专题05 线段的垂直平分线与角平分线（计算题专项训练）数学北师大版新教材八年级下册

专题05 线段的垂直平分线与角平分线（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材；内容预览：4类训练共40题】 训练1 线段垂直平分线的性质 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在△ABC中，EG，FH分别是边AB，AC的垂直平分线，若AB＝4，AC＝6，△EAF的周长为9，则△ABC的周长为　 　 ． 【解答】解：∵EG，FH分别是边AB，AC的垂直平分线， ∴AE＝BE，AF＝CF（线段垂直平分线的性质）， ∵C△EAF＝AE+AF+EF＝9， ∴BC＝BE+CF+EF＝9， ∵AB＝4，AC＝6， ∴C△ABC＝AB+BC+AC＝4+9+6＝19． 则△ABC的周长为19， 故答案为：19． 2．如图，在△ABC中，MP、NQ分别垂直平分边AB、AC，交BC于点P、Q．已知BC＝13，则△PAQ的周长等于　 　 ． 【解答】解：由题知， 因为MP、NQ分别垂直平分边AB、AC， 所以PA＝PB，QA＝QC， 所以△PAQ的周长为：PA+PQ+QA＝PA+PQ+QC＝BC＝13． 故答案为：13． 3．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝120°，则∠EAF的度数为　 　 ． 【解答】解：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于E、F， ∴AE＝BE，AF＝CF， ∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF， ∵∠BAC＝130°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°， ∴∠BAE+∠CAF＝50°， ∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝130°﹣50°＝80°． 故答案为：80°． 4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于D，E两点，边BC的垂直平分线FG分别与边BC，AC交于F，G两点，连接BE，BG．若△BEG的周长为32，AC＝22，则GE的长为　 　 ． 【解答】解：∵边AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于D，E两点，边BC的垂直平分线FG分别与边BC， ∴EA＝EB，GB＝GC， ∵△BEG的周长为32， ∴GB+EB+GE＝32， ∴EA+GC+GE＝32，即AG+GE+GC+GE＝AC+2GE＝32， ∵AC＝22， ∴GE＝（32﹣22）÷2＝5． 故答案为：5． 5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC、AB于点E、F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，若△ABC的周长为26，AF＝5，则BD的长为　 　 ． 【解答】解：连接AE， ∵△ABC的周长为26， ∴AB+BC+AC＝26， ∵EF垂直平分AB，AF＝5， ∴AB＝2AF＝2×5＝10，EA＝EB， ∴AC+BC＝16， ∵D为线段CE的中点， ∴CD＝DE， ∵AD⊥BC， ∴AC＝AE， ∴AC＝EB（等量代换）， ∴， ∴BD＝8． 即则BD的长为8， 故答案为：8． 6．如图，在△ABC中，DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线，连接AD，BD，CD，若∠ACB＝70°，则∠BAD＝　 　 °． 【解答】解：∵DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线， ∴CD＝BD，AD＝BD， ∴CD＝AD， ∴∠CAD＝∠ACD，∠DBC＝∠BCD，∠BAD＝∠DBA， ∴∠CAD+∠DBC＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝70°， ∴∠BAD+∠DBA＝180°﹣∠ACB﹣（∠CAD+∠DBC）＝40°， ∴∠BAD40°＝20°． 故答案为：20． 7．如图，线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O．连接OB，OC，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 　 　 °． 【解答】解：连接AO并延长至M，直线AC与m交于点N， ∵线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O， ∴OA＝OC＝OB，∠1+∠ONA＝90°，∠A+∠ONA＝90°， ∴∠1＝∠A，∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC， ∴∠MOB＝2∠OAB，∠MOC＝2∠OAC， ∵∠BOC＝∠MOB+∠MOC＝86°，∠A＝∠OAB+∠OAC， ∴， ∴∠1＝∠A＝43°， 故答案为：43． 8．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于点D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于点F，若BE＝AC，∠ACE＝16°，则∠EFB的度数为　 　 ． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵BE＝AC， ∴AC＝CE， ∴∠CEA＝∠A， ∵∠CEA+∠A+∠ACE＝180°， ∴， ∵∠CEA＝∠EBC+∠ECB， ∴， ∵BF平分∠ABC， ∴， ∴∠BFE＝∠CBF+∠BCF＝21°+42°＝63°， 故答案为：63°． 9．如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝　 　 ． 【解答】解：连接OA，OC， ， ∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB（等边对等角）， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SSS）， ∴∠ABO＝∠CBO（全等三角形对应角相等）， ∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°， ∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°， ∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°， 则∠OBD的度数为44°， 故答案为：44°． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，30°＜∠ACB＜45°，BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，在BD上取一点E，使得EC＝AB．若∠ACB＝35°，则∠DEC＝　 　 °． 【解答】解：如图：连接BF并延长交CD于G， ∵BC的垂直平分线交AC于点D， ∴BD＝CD，BF＝CF， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°，∠GBC＝∠ECB， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝55°；∠DBC﹣∠GBC＝∠ACD﹣∠ECB， ∴∠DBG＝∠ECD； 在△DBG和△DCE中， ， ∴△DBG≌△DCE（ASA）， ∴BG＝CE，∠DEC＝∠BGD， ∵EC＝AB， ∴BG＝AB， ∴∠BGD＝∠BAC＝55°， ∴∠DEC＝55°． 故答案为：55． 训练2 线段的垂直平分线的作法 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E，若AB＝16，AC＝10，则△ADE的周长为　 　 ． 【解答】解：由作图可知MN垂直平分BD， ∴EB＝ED（线段垂直平分线的性质）， ∵AD＝AC＝10， ∴C△ADE＝AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝26， 故答案为：26． 2．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图： ①以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D； ②分别以点D，B为圆心，大于BD的一半为半径作弧，两弧交于点P； ③连接CP交AB与点E； 则CE＝　　 ． 【解答】解：根据题意，得CE⊥AB， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D；②再分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线BE交AC于点F．若AB＝AC＝5，DF＝1，则BC的长为 　　 ． 【解答】解：由作图得：BE⊥AC，CF＝DF＝1， ∴AF＝AC﹣CF＝4， 在Rt△ABF中，BF2＝AB2﹣AF2＝9， 在Rt△CBF中，BC2＝FB2+CF2， 故答案为：． 4．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交∠ACB的平分线于点D，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E．若CB＝5，BE＝3，求AC的长. 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于点F，连接AD． ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCF＝∠DCE， ∵DE⊥CB，DF⊥CA， ∴∠DFC＝∠DEC＝90°， ∵CD＝CD， ∴△CDF≌△CDE（AAS）， ∴CF＝CE＝CB+BE＝5+3＝8，DF＝DE， ∵MN垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴Rt△DFA≌Rt△DEB（HL）， ∴AF＝BE＝3， ∴AC＝CF+AF＝8+3＝11． 5．如图，在等边△ABC中，分别以点A，C为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于点M，直线BM与AC相交于点D，以点D为圆心，BD长为半径画弧交BC的延长线于点E，连接DE．求∠CDE的度数. 【解答】解：连接AM，CM，则AM＝CM， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴BM是线段AC的垂直平分线， ∴∠CBD∠ABC＝30°， ∵BD＝DE， ∴∠DEB＝∠CBD＝30°， ∴∠CDE＝∠ACB﹣∠DCB＝30°. 6．（1）如图，过点P作直线l的垂线． （2）如图，已知△ABC，画出△ABC的三条高AD、BE、CF． 【解答】解：（1）如图所示； ； （2）如图所示． 7．如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BA延长线上一点． （1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）得到的图中，求证：∠BDE＝∠AFD． 【解答】（1）解：如图，以点D为圆心，适当半径画弧，交BC于点H，G，再以点H，G为圆心，以HG为半径画弧，两弧交于点K，连接DK，交BC于点E，交AC于点F，则点E，F即为所求作； （2）证明∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝∠DEC＝90°， ∴∠B+∠BDE＝90°，∠C+∠CFE＝90°， ∵∠B＝∠C， ∴∠BDE＝∠CFE， ∵∠CFE＝∠AFD， ∴∠BDE＝∠AFD． 8．如图，在△ABC中，∠B＝30°． （1）用尺规作图法作BC边上的高AD，垂足为D； （2）若AC平分∠BAD，求证：BC＝2CD． 【解答】（1）解：如图． AD即为所求作的高； （2）证明：过点C作CE⊥AB于点E． ∵AC平分∠BAD，AD⊥BD， ∴CE＝CD， 在Rt△BCE中，∠B＝30°， ∴BC＝2CE， ∴BC＝2CD． 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF． 【解答】（1）解：如图， （2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， 而DE＝DF， ∴AD垂直平分EF， 即AD⊥EF． 10．如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E． （1）若AB＝9，△ABD的周长为19，求AC的长度； （2）已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线l垂直平分边BC， ∴根据线段垂直平分线的性质得，BD＝CD， ∵△ABD的周长为19， ∴AB+BD+AD＝19， ∵AB＝9， ∴BD+AD＝19﹣AB＝19﹣9＝10， ∴CD+AD＝10， ∴AC＝10； （2）点P在边AB的垂直平分线上，理由如下： 连接PA、PB，如图： ∵直线l垂直平分边BC，点P在直线l上， ∴PB＝PC， ∵点P在边AC的垂直平分线上， ∴PA＝PC， ∴PA＝PB（等量代换）， ∴点P在边AB的垂直平分线上． 训练3 角的平分线的性质 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，则△ABD的面积为　 　 cm2． 【解答】解：作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥BC于点C， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝CD＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴S△ABDAB•DE10×3＝15（cm2）， 故答案为：15． 2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝2，则△BCE的面积等于　 　 ． 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，CD⊥AB， ∴EF＝DE＝2， ∴根据三角形的面积公式得，， 则△BCE的面积为6， 故答案为：6． 3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠BAC和∠ABC的平分线AD，BE相交于点O，AD交BC于点D，BE交AC于点E，CE＝b，若△ABO的面积为ac，则△ABC的面积为　 ． 【解答】解：如图，连接OC，作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F， ∵△ABO的面积为ac，AB＝BC＝2a， ∴， ∴， ∴OF＝c； ∵AB＝BC，BE平分∠ABC，CE＝b， ∴OE⊥AC，AC＝2EC＝2b， ∵AD是∠BAC的平分线，BE是∠ABC的平分线，且OG⊥BC，OF⊥AB， ∴OE＝OF＝OG＝c， ∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO ＝ac+ac+bc ＝2ac+bc． 故答案为：2ac+bc． 4．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，则△ABC的面积是 　 　 ． 【解答】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，连接OA， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D， ∴OD＝OM＝ON＝4， ∵△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积， ∴△ABC的面积AB•OMBC•ODAC•ON（AB+BC+AC）•OD ∵△ABC的周长＝21，OD＝4， ∴△ABC的面积21×4＝42． 故答案为：42． 5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，AE：AG＝2：3，△ADE的面积为50，则△ADG的面积为　 　 ． 【解答】解：作DM⊥AC，垂足为M， ∵DF⊥AB，DM⊥AC，AD是△ABC的角平分线， ∴DF＝DM， ∴， ∵△ADE的面积为50， ∴， ∴S△ADG＝75， 故答案为：75． 6．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D是△ABC外一点，且AC平分∠DAB．若AB＝6，AD＝4，S△ABC＝6，则△ACD的面积为　 　 ． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H， ∵AC平分∠DAB，CE⊥AB， ∴CH＝CE（角平分线的性质）， ∵AB＝6，AD＝4，S△ABC＝6， ∴， ∴CE＝2， ∴CH＝CE＝2， ∴根据三角形的面积公式得，， ∴△ACD的面积为4． 故答案为：4． 7．在△ABC中，∠B＝120°，BC＝6，CD＝2BD，AD为△ABC的角平分线，在AC上取一点E，使得BD＝DE，则CE的长为　 　 ． 【解答】解：作DF⊥AC于F，DH⊥AB交AB的延长线于点H，则∠CFD＝∠H＝90°， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴AD平分∠CAB，∴DF＝DH， 在Rt△DFE和Rt△DHB中， ∴Rt△DFE≌Rt△DHB（HL）， ∴EF＝BH， ∵BC＝CD+BD＝6，且CD＝2BD， ∴2BD+BD＝6， ∴BD＝2，CD＝4， ∵∠ABC＝∠BDH+∠H，且∠ABC＝120°，∠H＝90°， ∴∠BDH＝∠ABC﹣∠H＝30°， ∴EF＝BHBD＝1， ∴DF＝DH， ∴CF， ∴CE＝CF﹣EF， 故答案为：． 8．已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P． （1）如图1，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）如图2，连接AP，若∠BPC＝75°，求∠PAC的度数． 【解答】（1）证明：过P作PH⊥BC于H，PM⊥AD于M，PN⊥AE于N， ∵BF是∠CBD的平分线，CG是∠BCE的平分线， ∴PM＝PH，PN＝PH， ∴PM＝PN＝PH， ∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）解：∵∠BPC＝75°， ∴∠PBC+∠PCB＝180﹣75°＝105°， ∵BF是∠CBD的平分线，CG是∠BCE的平分线， ∴∠CBD＝2∠PBC，∠BCE＝2∠PCB， ∴∠CBD+∠BCE＝2（∠PBC+∠PCB）＝210°， ∵∠CBD＝∠BAC+∠BCA，∠BCE＝∠BAC+∠ABC， ∴∠CBD+∠BCE＝∠BAC+∠ABC+∠BCA+∠BAC＝180°+∠BAC＝210°， ∴∠BAC＝30°， 由（1）知PM＝PN， ∵PM⊥AD，PN⊥AE， ∴PA平分∠BAC， ∴∠PAC∠BAC＝15°． 9．如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E，点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D，过点E作EH⊥BD于点H． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若∠BAC＝30°，求∠BEC的度数； （3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD的面积． 【解答】（1）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN（等量代换）， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （2）解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线， ∴，（角平分线的性质）， ∵∠ECD＝∠EBC+∠BEC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC， ∴，∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC， ∴． 则∠BEC的度数为15°； （3）解：由（1）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ABE＝12， ∴， 解得x＝4， ∴EM＝EH＝EN＝4， ∴． 10．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°（垂直的定义）， ∵∠AEF＝50°， ∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+50°＝140°， ∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝140°﹣100°＝40°， 则∠CAD的度数为40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H， ∵∠AEF＝50°， ∴由（1）可知，∠EAF＝∠CAD＝90°﹣50°＝40°， ∴AE平分∠FAD， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH（等量代换）， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝18， ∴S△ADE+S△CDE＝18， ∴， ∵AD＝4，CD＝8，EG＝EH， ∴， ∴EH＝3， ∴EF＝3， ∵AB＝6， ∴， 所以△ABE的面积为9． 训练4 角的平分线的作法 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若△ABC的面积是36，AB+AC＝20，那么CD＝　 　 ． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°， ∴DC⊥AC， 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DH＝DC， ∵S△ABC＝36， ∴， ∵AB+AC＝20， ∴， ∴DC＝3.6， 故答案为：3.6． 2．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠BCA＝70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝　 　 ． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠BCA＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝80°． 由作法可知，AD是∠BAC的平分线， ∴， 由作法可知，EF 是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠B＝∠FCB＝30°， ∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝70°﹣30°＝40°， ∴∠α＝∠CAD+∠ACF＝40°+40°＝80°． 故答案为：80°． 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点E，D；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点M；③作射线AM，交BC于点F；④过点F作FG⊥AC，垂足为点G．若△ABC的面积为21，AC＝8，AB＝6，则FG的长为　 　 ． 【解答】解：过F作FH⊥AB于H， 由作图过程可得：AF是∠BAC的平分线， ∵FG⊥AC，FH⊥AB， ∴FH＝FG（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵△ABC的面积为21，AB＝6，AC＝8， ∴， ∴FG＝3． 故答案为：3． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，播播同学按照如下步骤作图： ①在边CA，CB上，分别截取CE，CD，使CE＝CD； ②分别以点D和点E为圆心，适当长（大于线段DE长的一半）为半径作圆弧，在△ABC内部，两弧交于点P； ③在边BC，BA上分别截取BG，BF，使BG＝BF； ④分别以点F和点G为圆心，适当长（大于线段FG长的一半）为半径作圆弧，在△ABC内部，两弧交于点Q； ⑤作射线CP，BQ交于点O，连接AO并延长，交边BC于点H．若AC＝8，BC＝15，则CH的长为　　 ． 【解答】解：如图，过点H作HJ⊥AB于点J． 由作图可知AH平分∠CAB， ∵HC⊥AC，HJ⊥AB， ∴HC＝HJ， ∵∠ACB＝90°， ∴AB17， ∵•AC•BC•AC•CH•AB•HJ， CH． 故答案为：． 5．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′． 6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点． （1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断AF与BC有怎样的关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图，AM和点F为所作； （2）AF＝BC，AF＝BC． 理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵AM平分∠ADC， ∴∠DAM＝∠CAM， ∵∠DAC＝∠ABC+∠C， 即∠DAM+∠CAM＝∠ABC+∠C， ∴∠CAM＝∠C， ∴AF∥BC， ∵E是AC的中点． ∴AE＝CE， 在△AFE和△CBE中， ， ∴△AFE≌△CBE（ASA）， ∴AF＝BC， 综上所述，AF与BC的关系为AF＝BC，AF∥BC． 8．如图，已知锐角△ABC，AD为BC边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． （1）作∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F； （要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若BE＝AC，∠ABC＝45°，求证：BF⊥AC． 【解答】（1）解：如图射线BF即为所求； （2）证明：∵∠ABC＝45°，AD为BC边上的高， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴BD＝AD， ∵BE＝AC， ∴Rt△BED≌Rt△ACD（HL）， ∴∠DBE＝∠DAC， ∵∠BED＝∠AEF， ∴∠AEF+∠DAC＝∠BED+∠DBE＝90°， 即BF⊥AC． 9．用无刻度的直尺和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°． （1）如图1，在BC上取一点D，连接AD，使得∠CAD＝∠ABC； （2）如图2，在AC上取一点F，连接BF，使得∠FBC+∠AFB＝90°． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求； （2）如图2中，点F即为所求． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC． （1）用尺规完成以下基本作图：作∠ACB的角平分线，分别交BD，AB于点O，E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：BD＝CE． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD，CE是△ABC的角平分线， ∴∠ABD∠ABC，∠ACE∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴BD＝CE． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段的垂直平分线与角平分线（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材；内容预览：4类训练共40题】 训练1 线段垂直平分线的性质 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在△ABC中，EG，FH分别是边AB，AC的垂直平分线，若AB＝4，AC＝6，△EAF的周长为9，则△ABC的周长为　 　 ． 2．如图，在△ABC中，MP、NQ分别垂直平分边AB、AC，交BC于点P、Q．已知BC＝13，则△PAQ的周长等于　 　 ． 3．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝120°，则∠EAF的度数为　 　 ． 4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于D，E两点，边BC的垂直平分线FG分别与边BC，AC交于F，G两点，连接BE，BG．若△BEG的周长为32，AC＝22，则GE的长为　 　 ． 5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC、AB于点E、F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，若△ABC的周长为26，AF＝5，则BD的长为　 　 ． 6．如图，在△ABC中，DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线，连接AD，BD，CD，若∠ACB＝70°，则∠BAD＝　 　 °． 7．如图，线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O．连接OB，OC，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 　 　 °． 8．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于点D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于点F，若BE＝AC，∠ACE＝16°，则∠EFB的度数为　 　 ． 9．如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝　 　 ． 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，30°＜∠ACB＜45°，BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，在BD上取一点E，使得EC＝AB．若∠ACB＝35°，则∠DEC＝　 　 °． 训练2 线段的垂直平分线的作法 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E，若AB＝16，AC＝10，则△ADE的周长为　 　 ． 2．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图： ①以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D； ②分别以点D，B为圆心，大于BD的一半为半径作弧，两弧交于点P； ③连接CP交AB与点E； 则CE＝　　 ． 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D；②再分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线BE交AC于点F．若AB＝AC＝5，DF＝1，则BC的长为 　　 ． 4．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交∠ACB的平分线于点D，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E．若CB＝5，BE＝3，求AC的长. 5．如图，在等边△ABC中，分别以点A，C为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于点M，直线BM与AC相交于点D，以点D为圆心，BD长为半径画弧交BC的延长线于点E，连接DE．求∠CDE的度数. 6．（1）如图，过点P作直线l的垂线． （2）如图，已知△ABC，画出△ABC的三条高AD、BE、CF． 7．如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BA延长线上一点． （1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）得到的图中，求证：∠BDE＝∠AFD． 8．如图，在△ABC中，∠B＝30°． （1）用尺规作图法作BC边上的高AD，垂足为D； （2）若AC平分∠BAD，求证：BC＝2CD． 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF． 10．如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E． （1）若AB＝9，△ABD的周长为19，求AC的长度； （2）已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 训练3 角的平分线的性质 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，则△ABD的面积为　 　 cm2． 2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝2，则△BCE的面积等于　 　 ． 3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠BAC和∠ABC的平分线AD，BE相交于点O，AD交BC于点D，BE交AC于点E，CE＝b，若△ABO的面积为ac，则△ABC的面积为　 ． 4．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，则△ABC的面积是 　 　 ． 5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，AE：AG＝2：3，△ADE的面积为50，则△ADG的面积为　 　 ． 6．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D是△ABC外一点，且AC平分∠DAB．若AB＝6，AD＝4，S△ABC＝6，则△ACD的面积为　 　 ． 7．在△ABC中，∠B＝120°，BC＝6，CD＝2BD，AD为△ABC的角平分线，在AC上取一点E，使得BD＝DE，则CE的长为　 　 ． 8．已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P． （1）如图1，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）如图2，连接AP，若∠BPC＝75°，求∠PAC的度数． 9．如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E，点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D，过点E作EH⊥BD于点H． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若∠BAC＝30°，求∠BEC的度数； （3）若AB＝6，AC＝5，CD＝8，且S△ABE＝12，求△ACD的面积． 10．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 训练4 角的平分线的作法 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若△ABC的面积是36，AB+AC＝20，那么CD＝　 　 ． 2．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠BCA＝70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝　 　 ． 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点E，D；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点M；③作射线AM，交BC于点F；④过点F作FG⊥AC，垂足为点G．若△ABC的面积为21，AC＝8，AB＝6，则FG的长为　 　 ． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，播播同学按照如下步骤作图： ①在边CA，CB上，分别截取CE，CD，使CE＝CD； ②分别以点D和点E为圆心，适当长（大于线段DE长的一半）为半径作圆弧，在△ABC内部，两弧交于点P； ③在边BC，BA上分别截取BG，BF，使BG＝BF； ④分别以点F和点G为圆心，适当长（大于线段FG长的一半）为半径作圆弧，在△ABC内部，两弧交于点Q； ⑤作射线CP，BQ交于点O，连接AO并延长，交边BC于点H．若AC＝8，BC＝15，则CH的长为　　 ． 5．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点． （1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断AF与BC有怎样的关系，并说明理由． 8．如图，已知锐角△ABC，AD为BC边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． （1）作∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F； （要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若BE＝AC，∠ABC＝45°，求证：BF⊥AC． 9．用无刻度的直尺和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°． （1）如图1，在BC上取一点D，连接AD，使得∠CAD＝∠ABC； （2）如图2，在AC上取一点F，连接BF，使得∠FBC+∠AFB＝90°． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC． （1）用尺规完成以下基本作图：作∠ACB的角平分线，分别交BD，AB于点O，E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：BD＝CE． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $