重难点专题03 直角三角形（4大考点）数学新教材北师大版八年级下册

重难点专题03 直角三角形 重难点一、直角三角形两锐角互余的应用 核心是利用“∠A+∠B=90°”建立角的关系。主要应用场景有：1. 知一锐角求另一角：直接计算。2. 在复杂图形中建立等量关系：将互余关系与其他角条件（如外角、对顶角）结合，列方程求解未知角。3. 证明角相等或垂直：通过等量代换证明两角之和为90°，从而证垂直。这是将角度计算转化为代数问题的基本工具。 1．《周礼》中记载：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘……”意思：直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘（1宣矩，1欘宣，1矩）．图①为中国古代的一种强弩，图②为这种强弩的部分组件的示意图．若矩，欘，则 ． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ． 3．如图，已知，点是射线上一动点．的平分线与交于点，当为直角三角形时， ． 4．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则= ． 5．如图，，，． (1)求证：； (2)若交的延长线于点F，求的度数． 6．【初步探索】如图①，在中，，直线经过点，过点、分别向直线作垂线，垂足分别为点、，则和的关系是______． 【变式探究】如图②，在中，，直线经过点，点、在直线上，已知，猜想、、的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】小吉同学在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边分别向外作和，其中是边上的高，延长交于点H．若，则的长为_____．（用含的代数式表示） 重难点二、直角三角形的综合判定 判定一个三角形为直角三角形主要有以下途径，需综合运用：1. 定义法：证明有一个角是直角（常通过邻补角相等或垂直证得）。2. 勾股定理逆定理：计算三边，验证是否满足 a² + b² = c²。3. 两个锐角互余的三角形。解题时，先分析已知条件（边或角的关系），选择最直接的路径。若已知边长比例关系，优先考虑勾股逆定理。 7．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 9．已知中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 10．下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 12．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 13．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 14．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 15．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 重难点三、命题逆命题及其真假判断 第一步：写出逆命题。准确找到原命题的条件和结论，然后交换它们的位置。第二步：判断真假。逆命题的真假需独立判断，与原命题无必然联系。方法是：分析逆命题的条件能否必然推出结论，可举反例或逻辑证明。注意：原命题正确，逆命题不一定正确，这是易错点，务必重新推理验证。 16．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．经过平移得到的两个三角形全等 D．两直线平行，同旁内角互补 17．下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么． B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． C．全等三角形的对应角相等． D．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数． 18．下列命题，逆命题是真命题的有（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．是3的平方根 C．无理数是无限小数 D．若，则 19．下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的对应角相等 20．观察下列命题的逆命题：①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②若，则；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．其中逆命题为假命题的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 22．请写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 23．写出命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题，并判断其真假． 24．数学兴趣小组探究“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个定理． (1)请你补全这个定理的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么______． (2)兴趣小组通过添加辅助线证明上述定理，请你帮助完成． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是______三角形， ______，且______， ， ， ______， ，即． (3)兴趣小组继续探索：该定理的逆命题也是真命题．下面是证明的过程，请你补充完整． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，延长到点，使得，连接， 重难点四、公理与定理的辨析 主要从来源和是否需要证明来区分：1. 公理是公认的基本事实，作为推理的原始起点，无需证明（如“两点确定一条直线”）。2. 定理是由公理、定义和已证定理经过逻辑推导证明得出的真命题。辨析关键是判断该结论是作为“不证自明”的出发点，还是需要从已知条件推导得出的结果。 26．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 27．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 28．下列真命题中，不是公理的是（   ） A．同角的余角相等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别相等的两个三角形全等 29．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 30．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 31．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 32．下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 33．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 试卷第4页，共26页 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03 直角三角形 重难点一、直角三角形两锐角互余的应用 核心是利用“∠A+∠B=90°”建立角的关系。主要应用场景有：1. 知一锐角求另一角：直接计算。2. 在复杂图形中建立等量关系：将互余关系与其他角条件（如外角、对顶角）结合，列方程求解未知角。3. 证明角相等或垂直：通过等量代换证明两角之和为90°，从而证垂直。这是将角度计算转化为代数问题的基本工具。 1．《周礼》中记载：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘……”意思：直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘（1宣矩，1欘宣，1矩）．图①为中国古代的一种强弩，图②为这种强弩的部分组件的示意图．若矩，欘，则 ． 【答案】 【分析】本题考查古代角度单位换算与三角形内角和定理，掌握古代角单位与现代角度的换算方法，以及三角形内角和的应用是解题的关键． 先根据题目给出的古代角的定义，将“矩”“宣”“欘”换算为现代角度，再利用三角形内角和为计算的度数． 【详解】解：宣矩，1欘宣，1矩，矩，欘， ，， ． 故答案为：． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论．等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形，需要分类讨论．当三角形为锐角三角形时，顶角为；当三角形为钝角三角形时，顶角为． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， 当在外部时，如图2，   为高， ， ， ∴， 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 3．如图，已知，点是射线上一动点．的平分线与交于点，当为直角三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两锐角互余；当时，当时，即可求解． 【详解】解：如图，当时， ， 的平分线与交于点， ， ； 如图，当时， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 4．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则= ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质及倍角三角形的定义，关键是通过角平分线的性质推导的内角关系，再结合倍角三角形的定义求解的度数． 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴． ∵， ∴， 在中，． 又平分，故． 在中，，结合， 可得． ∵为4倍角三角形，且， ∴存在两种情况： ①直角是4倍的一个锐角，即，解得，则． ②一个锐角是4倍的另一个锐角，即，解得，则． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 5．如图，，，． (1)求证：； (2)若交的延长线于点F，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据，，证明，即可作答． （2）先得出是等腰直角三角形，得，又因为，得，，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，． ∴； （2）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．【初步探索】如图①，在中，，直线经过点，过点、分别向直线作垂线，垂足分别为点、，则和的关系是______． 【变式探究】如图②，在中，，直线经过点，点、在直线上，已知，猜想、、的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】小吉同学在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边分别向外作和，其中是边上的高，延长交于点H．若，则的长为_____．（用含的代数式表示） 【答案】[初步探索]全等；[变式探究]数量关系为：，证明见解析；[拓展应用] 【分析】[初步探索]根据题意得出，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； [变式探究]由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； [拓展应用]过点作于点，作，交的延长线于点，利用全等三角形的判定和性质得出，即可求出结果． 【详解】[初步探索]解：∵过点分别向直线作垂线，垂足分别为点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； [变式探究]数量关系为：； 证明：， ， 在和中， ， ， ， ； [拓展应用]解：过点作于点，作，交的延长线于点，如图③所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及垂直定义、互余、三角形外角性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形相关几何性质，灵活运用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等是解题的关键． 重难点二、直角三角形的综合判定 判定一个三角形为直角三角形主要有以下途径，需综合运用：1. 定义法：证明有一个角是直角（常通过邻补角相等或垂直证得）。2. 勾股定理逆定理：计算三边，验证是否满足 a² + b² = c²。3. 两个锐角互余的三角形。解题时，先分析已知条件（边或角的关系），选择最直接的路径。若已知边长比例关系，优先考虑勾股逆定理。 7．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】解：A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 8．满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，根据直角三角形的判定条件，分别验证每个选项是否满足直角三角形条件． 【详解】解：在中，， A项：∵，， ∴， ∴， ∴，故是直角三角形； B项：设，，，则， ∴， ∴，，，均不为，故不是直角三角形； C项：∵，由勾股定理逆定理，，故是直角三角形； D项：设，，，则，， ∴，故，是直角三角形， 故选：B． 9．已知中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 10．下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，通过直角三角形的定义和勾股定理的逆定理判断每个选项是否一定是直角三角形． 【详解】解：∵①有两个内角互余，∴第三个角为，∴是直角三角形； ∵②三边长为，，，且（其中m，n为正数，且），∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵③三边之比为，设三边为，，，则，∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵④三个内角的比是，设角度为x，，，则 ，解得 ，∴最大角为，∴是直角三角形． ∴①②③④都是直角三角形，共4个， 故选：D． 11．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 12．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 13．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 14．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与相互垂直，，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：与相互垂直，． 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 15．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点三、命题逆命题及其真假判断 第一步：写出逆命题。准确找到原命题的条件和结论，然后交换它们的位置。第二步：判断真假。逆命题的真假需独立判断，与原命题无必然联系。方法是：分析逆命题的条件能否必然推出结论，可举反例或逻辑证明。注意：原命题正确，逆命题不一定正确，这是易错点，务必重新推理验证。 16．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．经过平移得到的两个三角形全等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理、直角三角形的判定定理、全等三角形的概念、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，正确，不符合题意； B、直角三角形的两锐角互余的逆命题是两角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意； C、经过平移得到的两个三角形全等的逆命题是两个全等三角形是经过平移得到的，错误，符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，不符合题意； 故选：C． 17．下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么． B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． C．全等三角形的对应角相等． D．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数． 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假及逆命题、勾股定理的逆定理、实数的性质、全等三角形的判定，判断每个选项的逆命题的真假，逆命题是将原命题的条件和结论互换． 【详解】∵选项A的逆命题是“如果三角形的三条边长满足，那么这个三角形是直角三角形”，这是勾股定理的逆定理，真命题； ∵选项B的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，假命题，例如3和绝对值相等但不相等； ∵选项C的逆命题是“如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等”，假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等； ∵选项D的逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数”，假命题，例如两个负数的积也是正数． ∴只有选项A的逆命题是真命题． 故选：A． 18．下列命题，逆命题是真命题的有（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．是3的平方根 C．无理数是无限小数 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，解题的关键是先写出每个命题的逆命题，再根据相关数学概念判断逆命题的真假． 先写出每个选项中原命题的逆命题，再结合全等三角形、平方根、无理数、立方根的性质，逐一判断逆命题的真假． 【详解】解：逆命题是将原命题的条件和结论互换得到的新命题，依次分析个选项： A、原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”．对应角相等的三角形仅相似，不一定全等，故逆命题为假命题； B、原命题“是3的平方根”的逆命题是“3的平方根是”． 3的平方根是，并非只有，故逆命题为假命题； C、原命题“无理数是无限小数”的逆命题是“无限小数是无理数”．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），故逆命题为假命题； D、原命题“若，则“”的逆命题是“若，则”．故逆命题为真命题． 故选：D． 19．下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆命题的判定与真假判断、全等三角形的判定、平行线的判定和绝对值的定义，解题的关键是先写出每个命题的逆命题，再判断其是否成立． 分别写出各选项命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假． 【详解】解：A、逆命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等， ∵， ∴， ∴逆命题成立，不符合题意； B、逆命题：同位角相等，两直线平行， ∵平行线判定定理， ∴逆命题成立，不符合题意； C、逆命题：对应边相等的三角形全等， ∵全等判定， ∴逆命题成立，不符合题意； D、逆命题：对应角相等的三角形全等， ∵对应角相等只能证明相似，不一定全等， ∴逆命题不成立，符合题意； 故选D． 20．观察下列命题的逆命题：①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②若，则；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．其中逆命题为假命题的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查逆命题的真假判断，等腰三角形的性质，直角三角形的特征等. 需先写出每个命题的逆命题，再判断其真假，最后统计假命题的个数． 【详解】解：①逆命题：等腰三角形有两个角相等，逆命题为真命题. ②逆命题：若，则；逆命题为真命题. ③逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形.逆命题为真命题. ④逆命题：面积相等的三角形全等.逆命题为假命题（反例：等底等高的三角形面积相等但不一定全等）. 所以逆命题为假命题的个数是1个. 故选：D． 21．已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假及其逆命题的真假．需逐一判断每个命题的原命题和逆命题是否均为真命题． 【详解】解：原命题若，则，当时，命题不成立，原命题是假命题； 逆命题若，则，当时，命题不成立，逆命题是假命题； 故命题①不符合题意； 原命题若，则，，命题成立，原命题是真命题； 逆命题若，则，当时，也可能是，逆命题是假命题； 故命题②不符合题意； 原命题若，，则，根据有理数的加法法则可知原命题是真命题； 逆命题若，则，，当，时，也成立，逆命题是假命题； 故命题③不符合题意； 原命题直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质可知原命题是真命题； 逆命题三角形的两锐角互余，这个三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理可知逆命题也是真命题； 故命题④符合题意． 原命题与逆命题均为真命题的个数是． 故选：A． 22．请写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 【答案】 两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了命题与逆命题：判断一件事情的语句，叫做命题．逆命题，把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．根据逆命题的定义回答即可． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 23．写出命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题，并判断其真假． 【答案】“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，假命题 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，判断命题真假，把原命题的题设和结论互换作为新命题的题设和结论，新命题即为原命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，这是一个假命题． 24．数学兴趣小组探究“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个定理． (1)请你补全这个定理的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么______． (2)兴趣小组通过添加辅助线证明上述定理，请你帮助完成． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是______三角形， ______，且______， ， ， ______， ，即． (3)兴趣小组继续探索：该定理的逆命题也是真命题．下面是证明的过程，请你补充完整． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，延长到点，使得，连接， 【答案】(1)这条直角边所对的角是 (2)等边，，， (3)见解析 【分析】（）根据互逆命题的定义解答即可求解； （）先证明是等边三角形，得到，，即得，即得到，进而得到，即可求证； （）证明是等边三角形，得到，进而即可求证； 本题考查了互逆命题，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：这个定理的逆命题是：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是， 故答案为：这条直角边所对的角是； （2）证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是等边三角形， ，且， ， ， ， ，即， 故答案为：等边，，，； （3）证明：如图，延长到点，使得，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 25．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 重难点四、公理与定理的辨析 主要从来源和是否需要证明来区分：1. 公理是公认的基本事实，作为推理的原始起点，无需证明（如“两点确定一条直线”）。2. 定理是由公理、定义和已证定理经过逻辑推导证明得出的真命题。辨析关键是判断该结论是作为“不证自明”的出发点，还是需要从已知条件推导得出的结果。 26．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键． 公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断． 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 27．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 28．下列真命题中，不是公理的是（   ） A．同角的余角相等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查了公理的定义，公理是逻辑或数学系统中的基本假设，是不证自明的命题，作为推理的起点．根据公理的定义以及平行线的判定，全等三角形的判定等知识内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A. 同角的余角相等不是公理，符合题意； B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等是公理，不符合题意； C. 同位角相等，两直线平行是公理，不符合题意； D. 三边分别相等的两个三角形全等是公理，不符合题意； 故选：A． 29．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 30．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 31．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 32．下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题与定理的定义与意义，属于基础性知识，比较简单． 根据命题与定理的定义与意义分别判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，但定理一定是命题，选项说法正确，不符合题意； B、定理不可能是假命题，选项说法正确，不符合题意； C、真命题不一定是定理，故原命题错误，符合题意； D、从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实得到的真命题就是定理，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 33．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【详解】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 试卷第4页，共26页 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $