专题07 不等式（组）及其应用（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦不等式（组）核心考点，汇编2024-2026年多省市中考真题，覆盖性质辨析、解法应用及综合拓展，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题/2-4分|不等式性质、数轴表示、参数范围|结合生活情境（购物优惠、行程规划），设置易错陷阱（符号方向、端点取舍）| |解答题|约20题/6-10分|实际应用、方程组综合、方案设计|融入文化（中国结编织）、科技（机器人采购）素材，强调建模能力，源自近三年中考真题|

专题07 不等式（组）及其应用 答案版 考点01 不等式的基本性质 1. B 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. D 考点02 解一元一次不等式 1. 2. 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得； 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 3.【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解为：， 数轴表示为： 4.【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 5.【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图： ． 6.【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 7.【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 8.【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 解集在数轴上表示如下：    考点03 在数轴上表示不等式（组）解集 1.【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 2.【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得； 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 3.【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解为：， 数轴表示为： 4.【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 5.【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图： ． 6.【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 7.【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 8.【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 解集在数轴上表示如下：    考点04 一元一次不等式的实际应用 1. C 2. A 3. C 4. 3 5.【详解】（1）解：设大米每袋元，小米每袋元． 由题意得：， 解得：． 答：大米每袋元，小米每袋元． （2）解：设每袋小米降价元． 由题意得：， 解得：． 答：每袋小米至多降价元． 6.【详解】（1）解：∵设每台甲型机器人的价格为万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵万元， ∴每台乙型机器人的价格为万元， ∵用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的倍， ∴可得方程：； （2）解：由（1）得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则， ∴每台甲型机器人25万元，每台乙型机器人30万元， 设购买乙型机器人台，则购买甲型机器人台， 根据题意得， 解得， ∵是非负整数， ∴的最大值为， 答：最多可购买乙型机器人台． 7.【详解】（1）解：设种物品单价为元，种物品单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：种物品单价为元，种物品单价为元； （2）解：设购买种物品个，则购买种物品个， 根据题意可得：， 解得：， 答：种物品最多能购进个． 8.【详解】(1)至少需要4次，理由如下： 设至少需要次，由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴取， 答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4次； （2）解：设搬运A种货物箱，B种货物箱，（为非负整数） 由题意得，， 化简得：， ∵为非负整数， ∴解得或， 因此共有2种满载搭配方案：方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；方案二：A种货物7箱，B种货物2箱． 9.【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组： ， 解得：， 答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个． ， 解得（为整数）． 设总费用为，则． 因，则随增大而增大，故当时，最小． （元） 此时内画瓶数量为，最少费用为元． 答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 10.【详解】（1）解：设购进中果礼盒每件x元，大果礼盒每件y元． 则，解得：， 答：购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元． （2）解：设购进大果礼盒m件，则购进中果礼盒件， 由题意可得：，解得：， ∵m为整数， ∴m的最大值为33， 由题意可得：获得利润：， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，有最大利润元． 答：购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元． 11.【详解】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 由题意得， 得， 得，解得， 把代入②得， 故原方程组的解为． 答：编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米． （2）解：①依题意得， 化简得， 解得， 因为是计划编织的大号中国结个数， 所以，为整数， 所以的取值范围为，且为整数． ②由题意得每个大号中国结用绳成本为5元，每个小号中国结用绳成本为3元， 设获得的利润为元， 由题意得， 因为，所以随的增大而增大， 由①知，且为整数， 所以当时，最大，最大值为， 答：该饰品店获得的最大利润为元． 12.【详解】（1）解：设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件， 甲每件利润为元，乙每件利润为元， 根据题意得 由题意得，， 因此，且为整数； （2）解：根据题意，总费用不超过元，可得， 整理得， 解得， ∵，且为正整数， ∴，的取值为，对应乙的数量为， 因此共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； （3）解：根据题意，调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元， ∴利润， 当时，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得； 当时，，不符合题意； 当时，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得，不符合题意； 综上可得：最大利润为元时的值为． 考点05 已知整数解的个数求参数取值范围 1. 2. 考点06 已知不等式解的情况求参数 1. D 2. A 3. B 4. 5. 考点07 不等式与方程组的综合 1. B 2. B 3. 16 4. 5. ， 考点08 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 2. 【详解】(1)能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； （2）解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴． ∵要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， ∴，且， 解得 且 ， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为； （3）解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得 ； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 综上所述，v的取值范围为或． 3.【详解】（1）解：设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得： ，解得：； 答：每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚． （2）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得： ，解得：， ∵m为正整数， ∴m的取值为， 答：共有种安排加工线的方案． （3）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得： ， 由（2）可知：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为，此时； 答：安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元． 4.【详解】（1）解：设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得： ，解得：； 答：每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚． （2）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得： ，解得：， ∵m为正整数， ∴m的取值为， 答：共有种安排加工线的方案． （3）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得： ， 由（2）可知：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为，此时； 答：安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元． 5.【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 6.【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 7.【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 8.【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 9.【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 10.【详解】解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； 任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 11.【详解】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07不等式（组）及其应用 3年考情·探规律 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 多以选择小题考查，分值2-3分，偶尔融入不等式综 2026浙江卷、2026山东卷： 合解答题第一小问。命题常结合代数式大小比较、 考点01不等式 2025湖南卷、2025湖北卷： 变形判断正误，侧重性质细节辨析；题型基础简 的基本性质 2024辽宁卷 单，陷阱集中在乘除负数不等号方向改变、特殊值0 的忽略。 多以选择、填空小题考查，分值24分，也常作为解 答基础步骤出现。命题以常规移项、去分母求解为 考点02解一元 2026重庆卷、2026安徽卷； 主，常结合易错步骤设坑；题型基础简单，侧重基 一次不等式 2024-2025多省市卷高频考查 础运算能力考查，陷阱集中去分母漏乘常数项、移 项忘记变号。 多以选择小题考查，分值2分左右。命题区分空心 考点03在数轴 2026江西卷、2026山西卷： 圈与实心点、折线方向判断，常和解不等式步骤结 上表示不等式 2025广西卷、2025云南卷； 合出题：题型基础简单，陷阱集中混淆空心实心标 (组)解集 2024吉林卷 记、解集方向画反。 选择填空、解答题均有考查，解答题分值6-8分。命 考点04一元一 2026河南卷、2026陕西卷： 题多结合购物采购、行程规划等生活情境列不等式 次不等式的实 2025贵州卷：2024黑龙江卷 求解：难度中等，侧重文字信息转化列式，陷阱集 际应用 中忽略题干隐含整数取值要求。 以填空、选择压轴小题为主，分值3分左右，少数 考点05已知整 2026福建卷、2026江苏卷； 地区出解答小问。命题先解不等式组再限定整数解 数解的个数求 2025广东卷；2024四川卷 数量反推参数：难度中等偏上，侧重数形结合分 参数取值范围 析，陷阱集中端点值能否取等号的判断失误。 考点06已知不 2026河北卷、2026湖南卷： 多以填空、选择考查，分值2-3分。命题围绕解集为 等式解的情况 2025安徽卷；2024山东卷 空集、解集固定范围、不等号方向变化等条件反推 1/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点分类 三年考情（2024-2026) 命题规律 参数：难度中等，陷阱集中忽略系数正负分类讨 求参数 论、端点取舍错误。 常作为解答题第二小问出现，分值45分。命题先解 考点07不等式 2026湖北卷、2026浙江卷： 方程组用参数表示未知数，再结合不等式约束求参 与方程组的综 2025重庆卷：2024江西卷 数范围：难度中等，侧重联立转化思维，陷阱集中 合 方程组计算失误后连带范围出错。 以解答大题为主，分值7-10分，偶尔出选择填空。 考点08一元一 2026多省市统考卷、2026辽宁 命题结合方案选择、成本最值、物资分配等现实情 次不等式 卷；2025多地区中考解答高频 境列不等式组筛选可行方案；难度中等，侧重建模 (组)的实际 考点；2024内蒙古卷 应用，陷阱集中方案枚举不全、忽略实际数量非负 应用 /整数约束。 3年真题·精准练 考点01不等式的基本性质 1. （2026四川广安中考真题)根据图中对话内容，选择恰当的选项() 我每天记m个英语单词 我每天记n个英语单词， 是呀，我们记七天再比较 你记的比我多 记七天你的总数还是比我多 A.m>n,m+7<n+7 B.m>n,7m>7n C.m>n,7m<7n D.m<n,m+7>n+7 2.(2025四川绵阳中考真题)设a>b,则下列不等关系正确的是() A.a+3<b+3B.-2a>-2b a、b c. 33 D.a-3<b-3 3.(2025山东济南中考真题)己知a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a-1<b-1B.0<b 22 C.-a>-b D.2a>a+b 4.(2025广西·中考真题)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有α克水、b克水，a>b,都加入c克水 2/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是() A.a+c>b+c B.a+c=b+c C.a+c<b+c D.a-c<b-c 5.(2024广东广州中考真题)若a<b,则() A.a+3>b+3B.a-2>b-2 C.-a<-b D.2a<2b 6.(2024安徽中考真题)已知实数a,b满足a-b+1=0,0<a+b+1<1,则下列判断正确的是 () A是a<0 B.icb<l C.-2<2a+4b<1 D.-1<4a+2b<0 7.(2024江苏苏州中考真题)若a>b-1,则下列结论一定正确的是() A.a+1<b B.a-1<b C.a>b D.a+1>b 考点02解一元一次不等式 2x≥1 1.(2025广东广州中考真题)解不等式组4x3<X+9 并在数轴上表示解集. 2.(2025河北中考真题)(1)解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集： (2)解不等式3-x<5,并在如图所给的数轴上表示其解集； (3)直接写出不等式组 2x≤6 3-x<5/的解集. 432101234 3.(2025四川达州中考真题)(1)计算：日2025-1°--12+-2 (2)解不等式：3X1<2X+1并把解集表示在数轴上. 2 3 -3-2-10123 4.(2024江苏南京中考真题)解不等式组：x-1>-2x-1+3 x-8<4x+1 3/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3x-2>1 5.(2024西藏中考真题)解不等式组： 2x-1>x-2 并把解集在数轴上表示出来. 3 -5-4-3-2-1012345 2x+1≤3① 6.(2024天津中考真题)解不等式组3X-1≥x-7② 请结合题意填空，完成本题的解答. 1)解不等式①，得： (2)解不等式②，得； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 11111 -4-3-2-1012 (4)原不等式组的解集为 Q(2024四川眉山：中考真题)解不等式：X-1≤2，X,把它的解集表示在数轴上， 3 5=43-2-1012345→ 3,(2024江苏连云港中考真题)解不等式X,<x+1,并把解集在数轴上表示出来 品 考点03在数轴上表示不等式（组）解集 2x21 1.2025广东广州中考真题)解不等式组4x3<X+9 并在数轴上表示解集， 2.(2025河北中考真题)(1)解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集： (2)解不等式3-x<5,并在如图所给的数轴上表示其解集； (3)直接写出不等式组 2x≤6 3-X<5 的解集 432101234 3.(2025四川达州中考真题)(1)计算：只2025-1°--12+-2月 4/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解不等式： 了2≤2x+1并把解集表示在数轴上 2 内210123→ 4.(2024江苏南京.中考真题)解不等式组：x-1>-2x-1+3 x-8<4x+1 3x-2>1 5.（2024西藏.中考真题)解不等式组： 2x-1>x-2 并把解集在数轴上表示出来. 3 54-3-21012345 2x+1≤3① 6.(2024天津：中考真题)解不等式组3X-12x-7② 请结合题意填空，完成本题的解答. (1)解不等式①，得_： (2)解不等式②，得 3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： -4-3-2-1012 (4)原不等式组的解集为 7.(2024四川眉山中考真题)解不等式：X牛1-1≤2X,把它的解集表示在数轴上. 3 2 543-21012345→ 2024:江苏连云港中考真)解不等式2<X+1山，并把解集在数轴上表示出来 考点04一元一次不等式的实际应用 1.（2025四川宜宾中考真题)（选择题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题， 对每一道题，答对得10分.答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至 少要答对的题数是() A.14道 B.13道 C.12道 D.11道 5/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2024江苏南京，中考真题)（选择题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元. 例如，单笔消费金额为208元时，立减20元.甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商 场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元.若B商品的单价是整数元，则它的最小值是() A.1元 B.99元 C.101元 D.199元 3.（2024山东中考真题)（选择题）根据以下对话， 1班所有人的身高 2班所有人的身高 均不超过180cm. 均超过140cm. 我发现，1班同学的 哦，我发现，1班 最高身高与2班同学的最 同学的最低身高与2班 1班班长 高身高之和为350cm. 同学的最低身高之和为 2班班长 290cm. 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm: ②1班学生的最低身高小于150cm; ③2班学生的最高身高大于或等于170cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.(2026四川遂宁.中考真题)（选择题）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠 放，4个杯子叠放成一摞的总高度为14cm,9个杯子叠放成一摞的总高度为24cm,如图所示.请问将50 个这款杯子放在限高45cm的摆放区，至少需要叠放 摞 4cm 5.(2026辽宁中考真题)（解答题)乡村振兴，辽宁在行动.某助农直播间销售我省的大米和小米两种 农产品.开播伊始，第一单售出大米和小米各1袋，收款100元；第二单售出2袋大米和3袋小米，收款240 元 (1)大米和小米每袋各多少元？ (2)仓库中剩余大米、小米各25袋，若大米售价不变，小米降价销售，为保证剩余大米、小米的销售额不低 于2450元，则每袋小米至多降价多少元？ 6/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026广东深圳中考真题)（解答题）为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机 器人用于科技节展示.已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍， 且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元.小丽和小亮分别提出了不同的解题思路： 学生 设未知量 所列方程 设甲型机器人的数量 200_120 -5 小丽 1 为x台 设每台甲型机器人的 小亮 (请补充) 价格为y万元 (1)请写出小亮所列的方程； (2)若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？ 7.(2026贵州中考真题)（解答题）亚洲体操锦标赛于2026年6月18日在贵州遵义举行，“红色旅游+ 体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇，某旅游公司计划购进A,B两种以“遵义会议”为主题 的纪念品赠送给游客.已知A种物品的单价比B种物品的单价多20元，用1200元采购A种物品的数量与用 800元采购B种物品的数量相同. 1)求A,B两种物品的单价各是多少元？ (2)该公司计划购进这两种物品共700个，当购买A种物品的费用不超过购买B种物品的费用的2倍时，A种 物品最多能购进多少个？ 8.(2026内蒙古·中考真题)（解答题）某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位 搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分 别为75千克和65千克.（不考虑空间因素） (1)现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由： (2)若该超市购进大量A,B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克. 7/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？ 9.(2026山东·中考真题)（解答题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非 遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者，两名志愿者的对话如下： 购买1个描金琉璃瓶与2个 内画瓶共需100元。 购买3个描金琉璃瓶与4个 内画瓶共需240元。 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价： (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少 个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 10.(2026四川广元中考真题)（解答题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品.某 电商基地分装销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3件中果礼盒和2件大果礼盒需190元，购进2件 中果礼盒和4件大果礼盒需260元. ()求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格： (2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100件进行销售，中果礼盒每件售价50元，大果礼 盒每件售价80元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2倍.求怎样进货才能使利润最大，最大利润是 多少？ 11.(2026湖北中考真题)（解答题）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向 往和追求.己知编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳19米；编织4个大号中国结和1个小号中国 结需用绳23米. (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米： (2)某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450米.设编织m个大号中国 结. 8/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求m的取值范围： ②已知每个大号中国结售价为12元，每个小号中国结售价为8元，每米编织绳的成本为1元，其他成本总计 90元.求该饰品店获得的最大利润. 12.（2026四川内江中考真题)（解答题)某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售.甲种衬衣每件进 价100元，售价160元：乙种衬衣每件进价80元，售价120元.现计划购进两种衬衣共100件，其中甲种衬 衣不少于60件，设购进甲种衬衣x件，两种衬衣全部售完，商场可获利y元. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若商场购进这100件衬衣的总费用不超过9300元，求有哪几种进货方案？ 3)在2的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a元(0<a<30)出 售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为4650元，求a的值. 考点05已知整数解的个数求参数取值范围 2x-3≤0 1. (2025黑龙江中考真题)关于x的不等式组 恰有3个整数解，则α的取值范围是 x-a>0 4-2x≥0 2.(2024黑龙江大兴安岭中考真题)关于x的不等式组1 x-Q>0怡有3个整数解，则a的取值范目是 考点06已知不等式解的情况求参数 1.(2026广东·中考真题)（选择题）若点P2m-1,m在第一象限，则m的取值范围是() A.m<- 1 、1 2 B.m<0 c.0<m<2 D.m> 72 x+a<3 2。（2026四广元中考直题)选择题)若关于x的不等式组b-2X50的解集为 2<x<1,则a+b 的值是() A.1 B.-1 9/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2024四川南充中考真题)（选择题）若关于x的不等式组 2x-1<5 x<m+1的解集为x<3,则m的取值 范围是() A.m>2 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2 4.(2025青海中考真题)（填空题）在平面直角坐标系中，点Pa-2,1+a在第三象限，则a的取值范 围是 x-3>-1 5.(2025四川南充中考真题)（填空题）不等式组 -x<-m+1 的解集是x>2,则m的取值范围是 考点07不等式与方程组的综合 X+3>0 1.(2026山东烟台.中考真题)若整数m使关于X的一元一次不等式组 4x-3<m/ 有且只有3个整数解， 月关于y的分式起一巴，”的解为年负数。则粉合条件的许有整的和为】 A.0 B.-1 C.-2 D.-3 3x-1≤x+2 2.（2025四川眉山中考真题)若关于x的不等式组 2 至少有两个正整数解，且关于x的分 x+1≥-x+a 式方程-1=2-，3 x-1 的解为正整数，则所有满足条件的整数α的值之和为() 1-x A.8 B.14 C.18 D.38 3.(2024重庆中考真题)若关于的不等式组 4X-1<x+1 3 至少有2个整数解，且关于，的分式方 2x+1≥-x+a 程9-1-2-，3 y-1 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 1-y 2x+1≤3 4. (2024重庆·中考真题)若关于x的一元一次不等式组 3 的解集为x≤4，且关于y的分式 4X-2<3x+a 方程9一8-义。=1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 y+2y+2 10/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026四川眉山：中考真恩)若关于x的不等式组无解，且关于X的分式方程，】+X-m=1的解为 x-11-x 正数，则符合条件的所有整数m的值为」 考点08一元一次不等式（组）的实际应用 1.(2025山东淄博·中考真题)（填空题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书.下面是他 的三个同学猜测该书价格的对话： 至多45元， 至多50元， 至少60元： 小宇 小默 小亮 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了.”则这本书的价格x（元)所在的范围是 2.(2026江苏苏州中考真题)（解答题）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发 现：路口A,C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒：路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持 续时间为30秒.各路口红绿灯随时间t(秒)的变化情况如图②所示，例如当t=10时，路口A为绿灯， 路口B为红灯，路口C为绿灯.已知路口A到路口B,C的距离分别为600米和1000米.（为了研究方便， 黄灯时间和路口宽度忽略不计) O 路口A 路口B 路口C 图① 各路口红绿灯变化情况示意图 路程sm 路口C 1000 i 绿灯亮 ---- 红灯亮 路口B☒ 600 路口A☒ O10203046566ò08090100110126130i40150160170180时间5 图② 11/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t=0)通过A路口，请判 断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度v(米/秒)匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即t=10)通过A路口， 若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B,C两个路口，求其行驶速度v的取值范围； 3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度V(米/秒)，使得该车在0~20秒内（含0秒和20秒）任意时刻 通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过B,C两个路口.若存在，请直 接写出V的取值范围；若不存在，请说明理由、 (说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态.) 3.(2026四川南充中考真题)（解答题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工 情况，得到下列信息. 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境.为了提高村民养鸭的 积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加 背景 工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋，（温馨提示：一枚鸭蛋可加工 成一枚皮蛋或咸蛋) 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚： 素材一 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚. 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋：经过市场 调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半： 素材二 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条： 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理. 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元： 素材三 个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理. 根据以上信息，完成下列任务： 1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ (2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ 3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润. 12/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026四川泸州中考真题)（解答题）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制 作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料.已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110 元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元. (1)购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ (2)现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总 金额超过180元的部分打8折.该手工社团计划购买B材料m份(m>6),如何根据购买数量选择在哪家 超市购买？ 5.(2025四川绵阳中考真题)（解答题）某学校摄影社到商场购买A,B两种不同型号的相册，商场的 销售方式为以下两种： ①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6 元销售。 ②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4 元销售 若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支 付3100元. (1)这家商场A,B型相册每本的零售价分别是多少元？ (②)若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费 用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案 6. (2025·西藏·中考真题)（解答题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的 民族服饰，受到广大观众的喜爱.某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生 产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服 装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎.工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求 13/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍.假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 7.(2025黑龙江中考真题)（解答题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万 千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀 宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元， 购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元. ()购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 8.(2025四川德阳·中考真题)（解答题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻 名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序.数学兴趣 小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2 袋B型挂面共需费用120元. I)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋.在单价不变，总费用不超过 950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 9.(2025云南中考真题)（解答题）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质. 素材 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等： 素材 购买2个篮球和5个排球共需800元： 素材 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不 三 超过购买篮球个数的2倍. 请完成下列任务： 任务 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 14/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 任务 给出最节省费用的购买方案。 10.(2025·四川遂宁.中考真题)（解答题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买 A、B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元：购买5个A型号的新型 垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元 材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型 号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 11.(2024四川绵阳·中考真题)（解答题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙 两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉.已知 乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株， (1)求甲、乙两种花卉每株的价格：· (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售.已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120 株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元.求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费 用的最小值. 15/15 专题07 不等式（组）及其应用 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01不等式的基本性质 2026浙江卷、2026山东卷；2025湖南卷、2025湖北卷；2024辽宁卷 多以选择小题考查，分值2-3分，偶尔融入不等式综合解答题第一小问。命题常结合代数式大小比较、变形判断正误，侧重性质细节辨析；题型基础简单，陷阱集中在乘除负数不等号方向改变、特殊值0的忽略。 考点02解一元一次不等式 2026重庆卷、2026安徽卷；2024-2025多省市卷高频考查 多以选择、填空小题考查，分值2-4分，也常作为解答基础步骤出现。命题以常规移项、去分母求解为主，常结合易错步骤设坑；题型基础简单，侧重基础运算能力考查，陷阱集中去分母漏乘常数项、移项忘记变号。 考点03在数轴上表示不等式（组）解集 2026江西卷、2026山西卷；2025广西卷、2025云南卷；2024吉林卷 多以选择小题考查，分值2分左右。命题区分空心圈与实心点、折线方向判断，常和解不等式步骤结合出题；题型基础简单，陷阱集中混淆空心/实心标记、解集方向画反。 考点04一元一次不等式的实际应用 2026 河南卷、2026 陕西卷；2025 贵州卷；2024 黑龙江卷 选择填空、解答题均有考查，解答题分值6-8分。命题多结合购物采购、行程规划等生活情境列不等式求解；难度中等，侧重文字信息转化列式，陷阱集中忽略题干隐含整数取值要求。 考点05已知整数解的个数求参数取值范围 2026福建卷、2026江苏卷；2025广东卷；2024四川卷 以填空、选择压轴小题为主，分值3分左右，少数地区出解答小问。命题先解不等式组再限定整数解数量反推参数；难度中等偏上，侧重数形结合分析，陷阱集中端点值能否取等号的判断失误。 考点06已知不等式解的情况求参数 2026河北卷、2026湖南卷；2025 安徽卷；2024山东卷 多以填空、选择考查，分值2-3分。命题围绕解集为空集、解集固定范围、不等号方向变化等条件反推参数；难度中等，陷阱集中忽略系数正负分类讨论、端点取舍错误。 考点07不等式与方程组的综合 2026湖北卷、2026浙江卷；2025重庆卷；2024江西卷 常作为解答题第二小问出现，分值4-5分。命题先解方程组用参数表示未知数，再结合不等式约束求参数范围；难度中等，侧重联立转化思维，陷阱集中方程组计算失误后连带范围出错。 考点08一元一次不等式（组）的实际应用 2026多省市统考卷、2026辽宁卷；2025多地区中考解答高频考点；2024内蒙古卷 以解答大题为主，分值7-10分，偶尔出选择填空。命题结合方案选择、成本最值、物资分配等现实情境列不等式组筛选可行方案；难度中等，侧重建模应用，陷阱集中方案枚举不全、忽略实际数量非负 / 整数约束。 考点01 不等式的基本性质 1．（2026·四川广安·中考真题）根据图中对话内容，选择恰当的选项（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：根据图片对话，每天记的英语单词个数可得，7天记的英语单词个数可得． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 3．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 4．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 5．（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 6．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 7．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 考点02 解一元一次不等式 1．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 【答案】， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组解集为． 2．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1）， 数轴表示如下所示： （2）， 数轴表示如下所示： （3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得； （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 3．（2025·四川达州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）2 （2） 数轴表示为： 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，涉及零指数幂和绝对值等知识点，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和有理数的平方以及计算绝对值，再进行加减计算； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解为：， 4．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键． 先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 5．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将解集表示在数轴上如图： ． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 6．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3) 在数轴上表示如下： (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 7．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 其解集在数轴上表示如下： 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 8．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示如下：    【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 数轴略． 考点03 在数轴上表示不等式（组）解集 1．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 【答案】， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组解集为． 2．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1）， 数轴表示如下所示： （2）， 数轴表示如下所示： （3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得； （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 3．（2025·四川达州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）2 （2） 数轴表示为： 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，涉及零指数幂和绝对值等知识点，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和有理数的平方以及计算绝对值，再进行加减计算； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解为：， 4．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键． 先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 5．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将解集表示在数轴上如图： ． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 6．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3) 在数轴上表示如下： (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 7．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 其解集在数轴上表示如下： 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 8．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示如下：    【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 数轴略． 考点04 一元一次不等式的实际应用 1．（2025·四川宜宾·中考真题）（选择题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 2．（2024·江苏南京·中考真题）（选择题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 3．（2024·山东·中考真题）（选择题）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长的对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：C． 4．（2026·四川遂宁·中考真题）（选择题）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4个杯子叠放成一摞的总高度为，9个杯子叠放成一摞的总高度为，如图所示．请问将50个这款杯子放在限高的摆放区，至少需要叠放________摞． 【答案】3 【分析】设每个杯子的高为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据“4个杯子叠放成一摞的总高度为，9个杯子叠放成一摞的总高度为”可列二元一次方程组，求得，由此可得n个杯子叠放的高度公式为，再根据高度不超过列不等式求出的最大值即可求解． 【详解】解：设每个杯子的高为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据题意得： ， 解得， ∴n个杯子叠放的高度公式为， 又每一摞的总高度不超过， ∴， 解得， 因为n是整数，所以一摞最多放19个杯， （摞）（个）， 剩下的12个还需要1摞，所以至少需要（摞）． 5．（2026·辽宁·中考真题）（解答题）乡村振兴，辽宁在行动．某助农直播间销售我省的大米和小米两种农产品．开播伊始，第一单售出大米和小米各袋，收款元；第二单售出袋大米和袋小米，收款元． (1)大米和小米每袋各多少元？ (2)仓库中剩余大米、小米各袋，若大米售价不变，小米降价销售，为保证剩余大米、小米的销售额不低于元，则每袋小米至多降价多少元？ 【答案】(1)大米每袋元，小米每袋元 (2)每袋小米至多降价元 【分析】（1）根据题意，销售额数量单价，列出对应的二元一次方程组并求解； （2）根据题意列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设大米每袋元，小米每袋元． 由题意得：， 解得：． 答：大米每袋元，小米每袋元． （2）解：设每袋小米降价元． 由题意得：， 解得：． 答：每袋小米至多降价元． 6．（2026·广东深圳·中考真题）（解答题）为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路： 学生 设未知量 所列方程 小丽 设甲型机器人的数量为台 小亮 设每台甲型机器人的价格为万元 （请补充） (1)请写出小亮所列的方程； (2)若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？ 【答案】(1)； (2)最多可购买乙型机器人4台 【分析】（1）根据“总价单价数量”，结合题干中甲型数量和乙型数量的倍数关系，即可列出小亮的方程； （2）先求解第一问的方程得到甲、乙两种型号的机器人的单价，再设购买乙型机器人的数量，根据总费用不超过420万元列出一元一次不等式，求解后取最大正整数解即可得到结果． 【详解】（1）解：∵设每台甲型机器人的价格为万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵万元， ∴每台乙型机器人的价格为万元， ∵用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的倍， ∴可得方程：； （2）解：由（1）得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则， ∴每台甲型机器人25万元，每台乙型机器人30万元， 设购买乙型机器人台，则购买甲型机器人台， 根据题意得， 解得， ∵是非负整数， ∴的最大值为， 答：最多可购买乙型机器人台． 7．（2026·贵州·中考真题）（解答题）亚洲体操锦标赛于年月日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进，两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游客．已知种物品的单价比种物品的单价多元，用元采购种物品的数量与用元采购种物品的数量相同． (1)求，两种物品的单价各是多少元？ (2)该公司计划购进这两种物品共个，当购买种物品的费用不超过购买种物品的费用的倍时，种物品最多能购进多少个？ 【答案】(1) 种物品单价为元，种物品单价为元 (2) 种物品最多能购进个 【分析】（1）设种物品单价为元，种物品单价为元，列分式方程求解即可； （2）设购买种物品个，则购买种物品个，根据购买种物品的费用不超过购买种物品费用的倍，列不等式求解． 【详解】（1）解：设种物品单价为元，种物品单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：种物品单价为元，种物品单价为元； （2）解：设购买种物品个，则购买种物品个， 根据题意可得：， 解得：， 答：种物品最多能购进个． 8．（2026·内蒙古·中考真题）（解答题）某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75千克和65千克．（不考虑空间因素） (1)现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由； (2)若该超市购进大量A，B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克．为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？ 【答案】(1)至少需要4次，理由如下： 设至少需要次，由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴取， 答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4次； (2)共有2种满载搭配方案：方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；方案二：A种货物7箱，B种货物2箱 【分析】（1）设至少需要次，根据“次搬运的货物总质量大于等于货物总质量” 建立不等式求解即可； （2）设搬运A种货物箱，B种货物箱，（为非负整数），根据题意建立二元一次方程，然后求其非负整数解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设搬运A种货物箱，B种货物箱，（为非负整数） 由题意得，， 化简得：， ∵为非负整数， ∴解得或， 因此共有2种满载搭配方案：方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；方案二：A种货物7箱，B种货物2箱． 9．（2026·山东·中考真题）（解答题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． (2)购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解； （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组： ， 解得：， 答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个． ， 解得（为整数）． 设总费用为，则． 因，则随增大而增大，故当时，最小． （元） 此时内画瓶数量为，最少费用为元． 答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 10．（2026·四川广元·中考真题）（解答题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3件中果礼盒和2件大果礼盒需190元，购进2件中果礼盒和4件大果礼盒需260元． (1)求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格； (2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100件进行销售，中果礼盒每件售价50元，大果礼盒每件售价80元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元． (2)购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元． 【分析】（1）设购进中果礼盒每件x元，大果礼盒每件y元．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进大果礼盒m件，则购进中果礼盒件，根据题意可得，即m的最大值为33；再列出获得利润：，再利用一次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设购进中果礼盒每件x元，大果礼盒每件y元． 则，解得：， 答：购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元． （2）解：设购进大果礼盒m件，则购进中果礼盒件， 由题意可得：，解得：， ∵m为整数， ∴m的最大值为33， 由题意可得：获得利润：， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，有最大利润元． 答：购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元． 11．（2026·湖北·中考真题）（解答题）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳米；编织4个大号中国结和1个小号中国结需用绳米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)某饰品店计划编织大、小号中国结共个进行销售，所用编织绳不超过米．设编织个大号中国结． ①求的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为元，每个小号中国结售价为元，每米编织绳的成本为元，其他成本总计元．求该饰品店获得的最大利润． 【答案】(1)编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米 (2)①且为整数；②该饰品店获得的最大利润为元 【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，利用题目给的条件列出方程组，求解即可； （2）①由题得编织个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合是计划编织的大号中国结个数即可求出的取值范围；②利用每米编织绳的成本为元可得出编织1个大号中国结和1个小号中国结各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利用的取值范围可得出最大利润． 【详解】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 由题意得， 得， 得，解得， 把代入②得， 故原方程组的解为． 答：编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米． （2）解：①依题意得， 化简得， 解得， 因为是计划编织的大号中国结个数， 所以，为整数， 所以的取值范围为，且为整数． ②由题意得每个大号中国结用绳成本为5元，每个小号中国结用绳成本为3元， 设获得的利润为元， 由题意得， 因为，所以随的增大而增大， 由①知，且为整数， 所以当时，最大，最大值为， 答：该饰品店获得的最大利润为元． 12．（2026·四川内江·中考真题）（解答题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ (3)在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 【答案】(1)（，为整数）； (2)共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； (3) 【分析】设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件，然后根据“总利润甲的利润乙的利润”，列出函数关系式即可； 根据题意，总费用不超过元，可得，结合自变量的取值范围得到所有整数解，即所有进货方案； 根据题意调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元，则利润，分情况根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解，舍去不符合范围的解． 【详解】（1）解：设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件， 甲每件利润为元，乙每件利润为元， 根据题意得 由题意得，， 因此，且为整数； （2）解：根据题意，总费用不超过元，可得， 整理得， 解得， ∵，且为正整数， ∴，的取值为，对应乙的数量为， 因此共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； （3）解：根据题意，调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元， ∴利润， 当时，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得； 当时，，不符合题意； 当时，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得，不符合题意； 综上可得：最大利润为元时的值为． 考点05 已知整数解的个数求参数取值范围 1．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 2．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 考点06 已知不等式解的情况求参数 1．（2026·广东·中考真题）（选择题）若点在第一象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第一象限内点的横纵坐标都为正，列出不等式组求解的取值范围即可． 【详解】解：∵第一象限内点的横坐标大于，纵坐标大于，点在第一象限 ∴可得不等式组 解不等式，得 结合不等式，可得的取值范围是． 2．（2026·四川广元·中考真题）（选择题）若关于的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含的解集，再对照已知解集求出的值，最后计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴． 3．（2024·四川南充·中考真题）（选择题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 4．（2025·青海·中考真题）（填空题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 5．（2025·四川南充·中考真题）（填空题）不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 考点07 不等式与方程组的综合 1．（2026·山东烟台·中考真题）若整数使关于的一元一次不等式组，有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的范围，再解分式方程，根据解为非负数且分母不为0进一步确定的取值，最后，找出所有符合条件的整数，求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得 ， 解不等式得 ， ∴原不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的3个整数为， ∴． 解得 ． 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理，得 ． ∵分式方程的解为非负数，且分母不为0， ∴，即，解得 且 ． 综上，的取值范围为 ，且， ∵为整数， ∴符合条件的整数为． ∴符合条件的所有整数的和为 ． 2．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 3．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】16 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， 解方程，得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 4．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 5．（2026·四川眉山·中考真题）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______． 【答案】 ， 【分析】先解不等式组得到的范围，再解分式方程，结合解为正数且不为增根确定的最终范围，即可得到符合条件的整数． 【详解】解：， 解不等式①得：， 不等式组无解， ， 整理分式方程 ， 得， 两边同乘 得：， 解得： ， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得： 且， 综上可得，，且， ∴符合条件的所有整数的值为，1． 考点08 一元一次不等式（组）的实际应用 1．（2025·山东淄博·中考真题）（填空题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）（解答题）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 【答案】(1)能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； (2) (3)或 【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可； （2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可； （3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴． ∵要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， ∴，且， 解得 且 ， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为； （3）解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得 ； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 综上所述，v的取值范围为或． 3．（2026·四川南充·中考真题）（解答题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： (1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ (2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ (3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚 (2)共有种安排加工线的方案 (3)安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元 【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得，然后进行求解即可； （2）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得，进而求解即可； （3）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得： ，解得：； 答：每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚． （2）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得： ，解得：， ∵m为正整数， ∴m的取值为， 答：共有种安排加工线的方案． （3）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得： ， 由（2）可知：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为，此时； 答：安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元． 4．（2026·四川泸州·中考真题）（解答题）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元． (1)购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ (2)现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料份（），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？ 【答案】(1) 购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元. (2) 当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算. 【分析】（1）根据购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元列出方程组，解方程组即可； （2）分别用的式子表示出在甲、乙超市购买的费用，然后分甲超市费用高于乙超市费用；甲超市费用和乙超市费用一样多；甲超市费用低于乙超市费用讨论即可. 【详解】（1）解：设购买1份A材料的费用为元，购买1份B材料的费用为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元； （2）解：在甲超市购买的费用为（元），在乙超市购买的费用为（元）， 当甲超市费用高于乙超市费用时，， 解得， ∴当时，选择乙超市购买更合算； 当甲超市费用和乙超市费用一样多时，， 解得， ∴当时，选择两家超市购买费用相同； 当甲超市费用低于乙超市费用时，， 解得， 又， ∴， ∴当时，选择甲超市购买更合算； 综上，当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算 5．（2025·四川绵阳·中考真题）（解答题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 6．（2025·西藏·中考真题）（解答题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 7．（2025·黑龙江·中考真题）（解答题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 8．（2025·四川德阳·中考真题）（解答题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元 (2)共有6种购买方案，最低费用为900元 【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键． （1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 9．（2025·云南·中考真题）（解答题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 10．（2025·四川遂宁·中考真题）（解答题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】任务一：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；任务二：有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；任务三：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 【分析】任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解； 任务三：由种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； 任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 11．（2024·四川绵阳·中考真题）（解答题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】(1)甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． (2)购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $