专题11 二次函数及其应用（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 专题11二次函数及其应用中考真题汇编，覆盖13个核心考点，整合2024-2026各地中考真题，含选择、填空、解答题，突出性质综合与实际应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约60题（2-4分/题）|二次函数性质（开口、对称轴）、参数求解、平移规律|结合近三年中考真题，基础题占比60%，标注易错点（如忽略二次项系数不为0）| |解答题|约20题（5-8分/题）|最值问题、实际应用（销售利润、拱桥模型、投球轨迹）|情境真实（新能源汽车续航、红色研学文创），综合考查建模能力，匹配中考命题趋势|

专题11 二次函数及其应用 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01二次函数的性质综合 2026四川眉山卷、2026浙江杭州卷；2025山东济南卷、2025湖北武汉卷；2024安徽卷 以选择、填空、解答小题综合考查为主，分值3–6分；围绕开口、对称轴、单调性、对称性综合设问，常结合区间范围分析，难度中等，易错点为对称轴与区间的位置关系判断失误 考点02利用二次函数的性质比较大小 2026江苏南京卷、2026重庆卷；2025福建厦门卷、2025辽宁沈阳卷；2024陕西卷 以选择题为主，分值2–3分；依托对称轴划分左右增减区间，对比点到对称轴距离判断函数值大小，偶尔结合绝对值设问，整体难度偏低，易错点是忽略开口方向直接比较距离 考点03画二次函数的图象 2026湖南长沙卷、2026云南昆明卷；2025山西太原卷、2025广西南宁卷；2024黑龙江卷 选择、作图类填空均有考查，分值3–4分；核心考查五点作图法、开口朝向、顶点与交点定位，常和平移变换结合，难度偏低，易错点为关键点坐标描点出错 考点04利用二次函数的性质求参数 2026四川绵阳卷、2026江西南昌卷；2025贵州贵阳卷、2025甘肃兰州卷；2024吉林卷 选择填空高频考查，分值3–4分；根据最值、过定点、单调性反向求系数范围，常融合不等式，难度中等，易错点遗漏二次项系数不为0的隐藏条件 考点05二次函数的图象与各系数之间的关系 2026广东深圳卷、2026安徽合肥卷；2025河北石家庄卷、2025内蒙古呼和浩特卷；2024天津卷 选择题压轴小问高频出现，分值3分；通过图象开口、对称轴、特殊点正负判断a,b,c及代数式符号，综合性较强，难度中等偏上，易错点对称轴公式符号混淆 考点06二次函数的最值问题 2026江苏苏州卷、2026河南郑州卷；2025四川德阳卷、2025浙江宁波卷；2024福建卷 选择+解答题均考查，分值4–7分；分定区间、动区间两类考法，区分顶点是否在取值范围内分析最值，难度中等，易错点未分类讨论区间与对称轴位置 考点07二次函数的平移 2026山东青岛卷、2026湖北宜昌卷；2025湖南株洲卷、2025江西赣州卷；2024新疆卷 以选择填空题为主，分值2–3分；遵循 “左加右减、上加下减” 针对顶点式变换，易和对称变换结合，整体难度偏低，易错点左右平移时加减方向搞反 考点08二次函数与x轴交点问题 2026四川南充卷、2026广东佛山卷；2025江苏徐州卷、2025云南曲靖卷；2024北京卷 选择填空解答均有涉及，分值3–6分；结合判别式、韦达定理分析交点个数与坐标，常融合一元二次方程知识，难度中等，易错点忽略判别式取值限制 考点09二次函数的实际问题之拱桥问题 2026四川乐山卷、2026浙江温州卷；2025重庆区县卷、2025安徽阜阳卷；2024宁夏卷 多为解答小问，分值5–8分；建立桥面跨度、高度的坐标系模型求解解析式与限定高度宽度，难度中等，易错点坐标建系原点选取混乱导致数值出错 考点10二次函数的实际问题之销售问题 2026四川宜宾卷、2026湖北襄阳卷；2025山东潍坊卷、2025广东惠州卷；2024辽宁卷 中考高频解答大题，分值6–8分；单价涨跌联动销量，列函数求利润最值，常限定售价取值整数范围，难度中等，易错点忽略售价实际取值区间 考点11二次函数的实际问题之投球问题 2026四川达州卷、2026江苏无锡卷；2025河南洛阳卷、2025陕西咸阳卷；2024青海卷 解答应用题常见考法，分值5–8分；依托抛物线轨迹分析抛射高度、水平距离与是否命中目标，难度中等，易错点忽略地面y≥0的实际约束 考点12二次函数的实际问题之喷水问题 2026四川广安卷、2026浙江嘉兴卷；2025河北保定卷、2025湖南湘潭卷；2024海南卷 填空或解答小题，分值 4–8 分；以喷泉抛物线分析喷射高度、覆盖半径，结合场景限定自变量范围，难度偏低，易错点自变量取值范围考虑不全 考点13二次函数的实际问题之其他问题 2026四川内江卷、2026江苏常州卷；2025山西大同卷、2025福建漳州卷；2024西藏卷 题型灵活，以填空、解答小问为主，分值3–8分；涵盖围栏面积、隧道通行、运动轨迹等场景建模求最值，难度跨度中等，易错点难以快速转化实际条件为函数关系式 考点01 二次函数的性质综合 1．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 3．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 考点02 利用二次函数的性质比较大小 1．（2026·湖北·中考真题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 3．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 4．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 5．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 考点03 画二次函数的图象 1．（2026·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：描点，连线，画图如下： 一次，二次； 【检验】：，， 验证：当时，，符合题意； 验证：当时，，符合题意； 【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 3．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)； 画出函数图象，如图， (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 考点04 利用二次函数的性质求参数 1．（2026·福建·中考真题）（选择题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 2．（2025·四川南充·中考真题）（选择题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 3．（2026·北京·中考真题）（填空题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 4．（2026·贵州·中考真题）（填空题）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【答案】 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）（填空题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 6．（2025·广东广州·中考真题）（填空题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 7．（2024·甘肃甘南·中考真题（填空题）若二次函数的图象经过点，则________． 【答案】2025 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 即：， ， 故答案为：2025． 考点05 二次函数的图象与各系数之间的关系 1．（2026·山东烟台·中考真题）（选择题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 2．（2026·四川眉山·中考真题）（选择题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 3．（2026·四川凉山·中考真题）（选择题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 4．（2026·山东·中考真题）（选择题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 5．（2026·四川达州·中考真题）（选择题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 6．（2025·江苏徐州·中考真题）（填空题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 7．（2024·四川德阳·中考真题）（填空题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④错误，不符合题意． 故答案为：①② 考点06 二次函数的最值问题 1．（2026·四川广元·中考真题）（选择题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）（选择题）如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，然后证明，表示出，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则 ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 将代入得，． 3．（2025·四川雅安·中考真题）（选择题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一次函数和二次函数的增减性问题，读懂题意，并按照题意分类讨论求出最值是解题的关键． 通过比较函数和的大小关系，确定的取值，并求其最大值． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，， ∴； 时，随着的增大而增大，当时，， ∴； ，随着的增大而减小，当时，， ∴． ∴当或时，的最大值为． 当时，， ∴； 上，随着的增大而增大， ∴当时，， ∴， 综上所述，的最大值为． 故选：C． 4．（2025·山东青岛·中考真题）（选择题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）（填空题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 6．（2026·四川内江·中考真题）（填空题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）（填空题）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）（填空题）二次函数的最小值为_______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 考点07 二次函数的平移 1．（2024·江苏南通·中考真题）（选择题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）（选择题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 3．（2025·上海·中考真题）（填空题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）（填空题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 考点08 二次函数与x轴交点问题 1．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 3．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 4．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 5．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点 ，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 考点09 二次函数的实际问题之拱桥问题 1．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 2．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 3．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 4．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）略 5．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 考点10 二次函数的实际问题之销售问题 1．（2026·山东德州·中考真题）（选择题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）（解答题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 3．（2026·四川眉山·中考真题）（解答题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）（解答题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）（解答题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 6．（2024·山东青岛·中考真题）（解答题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【答案】(1) (2) (3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； (4)4 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可； （3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可； （4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴第天的单价与满足的一次函数关系式为， ∴A樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：； （2）解：由题意得， （3）解：①把代入中得：， 解得， ∴； ②∵，， ∴ ， ∵，且（x为正整数）， ∴当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； （4）解：当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 7．（2024·山东潍坊·中考真题）（解答题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键． （1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可； （2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意得： 整理得， 当时，则， 解得：． ， 不符合题意，舍去， 该商场建造的隔热层厚度为6． （2）由（1）得， ， ． ， 随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得； 的取值范围为． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）（解答题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】(1)， (2) (3)在试销售的天中，共有天销售额超过元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 9．（2024·山东济宁·中考真题）（解答题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 考点11 二次函数的实际问题之投球问题 1．（2025·江苏连云港·中考真题）（填空题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 2．（2024·广西·中考真题）（填空题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 3．（2026·贵州·中考真题）（解答题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）（解答题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 5．（2025·山东青岛·中考真题）（解答题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·贵州·中考真题）（解答题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2) 不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）略 （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）（解答题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】(1)抛物线的表达式 (2)水火箭距离地面的竖直高度米 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， （2）解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 8．（2024·青海·中考真题）（解答题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B的三等分点（且靠近点），小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】(1) (2) (3)这棵树的高为2 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 考点12 二次函数的实际问题之喷水问题 1．（2026·陕西·中考真题）（选择题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（2025·甘肃平凉·中考真题）（选择题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 3．（2026·甘肃武威·中考真题）（填空题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 4．（2026·甘肃天水·中考真题）（填空题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 5．（2026·新疆·中考真题）（解答题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 6．（2024·陕西·中考真题）（解答题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处 考点13 二次函数的实际问题之其他问题 1．（2026·浙江·中考真题）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度（） 50 60 70 80 90 基础能耗（） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 该款电动汽车的电池容量为，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 实际续航里程． (1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点， (2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在和之间（含和）时，求其实际续航里程的最小值． 【答案】(1) (2)最符合的是二次函数，函数表达式为： (3)420 千米 【分析】（1）根据表格描点即可； （2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可； （3）根据题意求出实际续航里程，从而得当最大时，取最小值，求出二次函数在范围内的最大值即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：观察点的分布：数据先降后升，且和、和均关于对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数， 设函数表达式为（对称轴为，顶点为）：， 将点代入得：， 解得， 验证其余点均满足该式， ∴函数表达式为：（展开也可写为）； （3）解：根据题意： 实际能耗为， 代入续航里程公式：实际续航里程， ∴随的增大而减小， ∴当最大时，取最小值， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随增大而减小，在范围内，随增大而增大； 当时，，当时，， ∴在范围内的最大值为12， ∴， 故实际续航里程的最小值为420 千米． 2．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 3．（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； (2)任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）连接，可得，然后求出，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为， 代入点得，，解得， ∴过点，，的抛物线的表达式为； （2）解：连接，由题意可得，，，共线， ∵，， ∵， ∴， ∴将代入，则， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 答：矩形另一边的长度为． 4．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 5．（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解： 为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 6．（2026·广西·中考真题）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 【答案】(1) (2) 理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即 ∴ ∴函数图象经过坐标原点 (3) (4)该运动员训练后的竞技水平有提升 【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果； （2）根据原点对应的风速和的实际意义，结合与的关系推导说明.； （3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量； （4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升． 【详解】（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速记为． （2）略 （3）已知二次函数模型为， 将代入得： 即顺风风速时的成绩变化量为． （4）解：由题意得，变形得 第一次比赛：顺风，成绩， 由（3）得，则零风速成绩 第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得： 则零风速成绩 ∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 7．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11二次函数及其应用 3年考情·探规律 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 以选择、填空、解答小题综合考查为主，分值36 考点01二次 2026四川眉山卷、2026浙江杭州 分：围绕开口、对称轴、单调性、对称性综合设 函数的性质综 卷；2025山东济南卷、2025湖北 问，常结合区间范围分析，难度中等，易错点为对 合 武汉卷；2024安徽卷 称轴与区间的位置关系判断失误 以选择题为主，分值2-3分；依托对称轴划分左右 考点02利用 2026江苏南京卷、2026重庆卷： 增减区间，对比点到对称轴距离判断函数值大小， 二次函数的性 2025福建厦门卷、2025辽宁沈阳 偶尔结合绝对值设问，整体难度偏低，易错点是忽 质比较大小 卷；2024陕西卷 略开口方向直接比较距离 选择、作图类填空均有考查，分值34分；核心考 2026湖南长沙卷、2026云南昆明 考点03画二 卷；2025山西太原卷、2025广西 查五点作图法、开口朝向、顶点与交点定位，常和 次函数的图象 平移变换结合，难度偏低，易错点为关键点坐标描 南宁卷；2024黑龙江卷 点出错 考点04利用 2026四川绵阳卷、2026江西南昌 选择填空高频考查，分值34分：根据最值、过定 二次函数的性 卷；2025贵州贵阳卷、2025甘肃 点、单调性反向求系数范围，常融合不等式，难度 质求参数 兰州卷；2024吉林卷 中等，易错点遗漏二次项系数不为0的隐藏条件 考点05二次 选择题压轴小问高频出现，分值3分；通过图象开 2026广东深圳卷、2026安微合肥 函数的图象与 口、对称轴、特殊点正负判断a,b,c及代数式符 卷；2025河北石家庄卷、2025内 各系数之间的 号，综合性较强，难度中等偏上，易错点对称轴公 蒙古呼和浩特卷；2024天津卷 关系 式符号混淆 选择+解答题均考查，分值47分；分定区间、动 考点06二次 2026江苏苏州卷、2026河南郑州 区间两类考法，区分项点是否在取值范围内分析最 函数的最值问 卷；2025四川德阳卷、2025浙江 值，难度中等，易错点未分类讨论区间与对称轴位 题 宁波卷；2024福建卷 置 1/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 以选择填空题为主，分值2-3分；遵循“左加右 2026山东青岛卷、2026湖北宜昌 考点07二次 减、上加下减”针对顶点式变换，易和对称变换 卷；2025湖南株洲卷、2025江西 函数的平移 结合，整体难度偏低，易错点左右平移时加减方向 赣州卷：2024新疆卷 搞反 选择填空解答均有涉及，分值36分：结合判别 考点08二次 2026四川南充卷、2026广东佛山 式、韦达定理分析交点个数与坐标，常融合一元二 函数与x轴交 卷；2025江苏徐州卷、2025云南 次方程知识，难度中等，易错点忽略判别式取值限 点问题 曲靖卷；2024北京卷 制 考点09二次 2026四川乐山卷、2026浙江温州 多为解答小问，分值5-8分；建立桥面跨度、高度 函数的实际问 卷；2025重庆区县卷、2025安徽 的坐标系模型求解解析式与限定高度宽度，难度中 题之拱桥问题阜阳卷；2024宁夏卷 等，易错点坐标建系原点选取混乱导致数值出错 考点10二次 2026四川宜宾卷、2026湖北襄阳 中考高频解答大题，分值68分；单价涨跌联动销 函数的实际问 卷；2025山东潍坊卷、2025广东 量，列函数求利润最值，常限定售价取值整数范 题之销售问题 惠州卷；2024辽宁卷 围，难度中等，易错点忽略售价实际取值区间 考点11二次 2026四I川达州卷、2026江苏无锡 解答应用题常见考法，分值58分；依托抛物线轨 函数的实际问 卷；2025河南洛阳卷、2025陕西 迹分析抛射高度、水平距离与是否命中目标，难度 题之投球问题 咸阳卷：2024青海卷 中等，易错点忽略地面y≥0的实际约束 考点12二次 2026四川广安卷、2026浙江嘉兴 填空或解答小题，分值48分；以喷泉抛物线分 函数的实际问 卷；2025河北保定卷、2025湖南 析喷射高度、覆盖半径，结合场景限定自变量范 题之喷水问题 湘潭卷：2024海南卷 围，难度偏低，易错点自变量取值范围考虑不全 题型灵活，以填空、解答小问为主，分值38分： 考点13二次 2026四川内江卷、2026江苏常州 涵盖围栏面积、隧道通行、运动轨迹等场景建模求 函数的实际问 卷；2025山西大同卷、2025福建 最值，难度跨度中等，易错点难以快速转化实际条 题之其他问题 漳州卷；2024西藏卷 件为函数关系式 3年真题·精准练 道罐 考点01二次函数的性质综合 2/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.（2025四川·中考真题)对于抛物 y=2x-1?+3'下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为1,3 C.抛物线的对称轴为直线x=-1 D.当X>-3时，y随x的增大而增大 2.(2026四川甘孜中考真题)对于抛物 y=3x-5?-4:以下说法正确的是() A.开口向下 B.对称轴为直线x=5 C.顶点坐标为5,4 D.当x>5时，y随x的增大而减小 ()音濂9毁卫秋1‘X-X一=豫以二士关（草孝中中园d·90元）￡ ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当x>3时，y随x的增大而增大： ③它的图象可由y=X x向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到： ④直线y=k心+1(k为常数)与它的图象一定有两个交点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点02利用二次函数的性质比较大小 1.(2026湖北中考真题)已知点AX1,y1在函数y=二的图象上，点BX2,y2在函数y=x2的图象上， 点CX,y,在函数y=x的图象上，X'X,'X均大于0.三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示， 当y=y2=y,时，下列大小关系不可能的是() A.X1<X2<X3B.X1=X2=X3 C.X3<X2<X1 D.X3<X1<X2 3/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2025山东威海：中考真题)已知点(-2，y,3,y,7,y,都在二次函数y=-X-2+c的图象上， 则y1,y2,y3的大小关系是() A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 3。(2024广东：中考真题）若点0，y,1,y,2,y,都在二次函数y=x的图象上，则（） A.y3>y2>y1B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 4.(2025-福建中考真题)已知点A-2,y,B1,y,在抛物线y=3x2+bx+1上，若3<b<4则下列 判断正确的是() A.1<y1<y2B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 5.(2025广东广州中考真题)在平面直角坐标系中，两点A(X1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y=ax2-2ax(a>0》则下列结论中正确的是() A.当X1<0且y1y2<0时，则0<X2<2B.当x1<x2<1时，则y1<y2 C.当X1<0且y1y2>0时，则0<x2<2D.当X1>x2>1时，则y1<y2 考点03画二次函数的图象 1. (2026陕西·中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： -2 -1 0 4 5 0 -3 -4 5 (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： 4/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是 (填序号)： ①a>0;②b2-4ac>0;③当x=1时，y有最小值为-4；④当x>0时，y的值随x值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A,B两点，求AB的长， 2.(2025四川攀枝花中考真题)跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、 路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析， 并进一步应用 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静 止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t(s)、 运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据， 图1 【收集整理数据】 运动时间t(s 0 8 12 16 20 … 运动快慢v(cm/s)】 12 10 8 6 4 2 … 运动路程y(cm 0 80 108 128 140 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：V与t之 间的关系可以近似地用 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 函数表示. (选填：一次、二次、反比例) 5/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 v(cm/s) y(cm) 12 160 0 140 120 8 100 6 80 4 60 40 20 04812162024(s) o24681012141618202224s) 图2 图3 【检验】根据猜想求出V与t,y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证， 【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cs的速度在匀速向前直线运动， 若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？ 3. (2025河南·中考真题)在二次函数y=ax+bx-2中，x与y的几组对应值如下表所示. -2 0 -2 2 -4-3-2-10 1234 3 (1)求二次函数的表达式。 (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象. (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为 5,请直接写出n的值 考点04利用二次函数的性质求参数 1.(2026福建中考真题)（选择题）已知抛物线y=x-2x经过点A3,a,B5,b.若a<b,且 ab<0,则n的取值可以是() 6/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2025四川南充中考真题)（选择题）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y=x2-2x: 当x>2时，y=2x-4.若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是() A.-1<b<0 B.-9<b<-1 4 4 4 1 1 C.- ≤b≤0 D.b≤-或b>0 4 3.(2026北京.中考真题)（填空题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+4x+4的图象经过点 m,y,和m+1,y若m>0则y —y2（填“”“=”或“”). 4.(2026贵州中考真题)（填空题）一元二次方程ax+2x+1=0的两根分别是X1,X2,一元二次方程 mx2+2x+1=0的两根分别是x3,X4,若x1<x3<x4<x2<0,把a,m,0,1这四个数按从小到大的顺序 用“<”连接起来： 5.(2025江苏盐城中考真题)（填空题）已知二次函数y=x-2x-3,当自变量x满足0≤x≤4时，y 的取值范围是· 6.(2025广东广州.中考真题)（填空题）若抛物线y=x-6mx+6m+5m+3的顶点在直线y=x+2上， 则m的值为 7.（2024甘肃甘南中考真题（填空题）若二次函数y=ax2-bx-1的图象经过点2,1，则 2024+2a-b= 品 考点05二次函数的图象与各系数之间的关系 1.(2026山东烟台.中考真题)（选择题）如图，二次函数y=ax+bx+c的部分图象与x轴交于点 A1,0,与y轴的交点C位于点0，-2和点0，-3之间，顶点为点P,对称轴为直线x=2.下列说法：① 2 abc<0:②4a+b=0;③-1<a< ：④设抛物线与X轴的另一交点为B,当∠CPB=90时， 2·其中正确的是() 7/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=2 A.②③④ B.②③ C.②④ D.①③④ 2.（2026四川眉山中考真题)（选择题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-1,0,顶点坐 际1，n,与v独的交点在0，-2，D,3之间（包含端点），下列论：@3a+b<0:②条a≤ ③对于任意实数，a+b≤mam+b总成立；④关于x的方程ax+bx+c=n-1有两个不相等的实数根. 其中正确结论的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2026四川凉山中考真题)（选择题）已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则 下列结论中正确的是() -5-20ix A.abc>0 B.b+4a=0 C.5a+c>0 D.当x<-5或x>1时，y>0 4.(2026山东·中考真题)（选择题)如图，点P是抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点.下列结论正 8/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 确的是() A.2a+b=0 B.-3<a<-1 4 2 C.对任意实数t,at+bt<4a+2b总成立 D.若点A(1-m,y1),B(1+m,y2在抛物线上，则y1<y2 5.(2026四川达州中考真题)（选择题）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，c<0)的自变量x与函数y 的部分对应值如下表： 0 0 在下列结论中：①a>0:②2a+b=0;③当x<1时，y的值随着x值的增大而增大：④x1=-2,X2=4是 关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根.正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2025江苏徐州中考真题)（填空题）如图为二次函数y=ax+bx+c的图象，下列代数式的值为负 数的是 (写出所有正确结果的序号)· 12 ①a:②2a+b:③c;④b2-4ac;⑤a-b+c. 7.(2024四川德阳中考真题)（填空题）如图，抛物线 我y=04+e的统应A的生标为-有与。 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0;②5b+2c<0;③若抛物线经过点 9/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -6,y,5,y则y>y@若关于x的一元二次方程。X+bx+c=4无实数根，则n<4其中正确结 论是一（请填写序号）· 考点06二次函数的最值问题 1.(2026四川广元中考真题)（选择题）已知二次函数y=x2-2x+3,当a≤x≤a+2时，y的最小值 为t,则下列t与a的函数关系图象正确的是() D 2.(2026江苏苏州中考真题)（选择题）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,E是AB边上的动 点（点E在A,B之间运动，不与A,B重合），过E作CE的垂线交AD边于点F,则AE+AF的最大值是 () D A B A. 21 8 B.3 c.25 27 8 D. 8 3.(2025-四川雅安·中考真题)（选择题）我们规定mina,b=a(a≤b小 例如， b(a>b 10/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 min1,3=1,min{3,-4=-4如果y=min-X+2x+3,x+1那么y的最大值是（） A.0 B.1 C.3 D.4 4.(2025山东青岛·中考真题)（选择题)将二次函数y=x-2x-3的图象在x轴下方的部分以x轴为对 称轴翻折到X轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是() A.图象与y轴的交点坐标是0，-3B.当x=1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 5.(2026四川宜宾中考真题)（填空题）如图，∠ABC=135°，AB+BC=8,将AC绕点A逆时针旋 转90°得到AD.连接BD,则BD的最小值为 B 6.(2026四川内江中考真题)（填空题）在边长为6的正方形ABCD中，点P、Q分别为对角线AC、 边CD上的动点，且DQ=V2AP,则PQ的最小值为 7.(2025江苏准安.中考真题)（填空题）若x2-3x+1+y=0,则2x+y的最大值是 8.(2025江苏徐州：中考真题)（填空题）二次函数y=x2+x+1的最小值为一 11/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点07二次函数的平移 1.（2024江苏南通中考真题)（选择题）将抛物线y=x+2x-1向右平移3个单位后得到新抛物线的 顶点坐标为（) A.-4,-1B.-4,2 c.2,1 D.2,-2 2.(2024内蒙古包头中考真题)（选择题）将抛物线y=x+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的 顶点式为() A.y=x+1P-3B.y=x+1P-2C.y=x-1P-3D.y=x-1P-2 3.(2025上海中考真题)（填空题）将函数y=3x的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式 为 4.(2024江苏徐州·中考真题)（填空题）在平面直角坐标系中，将二次函数 y=x-2023x-2024+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则 PQ= 考点08二次函数与x轴交点问题 1. (2026四川南充中考真题)抛物线y=x2+mx+m-2与x轴交于A,B两点，且AB=V5,则m的值 为 2.(2025黑龙江哈尔滨中考真题)抛物线y=x-2x+c与y轴交于点C0,-3,与X轴交于点A,B, 则线段AB长是 3.(2024宁夏·中考真题)若二次函数y=2x2-x+m的图象与X轴有交点，则m的取值范围是 4.(2024山东济宁.中考真题)将抛物线y=x-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线 与x轴有公共点，则k的取值范围是 5.(2024辽宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3与x与相交于点A,B,点 B的坐标为3,0)，若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为一 12/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2024吉林长春.中考真题)若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与X轴没有交点，则c的取值范围是 考点09二次函数的实际问题之拱桥问题 1.(2025陕西中考真题)某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L,钢缆 L1,L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC,OA=2m,L1,L2关于OA所在直线对 称.L1的最低点到BC的距离为亏m,到OA的距离为2m.以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所 在直线为y轴，建立平面直角坐标系、 y M M L2 0 N (1)求L1所在抛物线的函数表达式： 2)现要悬挂两条灯带M1N1,M2N2来增加夜景效果，M1N1,M2N2均与BC垂直，点M1,M2分别在 L1,L2上，点N1,N2在L上，点M1,M2到OA的距离均为3m.已知L所在抛物线的函数表达式为 16,求这两条灯带的总长 2.(2025广东广州中考真题)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究 其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认 真阅读，解决问题. 13/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 发 现 问 题 涉水线设置 限高架设置 确 定 目 标 数 学 隧道入口 隧道 ←一限高架 抽 侧面 涉水线处 ME 一斜坡 象 图2 D E 绘 隧道 图3 图3为隧 制 及斜坡的侧面示意图，可近似如图2 道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB 图 所示 和矩形ADEB的三边构成， 形 么 息 收 当隧道内积水的水深为0.27米时， 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁 集 (即积水达到涉水线处)，车辆应避 止压线)，且必须保证车辆顶部与隧道顶 资 免通行. 部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米. 料 整 理 14/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 实 地 考 斜坡的坡角a为l0°，并查得： 隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米， 察 sin10°0.174， 两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度 数 c0s10°≈0.985， DE=10米.车辆行驶方向的右侧车道线 据 tan10°≈0.176 (宽度忽略不计)与墙面的距离为1米 采 集 问题解决： ()如图2，求涉水线离坡底的距离MN(精确到0.01米)； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式： (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）. 3.(2025陕西中考真题)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈 抛物线型，水平横梁AC=16m,L1的最高点B到AC的距离BO=4m,L2,L3关于B0所在直线对称. MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1上，点P,Q分别在L2,L3上，MN‖AC,MP⊥AC, NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式； ®E知揽物线L的画数表达式为y=一忌x-4,NQ-号m,求N的长。 4.(2025·新疆.中考真题)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道， 能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若 隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. 15/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 甲 车 车 (1)求抛物线的函数解析式： (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内 并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计），若宽3米，高3.5米的两 辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由， 5.（2024陕西·中考真题)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型， 桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF为x轴，以桥塔AO所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系. Ay/m E' Fx/m 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m, AO=BC=17m,缆索L1的最低点P到FF的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式： (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF,且EF=2.6m,FO<OD,求FO的长 考点10二次函数的实际问题之销售问题 1.(2026山东德州中考真题)（选择题）某水果店单件水果售价y1(元)与销售月份X满足一次函数关 系y1=一2x+21,单件水果进价y2(元)与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示， 抛物线顶点为6,3并且经过3,12，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为 元. 16/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3,12) (6,3) 2.(2026湖北武汉中考真题)（解答题)某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式 学习活动 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）. 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等， 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元 件. 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件， 成本核算： (I)分别求制作一件A品和一件B品的成本. 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为X元/件，求w关于X的函数解析式（不要求写自变量X的 取值范围). 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案， 3.(2026四川眉山中考真题)（解答题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间， 为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动. (1)某食品厂原计划每月生产艺麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880 件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝艺麻糕，每件盈利30元.参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可 多售出5件.问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 4.(2025江苏准安中考真题)（解答题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y(件)与 每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 25 31 P 17/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 日销售量/件 15 I)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价 5.(2025黑龙江大庆中考真题)（解答题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出 A,B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元：4个A纪念品和1个B纪 念品的成本之和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定：每套纪念品的售价不 低于65元且不高于72元（每套售价为整数）·如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套 经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套.设每天的利润为W(元)，每套纪 念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数). I)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本： (2)求当α为何值时，每天的利润W最大. 6.(2024山东青岛·中考真题)（解答题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季. 为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计 与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下 B樱桃园 表： 第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数 单价 销售量 (元/盒) (盒) y2=ax2+bx+25刻画，其图象如图： 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 905 第4天 44 50 495 012 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关 18/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 系，已知每天的固定成本为745元. (1)4樱桃园第x天的单价是元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润y1(元)与x的函数关系式：（利润=单价×销售量-固定成本） )0y,与x的函数关系式是一 ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2)最大，最大是多少元？ 4)这15天中，共有天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大. 7.(2024山东潍坊·中考真题)（解答题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗， 计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P(万元)与隔热层厚度xm满足函数表达式： P=10x.预计该商场每年的能源消耗费用T(万元)与隔热层厚度xCm满足函数表达式： T=21-x+2x+4 ，其中0≤x≤9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y(万 元)· 1)若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度： (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t(万元)，且t=y+x2,当172≤t≤192时，求隔热层厚度 xcm的取值范围. 8.(2024黑龙江大庆中考真题)（解答题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随 之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的 售价为y(元/千克).当1≤x≤20时，y=kx+b;当20<x≤30时，y=15.销量z(千克)与x的函数关系式 为z=x+10,已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为 M(元). 1k=-’b=—3 (②)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式： 3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 9.(2024山东济宁.中考真题)（解答题)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销 售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. 19/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 yA 300 200 100120 (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式： (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多 少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 考点11二次函数的实际问题之投球问题 1.(2025江苏连云港.中考真题)（填空题)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 y=ax-32+2.5 运行，其中X是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为 1.6m,则铅球掷出的水平距离OB为 m 西中考真慰)（填空思）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的匾 出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M, 则OM=m. 个 4m 0-5m M 3.(2026贵州中考真题)（解答题）某课外实践小组用AI模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进 行模拟演示如图①所示.跳弹在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.飞机在距水面垂 直高度为8.1的A处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线， 20/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分别为C1:y=-0.25x2+2.5xC:y=-0.25x+mx+n'C3:y=-0.25X+px+q 与水面分别接触 于点B,点C.(演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计) A C G C:ET BD 图① 图② (1)已知点A与点O所在直线AO的表达式为y=-0.9x,分别求出A,B两点的坐标： (2)若水面上D12,0处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽DE=4的暗礁，抛物线C2在 x=14时距水面最高，请判断跳弹沿路径C2运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在2的条件下，若跳弹从水面上点C弹起后，沿路径C3撞击对方目标截面F处时，启动跳弹内部回弹装 置，避开暗礁沿直线FM加速飞向水面，接触水面后沿直线MN撞向目标，该过程始终保持 FH_MH_1 MH NH 2 且目标露出水面的垂直高度HG=6,点H的坐标20,0，打击点N距水面的距离为NH, 且6≤NH≤10，求抛物线C3中p的取值范围， 4.(2025江苏盐城中考真题)（解答题）[生活观察]小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个 点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图(1)、(2)所示， E 扣杀球近似路线 网前吊球近似路线 图(1) 图(2) 图(3) [数学建模]小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的 剖面图如图(3)所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m,球网上 端点B到地面的距离BC=1.55m,人与球网之间的距离OC=1.6m,假设两种击球路线都经过点B正上方 0.05m处的点D,网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、F. (1)请在图(3)中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式. [模型应用] (2)网前吊球的落点到球网的距离CE的长是 m. (3)甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s.网前吊球时，羽毛球下降的高度hm与 21/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时间ts之间的关系式为h=5t.乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至 少需要0.5s.请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球， 5.(2025山东青岛·中考真题)（解答题）小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中，小磊从点O正上 方1.8米的A点将球击出 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数 y=Qx+bx+1.8(a,b为常数)图象的一部分，其中y(米)是球的高度，x(米)是球和原点的水平距 离，图象经过点2,3.2,4,4.2. 信息二：球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒)(0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关系，部分数据 如下： t(秒) 0 0.4 0.6 0 4 6 (米) A/米 4.2 小明击球点 1.8 x/米 (1)求y与x的函数关系式： (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ 3)当t为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y=-0.02x2+px+m(p, m为常数)图象的一部分，其中y(米)是球的高度，X(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横 坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为 (直接写出结果)· 6.(2025贵州中考真题)（解答题）用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触. 石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂， 石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F,运动路径近 似为抛物线C,:且C1:y=aX+bx+c石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G:运动路径近似为 抛物线C2,且C2y=- +mx+n,（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻 等因素忽略不计) 22/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C C D B G 图① 图② 如图②，当a=号，b时，若点F坐标为2,0，求抛物线C1的表达式 (2)在(1)的条件下，若FG=4,在水面上有一个截面宽AB=1,高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点 A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由： 3)小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在(3,0)和(4,0)》 之间（包括这两点），其中M 小N1,Q作引东，的位随型。（数过中下方形与超物 线C1在同一平面内) 7.(2024甘肃兰州中考真题)（解答题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演， 图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性 能，同学们进一步展开研究.如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该 型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度ym与离发射点 O的水平距离xm的几组关系数据如下： 水平距 0 10 15 20 22 27 离xm 竖直高 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 度ym 个lm A x/m 图1 图2 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式： (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度， 23/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2024青海中考真题)（解答题)在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA,从点O处抛出一 个小球，落到点A3, 处. 小球在空中所经过的路线是抛物线y=-X+bx的一部分. B (1)求抛物线的解析式： (2)求抛物线最高点的坐标； 3)斜坡上点B处有一棵树，点BOA的三等分点（且靠近点O),小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高 度 考点12二次函数的实际问题之喷水问题 1. (2026陕西·中考真题)（选择题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力， 那么射出的水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出 的水流的高度ycm与水平距离xcm的关系可以表示为y=-0.1x2+6x,则这条鱼此次射出的水流的最 大高度是() A.9cm B.30cm C.90cm D.360cm 2.（2025·甘肃平凉·中考真题)（选择题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OM,喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水 24/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 流喷出的高度ym与水平距离xm之间的关系式是y=-X+2x+2x>0,则水流喷出的最大高度是 () /m x/m A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m 3.（2026甘肃武威中考真题)（填空题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击 中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）·图2是一次捕食 中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度ycm与水平距离 Xcm近似满足面数关系y=0+4xx20.若这只昆虫在点P20,50.则这次射出的水流 击中昆虫.（填“能”或“不能”） y/cm 0 x/cm 图1 图2 4.(2026甘肃天水中考真题)（填空题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击 中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）·图2是一次捕食 中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度yC与水平距离 xm近似满足函数关系y=-x2+4xX≥01.若这只昆虫在点P20,50,则这次射出的水流击 10 中昆虫.（填“能”或“不能”） 25/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/cm本 x/cm 图1 图2 5. (2026新疆中考真题)（解答题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造. 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷 问题 出抛物线形水柱.现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不 变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外， 方法 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算 说明 操作 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管 说明 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 过程 数据 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱 测量 在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高 y 建立 0.8 计算，交流展示… 模型 3.5 8 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式 y=ax2+bx+0.8a≠0：求a,b的值： (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 6.(2024陕西中考真题)（解答题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的. 每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形.当围观游人喊 声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水.如图所示，点A和点B是一个柱 形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C.以O为原点，以OC所在直线为X轴，OB 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 26/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 已知：OA=1m,OB=2m,OC=3m,从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m)】 之间的关系武分别是y=一写X+bx+c利y=一专X -x+bx+c. m B C D x/m (1)求A喷头喷出的水流的最大高度： (②)一名游人站在点D处，OD=4m,当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的 点D处？ 考点13二次函数的实际问题之其他问题 1.(2026浙江·中考真题)我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一.某公司测试一款新型电动汽车 的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度x(km/h 50 60 70 80 90 基础能耗y( 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 kW·h/100km) 该款电动汽车的电池容量为60.48kW·h,考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 电池容量(kW·h) 实际续航里程= -×100 实际能耗(kW·h/100km) (1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点， y(kW-h/100km) 12.35 12.25 12.15 12.05 11.95 11.85 11.75 11.65 11.55 11.45 405060708090100x衣km/h) (2)请你根据(1)中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础 27/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 能耗y与行驶速度x之间关系的函数，并求出该函数表达式： 3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在60km/h和85km/h之间（含60km/h和85km/h)时，求其实 际续航里程的最小值， 2.(2026广东深圳中考真题)综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效 益成为关注重点.某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收 支平衡问题 【研究条件】 条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系如下表： 1 2 3 50 100 150 200 250 1 条件2：该充电站的运营成本0（单位：元）与充电汽车数量x之间满足：⊙=二x2+20x+500 4 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求y与X的函数关系式，并计算当X=40时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与X的新关系式： 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=x,成本关系保持 不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请写出符合条件的m值， 并说明理由. 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素， 后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策. 3.(2026内蒙古·中考真题)综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务， 项目 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 名称 28/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图是某学校操场上坐南朝北的主 席台，由地台（长方体）、四根立 柱、遮阳棚组成.从侧面看，遮阳 棚由两条抛物线形线条组成，从正 问题 面看，上方有一矩形，其一边与地 情境 台的长度相同.项目式学习小组想 为该矩形四周设置灯带，测量了地 台的长度，在测量矩形另一边的长 度时遇到了困难，需要解决， 查找图纸：立柱ED=5m,FG=7m, 两根立柱ED与FG之间的距离 DG=8m.点F是过点E,N的抛物线 的最高点，地台高AB=1m,立柱FG 太阳光线NF E 到地台前边缘的距离AG=2m. 收集 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地 信息 G D 春分日正午太阳光线与地面夹角的度数 为49° 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M点的 影子落在操场上的H点处，测得影长 HB=7.5m 说明：①测量时间为春分日正午： ②点A,B,C,D,E,F,G,H, M,N在同一竖直平面内：点M,N, M,' 太阳光线 A,B在同一竖直方向上，点H,B,C 抽象 N 在同一水平线上： 模型 ③各组选取不同的点作为坐标原点建立 平面直角坐标系解决问题.如图为“智 慧”小组以点D为原点，AD所在直线 为X轴，DE所在直线为y轴建立的平面 29132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直角坐标系 1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E,F,N的抛物线的函数表达式： (2)任务二：请你求出矩形另一边MN的长度. (参考数据：sin49°≈0.75，cos49°0.66，tan49°≈1.15) 4.（2026山东中考真题)“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如 图1).甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力， 花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）. 地面 图1 图2 ①)如图2，甲站在地面的0点处，从距离地面)m高的A点踢出花枪，A点与0点的水平距离OB是m, 花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m ①设花枪离地面的高度为y(m),到O点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函 数表达式； 21 ②花枪下落过程中，乙在与0点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为m,最小为吃m,求d的 取值范围。 (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度h(m)与时间t(s)之 向的关系式是h=-5+71+(红>0)，丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点.求丙的平均 速度 5.(2026湖南·中考真题)如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O点处，公路l1与河岸的另一交点为A, 其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA=7km,AB=5km,点B到公路l1的距离 BD=3k,抛物线的顶点C到公路l1与铁路l2的距离分别为4km与2km.当地政府为了振兴乡村经济， 拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧.为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2， 栅栏EF紧挨公路1（与公路l1的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF,点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF, 点G在线段AB上.以点O为坐标原点，直线l1与l2分别为X轴与y轴，规定1个单位长度为1km,建立平面 30/32 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直角坐标系. E 图1 图2 (1)请直接写出点B的坐标： (2)分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）： (3)点E到铁路l2的距离小于1.5km,EH=2FG,已知建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花 费17万元.求栅栏EH到铁路l2的距离. 6.(2026广西中考真题)综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风 风速超过2m/S,若创纪录不予承认.某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米 比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平， 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据 【模型假设】假设1：用w(单位：m/s)表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示 (1)逆风风速1m/s记为m/s. 假设2：风速w影响下的成绩记为T(单位：s),零风速状态下的成绩记为T。(单位：s)·成绩变化量 T。-T记为y,y与w的关系用函数近似描述， (②)描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T和T的关系解释原因. 假设3：用二次函数y=aw+bw描述y与w的关系. 【模型求解】根据己有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：y=-0.004w2+0.07w. 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y. 4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩， 第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩.据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技 水平是否有提升. 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2/s以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函 数模型。 7.(2026山西中考真题)综合与实践 31/32 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同 的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每 亩的产量y(千克)与每亩施氮量x(千克)的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28 设中肥力麦田每亩的产量为y1(千克)，低肥力麦田每亩的产量为y2(千克)·已知点A0,160, B18,646,C28,496均在描述y1与x关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点， /千克 646 B 中肥力：y=▲ 496 -------C 低肥力： 160 2=x2+26x+140 140 0246810121416182022242628x午克 (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式： 2)应用分析：己知低肥力麦田中小麦每亩的产量y,与x的函数关系式为y,=-X+26x+140 ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以 及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到 最大时，两块麦田的总产量为m千克：当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克. 经判断n小于m,请直接写出m与n的差， 32/32 专题11 二次函数及其应用 答案版 考点01 二次函数的性质综合 1. B 2. B 3.C 考点02 利用二次函数的性质比较大小 1. D 2. C 3.A 4. 5. A 考点03 画二次函数的图象 1. 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 2.【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 3.【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 考点04 利用二次函数的性质求参数 1. C 2. A 3. 4. 5. 6. 或 7. 2025 考点05 二次函数的图象与各系数之间的关系 1. A 2. B 3.D 4. 5. C 6. 7. ①② 考点06 二次函数的最值问题 1. A 2. C 3.C 4. 5. / 6. 7. 8./0.75 考点07 二次函数的平移 1. D 2. A 3. 4. 考点08 二次函数与x轴交点问题 1. 或 2. 4 3. 4. 5. 6. 考点09 二次函数的实际问题之拱桥问题 1. 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 2.【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 3.【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 4.【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）(2)能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 5.【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 考点10 二次函数的实际问题之销售问题 1. 7 2. 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 3.【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 4.【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 5.【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 6.【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴第天的单价与满足的一次函数关系式为， ∴A樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：； （2）解：由题意得， （3）解：①把代入中得：， 解得， ∴； ②∵，， ∴ ， ∵，且（x为正整数）， ∴当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； （4）解：当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 7.【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴第天的单价与满足的一次函数关系式为， ∴A樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：； （2）解：由题意得， （3）解：①把代入中得：， 解得， ∴； ②∵，， ∴ ， ∵，且（x为正整数）， ∴当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； （4）解：当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 8.【详解】（1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 9.【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 考点11 二次函数的实际问题之投球问题 1. 2. 3. 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 4.【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 5.【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 6.【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； (2) 不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 7.【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， （2）解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 8.【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 考点12 二次函数的实际问题之喷水问题 1. C 2. B 3. 不能 4.不能 5.【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 6.【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处 考点13 二次函数的实际问题之其他问题 1.【详解】（1） （2）解：观察点的分布：数据先降后升，且和、和均关于对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数， 设函数表达式为（对称轴为，顶点为）：， 将点代入得：， 解得， 验证其余点均满足该式， ∴函数表达式为：（展开也可写为）； （3）解：根据题意： 实际能耗为， 代入续航里程公式：实际续航里程， ∴随的增大而减小， ∴当最大时，取最小值， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随增大而减小，在范围内，随增大而增大； 当时，，当时，， ∴在范围内的最大值为12， ∴， 故实际续航里程的最小值为420 千米． 2.【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 3.【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为， 代入点得，，解得， ∴过点，，的抛物线的表达式为； （2）解：连接，由题意可得，，，共线， ∵，， ∵， ∴， ∴将代入，则， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 答：矩形另一边的长度为． 4.【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 5.【详解】（1）解： 为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 6.【详解】（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速记为． （2）略 （3）已知二次函数模型为， 将代入得： 即顺风风速时的成绩变化量为． （4）解：由题意得，变形得 第一次比赛：顺风，成绩， 由（3）得，则零风速成绩 第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得： 则零风速成绩 ∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 7.【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $