于点G.试用含有t的式子表示线段 DF的长，并直接写出t的取值范围： ②设折叠后重叠部分的面积为S,当2≤t≤8时，求S的取值范围（直接写出结果即可）， 20/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点07二次函数综合 1. (2026黑龙江绥化中考真题)综合与探究，已知抛物线'=ar+r+4与*轴交于点 A(-1,0) B(40),与”轴交于点C,点0为坐标原点，作直线BC. B A B 4八 -0 4 备用图 (1)求该抛物线的解析式. (②)在抛物线上有两个动点P,O,点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂足为N，交 3 BC于点M,点Q的横坐标为m一2，若△MCV的面积记作S,△PM0的面积记作S,当S=S+S3,有 最大值时，求点P的坐标.（自行完成作图并解答） 6吧能钓线”a+c+4沿射线C方向干移，平移后，新港物我'过点C,吉二是新据萄线对称轴 与x轴的交点，点F是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC,FO.若FO平分∠CFE,请直接写出符合 条件的点F坐标.（自行完成作图并作答） 2.(2026四川吧中中考真思)如图，抛物线’=++2(a≠0)与轴交于1(-20、8(0)两点 21/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ⊙ 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值： 3)在第二象限内的抛物线上是否存在点Q,使得∠ACQ=2∠OCB?若存在，求点Q的坐标；若不存在， 说明理由， 三.(2026四造宁中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ar+子x+e(a+0)的图象与x 轴交于1(1,0)、B (0,2) 两点，与y轴交于点 备用图 (1)求二次函数的表达式： (②)连接BC,点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作PH⊥BC于点H,求线段PH的最大值： B)连接AC,点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E,作射线DE,使 ∠BDE=∠ACO,求点E的纵坐标. 4.(2026山东烟台中考真题)如图，直线y=-x-6与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线 3 y=a2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一个交点为B·抛物线的对称轴为直线x=- 2· 22/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点D在抛物线上，横坐标为1，若点D到直线AC的距离为2 反，求出所有满足条件的，的值： PH+ PO (3)若H为抛物线的项点，P为对称轴上一点，请直接写出 2 的最小值， 5.(2026甘肃天水中考真思)抛物线y=号r+bx+c与x轴交于有，C2,0两点，与y轴交于点 2 B(0,-6) D OB D 0 .动点”在线段上（点与点不重合）· YA A E B B 图1 图2 图3 四求抛物线x+bx+c的表达式 (2)连接CD,在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积： ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标： ③如图3，在动点D的正上方有另一动点E0小，且D 4,当点D从点B开始运动时，点E以相同的 速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动.连接AE,CD,求 AE+CD的最小值和此时P的值. 23/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026四川宜宾·中考真题)抛物线 '=a++c(a≠0)与‘箱交于4(-1,0、B(20)两点，与'广轴交 于点C0-2) B E D 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (②)如图1，连接BC,交抛物线的对称轴于点D,连接AD.试判定△ABD的形状，并说明理由： B)如图2，点E、F是直线AC上两动点，且∠EBF=∠ABC.求△EBF面积的最小值. 7.(2026天津中考真题)已知抛物线'=ar++C(4,b,C为常数，a<0,c>0)的顶点为P 1)当a=-1,b=-2,c=3时，求点P的坐标； ②点1(c,0)和点B为抛物线与轴的两个交点，点C为抛物线与'轴的交点。 0当a=时，者∠C490,求e的值： 点B(m,0),∠ACB=75°，D为线段BC的中点，点M在线段4C上（不与点4，C重合），点N在 ②若 线段4B上，且CM=5BN,当N+ND 取得最小值为时，求的值. 8.(2026四广安中考真题)如图，二次函数”=r+r+4(a,b为常数，a0)的图象与轴分别 OB 1 交于点A,点B,与y轴交于点C,OA2,AB=6. 24/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)①连接AC,点P是第一象限内抛物线上的一动点，当点P到AC的距离最大时，求点P的坐标； ②在①的条件下，点M,N分别是y轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN1y轴，连接BM,MN, NP,求BM+MN+NP的最小值： )在(2)的条件下，平面内是否存在点Q,使以点Q,A,P为顶点的三角形为等边三角形？若存在， 请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 25/25可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题17二次函数解答题压轴题综合 答案版 考点01二次函数的图象与性质 1.(1)t=-1 19 (②)MN的最大值为4 6)1<-2或1>1 2.(①4(-，-)，G:y=(x-2}-40≤x≤3)B(2,4) ②03sx-或0≤x≤2，②1≤n≤2-5 2或m10 60是：②m=-1-0 ·5或m1+6 3.0四=+x+2 2(2,5) 3)2 考点02二次函数y=aX+bx+c的图象与性质 1.(1)=-r-2x+3 1/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2W5 (2)5 25√2 3)8 x+6V3 2 a06,2),②3w5-3 3.(1)y=- +x+4 2 (2)3秒 5 7 3)当=2时，四边形PCQB的面积最大，最大面积为4 4.(1)y=4x PC ②C0,点0在抛物线上 5.(①)y=x2-2x+1 ②)8 ()<m<5 3 6.()少=r+2x-3 75 2)四边形ABCD面积的最大值为8，点D的坐标为2，~ 16 3)是定值，定值为3 7.(1)m=-2n=-8 (2①n2-1,②m=2W2,m,=-22,m,=26,m,=-26 8.(1)100 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：选择①△ASO∽aBAP, 证明：，QS∥AB .∠ASQ=∠BAP, 又∠QAS=∠ABP, .△ASOABAP: 选择②△DSQ∽aCDP 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, 又S‖AB, ..OSCD, .∠QSD=∠PDC. 又∠QDS=∠DCP, .aDSQ∽aCDP 3)解：AP=DS, 理由：，△ASOABAP,△DSQ△CDP, SO AS SO DS AP=AB①，DPCD' .AB=CD. SO DS ·DP=AB②， 由①得AB.SQ=AP·AS 由②得AB·SQ=DP.DS, .AP·AS=DP.DS 3/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AP.(AD-SD)=(AD-AP).DS AP·AD-AP·SD=AD·DS-APDS, .AP.AD=AD.DS. .AP=DS: 49 (4)12 9.(1解：y=-4x+4与y=-+2 与 互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： y=-4+4=(-2旷的顶点为2,0叭 将x=2代入y=-+2中，得’=-2+2x2=0 即'=-+2x经过2,0) -+2x=-(-+1的顶点为， 将=1代入=-4+4中，得=-41+4=1 即)=r-4+4经过) 故"=-4+4与V=-r+2 互为“伴随对称抛物线”. 204+0=0 证明如下： C:y=a(x-h)thC::y=a(x-h)tk :4(4,).4(6,) :若S:y=a(x-4广+人与S:y=a,(x-广+k互为“件随对称抛物线”， .k=az (hh)+k2 k2 =a (h2)+k 两式相加得（a+4)-乃}=0 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 h≠h2 .a1+a2=0 ②C的对称中心为线段的中点； ③-2%-4+1）)=4 10.)少=-r2+2x+3 p912 2)（7'7 57 6)24或(4，-5) 1.)直线=5 Q)3-1sms 6)5 品 考点03二次函数的对称及最值问题 1.(1)3 2-2 2)(i)2:(i)当a=l,2,3时，m>2a-2；当a≥4时，m<2a-2. 理由如下：由①得B=名=v2a,已知V2≈1414，m<Va+1显然成立， 令V2a+1<2a-2,解得 >3+32、5.121 2 也就是说，当a≥6时，m<2a-2恒成立， 5/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故只用讨论a=1,2,3,4,5的情形： a1时，专12 0.293,5=1+51.707 2 ,故整数点只有x=1, .m=1,2a-2=0∴.m>2a-2 a=2时，=2-205866=2+5≈3.414，故整数点有=lx=2,x=3, .m=3,2a-2=2∴.m>2a-2 a=3时，专=332 5.121 2 0.879,=3+3V2 2 ,故整数点有x=1,x=2,x=3,x=4,x=5, ∴.m=5,2a-2=4.m>2a-2 0-4时，与4-221725=4+25=689，故整数点右=2=3x4=54=6 .m=5,2a-2=6∴m<2-2 a=5时，考=5-52 21.465,5=5+5v2 2 ≈8.535 故整数点有x=2,x=3,x=4,x=5,x=6,x=7,x=8. .m=7,2a-2=8.m<2a-2 综上所述，当a=1,2,3时，m>2a-2;当a24时，m<2a-2. 2.()y与x的函数关系式为y=50x,当x=40时，该充电站的收入为2000元 ②)x的值为20或100，收入y与x的新关系式为y= 2+20x+50 (3)m=60,理由如下： 设净收益为W, W=mx- 42+20x+500=-4+(m-20x-500 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 -<0 4 二次函数图象开口向下， m-20 X=- =2m-40 当 71 2x4) 时取得最大值， W 由题意得，x=80时净收益最大， .2m-40=80 解得m=60」 3.①y=7x+x+4 2)PE的最大值为2，此时点P的坐标为 2,4) 3-√615+√6I 6)(5,2)或2，-4 5 4。)抛物线的函数表达式为=-+2x+1,顶点坐标为L2) 2)03≤p≤6 ③h≥2 ③点M的坐标为1-V5,-1或-2+5,63-10) m=0 5.(1)n=6: ®0发段OC长度的黄小值为：②-9。 6.()y=x-3,点C不在直线PD上 (2)的值 4-万4 3)-2 7.(1)b=2:c=-3 ②)0点M的横坐标为2，点N的横坐标为2：②-4+√5或-4+V5 7/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(①)k=1,点B的坐标为 2,4) 心A的取馆范用是号 6)点E的坐标为5.0）.k=25 9.(1)1 √53 ②)5,5 9 6)8 10.(1)m=3.y=-x2+2x+3 e 6E布，c2.c20.622.c(2写 考点04二次函数图象的平移 1.(1)c=-3 ②1+2，-2 ®0-”，5. 20=+1 2 9W2 4 6Mg标号A】 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过程如下： +1=-x3225 +3 y=-4 4x一2+6，将抛物线沿射线CA方向平移反个单位长度得到抛物线V, 1 3 平移方式为将抛物线y=一4+x+1向左平移1个单位，向下平移1个单位， 4 4 11 B(4,0 ,点B的对应点为B, F4-L0-,即F6,- 设直线BF的解析式为y=mx+n, [0=4m+n m=1 .-1=3m+n,解得n=-4, ∴.直线BF的表达式为y=x-4, :直线V=x在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为45°， ∴.直线BF与直线y=x与x轴所成的夹角相等， .∠NBG=45°， .∠HBV=180°-45°=135°， 情况1： H(1,0) 如图，取点 ,当点N在x轴上方时， VA 举兴 AO H ®G A(-10).C(0,1) ..OA=OC=OH=1. AH⊥OC, 9/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CA0=∠CH0=45, .∠CHB=135°=∠HBN,∠ACH=90°， .∠BCH=∠ACB-∠ACH=∠ACB-90°， .∠ANB=∠ACB-90°， .∠BCH=∠ANB. .∠CBO=∠BAN, ÷tan∠CB0=tan∠BAN=OC=l OB 4, :点N在直线BF上， N(n,n-4) 设 n-4_1 n-(-1)4 解得子。 得 :4(10) t 11 一可得直线N的表达式为y= 4 =x+ 4x+4 将11和， 4*4y y=一x+ 1+1联立得， 一x+ 4 4 x=1 1x=-1 解得y=2,y=0(舍去)， 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点C作CL⊥BC交直线BF于点L,CL与x轴交点K,过点A作AN∥CL交直线BF于点N, YA N 设直线AC的解析式为y=x+t, [1=t s=1 .0=-s+t,解得t=1, .直线AC的解析式为y=x+1, .kAc=kBF=1, :ACl BF, ∴.∠ACL=∠CLB,∠ACL=∠ACB-90°， .∠ANB=∠ACB-90°， ∴.∠ANB=∠ACL, 此时直线AN与抛物线y的交点即为所求的M, .∠CKO+∠KCO=∠KCO+∠OCB=∠OCB+∠CBO=90°， .∠CBO=∠KCO, 在RtACBO0中，an∠CB0=OC=1 OB4· 1 .tan∠KCO=tan∠CB0=】 4, :tan∠KC0=O=n0K-1 0C4,即1=4， 11/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设直线CL的解析式为y=cx+d, 1=d c=4 将点c,分别R入得：0=c+d,解得：日： ∴.直线CL的解析式为y=4x+1, ,AW∥CL, ∴.kaw=kc=4, 设直线AN的解析式为y=4x+e, 将点1-10)代入，e=4 ∴直线AN的解析式为y=4x+4, [y=4x+4 将，=r+4和y=++暖立得，了 11 二x+ 4 2 x=-14 x=-1 解得y=-52 y=0(舍去)， :M(14,-52) 益上达点的半标写》成H 3.0)y=(x-4y-4=r-8x+12.y=-2x+12 ②60≤+号+5<76 (14 e)点P的坐标为30成(9,0) 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点05二次函数与一元二次方程 19 1.124 (2)证明：·抛物线上的 P(,）在轴上方， %=-x6+bx。+c>0 .c=x号-bx+ :.b3-4×(-1)×c=b+4c=b2+4x6-4hx+4,=(2x-b)}+4,>0 即方程-x+bx+c=0有两个不相等的实数根， ·抛物线与x轴有两个交点 B)CD和DE的数量关系是CD=DE, 证明：“抛物线'=-r+r+C与轴交于A,B两点，与'轴交于点 (0,2 ,如图， VA D B 故可设1(，0），B(,0).>x 则，元是方程r+r+2=0 的两根， b+b2+8 由求根公式可得= 2 ,5=6-B+8 2 又坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC, 13119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由勾股定理可得， ra-0,wc-go-或， 2 bb+b2+8 +m-o=合+a-29. 解得mJ 2 (b 1 点M的坐标为22， .y=bx+2 y=-bx-1 D 直线 相交于点， .b≠0， x=-2b 3 联立y=br+2,解得1， y=-bx-1 y-2 31 ·点D的坐标为2b'2 又MC=ME, .MD垂直平分CE, .CD=DE 2.(1) (（-2,0)(8,0) (2) 当m=时.S>45,当m=1±5时，S<45 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(1)①如图，建立平面直角坐标系 地面 x 函数表达式为y=- x-旷。 ②a的取值范围为5ds 2 25 (②)丙的平均速度为8米秒 1号+-6 5 208,②M(4,-2) 25.p= 5.①4(-1,0)）B3,0) (2)①定点 F(1,0) 如图，设直线I与x轴交于点F,过点A作AG L DE,过点B作BH L DE,垂足分别为G、H. G F1,0)/ B x ∴.∠AGF=∠BHF=90 又A、B两点到直线的距离相等， .AG=BH 15119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又.∠AFG=∠BFH, :△AGF≌*BHF(AAS) .AF=BF, 即：点F为AB中点. (1,0)）B3,0) 1B中点F10) 即直线过定点 F(1,0) ②直线'过定点么-) 考点06实际问题与二次函数 1.)4(-981）B10,0) (2)能避开障碍物和暗礁 ops经 2.(1)B(3,3) Q直线B的函数表达式为：y-子+：抛物线0CB的函数表达式为：y=十4切 1km 3) 3.①)12,0).(3，-35) 5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点07二次函数综合 1.()少=-x2+3x+4 P2,6) 58+V39 58-39 322或22 2.(①y=-x2-x+2 (2)1 (6104 (3)存在， \749) 2*1 3 3.(1)y=- x+2 221 4√5 (2)5 3)-2或2 4.①y=x2+x-6 3 @=3-35或1=-3+32或-3 .15 3)2 5.(1)y= , 36 (2)①8；②(4，-2) 135 9 6)1E+CD的最小值为4，此时P 4 6.①P=x-x-2 17119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)△ABD是等腰直角三角形，理由如下： -11 对于抛物线y=x-x-2,对称轴为直线x= 2×12, 设直线BC:y=m+9,代入点B(2,0)、C0,-2) [2p+q=0 .9=-2 p=1 解得9=-2 .直线BC:y=x-2 将=方代入y=x-2得=2=号 g别 2-,0-G可小可5.0-2哥-5 .AD =BD, 400-aj-层可j-9.g-9 ∴.AD2+BD2=AB2 ∠ADB=90°， .△ADB为等腰直角三角形： 36√2-36 3)5 7(0点P的坐标为14)， 20‘的值为6，@的值为下】 8y=+x+4, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20P(2,4) ②6： 8)有在，0的坐标为3+25,2+5).(3-25,2-5) 19119