专题04角平分线与线段垂直平分线（9大专题）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“性质-判定-综合”为主线，通过9类题型构建角平分线与线段垂直平分线的解题方法体系，注重对称转化与模型迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2类核心性质|构造对称点、作垂线转化线段角度关系|从性质定理到判定定理，结合全等与面积模型| |题型归纳|9类题型42道例题|每题型配“识别-转化-求解”三步模版|单一应用→综合判断→最短路径问题逐步进阶| |压轴挑战|多问综合题|性质判定综合应用及动态问题处理|融合轴对称与几何最值，培养逻辑推理与创新意识|

专题04 角平分线与线段垂直平分线 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 应用角平分线的性质定理进行计算 题型2 应用角平分线的性质定理进行证明 题型3 角平分线性质定理与其它知识的综合判断 题型4 角平分线的判定定理及应用 题型5 角平分线性质定理与判定定理的综合 题型6 线段垂直平分线的性质与判定 题型7 线段垂直平分线与角平分线的综合 题型8 线段垂直平分线与角平分线性质的综合 题型9 利用线段垂直平分线解决最短路径问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。线段垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。解题时常通过构造对称点、作垂线转化线段或角度关系，结合三角形全等、面积与最值模型求解。 题型1 应用角平分线的性质定理进行计算 ◆题型1 应用角平分线的性质定理进行计算 题型模版 1. 识别角平分线，向角两边作垂线，利用“距离相等”建立等量关系。 2. 结合三角形面积、周长或勾股定理列方程求值。 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在的边，上取点，，连接，平分平分，若，的面积是4，的面积是6，则的长是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查角平分线；过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接．得到，，根据的面积是6，求出，得到，即可求出结果． 【详解】解：过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接． ∵P是外角平分线的交点， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 2．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）在中，作出、的内、外角平分线，两个内角平分线交于点，两个外角平分线交于点，直线与直线交于点． (1)如图1，若， ①直接写出，，的度数． ______，______，______． ②连接，求出的度数． (2)如图2，中，，，，，的内角平分线和的外角平分线交于点，过作，垂足为，求的长度． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①利用角平分线的性质易得，则可求得，同理得，得，由角平分线性质得，由三角形内角和即可求得； ②过点M分别作射线、线段、射线的垂线，垂足分别为G、H、N，由角平分线的性质定理得，，从而得，点M在的平分线上， 则，再由①所求即可求解； （2）过点M分别作射线、线段的垂线，垂足分别为G、H，由角平分线的性质定理得，，从而，设，利用四边形的面积等于，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①∵分别平分及其补角， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴，， ∵分别平分、， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②过点M分别作射线、线段、射线的垂线，垂足分别为G、H、N，如图1， ∵平分， ∴， ∵平分的外角，且点M在直线上， ∴平分， ∴， ∴， ∴点M为的平分线， ∴ 由①知，， ∴； （2）解：如图2，过点M分别作射线、线段的垂线，垂足分别为G、H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 即， 设，则， ∵四边形的面积等于， ∴， 即， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理与判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，构造垂线以便利用角平分线的性质定理是解题的关键． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1) ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； (2) 证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】能够作出角平分线的辅助线和平行辅助线是解题的关键． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①（或）， ②证明：过点C作，交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图，过点C作于点M，于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①由已知可得，则，进而得； ②过点C作，交于点F，可证得，从而； （2）过点C作于点M，于点N，证明，从而得出； （3）取中点G，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）①解：∵，，， ∴， ∴， ∴； ② 略 （2）略 （3）解：取中点G，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D、G分别是、边上的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型2 应用角平分线的性质定理进行证明 ◆题型2 应用角平分线的性质定理进行证明 题型模版 1. 利用角平分线性质得到线段或角的等量关系。 2. 通过证明三角形全等或等腰三角形得出结论。 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． (1)如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； (2)如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； (3)若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴①，②，． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． 即③ 由①②③得． ∴； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）根据角平分线性质定理即可求解； （2）过点C作于M，于N，证明即可； （3）过点C作于M，于N，证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：当，（2）中结论仍然成立， 证明：过点C作于M，于N． ∵平分， ∴①，②， ∵， ∴． ∴． ∴． 即③ 由①②③得． ∴． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证：； (2)若，，求的长； (3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围； (4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值． 【答案】(1) 证明：如图， ∵，为的中点， ∴， ∵，，是的角平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）由题意可知垂直平分，故有，利用角平分线的性质可得 ，故可推出，即可求证； （）证，得，根据，通过等量代换可得，即可求解； （）如图，延长到，使，连接，根据证明，再根据三角形的三边关系解答即可； （）如图，过点作于，设，则，根据勾股定理列等式可得，，过点作于，作于，先根据角平分线的性质得，最后由面积法解答即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （4）解：如图，过点作于，设，则， 由勾股定理得：， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 过点作于，作于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的面积等知识点，掌握知识点的应用及正确作辅助线构建全等三角形和三角形的高线是解题的关键． 7．（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点． (1)【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； (2)【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 【答案】(1) ①连接，补全图形如图所示： ∵，点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②若点在线段上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③的长为或 (2) 【分析】（1）①由角平分线得到，，再根据三角形内角和得到，即可根据求解； ②证明，得到，则，结合，得到； ③点在线段上，由②可得，代入求值即可；若点在射线上，在下方，由②同理可得，，则，代入求值即可； （2）由，，，取一点，使，，过作交直线于，连接，证明，得到，，设，，则，，，根据，得到，连接，取中点，连接，根据，得到，进而得，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：① 略 ② 略 ③若点在线段上，由②可得， ∵，， ∴， ∴； 若点在射线上，在下方，如图： 由②同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴，， 取一点，使，，过作交直线于，连接， ∴，， ∴， ∴，， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 连接，取中点，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 代入得， 即， ∴． 8．已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； (2) 解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 题型3 角平分线性质定理与其它知识的综合判断 ◆题型3 角平分线性质定理与其它知识的综合判断 题型模版 1. 综合运用角平分线、三角形内角和、外角性质进行角度推导。 2. 注意分类讨论，避免漏解。 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①②；③④若为直角，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据三角形的内角和和外角的性质即可得到． 本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 【详解】解：设与的延长线交于点M，如下图所示： ，， ， 又， 故， ； 故①正确， ， 过点E作于点P，作于点Q， 平分， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， 平分， ； 故③正确， 延长二线交于点N， 平分， ， ， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 无法证明， 故④错误， 故选：A． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． ①作，由角平分线性质得，证平分（①对）； ②用全等得，结合，证②错； ③借全等将、转化为、，得（③对）； ④由外角性质+角平分线，得（④对）． 【详解】解：如图， 作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，，， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故①正确． 在和中， ∴，同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②错误． ∵，， ∴，故③正确． ∵，且（平分）， ∴，故④正确． 故选：D． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和定理，角平分线的性质定理等知识．过点作于点，根据角平分线得到，则用面积公式可证明，即可判断①；根据三角形内角和定理判断②；然后证明，即可判断③；最后证明即可判断④． 【详解】解：过点作于点， 是的角平分线， ， ∴， ． ，故①正确． ， ． 、是的角平分线， ∴， ，故②正确． ， ， ． ． 是的角平分线， ， ． ，故③正确． ， ． 是的角平分线， ． ， ． ， ． ． ． ， ． ，故④正确． ∴正确的有4个， 故选：D． 12．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，平分交于点，平分 交于点，交于点．①；②若，则；③；④．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质与判定以及三角形面积公式： ①利用角平分线定义得到，再用三角形内角和为求解即可； ②证明即可； ③是等高但底不一定相同的三角形，直接用三角形面积公式求解； ④在上截取，连接，先证明得到，再证明即可得到结论． 【详解】解：①， ， 平分，平分 ， ， ， ； ②， ， 平分 ， ， ， ， ， ； ③不一定等于，， 不一定和相等； ④在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，正确； 故选：C． 题型4 角平分线的判定定理及应用 ◆题型4 角平分线的判定定理及应用 题型模版 1. 证明点到角两边距离相等，即可判定该点在角平分线上。 2. 常通过全等或等面积法证明距离相等。 13．如图，已知，，连接，，相交于点H． (1)求证：； (2)求的大小； (3)连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，即 ∴ ∴； (2) (3) 证明：如图所示，连接，过点作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【分析】（1）由，，，得到，即可证明出，进而即可得到结论； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴，即； （3）略 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识并应用． 14．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．作于E，于G，于H，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点C在的平分线上，则可求得；当′于，则，即的最小值为，此时点C与重合，从而求得此时的度数． 【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接， ∵平分，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴平分，即点C在的平分线上， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，则， 即的最小值为，此时点C与重合， ∴， ∴， ∴当线段取最小值时，的度数为， 故选：B． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 【答案】(1) (2) 过作，垂足分别为、 为的中点，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， 又， ∴ 平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． （1）证明，即可解决问题； （2）要向证明是角平分线，就要想到用角平分线的判定，合理作出辅助线，进而证明即可； 【详解】（1）解：    ， 在与中， ， ； （2）略 16．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设，，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现． (1)探究一：如图1，当时，连接交于点Q，小林发现有两个结论：①；②连接，则平分．小亚证明了之后确定小林的两个发现都是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接得到四边形，摆放时使点P始终在四边形内部．小海对小美说：E是边的中点，当时，发现边与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二的条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，变化另外一个三角板的位置后，思考创设了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又，， ， ，故①正确； 设点到，的距离分别为，， ∵， ， ， ， 点在的平分线上， 平分，故②正确； (2) 解：，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ， ∵点为的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ； (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得到，，设点到，的距离分别为，，利用等面积法可证明，再由角平分线的判定定理可证明结论； （2）延长到，使，连接，证明，得到，再证明，即可得到； （3）连接并延长到，使，连接，分两种情况：点在边上和点在边延长线上，画出对应的示意图，同理证明，，再根据全等三角形的性质和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接并延长到，使，连接． ①当点在边上时， 由题意得，， 同理可证明，， ∴， ∵，， ； ②当点在边延长线上时， 同理可证明， ∴， 同理可得， 综上，的度数为或 题型5 角平分线性质定理与判定定理的综合 ◆题型5 角平分线性质定理与判定定理的综合 题型模版 1. 既要会用性质求距离，也要会用判定找角平分线。 2. 综合三角形全等、相似、面积关系建立联系。 17．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为______；位置关系为______． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G ①若，试用的表达式表示______； ②若，，求的值． 【答案】(1)， (2)，； (3)①；② 【分析】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）即可得到，； （3）①过点作和的垂线，垂足分别为和，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可； ②利用等积法求得，设，，再求得，设，，根据，求得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故，； （2）解：记与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故，； （3）解：①过点作和的垂线，垂足分别为和， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②∵是的角平分线， ∴是的角平分线， 过点作和的垂线，垂足分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 19．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【情境再现】 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 如图，在中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______． 【答案】 ；；． 【分析】根据三角形外角的性质可得、，根据角平分线的定义可得、，所以可得，从而可得； 延长到，根据角平分线的定义可得，从而可得平分、平分，构造出中的模型，由中的结论可知； 过点作、、，根据、，可得平分，构造出中的模型，由中的结论可知． 【详解】解：， 理由如下： 如下图所示， 是的外角， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， ； 解：如下图所示，延长到点， ， ， 又平分， ， 平分， 又平分， 由可知， 根据折叠可知 ， ， ， 解得：， ； 解：如下图所示，过点 作垂足为点， 垂足为点，垂足为点， ，， ， 平分， 平分，， 由（1）知 ， 平分， 平分， ， ， 平分， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及判定定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，邻补角性质，解决本题的关键是根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、角平分线把一个角分成两个相等的角，找到角之间的关系；另外还要作辅助线构造出中的模型． 题型6 线段垂直平分线的性质与判定 ◆题型6 线段垂直平分线的性质与判定 题型模版 1. 利用垂直平分线上的点到两端距离相等转化线段关系。 2. 判定一点在垂直平分线上，只需证该点与两端距离相等。 21．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论： ①≌；    ②． 判断正确的是（    ）． A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 根据是的高，结合是的角平分线，利用全等三角形的判定和性质，可判定①正确；延长交于点N，得到，得到，可以判断②错误，解答即可． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴，故①正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故②错误， 故选：B 22．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由题意可得：直线垂直平分线段，得到，推出，结合平分，可得，最后结合，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D， ∴直线垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 23．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，于点，垂直平分，已知，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握该性质． 根据线段垂直平分线的性质得出，然后利用三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4． 24．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2），分别垂直平分线段和线段， ，，， ，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ； 故答案为：； （3）如图所示， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， 的周长为8， ， 的周长为18， ， ， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 25．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则　 　； ②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①20； ②， 理由如下： 证明：如图1，连接， ∵点与点关于直线对称，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； (2)， 证明：如图2，在延长线上取点，使，连接， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①先根据角的运算得出的度数，根据三角形内角和求出的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出的度数，作差可得结论； ②连接，可得出，再根据，，可得出，，所以；进而可得，再由全等三角形的性质可得结论； （2）在延长线上取点，使．连接．由垂直平分线的性质可得，；设，，所以，由此表达，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得结论． 【详解】（1）解：①，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20； ② 略 （2）略 【点睛】本题在三角形背景下考查旋转的相关知识，属于三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． 题型7 线段垂直平分线与角平分线的综合 ◆题型7 线段垂直平分线与角平分线的综合 题型模版 1. 同时出现两种对称结构时，分别找对称点或作垂线。 2. 利用轴对称性质转化线段和角度。 26．如图，，，．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． (1)的度数为______ (2)连接，交于点，试说明垂直平分； (3)点是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 【答案】(1) (2) 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点，， 垂直平分； (3) 证明：如图，延长、交于点， 由（1）（2）知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，此时的值最小， 点是直线上的动点， 当的值最小时，点与点重合． 【分析】（1）根据题意可证明，得到，由，可得，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）先说明，由平行的性质可得，然后再证明可得，再根据等腰三角形的性质可证明结论； （3）先说明，则，此时的值最小，进而证明结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、轴对称﹣最短路径问题、平行线的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质等知识点，利用轴对称求最短距离是解题的关键． 27．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】(1) ①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②1 (2)①； ② (3)2或6． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）①略 ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 28．（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线的取值范围是________． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试说明：． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 证明：如图2所示，延长至点，使，连接、， 由（1）得：， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； (3) 解：，．理由如下： 如图3所示，延长至，使，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，． 【分析】（1）证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，得到，证明得出，，则．延长交于，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：延长至，使，连接， ∵是边上的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：；； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形中线的定义，三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角的关系等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 29．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即，________． (1)【猜想结论】___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)见解析；． 【分析】（）根据角平分线的性质、三角形面积公式可得答案； （）过作于点，作于点，根据角平分线的性质可得，然后由，从而求证； （）连接，由得， 又， 从而得，又是的中点，则，所以，得点在垂直平分线上，然后证明，得，所以点在垂直平分线上，从而可证垂直平分； 根据高的定义画出高，然后延长交延长线于点，设，，则有，，再证明，所以，，通过，根据得出，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）证明：如图，过作于点，作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， 又∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分； 如图，即为所求， 延长交延长线于点， 设，， 由得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线定义，三角形中线的性质，三角形面积公式，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线，熟练知识点的应用是解题的关键． 题型8 线段垂直平分线与角平分线性质的综合 ◆题型8 线段垂直平分线与角平分线性质的综合 题型模版 1. 分析题目中的对称条件，确定对称轴。 2. 通过对称转化，将分散条件集中到一个三角形中。 30．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1) 证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； (2)①；② (3)1或2或3或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 31．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作．交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度________． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是________． 【答案】(1) 证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； (2)①；② (3)3或6或9或18 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①平分，平分，， ∴，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点是内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点； 当点在内部时，记点到各边所在的直线距离为，如图3： ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图4： 设点到三边的距离为， 则由得， ∴， 同理， ， ， 点到直线的距离是； 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：，则， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是3或6或9或18． 故答案为：3或6或9或18． 32．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）为线段的中点，理由见解析；（3）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，有．作于点，由角平分线的性质可得，证得，即可求证； （3）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】（1）证明：， ． 又，平分， ． 为的中点， ， ． ， ． 又， 是的平分线； （2）解：为线段的中点； 理由：过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，如图， ， ． 作于点，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ， ， 为线段的中点； （3）解：在和中， ， ， 则， 同理可证，则， ． 又， ， ， ． 33．（25-26八年级上·广东珠海·期中）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②2 (3)4；3或6或9或18． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ∴，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点是内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点； 当点在内部时，记点到各边所在的直线距离为，如图3： ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图4： 设点到三边的距离为， 则由得， ∴， 同理， ， ， 点到直线的距离是； 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：，则， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，这样的点有4个，点D到直线l的距离是3或6或9或18． 故答案为：4；3或6或9或18． 题型9 利用线段垂直平分线解决最短路径问题 ◆题型9 利用线段垂直平分线解决最短路径问题 题型模版 1. 利用垂直平分线作对称点，将折线转化为直线。 2. 应用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求最值。 34．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 35．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 36．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，若点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，过点作，交延长线于，根据垂线段最短得出的最小值为，根据垂直平分线的性质，结合三角形三边关系得出的最小值为，利用的面积求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作，交延长线于， ∵点是直线上一动点， ∴的最小值为， ∵是的垂直平分线，点是直线上一动点， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，有最小值，最小值为， ∵，， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 37．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 38．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，正确画出辅助线是解题的关键． 在上截取，证明，即可得到，同理可得，即可解答． 【详解】解：点到三边的距离相等， 点为三条角平分线的交点， ， 如图，在上截取， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 在上截取， 同理可得， ， 在中，， 即， ， ， 故最小， 故选：C．    39．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①将绕点逆时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断；②将绕点顺时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断； ③由全等三角形的性质得，即可判断；④过点作交于，作交于，结合等腰三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质及角平分线的判定定理，即可判断． 【详解】解：①，， 将绕点逆时针旋转得对应三角形为， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， 故①正确； ②，， 将绕点顺时针旋转得对应三角形为， 由①同理可证：，（）， ， ， ， 故②正确； ③：由②得， ， 平分， 故③正确； ④过点作交于，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， 平分， 故④正确； ①②③④都正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，角平分线的判定定理；能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 40．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分于点于点，连接交于点，点在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是______． 【答案】①②③④⑤ 【分析】①利用角平分线的性质定理进行证明即可； ②利用三角形的三边关系进行求解即可； ③证明，得出，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可； ④利用三角形的面积公式进行化简即可； ⑤证明，得出，利用等量代换和线段的和差进行证明即可． 【详解】解：①∵平分于点于点， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴, 故②正确，符合题意； ③∵于点于点， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， 即， 故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的选项为①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定定理，三角形的面积和三边关系等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 41．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为_____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点C作交于点G，作交于点H，连接，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：过点C作交于点G，作交于点H，连接，如图： ∵平分交于点， ∴点与点H关于对称， ∴， ∴， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 42．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和最值问题，三角形的面积公式，掌握好相关知识是关键． 43．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，过作交延长线于点，作，于点，连接，则，证明点在平分线上，所以，再证明，得，又，则当三点共线时有最小值，即有最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交延长线于点，作，于点，连接，则， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最小值，即有最小值，为， 如图， 故答案为：． 44．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，为上任意一点，，，，则的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，依据是的垂直平分线，可得，进而得到当B，M，C在同一直线上时，的最小值为的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 当B，M，C在同一直线上时，的最小值为的长， 则的最小值为． 45．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/74度 【分析】由，，，，可得，分别平分，，则，，则由，可得． 【详解】解：∵，，，， ∴，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 46．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，，角平分线相交于G，，若，，则m，n的关系式为：______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，则，进而可求出，再过点，，垂足分别为点，同理可得，由得到，则，那么，即可求解． 【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图；   平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，， ，则， ∴， 过点，，垂足分别为点， 同理可得， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 47．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点D， 在中，①， 在中，②， 得：， ∴， 即； (2) 解：小民的发现正确，理由如下： 过点P作于点D,于点E,于点F, ∵是的平分线，，， ∴， 同理∵是的平分线，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； (3)同意小兴， 【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的性质定理和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点D，在和中，根据三角形三边关系列不等式，即可求解； （2）过点P作于点D,于点E,于点F，根据角平分线的性质定理及判定定理即可求解； （3）根据角平分线的性质定理，可得点P到，的距离也是，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：同意小兴的看法， ∵点P到的距离为，分别是，，的平分线， ∴点P到，的距离也是， ∴ ． 48．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】 （1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 49．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，，延长交直线于． (1)如图，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，若，求的度数； (3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角的等量代换易证，从而证明，得到，再根据外角的性质分别表示出，，结合对顶角相等即可证明； （2）同（1）可证得，进而得到，设交于，过作，交的延长线于，于，则，易证 ， 得到， 根据，， 利用角平分线的判定定理可得， 从而可求得的度数． （3）延长至，使，连接，设与的交点为，易证，得到，，，从而得到，根据外角的性质、内角和定理进行角的等量代换可得，从而证得，得到，结合，等量代换易证，即，根据是的中点，可得，进而得到，结合，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：， ，即， 在和中， ， ， ， 如图，设交于，过作，交的延长线于，于，则， ，， ， ，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，延长至，使，连接，设与的交点为， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的中点， ， ， 又， ． 50．（25-26八年级上·天津和平·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，求出的度数； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2) (3)的值不发生改变，等于 【分析】本题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中，， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； （2）解：过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， （3）解：的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， 证明：连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意得出，，再由等量代换即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，利用垂直平分线的判定得出垂直平分，，再由全等三角形的判定和性质即可证明 【详解】（1）略． （2）略． 52．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）24； （3） 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 角平分线与线段垂直平分线 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 应用角平分线的性质定理进行计算 题型2 应用角平分线的性质定理进行证明 题型3 角平分线性质定理与其它知识的综合判断 题型4 角平分线的判定定理及应用 题型5 角平分线性质定理与判定定理的综合 题型6 线段垂直平分线的性质与判定 题型7 线段垂直平分线与角平分线的综合 题型8 线段垂直平分线与角平分线性质的综合 题型9 利用线段垂直平分线解决最短路径问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。线段垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。解题时常通过构造对称点、作垂线转化线段或角度关系，结合三角形全等、面积与最值模型求解。 题型1 应用角平分线的性质定理进行计算 ◆题型1 应用角平分线的性质定理进行计算 题型模版 1. 识别角平分线，向角两边作垂线，利用“距离相等”建立等量关系。 2. 结合三角形面积、周长或勾股定理列方程求值。 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在的边，上取点，，连接，平分平分，若，的面积是4，的面积是6，则的长是_____． 2．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）在中，作出、的内、外角平分线，两个内角平分线交于点，两个外角平分线交于点，直线与直线交于点． (1)如图1，若， ①直接写出，，的度数． ______，______，______． ②连接，求出的度数． (2)如图2，中，，，，，的内角平分线和的外角平分线交于点，过作，垂足为，求的长度． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 题型2 应用角平分线的性质定理进行证明 ◆题型2 应用角平分线的性质定理进行证明 题型模版 1. 利用角平分线性质得到线段或角的等量关系。 2. 通过证明三角形全等或等腰三角形得出结论。 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． (1)如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； (2)如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； (3)若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证：； (2)若，，求的长； (3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围； (4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值． 7．（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点． (1)【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； (2)【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 8．已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 题型3 角平分线性质定理与其它知识的综合判断 ◆题型3 角平分线性质定理与其它知识的综合判断 题型模版 1. 综合运用角平分线、三角形内角和、外角性质进行角度推导。 2. 注意分类讨论，避免漏解。 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①②；③④若为直角，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．②③④ 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④ 11．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，平分交于点，平分 交于点，交于点．①；②若，则；③；④．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 题型4 角平分线的判定定理及应用 ◆题型4 角平分线的判定定理及应用 题型模版 1. 证明点到角两边距离相等，即可判定该点在角平分线上。 2. 常通过全等或等面积法证明距离相等。 13．如图，已知，，连接，，相交于点H． (1)求证：； (2)求的大小； (3)连接，求证：平分． 14．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 16．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设，，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现． (1)探究一：如图1，当时，连接交于点Q，小林发现有两个结论：①；②连接，则平分．小亚证明了之后确定小林的两个发现都是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接得到四边形，摆放时使点P始终在四边形内部．小海对小美说：E是边的中点，当时，发现边与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二的条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，变化另外一个三角板的位置后，思考创设了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，求的度数（结果用含的式子表示）． 题型5 角平分线性质定理与判定定理的综合 ◆题型5 角平分线性质定理与判定定理的综合 题型模版 1. 既要会用性质求距离，也要会用判定找角平分线。 2. 综合三角形全等、相似、面积关系建立联系。 17．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为______；位置关系为______． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G ①若，试用的表达式表示______； ②若，，求的值． 18．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 19．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【情境再现】 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 如图，在中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______． 题型6 线段垂直平分线的性质与判定 ◆题型6 线段垂直平分线的性质与判定 题型模版 1. 利用垂直平分线上的点到两端距离相等转化线段关系。 2. 判定一点在垂直平分线上，只需证该点与两端距离相等。 21．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论： ①≌；    ②． 判断正确的是（    ）． A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 22．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，于点，垂直平分，已知，，则的长为_____． 24．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 25．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则　 　； ②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明． 题型7 线段垂直平分线与角平分线的综合 ◆题型7 线段垂直平分线与角平分线的综合 题型模版 1. 同时出现两种对称结构时，分别找对称点或作垂线。 2. 利用轴对称性质转化线段和角度。 26．如图，，，．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． (1)的度数为______ (2)连接，交于点，试说明垂直平分； (3)点是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 27．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 28．（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线的取值范围是________． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试说明：． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 29．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即，________． (1)【猜想结论】___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 题型8 线段垂直平分线与角平分线性质的综合 ◆题型8 线段垂直平分线与角平分线性质的综合 题型模版 1. 分析题目中的对称条件，确定对称轴。 2. 通过对称转化，将分散条件集中到一个三角形中。 30．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 31．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作．交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度________． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是________． 32．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 33．（25-26八年级上·广东珠海·期中）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 题型9 利用线段垂直平分线解决最短路径问题 ◆题型9 利用线段垂直平分线解决最短路径问题 题型模版 1. 利用垂直平分线作对称点，将折线转化为直线。 2. 应用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求最值。 34．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 36．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，若点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，，，则的最小值为______． 37．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 38．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分于点于点，连接交于点，点在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的是______． 41．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为_____ ． 42．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 43．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为______． 44．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，为上任意一点，，，，则的最小值为_________． 45．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 46．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，，角平分线相交于G，，若，，则m，n的关系式为：______．    47．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 48．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 49．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，，延长交直线于． (1)如图，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，若，求的度数； (3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长． 50．（25-26八年级上·天津和平·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，求出的度数； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 51．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 52．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $