29.2.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦圆周角定理及其推论，通过回顾圆心角概念，提出内接三角形角与圆的位置关系，建立新旧知识联系，搭建学习支架引入新知。 其特色在于从特殊（等边三角形）到一般（任意三角形）探究，分类讨论证明定理（圆心在圆周角边上、内部、外部），培养推理能力与几何直观，例题应用提升模型意识，助力学生发展逻辑思维，为教师提供结构化教学流程，突出重难点。

29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 课题 圆周角定理及其推论 课型 新授课 教学内容 教材第127-130页的内容 教学目标 1.理解圆周角的概念，有机渗透“由特殊到一般”思想、 “分类”思想、“化归”思想，培养学生以严谨求实的态度思考。 2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90�°的圆周角所对的弦是直径． 4.引导学生能主动地通过观察、实验、探究“圆周角定理及其推论”，培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题的能力，从而提高数学素养. 教学重难点 教学重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题. 教学难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 什么是圆心角？ 【师生活动】教师提出问题，全班学生回顾并作答：“顶点在圆心的角叫作圆心角(如下图).”然后教师可追问：一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有什么位置关系？ 2.类比探究，学习新知 【观察思考】 【问题1】如图，△ABC内接于⊙O，观察图中的A，它有什么特点？ 预设答案：①顶点在圆上；②角的两边与圆各另有一个公共点. 【师生活动】教师以A为例引导学生观察思考，找出A的顶点、两条边分别与圆的位置关系.进而归纳出圆周角的定义： 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 教师适当强调，圆周角应该满足两个条件，①顶点在圆上；②角的两边与圆各另有一个公共点.这两个条件缺一不可. 【想一想】 判断下列各图中，哪些是圆周角？ 预设答案：(1)√，(2)×，(3)×，(4)×，(5)×，(6)√. 【问题2】如图，△ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆.你能发现BAC和∠BOC的大小有什么关系吗？ 预设答案：BACBOC 【师生活动】教师提出问题，引导学生思考，因为△ABC是等边三角形，不难得出∠BAC=60°，∠AOB=∠BOC= ∠AOC=120°.从而∠BAC=∠BOC.进而教师追问：当△ABC是任意三角形时，这个结论还成立吗？ 如图，△ABC是⊙O的任一内接三角形.继续探究∠BAC和∠BOC的大小关系. 【师生活动】教师提出问题，组织学生动手测量，得出结论：BACBOC.然后小组交流讨论，通过得出的结论，提出猜想. 【猜想】 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 【追问】你能证明这个猜想吗？ 【师生活动】教师提出问题后，先让学生在圆中画出同弧所对的圆心角和圆周角，引导学生观察圆心与圆周角位置，发现圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有三种： （1）圆心在圆周角的一条边上； （2）圆心在圆周角的内部； （3）圆心在圆周角的外部. 【证明】 在第（1）种情况下，如何证明？ 预设答案：∵OAOC，∴∠A∠C. 又∠BOC∠A∠C， ∴. 【师生活动】教师提出问题，带领学生分析第(1)种情况的证明思路，然后让学生自行完成第(2)、(3)种情况的证明，最终教师PPT展示. 第(2)种情形： . 第(3)种情形： . 【归纳】 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 【做一做】 如图，在⊙O中，BOC50°，求A的大小. 答：25°. 【问题3】“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？ 预设答案：相等. 【师生活动】教师提出问题后，先让学生试着猜想，然后再验证. 证明：如图，连接OA，OB. 由圆周角定理得， ，. ∴∠AC1B∠AC2B∠AC3B. 【追问1】等弧所对的圆周角呢？相等吗？ 【师生活动】教师提出问题，学生仿照前面的思路证明，教师PPT展示过程. 证明：如图，连接OA，OB，OC，OD. ∵ =，∴∠AOC=∠BOD. 又，， ∴∠ADC∠BAD. 结论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 【追问2】反过来，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那它们所对的弧相等吗？ 预设答案：相等. 【师生活动】教师引导学生理解由圆周角相等，可推出所对的圆心角相等，结合“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”可得：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.从而 得出圆周角定理的推论： 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等. 【做一做】 如图，AB是直径，C是圆上任意一点(不与A、B重合)，求∠ACB °. 预设答案：90. 【师生活动】教师提出问题，学生应用所学知识作答.在学生得到结果后，教师追问：如果∠ACB90°，能得出AB是直径吗？引导学生得出答案后，归纳总结圆周角定理的另一个推论： 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【归纳】 3.学以致用，应用新知 【例】如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6。 ∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、 圆周角、直径和弦之间的关系。由AB是直径，可知圆周 角∠ACB=∠ADB=90°；由圆周角∠ACD=∠BCD，可 知它们相应的圆心角相等，进而得到弦AD=BD. 解:如图，连接OD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB= ∠ADB=90°. ∵在Rt△ABC中，AB=10, AC=6, ∴BC==8, ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD. ∵在⊙O中,∠AOD=2∠ACD, ∠ BOD=2∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=+AB2， ∴AD=BD=AB=5. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，若∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿. 答案：50°. （2）如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，找出图中分别与1、2、3、4相等的角. 解：1CBD；2ACB；3CAB；4ABD. （3）已知：如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AOB=2BOC. 求证：ACB2BAC. 解：∵AOB2ACB， AOB=2BOC， ∴ACBBOC. ∵BOC=2BAC， ∴ACB2BAC. （4）证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知：△ABC中，OB是AC边的中线， 且OBAC. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：由题意得：OAOBOC. 即△ABC三个顶点都在以点O为圆心，OA的长为半径的圆上. ∵AC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是90°可得：ABC90°，即△ABC是直角三角形. （5） 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，ACD60°，ADC70°. 求∠APC的度数. 解：如图，连接BC，则ACB90°， DCBACBACD90°60°30°. 又∵BAD∠DCB30°， ∴APCBADADC30°70°100°. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？ 6.布置作业 教材P129练习第1-3题，P131习题29.2第2-4题. 通过回忆圆心角的定义及特点，引发学生思考新问题，建立起新旧知识之间的联系，便于学生理解和接受. 观察所给图形，找出A的顶点、两条边分别与圆的位置关系，引出圆周角的定义. 巩固圆周角的定义. 从特殊情形入手，便于学生观察得出结论，再对一般情形进行合理猜想，使学生在学习新知的同时感知由特殊到一般的数学思想. 培养学生的动手能力，使学生在自主探索，合作交流的过程中完成学习任务. 通过证明使学生对圆周角定理的认识从感性上升到理性. 培养学生的逻辑思维能力以及分类讨论的数学思想. 及时巩固圆周角定理. 让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系. 由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论2. 梳理本节课的重点内容，加深对圆周角定理及其推论的理解. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，进一步提高学生分析能力和有条理的表达能力. 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 加深认识，深化提高. 板书设计 圆周角定理及其推论 1.圆周角的概念 2.圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $