专题16 解答题第24题（二次函数综合压轴题）（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦上海中考数学二次函数综合压轴题，汇编2022-2026年5年真题及模拟题共25道解答题，呈现从基础计算到代数几何融合的命题演变。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|25道|二次函数平移、顶点、交点，融合直角梯形、等腰三角形等几何图形，2026年引入“派生点、派生直线”新定义|分层设问，前两问侧重待定系数法等基础计算，最后一问综合探究；2026年创新新定义题型，强调分类讨论与数形结合，适配中考从纯代数到代数几何深度融合的命题趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题16解答题第24题（二次函数综合压轴题） 5年真题1年模拟 五年真题分类园 一、解答题 1.(1)y=4x PC-1,点0在抛物线上 ②) 2.】(1)b=-4,c=4 73 (2)①3；②17或5. 30y--29-y- (2)①0<m<1:( ② 4.01(-8,0)B0,6) 2b3 ,c=6 6y=6x-4或y=G（+42 (2)①22 ②P的坐标为(2V ,3) 一年模拟练测园 117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.6=0-2 x+5 B)二次函数'=ar+bx+c 图像的对称轴不能平分线段AB,理由 43 B(0,5)· 55 “线段AB的中点坐标为4'2， .y=at 5 2a-2x+5 5 对称辅是直线x=202 5a+4 -2a4a 55 = 5a+4 若图像的对称轴能平分线段AB,则4'2)在直线 4a上， 55a+4 .44a .5a=5a+4,此方程无解， y=ax+bx+ .二次函数 图像的对称轴不能平分线段1B 2 20P32@4-22或4+22个单位长度 3()Ca 3 x2+x+ 2,B(1,2) 2)0m=2+V3 5,②m>1+v6欧3<m<1-6 4.(1)①抛物线的表达式为y=-x+x+2:②点B的坐标为2， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 ②)当m=2或m>2时，抛物线y=-X2+mx+2与线段MN有且只有一个公共点 5.1)y=r2-2x-1 54 ②)面积比保持不变为4或5， 理由如下： 根据题意可得， ∠M=∠ODQ=90°，∠Q=∠g .△2ODAOPM, OP 1 002 00_2 PO3' S.20D 2) _4 ∴.S.ePM =9, S四边形ODNP 9-45 S.QOD 4 则Seon 4 4或S四边形oDMP 5 54 ∴这个面积比为4或5： 60(25-2-2）或0(-25-2，-2) ≤ms1-52sm<1+2 (4)m≤-1或2 或2 60y=-x子，顾点0标为0-2》 (2)m<-1或-1<m<5或m>11 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ®临引停9号 87） 52+2x+2 7.(①)y=-12+6 (2)证明：设AB,BC,AC边上的中点分别为M,N,P,连接FM,FN,FP,如图， P ,点M是AB的中点， 丽-号丽 AB=FB-FA, :亚历-a, FM-FA+AM-F4+IFB-1FA-1FA+3FB 2 2 21 ..2FM=FA+FB, FA+FB+FC=0 2FM+FC=0FC=-2FM ,即 FCNFM .C,F,M三点共线， :点M是AB的中点， .CM是△ABC的中线， ∴.F在△ABC的中线CM上， 同理可得，F在△ABC的中线AW上，F在△ABC的中线BP上， .F是△ABC三条中线的交点， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .F为△ABC的重心： 3)3 ④(6,0) &4y-号-服：a号始：m 3344 21 16 9.④1.0），B(0,2y=2-4r+3 (2)m=9 6)y=(x-4)}2-5 10.ax2 20m=2-c,0<c<1,②1-v5,0) 18 7 1.0y=x2-2:②7≤m< 2 20l:②n≤-2-25，③直线MW (-8,0) 过定点，定点坐标为 12.1)A e0=-9 4 27x+4;②0,0). 13.)=x2-2x-3 20m- 7-V33 2m=17-1 2 14.(1)抛物线的对称轴是x=0,a+c=2 (2)①b=0,ac=-2 15.(1) 解：BC=CD,BD=DA, ∴.∠CBD=∠CDB,∠DBA=∠A 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD∥BA ∴.∠CDB=∠DBA ∴∠CBD=∠CDB=∠DBA=∠A .△ABDADBC: 设BC=x,则BA=3BC=3x BC BD x BD BDBA,即BD=3x BD=V3x k=即=5-5： BC k ®0v5++,k3w.（29 5 5 1 16.(1)y= 2)4+22 6)2(-1,-1).2(-1,8-219 ac) 3 5 ②)点P的坐标为8 3)2≤m<3 1 1 18.()直线1的表达式y=2x+2 (2)抛物线 97含e-2-动度--2- b=-4 19.(1)c=3 (2)n=3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 g)0sk<51 2 20.a)少=4x2 /√5-√513+17 2)03②22 21.(1)抛物线的对称轴为直线x=3,B(5,0) √25 (2)①1②2或2 2.①(2,3)，y=2x-2+3 2(2io-4)m 8)2-V5sBFs0.7 23.()y=x-4x+5(3,2) 2)01<m<3:②y=x2+4x+1 24.1)a=-1 （525 228 37-419-37 6 6 25.①)=-r2+2x+3C(-1,0) ®om4w-:e68) 717 专题16 解答题第24题（二次函数综合压轴题） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 解答题第24题（二次函数综合压轴题） 2026、2025、2024、2023、2022 第 24 题二次函数综合题以抛物线平移、顶点、交点为核心载体，分层设问逐步递进，前两问侧重待定系数法、图象增减性等基础计算，最后一问结合几何图形开展综合探究。命题变化清晰：2022 至 2025 年以常规平移、直角梯形、线段长度计算为主，融合等腰三角形、解直角三角形；2026 创新引入 “派生点、派生直线” 新定义题型，增加概念理解门槛。整体命题从纯代数计算转向代数几何深度融合，分类讨论、数形结合成为必考思路，对阅读理解、坐标转化、方程联立求解的综合能力要求逐年提升 一、解答题 1．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 2．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 3．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 4．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 5．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 一、解答题 1．（2026·上海黄浦·一模）已知二次函数的图像经过点、． (1)试用字母的代数式表示； (2)如果二次函数图像上存在点，使得直线垂直平分线段，求此二次函数的解析式； (3)试问：二次函数图像的对称轴是否可能平分线段？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由． 2．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 3．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 4．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 5．（2026·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 6．（2026·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； (3)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 7．（2026·上海静安·三模）定义：若的三个顶点都在二次函数的图象上，且存在x轴上的一点满足：，则称为“平稳三角形”． 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求：二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，存在x轴上的一点满足：，求证：为的重心； (3)若为“平稳三角形”，中线交x轴于点G，求：的面积； (4)在（3）的条件下，若平面直角坐标系中有一点使得四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 8．（2026·上海闵行·三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标； （3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值． 9．（2026·上海奉贤·三模）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 10．（2026·上海虹口·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且，连接． (1)用含c的代数式表示抛物线的对称轴； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为点C，过点B作，与抛物线交于第四象限的点D，设点D的横坐标为m． ①求m与c的等量关系，并求出c的取值范围； ②在y轴负半轴上有一点E，连接、，如果射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，，求点A的坐标． 11．（2026·上海杨浦·二模）已知抛物线，抛物线上有点． (1)当抛物线顶点坐标为，且经过时； ①求抛物线解析式； ②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围． (2)已知； ①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率； ②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围； ③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由． 12．（2026·上海黄浦·二模）如图，直线交x轴、y轴于点A、B．抛物线经过点A、B． (1)下列表述中，正确的是（    ） A．如果抛物线与x轴在点A的右边还有一个公共点，那么； B．如果抛物线与x轴在点A的右边还有一个公共点，那么； C．如果抛物线与x轴在点A的左边还有一个公共点，那么； D．如果抛物线与x轴在点A的左边还有一个公共点，那么． (2)记抛物线与x轴异于A的公共点为C，抛物线的顶点为D． ①当点C到A、B两点的距离相等时，求抛物线的表达式； ②如果点D关于x轴的对称点恰好在直线上，求点C的坐标． 13．（2026·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 14．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 15．（2026·上海静安·二模）如图1，四边形中，，，，． (1)求证：，并求与的相似比k； (2)如图2，我们以直线为x轴，以过点C且垂直于线段的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知． ①求图像经过点A、B、C三点的二次函数解析式； ②如果我们将（1）中与的关系看作是一种图形变换，这种变换是将先绕点B按顺时针方向旋转，使点C落在上，点D落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的k倍，从而得到，我们将称为的像，将称为的原像．如果是的像，而是的原像，试直接写出点E和点F的坐标：点E的坐标是，点F的坐标是． 16．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 17．（2026·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数的图像经过点B．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，点B、C的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为． (1)求点C的坐标及二次函数的解析式； (2)若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； (3)点和在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数m的取值范围． 18．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 19．（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 20．（2026·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中（如图所示），已知某抛物线的表达式为．沿着x轴的正方向看，点M在抛物线的上升部分，设直线与x轴的夹角为． (1)如果，，求该抛物线的表达式； (2)已知点N在抛物线的下降部分，且． ①求的值； ②平移抛物线，使新抛物线的顶点落在线段上，且新抛物线与y轴交于点C．已知点M的纵坐标为1，当四边形是以为腰的等腰梯形时，求点的坐标． 21．（2026·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 22．（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 23．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 24．（2026·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)若点到抛物线的对称轴的距离为2，求的值； (2)若，点为抛物线上一点，线段与轴交于点，且，求点的坐标： (3)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线上．如果，求抛物线的解析式． 25．（2026·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 解答题第24题（二次函数综合压轴题） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 解答题第24题（二次函数综合压轴题） 2026、2025、2024、2023、2022 第 24 题二次函数综合题以抛物线平移、顶点、交点为核心载体，分层设问逐步递进，前两问侧重待定系数法、图象增减性等基础计算，最后一问结合几何图形开展综合探究。命题变化清晰：2022 至 2025 年以常规平移、直角梯形、线段长度计算为主，融合等腰三角形、解直角三角形；2026 创新引入 “派生点、派生直线” 新定义题型，增加概念理解门槛。整体命题从纯代数计算转向代数几何深度融合，分类讨论、数形结合成为必考思路，对阅读理解、坐标转化、方程联立求解的综合能力要求逐年提升 一、解答题 1．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为． （2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上． 2．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案； ②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图2-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 4．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 5．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 【答案】(1) (2)①k≥2 ②P的坐标为（2，3） 【分析】（1）把，代入，求解即可； （2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围； ②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴函数解析式为：； （2）解：①∵， ∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点， ∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ∴抛物线向右平移了m个单位， ∴， ∴m=2， ∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上， ∵在的右侧，两抛物线都上升， 又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上， ∴k≥2， ②把P（m，n）代入，得n=， ∴P（m， ） 根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3， ∴Q(0，m2-3)， ∵B（0，-3）， ∴BQ=m2，BP2=， PQ2=， ∴BP=PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|， ∵BP=PQ，PC⊥BQ， ∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°， ∴tan∠BPC= tan 60°=， 解得：m=±2（舍去负数）， ∴n==3， 故P的坐标为（2，3）. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 一、解答题 1．（2026·上海黄浦·一模）已知二次函数的图像经过点、． (1)试用字母的代数式表示； (2)如果二次函数图像上存在点，使得直线垂直平分线段，求此二次函数的解析式； (3)试问：二次函数图像的对称轴是否可能平分线段？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)二次函数图像的对称轴不能平分线段，理由 ∵、， ∴线段的中点坐标为， ∵， ∴对称轴是直线． 若图像的对称轴能平分线段，则在直线上， ∴， ∴，此方程无解， ∴二次函数图像的对称轴不能平分线段． 【分析】（1）把、代入求解即可； （2）利用勾股定理求出，利用等面积法求出，证明求出，得出，从而可求出，然后代入求解即可； （3）线段的中点坐标为，然后代入直线，判断所得方程是否有解即可． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得； （2）解：如图，设与相交于点D，作于点H， ∵、， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线垂直平分线段， ∴点D是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， 把代入，得 ， 解得， ∴； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，以及勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 2．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)①②或个单位长度 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 3．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由对称轴可得，进而再将代入求出值即可求出抛物线解析式，进而求出顶点坐标； （2）①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，点即为最高点，据此求解即可； ②分两种情况或分类讨论，每种情况下当点在线段和上时为临界点，据此求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， ； （2）解：①由题可知， 当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小， 点即为最高点， 此时， 解得， 在对称轴右侧，即， ； ②当，如图， 找出临界值，点在上时， 由题可知， ， 解得或（舍去）， ； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去），， 综上 当点在点左侧时，即，如图， 同理可得； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去）， ∴ 综上，或． 4．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 【答案】(1)①抛物线的表达式为；②点B的坐标为或 (2)当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合三角函数、一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①由，判断出点的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可；②由重心的性质，结合相似三角形即可求出点的坐标； （2）结合函数图像，可判断当顶点恰好在线段上时满足该情况，结合图像判断，由于时，函数值，在点下方，故时，函数值应在点上方，也可满足抛物线与线段有且只有一个公共点，据此求出的取值和取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 故点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，且在轴负半轴上， ∴点的坐标为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． ②解：∵重心是三角形中线的交点，且重心将中线分割成长度为的线段，若重心在轴上，则点一定在轴的下方， 令中点为，重心为点,过点作轴交轴于点，过点作x轴交轴于点，如下图所示： 由，， 得点的坐标为 假设点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 得， 解得（图左）或（图右）， 当时，， 当时，， 故点B的坐标为或． （2）解：图象开口向下，且经过点， 由此判断当时，函数对称轴为直线， ∴当时，函数值随的增大而减小，故不可能会与线段有交点， ∴， 当抛物线时，得， 化简得 要使方程有一个解，且对应的解应在的范围内， 则， 解得或（舍去）， 当时，， 解得（舍去）或（满足）， 故当时，满足抛物线与线段有且只有一个公共点； 随着的增大，函数与线段有两个交点， ∵当时，函数值，在点下方， 当时，函数值应在点上方，即即可满足要求， 得， 解得， 综上所述，当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点． 5．（2026·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)面积比保持不变为或， 理由如下： 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则或. ∴这个面积比为或； (3)或 (4)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：如图所示，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或； （4）解：①当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时，解得， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意， ∵点不在坐标轴上， ∴当时，符合题意； 综上，当或或时，符合题意． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． 6．（2026·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； (3)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)或或 (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，把解析式转化为顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据锐角三角形三条高的交点在三角形内部、直角三角形三条高的交点是直角顶点、钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，可知是钝角三角形，分三种情况讨论； （3）根据点、、的坐标可知，若点和点、、构成直角梯形，则有三种情况，一种情况是，另一种情况是，根据梯形的面积是分情况求解，第三种情况为，，验证面积等于13.2即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； 把整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：的三条高所在直线交于三角形外一点， 是钝角三角形， 如下图所示，当点在点的左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， 点的坐标为， 当点在点右侧，点左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作交轴于点，作轴于点， 则， 又， ， ， 由点和点可知点的坐标为， ，，， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 当点在点右侧， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 综上所述，当的三条高所在直线交于三角形外一点时，的取值范围为或或； （3）解：由点、点、点的坐标， 可知，，， ， ， 是直角三角形，，且，； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 整理可得：， 解得：， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 则直线的解析式为， ，， ， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合条件，舍去）， ， 点的坐标为； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 解得：， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：，     直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 点的坐标为． 当，时，如下图所示， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：，     直线的解析式为，     ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入直线解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ∵ ∴， ∴, ∴， 整理得， 解得： ∵，当的横坐标为时，与不平行，舍去， ∴    , ∴，即， ，即， ∴，符合题意； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，待定系数法求函数的解析式，一次函数解析式，特殊四边形的面积计算等相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 7．（2026·上海静安·三模）定义：若的三个顶点都在二次函数的图象上，且存在x轴上的一点满足：，则称为“平稳三角形”． 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求：二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，存在x轴上的一点满足：，求证：为的重心； (3)若为“平稳三角形”，中线交x轴于点G，求：的面积； (4)在（3）的条件下，若平面直角坐标系中有一点使得四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)证明：设边上的中点分别为，连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴三点共线， ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴在的中线上， 同理可得，在的中线上，在的中线上， ∴是三条中线的交点， ∴为的重心； (3) (4) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设边上的中点分别为，连接，根据中点的定义得到，利用向量的加减法得出，结合可得，推出三点共线，则在的中线上，同理可得：在的中线上，在的中线上，再利用重心的定义即可证明； （3）由（2）中的结论得，G是的重心，设交x轴于点，利用中点坐标公式求出和，进而求出直线的表达式为，得到，最后利用三角形的面积公式即可求解； （4）设点的坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，列出关于的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）略 （3）解：∵为“平稳三角形”，中线交x轴于点G， ∴由（2）中的结论得，G是的重心， 设交x轴于点， ∴是的中线， ∴点是的中点， 设点A的坐标为，其中， 又， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∵是的中线， ∴为的中点， ∵，， ∴，即， 设直线的表达式为， 将与代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则，解得， ∴， ∴； （4）解：设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分， 由（3）得，，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 8．（2026·上海闵行·三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标； （3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标； （2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标； （3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m的方程，即可求m的值． 【详解】（1）∵点、在抛物线上 ∴，解得    ∴抛物线的解析式为， ∴顶点B的坐标是； （2）如图， ∵， ∴直线AB解析式为：y=x-8， ∵ ∴直线OP解析式为：y=x，     设点， ∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB， ∴k＞0 ∵OP平行于AB，QA不平行于OB ∴四边形OQAB为梯形 又∵∠QAB=∠OBA ∴四边形OQAB为等腰梯形 ∴QA=OB ∴（6-3k）2+（4k）2=25 ∴或（舍去）           ∴ （3）由（1）知 设抛物线向左平移个单位后的新抛物线表达式为 ∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c） ∴0＜m＜3，-4＜c＜0， 如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F ∴且 ∴∽ ∴ ∴ ∴      ∴     又∵ ∴           ∴     ∴或者（舍去） ∴ 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m的等式是本题的关键． 9．（2026·上海奉贤·三模）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）先求出与坐标轴的交点，再待定系数法求解函数表达式； （2）先求出，即可得到边上的高，然后分类讨论求解点坐标，即可求解抛物线上对应点坐标，即可求解； （3）设平移后新抛物线的顶点，则新抛物线的表达式为 ，求出．过点作，垂足为，则．根据三线合一得到，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：对于直线，当； 当时，则，解得 ∴，． 将代入中，得． 由抛物线的对称轴为直线，得． ，． ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点， ． 又， ． ， ． ， 边上的高为6． （i）当在轴上方时，把代入，则 解得， ∴． 将代入，得． ． （ii）当在轴下方时，把代入，则 解得， ∴． 把代入，得． ． 综上可得，． （3）解：抛物线，故顶点． ∵抛物线沿射线的方向平移， ∵ ∴， 将抛物线沿射线的方向平移， ∴抛物线向下平移的距离是向右平移的距离的2倍， ∴设平移后新抛物线的顶点， 则新抛物线的表达式为 ． 将代入，得， ∴． 过点作，垂足为，则． ， ，得， 解得（舍），． ∴新抛物线的表达式为． 10．（2026·上海虹口·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且，连接． (1)用含c的代数式表示抛物线的对称轴； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为点C，过点B作，与抛物线交于第四象限的点D，设点D的横坐标为m． ①求m与c的等量关系，并求出c的取值范围； ②在y轴负半轴上有一点E，连接、，如果射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)①，，② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解一元二次方程等知识． （1）先求出点坐标，即可确定点坐标，问题随之得解； （2）设与x轴交于点N，证明是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形，即可确定点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，①联立直线的解析式和抛物线解析式，求出点坐标，根据点D在第四象限，列出不等式组，问题得解；②根据线段的数量关系确定点坐标，即可得的垂直平分线的解析式，令，求出点坐标，同理根据待定系数法可得：直线、直线的解析式，联立求出其交点坐标，根据射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，则交点的纵坐标与的垂直平分线的解析式相等，即可得出关于的一元二次方程，即可求出解． 【详解】（1）解：当时，，即：， ∵点B在y轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在x轴的负半轴， ∴， 将代入， 即：，即：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：； （2）如图，设与x轴交于点N， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， 设直线的解析式为：， 即：，， ∴， ∴直线的解析式为：， ①联立， 解得：，或者， ∴， ∵点D在第四象限， ∴，且， 解得：， ∵点D的横坐标为m， ∴； ②如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的垂直平分线解析式为：， 令， 整理：， 解得：，， ∴， 同理根据待定系数法可得：直线的解析式为：，直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∵射线与射线的交点Q在的垂直平分线上， ∴， 整理：， 解得：（，不满足，舍去）， ∵， ∴． 11．（2026·上海杨浦·二模）已知抛物线，抛物线上有点． (1)当抛物线顶点坐标为，且经过时； ①求抛物线解析式； ②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围． (2)已知； ①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率； ②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围； ③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③直线过定点，定点坐标为 【分析】（1）①先设顶点式，再将代入计算即可； ②设交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点，在抛物线上取点，使得，作直线交轴于点，作于点，利用计算出点．利用相似三角形和三角函数计算出，，从而求出．使用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线联立，求出点，同理可得．根据题意可知，点在点和点之间，且不与点重合，从而得到的取值范围； （2）①设点的坐标为，点的坐标为，直线的函数解析式为，将点坐标代入后，作差即可； ②先求出抛物线的解析式为，设点的坐标为，求出直线的解析式后，得到点，则，．表示出和的面积后，构造不等式并求解即可； ③由题意可知，抛物线为，设，求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点，同理可得．使用待定系数法求出直线的解析式为，观察可得，该直线过定点． 【详解】（1）解：①∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②如图，设交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点，在抛物线上取点，使得，作直线交轴于点，作于点， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 在直角中，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∵是锐角，且， ∴点在点和点之间，且不与点重合， ∴； （2）解：①由题意可知，抛物线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为，则， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 将，并化简，得， ， 因式分解，得， ∵，， ∴，即， ∴直线的斜率为； ②将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 如图， 由题意可知，， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，解得， ∴点的坐标为， ∴，， ，， ∵， ∴， 移项并合并，得， 因式分解，得， ∴， 解得或， ∵， ∴； ③∵，，， ∴抛物线的解析式为， 设点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，为定值， ∴直线过定点． 【点睛】本题一次函数与二次函数结合的综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式并具有扎实的代数计算功底是解题关键． 12．（2026·上海黄浦·二模）如图，直线交x轴、y轴于点A、B．抛物线经过点A、B． (1)下列表述中，正确的是（    ） A．如果抛物线与x轴在点A的右边还有一个公共点，那么； B．如果抛物线与x轴在点A的右边还有一个公共点，那么； C．如果抛物线与x轴在点A的左边还有一个公共点，那么； D．如果抛物线与x轴在点A的左边还有一个公共点，那么． (2)记抛物线与x轴异于A的公共点为C，抛物线的顶点为D． ①当点C到A、B两点的距离相等时，求抛物线的表达式； ②如果点D关于x轴的对称点恰好在直线上，求点C的坐标． 【答案】(1)A (2)①；②． 【分析】（1）先确定、，易得抛物线的常数项为4．抛物线与 x 轴的一个交点是，设另一个交点为，利用根与系数的关系可得，即​．然后分别利用二次函数图像的性质逐项判断即可； （2）①设，由，即，解得：，即．然后结合点A、B的坐标运用待定系数法求解即可．②设抛物线与x轴的交点为和，则抛物线的对称轴为，顶点D的横坐标为．进而得到顶点坐标为 其关于x 轴的对称点为 再代入，求得即可解答． 【详解】（1）解：∵直线交x轴、y轴于点A、B ∴，， ∴抛物线经过和，因此： 当时，，即抛物线的常数项为4． ∴抛物线解析式为 由抛物线与 x 轴的一个交点是，设另一个交点为， 利用根与系数的关系可得：，即​． A．若另一交点在 A 的右边，则．若，可解得；若，此时，不等式无解；故符合题意； B．由A选项分析可知选项B错误； C．若另一交点在A的左边，当时，抛物线开口向上，​，解得：；若，则，即小于3；但时，，也满足在A左边，故不能推出，即选项C错误； D ．由C选项分析可知选项D错误； （2）解：① 设，由，即， ∴，解得：， ∴． 抛物线过，，， 设，代入得： ，解得：． ∴抛物线表达式为： ，即； ②设抛物线与x轴的交点为和，则抛物线的对称轴为，顶点D的横坐标为． 设抛物线为，代入得： ​，解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为 点 D 关于 x 轴的对称点为 该点在直线∶上， ∴，解得（与 A 重合，舍去）或， ∴点C的坐标为． 13．（2026·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或②点或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①分类在对称轴的左右侧进行讨论，分别把的坐标用来表示，根据构造方程求解即可；②根据对称得到点的坐标，设出直线的解析式，将坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入， 得：， 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）①当在对称轴的左侧， 由题可知，点,, 设直线的解析式为：， 将点,,、代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式为：， ∵点在抛物线上， 则点， 点，， ∴， ∵ ∴ ∴解得：， 当在对称轴的右侧， 点， 点，， ∴， ∵ ∴ ∴解得：， 综上所述：或 ②根据题意可知 ∵点，点 ∴点 ，， 设直线的解析式为：， 则将，代入解析式得 解得：， 则直线的解析式为：， 将点代入直线解析式 得： 解得或 点或． 14．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线的对称轴是， (2)①， ② 【分析】（1）根据表中两个点的坐标可知，抛物线经过点和，并且这两点对称，所以可知对称轴为； （2）根据正方形的性质可知抛物线的对称轴是，所以；根据正方形的对角线互相平分且相等，把点、的坐标表示出来，并表示出的长度，根据找出和的关系； （3）根据菱形的性质，可知点的坐标，把点的坐标代入抛物线的解析式，可得抛物线的解析式为，点的坐标，点的坐标为，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，从而可知，根据的面积为，可得，解方程求出的值，再根据求出的值，从而得到抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线经过点和， 抛物线的对称轴是， ， 抛物线的解析式是， 把点的坐标代入可得： （2）①解：当时，可得：， 点的坐标为， 四边形是正方形，是正方形的对角线， 点、关于对称， 抛物线的对称轴是， ； ，点、的纵坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ， 可得：， ， 解得：或（不符合题意，舍去）； ②解：如下图所示，连接，、， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ，， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为，点的坐标， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式是， 则有， 解得： ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标为, ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为． 15．（2026·上海静安·二模）如图1，四边形中，，，，． (1)求证：，并求与的相似比k； (2)如图2，我们以直线为x轴，以过点C且垂直于线段的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知． ①求图像经过点A、B、C三点的二次函数解析式； ②如果我们将（1）中与的关系看作是一种图形变换，这种变换是将先绕点B按顺时针方向旋转，使点C落在上，点D落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的k倍，从而得到，我们将称为的像，将称为的原像．如果是的像，而是的原像，试直接写出点E和点F的坐标：点E的坐标是，点F的坐标是． 【答案】(1) 解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； 设，则 ∴，即 ∴ ∴； (2)①；②， 【分析】（1）由等边对等角和平行线的性质得到，即可证明；设，则，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）①首先解直角三角形求出，，然后得到，利用待定系数法求解即可； ②如图，过点E作轴于点G，根据题意得到，，解直角三角形求出，，进而求出点E的坐标；同理求出点F的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点C作于点E 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴设二次函数解析式为 将代入得， ∴ ∴二次函数解析式为； ②如图，过点E作轴于点G ∵是的像 ∴， ∴， ∴ ∴点E的坐标为； 如图， ∵是的原像 ∴， ∴ ∴点F的坐标是． 16．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点作,过点作，进而可知，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于,过点作交对称轴于，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴, ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， （3）解：①由题可得，过点作,过点作 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 17．（2026·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数的图像经过点B．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，点B、C的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为． (1)求点C的坐标及二次函数的解析式； (2)若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； (3)点和在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）先求出点B的坐标进而得出的长度；过点C作轴于点H，由平移的性质可得，原抛物线中B，C两点的纵坐标的差与新抛物线中，两点的纵坐标的差相等，据此可得点C的坐标，最后利用抛物线顶点式将点B，C代入即可求得抛物线表达式； （2）由原抛物线对称轴得到新抛物线的对称轴，在中得到三边的长度，根据与的相似比不为1，可得出当符合题意，利用余弦的定义求得的长度，进而得出点P的坐标； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，将点D代入求出其坐标，由时，恒成立，可设，求得点F的横坐标，进而得出m的取值范围． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得：， ∴， ∴， 如图，过点C作轴于点H， ∵，点的纵坐标为， ∴， ∵将原二次函数的图象平移后得到新抛物线，点，分别是B，C的对应点， ∴， 即， ∵， ∴， 将代入，得， ∴， ∵点C为二次函数的顶点， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数． （2）解：二次函数的对称轴为， ∵向右移个单位长度得到二次函数的对称轴， ∴二次函数的对称轴为， 如图，在中，， ∴轴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵与的相似比不为1， 当时，易证得，不符合题意， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：由（2）知，， 将点代入得：， ∴， 设，则， ∵时，恒成立， ∴， ∴． 18．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 【答案】(1)直线的表达式 (2)抛物线或 【分析】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及待定系数法求解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离，以及梯形的性质，解题的关键是应用分类讨论思想． （1）根据待定系数法求得抛物线，即可知点，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N，可证明，有，结合两点之间距离求得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）根据题意的，利用待定系数法求得抛物线，则点，联立方程求得点，结合梯形的性质若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F，则点，且，有，两点之间距离公式求得a（当a值接近0时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去）；若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H，同理可得，点，求得a即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， 则抛物线， ∴点， 如图，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵点和点， ∴，， 则，解得， ∴点 ∴设直线l的解析式为， ∵直线经过点和点N， ∴， 解得 则直线的表达式； （2）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线经过、两点， ∴， 解得， 则抛物线， ∵抛物线顶点为， ∴， 联立， 解得，， 则点， ∵四边形是梯形， ∴，或， ①如图，若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F， 则，，点，点， ∴， ∴， ∵点，点，点，点，点， ∴，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线； ②若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H， 同理可得，点，点， ∴，，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线． 19．（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，得直线与轴的交点为，令，得直线与轴的交点为，结合题意知点，，再进一步求解即可． （2）直线与轴，轴分别交于点，，可得，求解．点坐标为，结合四边形为平行四边形，进一步求解即可． （3）结合题意知：，，，当点在第四象限且时，则，可得，进一步可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：令，得直线与轴的交点为， 令，得直线与轴的交点为， 由题意知点，在抛物线上， 分别把，和，代入得： ， 解得：． （2）解：直线与轴，轴分别交于点，， ∵点在抛物线，① ∴， ∵，∴． 令代入①式，得：． ∴，， ∴点坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得． ∴． （3）解：∵一次函数， 当，，当，则， 同理：由一次函数可得： 当，，当，则， 结合题意知：，，， ∴， ∴， 当点在第四象限且时，则， 在中，∵，， ∴， 如图， 当时，， 当时，， 在中，∵（）， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（2026·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中（如图所示），已知某抛物线的表达式为．沿着x轴的正方向看，点M在抛物线的上升部分，设直线与x轴的夹角为． (1)如果，，求该抛物线的表达式； (2)已知点N在抛物线的下降部分，且． ①求的值； ②平移抛物线，使新抛物线的顶点落在线段上，且新抛物线与y轴交于点C．已知点M的纵坐标为1，当四边形是以为腰的等腰梯形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查一次函数性质、二次函数综合、三角函数和坐标系中两点间距离，正确做出辅助线，利用数形思想是解题的关键． （1）以锐角三角函数定义为突破口，由得点 横、纵坐标的比例关系，结合​用勾股定理求出点坐标，再通过待定系数法代入抛物线表达式，即可求出解析式； （2）①通过作平行线拆分，得到两个相等的角，利用的定义列等式，推导出 、 两点的横坐标数量关系，再通过勾股定理计算线段长度，最终求得​的定值； ②先由点纵坐标简化 、坐标，求出直线解析式；再利用等腰梯形 “对边平行、腰长相等” 的性质确定点坐标；最后结合平移后抛物线的顶点式，联立方程求解，即可得到顶点的坐标． 【详解】（1）解：设 ，则 ， ∴， 又，代入， ， 解得，则， ∴． 把代入， ，， ∴抛物线表达式为：． （2）解：①过点作轴（点在点左侧），则轴，设于轴交于点，，过点作于点． 设（，在抛物线上升部分）， ∵轴， ∴， ∵， ∴，即平分． 在中，， 设（，在抛物线下降部分）， 在中，， ∴， ， ∴， 即点坐标为． ∴， ∴． ② ∵点的纵坐标为 1，即， ∴，， 由①的结论，， ∴， 设直线的解析式为， 代入、， ， 两式相减得 ∴​， 代入得， 因此直线的解析式为：． ∵四边形是以为腰的等腰梯形， ∴， 的坡度为， 设（在轴上），的坡度为， 由平行得坡度相等得：， ∴， 即． 设平移后抛物线的顶点为， 则平移后的抛物线为， 抛物线与轴交于， 代入得： ， 又∵在直线上， ∴， 将​，代入得：， 设​，方程简化为，由求根公式得： ， 因在线段上，，， ∴，即， ∴舍去， ∴， 即， ∵等腰梯形两腰相等， ∴，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 点的坐标为． 21．（2026·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线， (2)①1   ②或 【分析】(1)根据对称轴公式代入化简即可求得对称轴；根据抛物线的对称性及点A的坐标即可求得点B的坐标； (2)①首先，根据题意得抛物线的顶点坐标，由点是抛物线上横坐标为2的一点，得点，再求得直线的表达式为，进而得点，得，，即可得出； ②首先，过P作轴于C，由，，得到，然后，分别求得直线的表达式为，得，直线的表达式为，得直线的表达式为，进而得，即，再分两种情况进行分类讨论，情况一：如图2，当时，，证得，得，即，解得，进而得；情况二：如图3，当时，，证得，得，即，解得， 进而得． 【详解】（1）解：根据题意知抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于和点， ∴抛物线的开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在对称轴的右侧，设点，则，解得， ∴； （2）①解：如图1， ∵抛物线与轴交于， ∴把，代入，得，得， ∴， ∴抛物线的顶点， ∵点是抛物线上横坐标为2的一点， ∴当时，， ∴点， 设直线的表达式为， 把，分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点， ∴，， ∴； ②解：过P作轴于C， ∵，， ∴， ∴． 设直线的表达式为，与y轴交于G， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，解得；当时，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴设直线的表达式为， 把代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴，即． 情况一：如图2，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴； 情况二：如图3，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴； 综上，当四边形是直角梯形时，求的正切值为或． 【点睛】解题的关键是得到，分别求得直线的表达式为，得，直线的表达式为，直线的表达式为，得，即，再分两种情况进行分类讨论，情况一：如图2，当时，，证得；情况二：如图3，当时，，证得． 22．（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据题意得到，，再设出顶点式，代入求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据对称性可得，，则，再把代入抛物线表达式求解即可； （3）根据矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离求出对应的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矿洞横截面是轴对称图形，，点E到的距离为， ∴顶点， 设抛物线L的表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线L的表达式为； （2）解：设正方形的边长为，则， 根据对称性可得，， ∴， 将点代入得，， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为，即架骨的长为； （3）解：∵矿车距离上方预留的安全距离， ∴把代入， 则， 解得（舍去）， ∴此时， ∵两侧支撑架需预留的安全距离， ∴此时， ∴为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行，． 23．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入求解即可；设抛物线上的“一步点”坐标为，则，联立，，求解即可； （2）①先确定点、的坐标，根据顶点是“一步点”， 且点的横坐标为，得到，当点在的内部时，则点在第一象限且在直线下方，据此求解；②由平移性质可知，新抛物线的表达式为，令，得，求出，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 设抛物线上的“一步点”坐标为，则， 将代入抛物线表达式得，， 解得，， 当时，，点为， 当时，，点为； （2）①对于， 令，得，， 令，得，， 顶点是“一步点”， 且点的横坐标为， ， 若点在的内部，则点在第一象限且在直线下方， ， 解得， 的取值范围是； ②由平移性质可知，新抛物线的表达式为， 令，得 ，， 过点作轴于点，则， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得， 当时，，与原抛物线重合，不合题意，舍去， 当时，， 新抛物线的表达式为． 24．（2026·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)若点到抛物线的对称轴的距离为2，求的值； (2)若，点为抛物线上一点，线段与轴交于点，且，求点的坐标： (3)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线上．如果，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴为y轴或在y轴右侧，则可求出抛物线的对称轴为直线，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出；过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，则，证明，求出，据此可得答案； （3）由待定系数法可得，则抛物线的解析式为，可得新抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，即可得到，解方程得到，；根据新抛物线经过原点，得到，解方程求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，即抛物线的对称轴为y轴或在y轴右侧， ∵点到抛物线的对称轴的距离为2， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴； （2）解：当时，则， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，则， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得， ∴点B的坐标为； （3）解：∵抛物线经过点． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴； ∵新抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴新抛物线的解析式为． 25．（2026·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）把点、代入抛物线解析式可求解，然后令可求点C的坐标； （2）①根据题意作图，则过点E作于点G，然后可得，则根据相似三角形的性质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可知，然后过点D作于点H，设点，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点、代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 令，则有， 解得：， ∴； （2）解：①如图所示： 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∵点、， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； ②如图所示： ∵以为半径的与以为半径的外切， ∴与相切于点F，即， 过点D作于点H， ∴，， ∴， ∴， 设点，则有，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点D在x轴的下方时，显然，所以以为半径的与以为半径的不会外切． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综合问题是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $