微专题02 含参集合问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以离散-方程-不等式为逻辑主线，通过步骤化方法提炼实现含参集合问题的系统性突破 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |离散型集合求参数值|10道经典例题+10道巩固练习|梳理元素→辨析运算→韦恩图辅助|从具体元素到集合运算，培养数学抽象与逻辑推理能力| |方程型集合求参数值|7道经典例题+7道巩固练习|解方程→元素互异性验证→集合关系转化|连接方程求解与集合性质，强化数学思维的严谨性| |不等式型集合求参数范围|10道经典例题+10道巩固练习|解不等式→数轴标区间→端点虚实分析|从代数到几何表征，提升数学语言表达与直观想象能力|

专题02 含参集合问题 题型一 离散型集合求参数值 1 题型二 方程型集合求参数值 3 题型三 不等式型集合求参数范围 5 题型一 离散型集合求参数值 1. 梳理集合全部元素，若由方程得到，先解方程求出所有元素； 2. 分清交、并、补运算符号含义； 3. 交集取公共元素，并集合并全部元素（元素互异不重复）； 4. 补集在全集范围内剔除本集合元素，韦恩图先翻译集合表达式再运算。 【经典例题】 1．集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 2．已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 4．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 5．若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 6．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 8．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 10．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【巩固练习】 1．设集合，若是的子集，则实数（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 2．设集合，，若，则（   ） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或2或 3．已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 4．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 7．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 9．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 10．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 题型二 方程型集合求参数值 1. 解不等式，将集合写成区间形式； 2. 画数轴标出区间范围； 3. 交集取重叠区间，并集取覆盖全部区间； 4. 补集取数轴剩余部分，注意端点空心 / 实心。 【经典例题】 1．已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合为（  ） A． B． C． D． 3．设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 6．已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 7．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则所有可能取值构成的集合为（   ） A．{1} B．{3} C． D． 4．已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 5．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 6．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 题型三 不等式型集合求参数范围 5. 解不等式，将集合写成区间形式； 6. 画数轴标出区间范围； 7. 交集取重叠区间，并集取覆盖全部区间； 8. 补集取数轴剩余部分，注意端点空心 / 实心。 【经典例题】 1．已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集为，不等式的解集为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．设全集，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．若集合，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设集合， ，若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 含参集合问题 题型一 离散型集合求参数值 1 题型二 方程型集合求参数值 7 题型三 不等式型集合求参数范围 12 题型一 离散型集合求参数值 1. 梳理集合全部元素，若由方程得到，先解方程求出所有元素； 2. 分清交、并、补运算符号含义； 3. 交集取公共元素，并集合并全部元素（元素互异不重复）； 4. 补集在全集范围内剔除本集合元素，韦恩图先翻译集合表达式再运算。 【经典例题】 1．集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意.所以 2．已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【来源】湖南长沙市铁路第一中学2026届高三第二次模拟考试数学试题 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 3．已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【来源】福建省连城县第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题 【详解】由，即，则或，可得或， 当，在集合中，不满足集合元素的互异性， 当，则，满足题设. 故选：C 4．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省佳木斯市第一中学2025-2026学年高三上学期第四次调研考试数学试题 【详解】由题意知，，得.故选：C 5．若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【来源】黑龙江黑河市龙西北名校联盟2025-2026学年高二下学期第二次教学质量监测数学试卷 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 6．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 7．已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【来源】河南商丘市民权县、永城市部分校联考2025-2026学年高二下学期期末考试试题 【详解】因为集合，所以或.显然不成立，当时，,符合题意.所以. 8．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则，于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 9．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称，得，解得. 10．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 【巩固练习】 1．设集合，若是的子集，则实数（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，，，，所以或，且，解得或0， 当时，，不符合集合中元素的互异性， 当时，，，，满足题意， 故选：B. 2．设集合，，若，则（   ） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或2或 【答案】B 【详解】由，得，即，而集合， 由，得或，所以或.故选：B 3．已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【来源】广东汕尾市城区2025-2026学年高二第二学期期末教学质量监测数学试题 【详解】若，则，所以或. 当时，.此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，，即.因为，所以，所以，即. 当时，. 综上所述，. 4．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期期末学业水平检测数学试题 【详解】若，则，又，所以，所以“”是“”的充分条件； 若，又，所以或，解得或，所以“”是“”的不必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件. 5．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因，即，故得或，解得或， 所以“”可以推出“”，但“”无法推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选：B. 6．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且.集合，分情况讨论： ① 若，解得，此时，则，与矛盾，舍去； ② 若，此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得，此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 7．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省聊城第一中学老校区2026届高三下学期3月份调研测试数学试题 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则，于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 8．已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得，此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时，综上所述，实数的取值集合为.故选：B. 9．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 10．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【答案】，， 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 题型二 方程型集合求参数值 1. 解不等式，将集合写成区间形式； 2. 画数轴标出区间范围； 3. 交集取重叠区间，并集取覆盖全部区间； 4. 补集取数轴剩余部分，注意端点空心 / 实心。 【经典例题】 1．已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】福建省三明市永安九中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷 【详解】因为，所以，当时，，满足；当时，，则或，解得或，综上所述，a的所有取值构成的集合为.故选：D 2．已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省多校2025-2026学年高二上学期11月联考数学试卷 【详解】解方程，得，若，则，，时符合，当时，，当时，，当时，，可知的所有可能取值构成的集合为.故选：D. 3．设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得． 当时，；当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为．故选：D. 4．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】时，，符合，时，，又，或，解得或，综上，时，，则“”是“”的充分不必要条件． 5．已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 【答案】D 【来源】山西省晋中市部分学校2025-2026学年高一上学期11月质量检测数学试题 【详解】.当时，；当时，； 当时，；，所以集合的真子集个数是：.故选：D 6．已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 【答案】C 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，，或，或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为.故选：C. 7．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西西安市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题 【详解】集合， 集合， 当时，，；当时，；若，则；若，则；若，推不出.所以是的充要条件； 是的必要不充分条件；和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 【巩固练习】 1．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】安徽合肥市庐江县2025-2026学年第二学期期末抽测高二数学试题 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得，当时，， 故所有的取值构成的集合为. 2．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，因此. 当时，此时，符合.当时，此时，方程的解为， 又，可得或，所以或； 综上，a的取值为0、1、，因此a的取值集合为.故选：A. 3．已知集合，，若，则所有可能取值构成的集合为（   ） A．{1} B．{3} C． D． 【答案】D 【来源】广东省部分学校2025-2026学年高二上学期11月联考数学试题 【详解】解方程，得，若，则满足；若，则要使，则或，∴或.综上的所有可能取值为0，1，3．故选：D. 4．已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】陕西省咸阳市永寿县中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】因为，， 若，则有或或，当时，则； 当时，则，解得；当时，则，解得； 故实数的取值集合是.故选：A 5．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 【答案】A 【详解】由题可得：，因为， 当时，；当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合，则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，真子集为7个，故C错误，D错误；故选：A 6．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知：若，解得；若，解得. 综上，实数的取值集合为. 7．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 【来源】山西阳泉市2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题 【详解】（1）仅有一个元素，， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 题型三 不等式型集合求参数范围 5. 解不等式，将集合写成区间形式； 6. 画数轴标出区间范围； 7. 交集取重叠区间，并集取覆盖全部区间； 8. 补集取数轴剩余部分，注意端点空心 / 实心。 【经典例题】 1．已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，解得.故选：D. 2．设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，因为，所以. 3．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，，当时，，满足，因此，当时，由，得，解得，所以的取值范围是. 4．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以.故选：D. 5．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省菏泽市2025-2026学年高三上学期期末数学试题（A） 【详解】因为，且，所以，由，则，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C. 6．已知集合，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以，所以实数的取值范围是.故选：C. 7．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】非空集合，是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以，即实数的取值范围为. 8．不等式的解集为，不等式的解集为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以.所以. 因为恒成立，所以不等式等价于，即.所以． 若，则.所以的值范围是. 9．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，解得，则,又 ，当时，，当时，，当时，，又，当时，，当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 10．设全集，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得， 因为，所以，所以，解得．故选：B． 【巩固练习】 1．已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【来源】北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】因为，且，所以，解得，故选：D 2．集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南衡阳县第一中学2026届高三学情调研（二） 数学试卷 【详解】因为，则，又集合，，可得， 所以实数a的取值范围是.故选：C. 3．设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽安庆市第二中学2026届高三5月模拟考试数学试题 【详解】因为集合，，所以，所以. 4．若集合，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，解得，即，由，则，当时，，解得；当时，，解得； 综上可得：的取值范围为. 5．若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知是的充分不必要条件，则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是.故选：A 6．已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，由，所以． 故，恒成立，所以恒成立，令，即， 又在单调递减，，所以，故选：D． 7．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】福建三明市2026届高三毕业班质量检测数学试题 【详解】由，得，解得，所以，又，由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 8．设集合， ，若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年高三下学期期中考试数学试卷 【详解】由题意得：，所以，所以，由，所以. 9．已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由，则， 故，即的取值范围为. 10．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以的取值范围是.故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $