专题18 直角三角形（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以12类题型系统整合直角三角形性质与变换，通过“性质-判定-特殊元素-动态问题”逻辑链实现方法迁移与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|4题型/4典例|互余性质、平行线转移角、翻折全等性、判定定理|从基本性质到图形变换，构建“性质应用-判定验证”推理链| |特殊元素|5题型/5典例|斜边中线“三线合一”、30°角对边性质、网格分类找点|以特殊元素为核心，形成“线段-周长-角度”计算体系| |动态问题|3题型/3典例|分类枚举法、轨迹圆最值、动点直角顶点分类|从静态到动态，培养几何直观与创新意识|

专题18 直角三角形 （题型突破·举一反三） ▌题型01 直角三角形两个锐角互余 【典例1】A． 【变式1-1】D． 【变式1-2】D． 【变式1-3】35． ▌题型02 直角三角形与平行线 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】D． 【变式1-3】A． ▌题型03 直角三角形与翻折 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】69°或90°或48°． ▌题型04 直角三角形的判定 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】C． ▌题型05 直角三角形的个数 【典例1】C． 【变式1-1】5． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC； （2）∠2＝∠A，理由如下： ∵∠ADC＝90°， ∴∠1+∠A＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠A． 【变式1-3】 【解答】解：在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，作BC边上的高AD，图中出现3个直角三角形， 作△ABD中AB边上的高DD1，图中共出现5个直角三角形， 作D1D2，图中共出现7个直角三角形， 作D2D3，图中共出现9个直角三角形， … 作出Dn﹣1Dn时，图中共出现2n+3个直角三角形． ▌题型06 网格中的直角三角形 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】C． 【变式1-3】6． ▌题型07 直角三角形斜边上的中线求线段长 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】C． 【变式1-3】B． ▌题型08 直角三角形斜边上的中线求周长 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】18． ▌题型09 直角三角形斜边上的中线求角度 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】D． 【变式1-3】A． ▌题型10 含30°角的直角三角形求线段长 【典例1】C． 【变式1-1】D． 【变式1-2】C． 【变式1-3】B． ▌题型11 最值问题 【典例1】3． 【变式1-1】5． 【变式1-2】6． 【变式1-3】B． ▌题型12 动点问题 【典例1】2.5或1． 【变式1-1】或4． 【变式1-2】3或4.8． 【变式1-3】【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝tcm. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 直角三角形 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形两个锐角互余 题型02 直角三角形与平行线 题型03 直角三角形与翻折 题型04 直角三角形的判定 题型05 直角三角形的个数 题型06 网格中的直角三角形 题型07 直角三角形斜边上的中线求线段 题型08 直角三角形斜边上的中线求周长 题型09 直角三角形斜边上的中线求角度 题型10 含30°角的直角三角形求线段 题型11 最值问题 题型12 动点问题 ▌题型01 直角三角形两个锐角互余 1. 直角三角形的两个锐角互为余角（互余），也就是两个锐角相加等于90°。 2. 同角（等角）的余角相等。 【典例1】（2026春•锦江区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式1-1】（2026春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．若∠BAD＝40°，则∠AEB的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式1-2】（2026•西安校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AB于点E，则图中与∠B（∠B除外）相等的角的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-3】（2026春•北京期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A为　　 °． ▌题型02 直角三角形与平行线 1. 直角三角形两锐角互余：。 2. 平行线三大性质： （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补。 3. 常见题型： （1）一条平行线过直角顶点：利用平行线内错角相等，将直角拆分出的两个锐角转移，可得一组角互余。 （2）直角三角形一边平行于外部直线：平行线可以把直角三角形的直角、锐角完整平移，在平行线另一侧再造一组互余角。 （3）直角三角形斜边平行于直线：直角三角板斜边贴平行线，求拐角角度，解题思路就是锐角平移+互余。 【典例1】（2026•当阳市模拟）如图，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠2＝68°，则∠1的大小是（　　） A．68° B．38° C．34° D．32° 【变式1-1】（2026•昌平区一模）如图，直线l1∥l2，A，B是直线l1上两点，C，D是直线l2上两点，AD⊥BC于点E，若∠ADC＝35°，则∠ABC的大小为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【变式1-2】（2026•莎车县模拟）如图，将含30°角的直角三角板ABC和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中∠B＝90°，∠C＝30°，三角板的边AB，AC与直尺一条边的两个交点分别为点D，E．若∠α＝50°，则∠ADE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式1-3】（2026•莘县校级模拟）如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° ▌题型03 直角三角形与翻折 1. 全等性：翻折前后两个三角形全等，对应角相等、对应边相等； 2. 角平分线：折痕是重合两点连线的角平分线，折痕平分对应夹角； 3. 垂直平分线：折痕垂直平分两组对应点的连线。 结合直角三角形自带条件：两锐角互余（和为90°）、直角=90°，这两类条件联动就是翻折求角的核心。 【典例1】（2026春•深圳期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为（　　） A．45° B．64° C．71° D．81° 【变式1-1】（2026春•宽城区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【变式1-2】（2026春•聊城期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°E，F分别为AB，AC上一点，将△ABC沿直线EF翻折至同一平面内，点A落在点A′处，EA'，FA'分别交BC边于点M，N．若∠BEA'＝80°，则∠CFA′的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．80° 【变式1-3】（2026春•建平县期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，将三角形纸片折叠，使点B的对应点B′落在AC上，折痕与BC，AB分别相交于点E、F，当△AFB′为等腰三角形时，∠BEF的度数为 　 　 ． ▌题型04 直角三角形的判定 1. 定义法：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 2. 如果一个三角形中两个内角之和等于，那么这个三角形是直角三角形。 【典例1】（2025秋•宜昌期末）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（2025秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2026春•广州校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A，∠B都是锐角；④△ABC三个外角的度数之比是3：4：5；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-3】（2025秋•合肥校级期末）在下列条件： ①∠A+∠C＝∠B； ②； ③∠A＝∠B＝2∠C； ④∠A：∠B：∠C＝1：3：4中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌题型05 直角三角形的个数 步骤1：锁定图里所有直角顶点 把图中所有标了直角、能推导出直角的顶点全部圈出来，直角是直角三角形的核心顶点。 步骤2：固定顶点，分类枚举（最稳妥，防漏数） 以每个直角顶点为分类标准，数以此顶点为直角顶点的所有三角形。 步骤3：区分独立三角形，排除重复计数 （1）小直角三角形：不能再拆分的最小单元 （2）组合直角三角形：由两个小直角三角形拼接而成的大三角形 两种都要单独统计，不能只数小的。 步骤4：收尾核验 （1）检查有没有把非直角三角形误算进来； （2）核对同一个三角形是否被多次统计（只算1次）。 【典例1】（2026•灞桥区校级模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，DF交AC于点E，图中有（　　）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中共有　 　 个直角三角形． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？ （2）∠2和∠A有什么数量关系？并说明理由． 【变式1-3】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，作BC边上的高AD，图中出现多少个直角三角形？又作△ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作D1D2，D2D3，…，当作出Dn﹣1Dn时，图中共出现多少个直角三角形？ ▌题型06 网格中的直角三角形 网格格点上找点P，使为直角三角形，分类讨论三直角顶点，分三种情况枚举： 1. 直角顶点在A：过A作AB的垂线，寻找所有格点P； 2. 直角顶点在B：过B作AB的垂线，寻找所有格点P； 3. 直角顶点在P：以AB为直径作圆。 把三类点位合并，剔除重复点，统计总个数。 【典例1】（2026春•余干县月考）如图，在由5×5的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且△ABC是直角三角形，则符合要求的点C共有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的两个端点均在格点（正方形的顶点）上，若△ABC是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有 　 　 个． ▌题型07 直角三角形斜边上的中线求线段长 直角三角形斜边的中线等于斜边长度的一半。 在，D为斜边AB中点，连接中线CD，则： 推论变形： （1）（已知中线求斜边） （2）AD=DB=CD（斜边上中点分出三条相等线段） 【典例1】（2026春•青秀区校级期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为10km，则CM的长为（　　） A．4km B．5km C．6km D．7km 【变式1-1】（2026春•长沙期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝8，点D为边AB的中点，则AB的长为（　　） A．16 B．5 C．4 D．7 【变式1-2】（2026•城中区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A，B对应的刻度分别为0，6，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2026春•长春期末）如图，一把木梯AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，设木梯的中点为P，当木梯顶端A沿墙下滑时，木梯底部B沿地面向右滑行．在此过程中，点P与墙角O的距离变化为（　　） A．变大 B．不变 C．变小 D．先变大后变小 ▌题型08 直角三角形斜边上的中线求周长 1.用中线长度×2直接算出斜边AB的长； 2.题目若给出两直角边之和AC+BC，直接相加：周长=(AC+BC)+AB。 【典例1】（2025秋•漳州期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式1-1】（2026•商丘模拟）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长是（　　） A．20 B．18 C．16 D．14 【变式1-2】（2025秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF平分∠BAC，BE⊥AC于点E，D是AB的中点，则△DEF的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 【变式1-3】如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，若AB＝10cm，AC＝8cm，则四边形AEDF的周长为 　 　cm． ▌题型09 直角三角形斜边上的中线求角度 在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，则CD=AD=BD=， 由此直接产生两组等腰三角形，在△ACD中，；在△BCD中，； 再结合直角三角形固有条件：，同时。 【典例1】（2025秋•顺德区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点．若∠B＝36°，则∠BCD的度数为（　　） A．72° B．60° C．44° D．36° 【变式1-1】（2026春•通州区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点F，点E是AC中点，∠EBF＝19°，则∠BAD的度数是（　　） A．69° B．71° C．73° D．75° 【变式1-2】（2026春•滨江区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，且CD＜BC，以点C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E，连接DE．若∠A＝x，则∠BED的度数为（　　） A．90°x B．45°x C．90°+x D．135°x 【变式1-3】（2026•台湾）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D点为AC的中点，E点在BD上，AE为∠BAC的角平分线．若∠C＝40°，则∠AEB的度数为何？（　　） A．105 B．110 C．115 D．120 ▌题型10 含30°角的直角三角形求线段长 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半。 【典例1】（2025秋•玉溪期末）如图，在△ACB中，点D在AC边上，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝2，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（2026•包河区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D是BC中点，E在AC上，且∠AED＝90°，若DE＝2，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．8 【变式1-2】（2026春•梅县区期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB边的垂直平分线，AD＝12，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2025秋•肥东县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4在射线ON上，点B1，B2，B3在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4均为等边三角形．若OA1＝3，则A1A4等于（　　） A．18 B．21 C．24 D．27 ▌题型11 最值问题 1.垂线段最短 直线外一点到直线所有连线里，垂线段最短。在含30°直角结构里，垂线经常直接充当30°角的对边。 2.动点绕定点旋转 某条线段长度固定，端点绕定点旋转，动点轨迹是圆。结合含30°直角三角形，求另一个端点的最值：最值 = 圆心到定点距离 ± 半径。 3.折叠背景下含30°线段最值 折叠前后边长不变，存在定长线段，动点受折叠约束，常结合30°直角： 【典例1】（2025秋•衡水期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE，若F是DE的中点．当CF取最小值时，BF的值为　 　 ． 【变式1-1】（2025秋•高要区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，如果AD＝10，P为AB上一动点，那么PD的最小值为 　 　 ． 【变式1-2】（2025秋•东城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，若P是直线BC上的动点，则的最小值是 　 　 ． 【变式1-3】（2025秋•金安区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点且始终有，则线段BG长的最小值是（　　） A． B．6 C． D．9 ▌题型12 动点问题 设原直角三角形，，，动点P在某条边上运动，问t为何值时为含的直角三角形。 分三种直角顶点： 1.直角在动点P处（） 2.直角在定点A处（） 3.直角在定点B处（） 每一种直角确定后，再确定哪个锐角是，套边长比例列方程。 【典例1】（2026春•达川区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝10cm．动点P从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，动点F从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t（单位：s）．当t为　 　 s时，△PAF是直角三角形． 【变式1-1】（2026春•城中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝8cm，动点P从点A开始以2cm/s的速度向点C运动，动点F从点B开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t（单位：s）．当t为　 　 s时，△PAF是直角三角形． 【变式1-2】（2025秋•安阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为 　 　． 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 直角三角形 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形两个锐角互余 题型02 直角三角形与平行线 题型03 直角三角形与翻折 题型04 直角三角形的判定 题型05 直角三角形的个数 题型06 网格中的直角三角形 题型07 直角三角形斜边上的中线求线段 题型08 直角三角形斜边上的中线求周长 题型09 直角三角形斜边上的中线求角度 题型10 含30°角的直角三角形求线段 题型11 最值问题 题型12 动点问题 ▌题型01 直角三角形两个锐角互余 1. 直角三角形的两个锐角互为余角（互余），也就是两个锐角相加等于90°。 2. 同角（等角）的余角相等。 【典例1】（2026春•锦江区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】利用直角三角形两锐角互余，结合题目给出的角度倍数关系即可求解． 【解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°， ∵∠B＝2∠A， ∴∠A+2∠A＝90°， 3∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 则∠A的度数为30°， 故选：A． 【变式1-1】（2026春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．若∠BAD＝40°，则∠AEB的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABE，再据直角三角形的性质求出∠AEB． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABD＝25°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠AEB＝90°﹣25°＝65°， 故选：D． 【变式1-2】（2026•西安校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AB于点E，则图中与∠B（∠B除外）相等的角的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：根据直角三角形的性质可知； ∠C+∠B＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠BDE+∠ADE＝90°（直角三角形的性质）， ∴∠B＝∠ADE＝∠CAD（同角的余角相等）， ∴图中与∠B（除∠B外）相等的角的个数是2， 故选：D． 【变式1-3】（2026春•北京期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A为　35　 °． 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得∠A＝∠BCD＝35°． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， ∴∠A+∠B＝90°，CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝35°（同角的余角相等）， 则∠A的度数为35°， 故答案为：35． ▌题型02 直角三角形与平行线 1. 直角三角形两锐角互余：。 2. 平行线三大性质： （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补。 3. 常见题型： （1）一条平行线过直角顶点：利用平行线内错角相等，将直角拆分出的两个锐角转移，可得一组角互余。 （2）直角三角形一边平行于外部直线：平行线可以把直角三角形的直角、锐角完整平移，在平行线另一侧再造一组互余角。 （3）直角三角形斜边平行于直线：直角三角板斜边贴平行线，求拐角角度，解题思路就是锐角平移+互余。 【典例1】（2026•当阳市模拟）如图，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠2＝68°，则∠1的大小是（　　） A．68° B．38° C．34° D．32° 【分析】根据平行线的性质计算即可． 【解答】解：∵a∥b， ∴1+30°＝∠2， ∵∠2＝68°， ∴∠168°﹣30°＝38°， 故选：B． 【变式1-1】（2026•昌平区一模）如图，直线l1∥l2，A，B是直线l1上两点，C，D是直线l2上两点，AD⊥BC于点E，若∠ADC＝35°，则∠ABC的大小为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】由垂直的关系求出∠BCD的度数，再由“两直线平行，内错角相等”得到∠ABC的度数． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠CED＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠ADC＝55°， ∵l1∥l2， ∴∠ABC＝∠BCD＝55°， 故选：C． 【变式1-2】（2026•莎车县模拟）如图，将含30°角的直角三角板ABC和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中∠B＝90°，∠C＝30°，三角板的边AB，AC与直尺一条边的两个交点分别为点D，E．若∠α＝50°，则∠ADE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】利用三角形内角和定理求出∠A然后利用平行线的性质求出∠AED，则利用三角形内角和定理即可求得∠ADE． 【解答】解：∵将含30°角的直角三角板ABC和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，∠C＝30°，∠B＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠C＝60°， ∵DE∥MN， ∴∠AED＝∠ANM＝50°， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝70°， 故选：D． 【变式1-3】（2026•莘县校级模拟）如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】由直角三角形的性质得到∠A＝30°，然后根据平行线的性质即可求得∠1＝∠A＝30°． 【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝30°， 故选：A． ▌题型03 直角三角形与翻折 1. 全等性：翻折前后两个三角形全等，对应角相等、对应边相等； 2. 角平分线：折痕是重合两点连线的角平分线，折痕平分对应夹角； 3. 垂直平分线：折痕垂直平分两组对应点的连线。 结合直角三角形自带条件：两锐角互余（和为90°）、直角=90°，这两类条件联动就是翻折求角的核心。 【典例1】（2026春•深圳期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为（　　） A．45° B．64° C．71° D．81° 【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据折叠的性质求出∠CED、∠ECD，再根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°， 则∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣26°＝64°， 由折叠的性质可知：∠CED＝∠B＝64°，∠ECD∠ACB＝45°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣64°﹣45°＝71°， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•宽城区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【分析】根据折叠的性质求出∠ACD，再根据三角形的外角性质求出∠BDC． 【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∵∠BDC是△ACD的外角， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•聊城期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°E，F分别为AB，AC上一点，将△ABC沿直线EF翻折至同一平面内，点A落在点A′处，EA'，FA'分别交BC边于点M，N．若∠BEA'＝80°，则∠CFA′的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．80° 【分析】先根据平角定义可得∠AEA′＝100°，然后利用折叠的性质可得：∠AFA′＝2∠AFE，，从而利用三角形的内角和可得∠AFE＝180°﹣90°﹣∠AEF＝40°，进而可得∠AFA′＝2∠AFE＝80°，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°E，F分别为AB，AC上一点， ∵∠BEA′＝80°， ∴∠AEA′＝180°﹣∠BEA′＝100°， 由折叠得：∠AFA′＝2∠AFE，， ∵∠A＝90°， ∴∠AFE＝180°﹣90°﹣∠AEF＝40°， ∴∠AFA′＝2∠AFE＝80°， ∴∠CFA′＝180°﹣∠AFA′＝100°． 故选：B． 【变式1-3】（2026春•建平县期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，将三角形纸片折叠，使点B的对应点B′落在AC上，折痕与BC，AB分别相交于点E、F，当△AFB′为等腰三角形时，∠BEF的度数为 　69°或90°或48°　 ． 【分析】先求出∠A＝32°，由折叠的性质得∠BFE＝∠B'FE，再分三种情况讨论如下：①当AF＝AB'时，则∠AFB'＝∠AB'F＝74°，进而得∠BFB'＝106°，再根据∠BFE＝∠B'FE即可得出答案；②当AF＝B'F时，此时点B'与点C重合，则∠AB'F＝∠A＝32°，进而得∠AFB'＝116°，∠BFB'＝64°，再根据∠BFE＝∠B'FE即可得出答案；③当AB'＝B'F时，则∠AFB'＝∠A＝32°，进而得∠BFB'＝148°，再根据∠BFE＝∠B'FE即可得出答案，综上所述即可得出∠BEF的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°， ∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝32°， 由折叠的性质得：∠BFE＝∠B'FE， 当△AFB′为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当AF＝AB'时，如图1所示： ∴∠AFB'＝∠AB'F（180°﹣∠A）（180°﹣32°）＝74°， ∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝106°， ∴∠BFE＝∠B'FE∠BFB'＝53°， ∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（53°+58°）＝69°； ②当AF＝B'F时，此时点B'与点C重合，如图2所示： ∴∠AB'F＝∠A＝32°， ∴∠AFB'＝180°﹣（∠AB'F+∠A）＝116°， ∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝64°， ∴∠BFE＝∠B'FE∠BFB'＝32°； ∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（32°+58°）＝90°； ③当AB'＝B'F时，如图3所示： ∴∠AFB'＝∠A＝32°， ∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝148°， ∴∠BFE＝∠B'FE∠BFB'＝74°， ∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（74°+58°）＝48°， 综上所述：∠BEF的度数为69°或90°或48°． ▌题型04 直角三角形的判定 1. 定义法：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 2. 如果一个三角形中两个内角之和等于，那么这个三角形是直角三角形。 【典例1】（2025秋•宜昌期末）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 【变式1-1】（2025秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； ②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意； ③由∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠C，则△ABC是直角三角形，故符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，，得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①③④，共3个． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•广州校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A，∠B都是锐角；④△ABC三个外角的度数之比是3：4：5；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据三角形内角和定理分别求出三角形的角，根据直角三角形的性质判断即可． 【解答】解：①∠A+∠B＝∠C时，∠C＝90°，△ABC为直角三角形； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3时，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC为直角三角形； ③∠A，∠B都是锐角，△ABC不一定是直角三角形； ④△ABC三个外角的度数之比是3：4：5时，三个外角的度数分别为90°，120°，150°，△ABC为直角三角形； ⑤∠A＝2∠B＝3∠C时，∠A，∠B，∠C，△ABC不是直角三角形； 故选：C． 【变式1-3】（2025秋•合肥校级期末）在下列条件： ①∠A+∠C＝∠B； ②； ③∠A＝∠B＝2∠C； ④∠A：∠B：∠C＝1：3：4中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义判断． 【解答】解：①∵∠A+∠C＝∠B， ∴∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形； ②， 则∠B＝2∠A，∠C＝3∠A， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形； ③∵∠A＝∠B＝2∠C， ∴2∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝∠B＝72°， ∴△ABC不是直角三角形； ④∠A：∠B：∠C＝1：3：4， 设∠A，∠B，∠C分别为x，3x，4x， 则x+3x+4x＝180°， 解得：x＝22.5°， ∴∠C＝4x＝90°， ∴△ABC为直角三角形； 故选：C． ▌题型05 直角三角形的个数 步骤1：锁定图里所有直角顶点 把图中所有标了直角、能推导出直角的顶点全部圈出来，直角是直角三角形的核心顶点。 步骤2：固定顶点，分类枚举（最稳妥，防漏数） 以每个直角顶点为分类标准，数以此顶点为直角顶点的所有三角形。 步骤3：区分独立三角形，排除重复计数 （1）小直角三角形：不能再拆分的最小单元 （2）组合直角三角形：由两个小直角三角形拼接而成的大三角形 两种都要单独统计，不能只数小的。 步骤4：收尾核验 （1）检查有没有把非直角三角形误算进来； （2）核对同一个三角形是否被多次统计（只算1次）。 【典例1】（2026•灞桥区校级模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，DF交AC于点E，图中有（　　）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∵D是BC延长线上一点， ∴∠ECD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°， ∴△ECD是直角三角形， ∵DF⊥AB， ∴∠AFE＝∠BFD＝90°（垂直的定义）， ∴△AFE和△BFD都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有△ABC、△ECD、△AFE、△BFD，共4个， 故选：C． 【变式1-1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中共有　5　 个直角三角形． 【分析】根据直角三角形的判定定理判定进行分析即可．直角三角形有△ADE；△ADC；△ABC；△CDE；△CBD． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC， ∴△ABC，△ADC，△CDB，△CED，△AED为直角三角形， ∴共有五个直角三角形． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？ （2）∠2和∠A有什么数量关系？并说明理由． 【分析】（1）根据直角三角形的定义，可得答案； （2）根据余角的性质，可得答案． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC； （2）∠2＝∠A，理由如下： ∵∠ADC＝90°， ∴∠1+∠A＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠A． 【变式1-3】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，作BC边上的高AD，图中出现多少个直角三角形？又作△ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作D1D2，D2D3，…，当作出Dn﹣1Dn时，图中共出现多少个直角三角形？ 【分析】根据所作的高的条数得到的直角三角形个数总结规律，根据规律得到答案． 【解答】解：在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，作BC边上的高AD，图中出现3个直角三角形， 作△ABD中AB边上的高DD1，图中共出现5个直角三角形， 作D1D2，图中共出现7个直角三角形， 作D2D3，图中共出现9个直角三角形， … 作出Dn﹣1Dn时，图中共出现2n+3个直角三角形． ▌题型06 网格中的直角三角形 网格格点上找点P，使为直角三角形，分类讨论三直角顶点，分三种情况枚举： 1. 直角顶点在A：过A作AB的垂线，寻找所有格点P； 2. 直角顶点在B：过B作AB的垂线，寻找所有格点P； 3. 直角顶点在P：以AB为直径作圆。 把三类点位合并，剔除重复点，统计总个数。 【典例1】（2026春•余干县月考）如图，在由5×5的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且△ABC是直角三角形，则符合要求的点C共有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据题意画出点C的位置再进行判断即可． 【解答】解：如图，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个． 故选：D． 【变式1-1】如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数． 【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个． 故选：D． 【变式1-2】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形的面积求出点C到AB的距离，再判断出点C的位置即可． 【解答】解：点C的位置如图所示，共有3个． 故选：C． 【变式1-3】如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的两个端点均在格点（正方形的顶点）上，若△ABC是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有 　6　 个． 【分析】根据题意画出图形可得出答案． 解：如图所示，满足条件的格点C共有6个． 故答案为：6． ▌题型07 直角三角形斜边上的中线求线段长 直角三角形斜边的中线等于斜边长度的一半。 在，D为斜边AB中点，连接中线CD，则： 推论变形： （1）（已知中线求斜边） （2）AD=DB=CD（斜边上中点分出三条相等线段） 【典例1】（2026春•青秀区校级期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为10km，则CM的长为（　　） A．4km B．5km C．6km D．7km 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【解答】解：∵AC，BC互相垂直， ∴∠ACB＝90°， ∵M是AB的中点， ∴CMAB10＝5（km）． 故选：B． 【变式1-1】（2026春•长沙期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝8，点D为边AB的中点，则AB的长为（　　） A．16 B．5 C．4 D．7 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝8，点D为边AB的中点， ∴AB＝2CD＝16， 故选：A． 【变式1-2】（2026•城中区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A，B对应的刻度分别为0，6，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得答案． 【解答】解：∵点A、B对应的刻度分别为0、6， ∴AB＝6， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点， ∴CDAB＝3， 故选：C． 【变式1-3】（2026春•长春期末）如图，一把木梯AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，设木梯的中点为P，当木梯顶端A沿墙下滑时，木梯底部B沿地面向右滑行．在此过程中，点P与墙角O的距离变化为（　　） A．变大 B．不变 C．变小 D．先变大后变小 【分析】根据直角形的性质解答即可． 【解答】解：∵ON⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵木梯的中点为P， ∴OPAB， ∵AB的长度不变， ∴在此过程中，点P与墙角O的距离不变． 故选：B． ▌题型08 直角三角形斜边上的中线求周长 1.用中线长度×2直接算出斜边AB的长； 2.题目若给出两直角边之和AC+BC，直接相加：周长=(AC+BC)+AB。 【典例1】（2025秋•漳州期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【分析】根据CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解． 【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC＝20， ∴， 同理可得：， ∵EF＝8， ∴△EFM的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28． 故选：B． 【变式1-1】（2026•商丘模拟）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长是（　　） A．20 B．18 C．16 D．14 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得，由中位线得，再利用平行四边形周长公式求解． 【解答】解：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：， ∵把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上， ∴DF是Rt△ABC的中位线， ∴， ∴线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长是2（CF+DF）＝2×（5+3）＝16． 故选：C． 【变式1-2】（2025秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF平分∠BAC，BE⊥AC于点E，D是AB的中点，则△DEF的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：， ∵AB＝AC，AF平分∠BAC， ∴点F是BC的中点，且AF⊥BC， ∵BE⊥AC， ∴， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝3.5+3.5+3＝10． 故选：B． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，若AB＝10cm，AC＝8cm，则四边形AEDF的周长为 　18　 cm． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、DF，根据四边形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝10cm，AC＝8cm， ∴AEAB10＝5cm，AFAC＝4cm， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADB中，E是AB的中点， 则DEAB10＝5cm， 同理可得：DFAC＝4cm， ∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+AF+DF＝5+4+5+4＝18（cm）， 故答案为：18． ▌题型09 直角三角形斜边上的中线求角度 在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，则CD=AD=BD=， 由此直接产生两组等腰三角形，在△ACD中，；在△BCD中，； 再结合直角三角形固有条件：，同时。 【典例1】（2025秋•顺德区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点．若∠B＝36°，则∠BCD的度数为（　　） A．72° B．60° C．44° D．36° 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝DB，得到∠BCD＝∠B＝36°． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴CDAB， ∴CD＝DB， ∴∠BCD＝∠B＝36°， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•通州区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点F，点E是AC中点，∠EBF＝19°，则∠BAD的度数是（　　） A．69° B．71° C．73° D．75° 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出DE＝BE，得到∠EDF＝∠EBF＝19°，求出∠BED＝142°，由等腰三角形的性质推出∠BAE＝∠ABE，∠DAE＝∠ADE，得到∠BAD＝∠ABE+∠ADE，由三角形的外角性质推出∠BED＝∠BAD+∠ABE+∠ADE，得到∠BAD∠BED＝71°． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点， ∴DEAC，BEAC， ∴DE＝BE， ∴∠EDF＝∠EBF＝19°， ∴∠BED＝180°﹣19°﹣19°＝142°， ∵DEAC，AEAC， ∴DE＝AE， ∴∠BAE＝∠ABE， 同理：∠DAE＝∠ADE， ∴∠BAE+∠DAE＝∠ABE+∠ADE， ∴∠BAD＝∠ABE+∠ADE， ∵∠BEF＝∠BAE+∠ABE，∠DEF＝∠DAE+∠ADE， ∴∠BEF+∠DEF＝∠BAE+∠ABE+∠DAE+∠ADE＝∠BAD+∠ABE+∠ADE， ∴∠BED＝∠BAD+∠ABE+∠ADE， ∴∠BAD∠BED142°＝71°． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•滨江区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，且CD＜BC，以点C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E，连接DE．若∠A＝x，则∠BED的度数为（　　） A．90°x B．45°x C．90°+x D．135°x 【分析】如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，故CD＝AD＝BD，从而∠DCA＝∠A＝x．以C为圆心、CD为半径画弧可得CD＝CE，故△CDE为等腰三角形．在△CDE中，利用内角和定理求出，最后通过邻补角关系求得． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线， ∴CD＝BD＝AD， ∴∠DCA＝∠DAC（等边对等角）， ∵∠A＝x， ∴∠DCA＝∠DAC＝x， ∴∠ECD＝90°﹣x， 以点C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E， ∴CD＝CE， ∴， ∴， 则∠BED的度数为135°x， 故选：D． 【变式1-3】（2026•台湾）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D点为AC的中点，E点在BD上，AE为∠BAC的角平分线．若∠C＝40°，则∠AEB的度数为何？（　　） A．105 B．110 C．115 D．120 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BAC＝50°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得BD＝AD，从而可得∠BAC＝∠DBA＝50°，然后利用角平分线的定义可得∠BAE＝25°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝90°﹣∠C＝50°， ∵D点为AC的中点， ∴BD＝ADAC， ∴∠BAC＝∠DBA＝50°， ∵AE为∠BAC的角平分线， ∴∠BAE∠BAC＝25°， ∴∠AEB＝180°﹣∠DBA﹣∠BAE＝105°， 故选：A． ▌题型10 含30°角的直角三角形求线段长 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半。 【典例1】（2025秋•玉溪期末）如图，在△ACB中，点D在AC边上，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝2，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先算出∠BDC＝30°，则BD＝2BC＝4，运用三角形外角性质，得∠ABD＝∠A＝15°，即可作答． 【解答】解：∵在△ACB中，∠C＝90°，∠DBC＝60°， ∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2BC＝2×2＝4， ∵∠A＝15°，且∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°， ∴∠ABD＝∠A＝15°， ∴AD＝BD＝4， 则AD的长为4， 故选：C． 【变式1-1】（2026•包河区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D是BC中点，E在AC上，且∠AED＝90°，若DE＝2，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．8 【分析】由等腰三角形的性质推出∠C＝∠B＝30°，由含30度角的直角三角形的性质推出DC＝2DE＝2×2＝4，由线段的中点定义得到BC＝2CD＝8． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝30°， ∵∠AED＝90°， ∴DC＝2DE＝2×2＝4， ∵D是BC中点， ∴BC＝2CD＝8． 故选：D． 【变式1-2】（2026春•梅县区期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB边的垂直平分线，AD＝12，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得：BD＝AD＝12，利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠ABC＝60°，再从而得∠CBD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，在Rt△BCD中利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线， ∴BD＝AD＝12， ∴∠DBE＝∠A＝30°， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣30°＝30°， ∴， 故选：C． 【变式1-3】（2025秋•肥东县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4在射线ON上，点B1，B2，B3在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4均为等边三角形．若OA1＝3，则A1A4等于（　　） A．18 B．21 C．24 D．27 【分析】根据等边三角形的性质可得∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再利用三角形的外角性质可得∠OB1A1＝∠MON＝30°，从而可得OA1＝A1B1＝A1A2＝3，进而可得OA1＝6，然后根据同理可得OA2＝A2B2＝6，OA3＝A3B3＝12，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∵∠B1A1A2是△OA1B1的一个外角， ∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝∠MON＝30°， ∴OA1＝A1B1＝3， ∴A1B1＝A1A2＝3， ∴OA1＝OA1+A1A2＝6， 同理可得：OA2＝A2B2＝6， ∵△A2B2A3是等边三角形， ∴A2B2＝A2A3＝6， ∴OA3＝OA2+A2A3＝12， 同理可得：OA3＝A3B3＝12， ∵△A3B3A4是等边三角形， ∴A3B3＝A3B4＝12， ∴A1A4＝A1A2+A2A3+A3A4＝3+6+12＝21， 故选：B． ▌题型11 最值问题 1.垂线段最短 直线外一点到直线所有连线里，垂线段最短。在含30°直角结构里，垂线经常直接充当30°角的对边。 2.动点绕定点旋转 某条线段长度固定，端点绕定点旋转，动点轨迹是圆。结合含30°直角三角形，求另一个端点的最值：最值 = 圆心到定点距离 ± 半径。 3.折叠背景下含30°线段最值 折叠前后边长不变，存在定长线段，动点受折叠约束，常结合30°直角： 【典例1】（2025秋•衡水期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE，若F是DE的中点．当CF取最小值时，BF的值为　3　 ． 【分析】根据等边三角形的性质得到∠DBE＝60°，由三线合一性质得到，则∠CBF＝∠ABC+∠DBF＝60°，根据垂线段最短性质可知当CF⊥BF时，CF取最小值，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出BF的值． 【解答】解：∵等边△BDE， ∴∠DBE＝60°（等边三角形的性质）， ∵F是DE的中点， ∴BF平分∠DBE， ∴， ∴∠CBF＝∠ACB+∠DBF＝30°+30°＝60°， 当CF⊥BF时，CF取最小值，此时∠CFB＝90°， ∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°， ∴． 则当CF取最小值时，BF的值为3， 故答案为：3． 【变式1-1】（2025秋•高要区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，如果AD＝10，P为AB上一动点，那么PD的最小值为 　5　 ． 【分析】根据垂线段最短找到点P，进而即可得到答案； 【解答】解：如图，作DP′⊥AB于点P′，则P′D最短， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵AD＝10， ∴P′DAD＝5． 故答案为：5． 【变式1-2】（2025秋•东城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，若P是直线BC上的动点，则的最小值是 　6　 ． 【分析】根据题意，作BD⊥AC于D点，若P运动到C点处，A，P′，D在一条线上，此时最小，求出AD长，即可得到结果． 【解答】解：如图：延长AC，过点B作BD⊥AC于D点， ∵∠ACB＝120°， ∴∠BCD＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∵BC＝4， ∴在Rt△BCD中，CDBC＝2， ∵P是直线BC上的动点， ∴当P运动到C点处，P′D＝CDPB， ∵此时A，P′，D在一条线上， ∴最小， ∴AD， ∵AC＝BC＝4， ∴AD＝4+2＝6， 故答案为：6． 【变式1-3】（2025秋•金安区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点且始终有，则线段BG长的最小值是（　　） A． B．6 C． D．9 【分析】连接AG，过点B作BH⊥AG，交AG的延长线于点H，根据等边三角形性质得AE＝AD，∠DAE＝60°，再根据点G为EF的中点且始终有DGEF得EG＝DG，由此依据“SSS”判定△AEG和△ADG全等得∠EAG＝∠DAG＝30°，进而得∠HAB＝∠CAB＝30°，进而依据“SAS”判定△HAB和△CAB全等得BH＝BC＝6，由∠EAG＝∠DAG＝30°得AH是∠EAD的平分线，由此得当点D在AB上运动时，点G始终在∠EAD的平分线上，然后根据“垂线段最短”得BG≥BH＝6，由此得当点G与点H重合时，BG为最小，最小值为线段BH的长，据此即可得出答案． 【解答】解：连接AG，过点B作BH⊥AG，交AG的延长线于点H，如图所示： ∴∠H＝90°， ∵△AED是等边三角形， ∴AE＝AD，∠DAE＝60°， ∵点G为EF的中点， ∴EGEF， 又∵DGEF， ∴EG＝DG， 在△AEG和△ADG中， ， ∴△AEG≌△ADG（SSS）， ∴∠EAG＝∠DAG∠DAE＝30°， ∴∠CAB＝30°， ∴∠DAG＝∠CAB＝30°， 即∠HAB＝∠CAB＝30°， 在△HAB和△CAB中， ， ∴△HAB≌△CAB（AAS）， ∴BH＝BC＝6， ∵∠EAG＝∠DAG＝30°， ∴AH是∠EAD的平分线， ∴当点D在AB上运动时，点G始终在∠EAD的平分线上， 根据“垂线段最短”得：BG≥BH＝6， ∴当点G与点H重合时，BG为最小，最小值为线段BH的长， 线段BG长的最小值是6． 故选：B． ▌题型12 动点问题 设原直角三角形，，，动点P在某条边上运动，问t为何值时为含的直角三角形。 分三种直角顶点： 1.直角在动点P处（） 2.直角在定点A处（） 3.直角在定点B处（） 每一种直角确定后，再确定哪个锐角是，套边长比例列方程。 【典例1】（2026春•达川区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝10cm．动点P从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，动点F从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t（单位：s）．当t为　2.5或1　 s时，△PAF是直角三角形． 【分析】由含30度角的直角三角形的性质推出ACAB＝5（cm），求出∠A＝60°．当∠AFP＝90°时，由含30度角的直角三角形的性质得到5﹣t2t，求出t＝2.5；当∠APF＝90°时，由含30度角的直角三角形的性质得到2t（5﹣t），求出t＝1，于是得到答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴ACAB10＝5（cm），∠A＝90°﹣30°＝60°， 当∠AFP＝90°时， ∴∠APF＝90°﹣∠A＝30°， ∴AFAP， ∵CF＝tcm， ∴AF＝AC﹣CF＝（5﹣t）cm， ∵AP＝2tcm， ∴5﹣t2t， ∴t＝2.5； 当∠APF＝90°时， ∴∠AFP＝90°﹣∠A＝30°， ∴APAF， ∵AP＝2tcm，AF＝（5﹣t）cm， ∴2t（5﹣t）， ∴t＝1， ∴当t＝2.5s或1s时，△PAF是直角三角形， 故答案为：2.5或1． 【变式1-1】（2026春•城中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝8cm，动点P从点A开始以2cm/s的速度向点C运动，动点F从点B开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t（单位：s）．当t为　或4　 s时，△PAF是直角三角形． 【分析】分当∠APF＝90°时，当∠AFP＝90°时，两种情况讨论求解即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝8cm， ∴∠A＝60°， 由题意得，BF＝tcm，AP＝2tcm， ∴AF＝（8﹣t）cm， 当∠APF＝90°时，则∠AFP＝30°， ∴APAF， ∴2t（8﹣t）， ∴t， 当∠AFP＝90°时，则∠APF＝30°， ∴AFAP， ∴8﹣t2t， ∴t＝4； ∴当t或t＝4时，△PAF是直角三角形． 故答案为：或4． 【变式1-2】（2025秋•安阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为 　3或4.8　 ． 【分析】根据题意，先列出AP，AQ的代数式，当△APQ为直角三角形时，则∠AQP＝90°，∠APQ＝30°或∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，再根据30度角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【解答】解：在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒， ∴BP＝2tcm，AQ＝tcm， ∴AP＝AB﹣BP＝（12﹣2t）cm， ∵△APQ为直角三角形，∠A＝60°， ∴当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°， ∴， ∴， 解得：t＝3， 当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°， ∴， ∴， 解得：t＝4.8， 综上，当t的值为3或4.8时，△APQ为直角三角形， 故答案为：3或4.8． 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【分析】用含t的代数式表示出BP、BQ． （1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当∠BQP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝tcm. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $