专题02 集合间的运算（专项训练）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦集合运算全维度，以11类题型构建从概念到创新的递进训练体系，强化逻辑推理与数学语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交集运算|5题|基础概念与简单运算|概念生成→基础应用| |交集求参|6题|含参数集合的交集结果分析|运算深化→参数讨论| |并集运算|5题|并集概念及简单运算|概念平行拓展→基础应用| |并集求参|5题|并集结果反推集合或参数|运算深化→参数讨论| |补集运算|6题|补集概念及简单运算|概念逆向拓展→基础应用| |补集求参|6题|补集结果反推集合或参数|运算深化→参数讨论| |混合运算|5题|交并补综合运算|单一运算→复合应用| |混合求参|7题|综合运算中的参数问题|复合应用→逻辑推理| |Venn图应用|6题|图表载体的集合关系分析|直观表示→逻辑转化| |容斥原理|5题|实际情境中的集合计数|数学建模→实际应用| |新定义问题|5题|创新集合运算的理解与应用|知识迁移→创新思维|

专题02 集合的基本运算 常考题型·精准突破 题型01 交集的概念与运算 题型07 集合的交、并、补混合运算（高频） 题型02 由交集运算结果求集合或参数（重） 题型08 集合混合运算中的求参问题（重） 题型03 并集的概念及运算 题型09 Venn图为载体的集合运算题 题型04 由并集的结果求集合或参数（重） 题型10 容斥原理的应用 题型05 补集的概念及运算 题型11 集合运算中的新定义问题（难） 题型06 根据补集结果求集合或参数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01 交集的概念与运算 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 则. 2．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，， 联立，得，则. 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 4．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，即， 又， 所以. 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以，又，所以. ◆题型02 由交集运算结果求集合或参数 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用交集的性质可知点同时属于集合A和B，将该点代入两个集合对应的方程求解即可得到b的值. 【详解】由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程， 得，解得， 因此. 4．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【分析】根据交集的定义和集合的性质计算即可. 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 5．已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 6．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】由得，其中． ①时，，解得． ②时，，解得． 综上，实数a的取值范围为． ◆题型03 并集的概念及运算 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 【点睛】 2．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】， . 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 4．（24-25高一下·安徽淮北·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，，得. 5．（多选）（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以，，，． ◆题型04 由并集的结果求集合或参数 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 2．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知集合，，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要确定集合B，需结合交集和并集的定义分析. 【详解】交集，说明B包含2，且不包含A中的0、1； 并集，A已包含0、1、2，因此3、4必须来自B，且元素属于； 综上，集合. 故选：C 3．已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 4．（多选）（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 5．（多选）（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. ◆题型05 补集的概念及运算 1．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 2．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 4．已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由正整数集的定义结合补集的运算即可求解. 【详解】由题意得 则共5个元素. 5．（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合. 【详解】已知，，则不属于的实数满足，即. 6．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 所以. ◆题型06 根据补集结果求集合或参数 1．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）若全集且，则集合的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集定义可求得集合，根据集合中元素个数可求得子集个数. 【详解】，，，集合的子集个数为个. 故选：D. 2．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 3．已知集合，则集合可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据知道集合中的元素不能有4或7，必含有2和6，则可选出答案. 【详解】因为集合， 所以集合中的元素不能有4或7，必含有2和6 故选：B 4．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 5．已知集合和，满足，，则实数______． 【答案】 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 6．（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． ◆题型07 集合的交、并、补混合运算 1．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集及补集运算求解即可. 【详解】根据补集的定义， ， 所以 . 2．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知集合或，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集运算的概念，求出，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】因为集合或， 所以， 又因为， 所以. 故选：D 3．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 4．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，或，则________， ____________. 【答案】 R 或或 【详解】借助数轴如图1， 所以， 如图2，所以或， 或或． ◆题型08 集合混合运算中的求参问题 1.已知集合或，，若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的运算结果分析的值 【详解】 ， 则 故选：A 2．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 3．（多选）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 4．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 5．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 6．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为_______. 【答案】或或 【分析】计算出集合后，分及进行讨论即可得. 【详解】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 7．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． ◆题型09 Venn图为载体的集合运算题 1．已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 2．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 3．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图表示的集合含义，即可求出答案. 【详解】根据韦恩图可知，阴影部分表示的集合是, 故选：D 6．（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC ◆题型10 容斥原理的应用 1．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 2．（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 4．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 5．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 ◆题型11 集合运算中的新定义问题 1．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 2定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 3．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 4．（2026高一·全国·专题练习）设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据集合的新定义分别判断各个小题. 【详解】 ①中由于，故①不是集合上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑； ③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑； ④中，故④不是集合上的一个拓扑； 因此集合上的拓扑的集合的序号是②③. 故选：D． 5．（多选）（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，所以. 2．已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，而，则 因此，所以集合. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合得， 由集合且，得集合中必有元素3，4中的一个或两个，共有3种选择方法， 集合中可以有5，6，7中的元素，共有8种选择方法， 所以共有个满足条件的集合. 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 5．（2026高三下·重庆·专题练习）已知集合，则的子集个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】解方程组求得其解，即可确定的元素，即可求得答案. 【详解】联立，得，解得， 则的解为，，， 集合，故， 所以的子集个数是. 6．（2026·吉林白山·二模）设集合，若，则（   ） A．-3 B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】则，因为 ，所以 ， 所以，解得：或. 当时，，，，不符合条件. 当时，，，，符合条件. 综上，. 7．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【详解】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：C 8．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：A． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．中的元素个数为5 【答案】CD 【分析】求出集合，根据集合的运算即可得到结论. 【详解】因为，所以，故A错误； 由，，得，所以，故B错误； ，故C正确； 由，得中的元素个数为5，故D正确. 故选：CD. 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据集合的包含关系可判断AB；根据韦恩图可判断CD. 【详解】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 故选：ABC. 11．设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 【答案】BC 【分析】由集合新定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C正确； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）集合，若且，则的取值为_________． 【答案】 【分析】由，得到或，求得的值，结合，逐个检验，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则或，解得或或， 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，满足. 故答案为：. 13．（25-26高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 【答案】8 【分析】先求，再根据，列举分析即可． 【详解】，根据，可知，即， 所以共有8种， 所以集合B至多有8个． 故答案为：8． 14．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知集合且满足，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求得时，实数的取值范围，再取补集即可. 【详解】当时， ， 若，则，即，此时满足； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上时，实数的取值范围为. 所以时，实数的取值范围为. 故答案为： . 四、解答题 15．已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 16．集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合的基本运算 常考题型·精准突破 题型01 交集的概念与运算 题型07 集合的交、并、补混合运算（高频） 题型02 由交集运算结果求集合或参数（重） 题型08 集合混合运算中的求参问题（重） 题型03 并集的概念及运算 题型09 Venn图为载体的集合运算题 题型04 由并集的结果求集合或参数（重） 题型10 容斥原理的应用 题型05 补集的概念及运算 题型11 集合运算中的新定义问题（难） 题型06 根据补集结果求集合或参数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01 交集的概念与运算 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． ◆题型02 由交集运算结果求集合或参数 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 3．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________． 5．已知集合，若，求实数t的取值范围. 6．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围． ◆题型03 并集的概念及运算 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽淮北·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． ◆题型04 由并集的结果求集合或参数 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 2．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知集合，，，则集合（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 5．（多选）（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ◆题型05 补集的概念及运算 1．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 5．（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． ◆题型06 根据补集结果求集合或参数 1．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）若全集且，则集合的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．已知集合，则集合可以为（   ） A． B． C． D． 4．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 5．已知集合和，满足，，则实数______． 6．（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． ◆题型07 集合的交、并、补混合运算 1．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知集合或，，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，或，则________， ____________. ◆题型08 集合混合运算中的求参问题 1.已知集合或，，若，，则（       ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 4．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 6．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为_______. 7．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． ◆题型09 Venn图为载体的集合运算题 1．已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． ◆题型10 容斥原理的应用 1．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 2．（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 3．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 4．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 5．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. ◆题型11 集合运算中的新定义问题 1．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 2定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 5．（多选）（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026高三下·重庆·专题练习）已知集合，则的子集个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 6．（2026·吉林白山·二模）设集合，若，则（   ） A．-3 B． C．1 D．3 7．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．中的元素个数为5 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 三、填空题 12．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）集合，若且，则的取值为_________． 13．（25-26高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 14．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知集合且满足，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 15．已知集合，.若，求m的取值范围. 16．集合或.若，求的取值范围； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合的基本运算 常考题型·精准突破 ◆题型01 交集的概念与运算 1． 【答案】A 【详解】集合， 则. 2． 【答案】B 【详解】已知集合，， 联立，得，则. 3． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 4． 【答案】A 【详解】集合，即， 又， 所以. 5． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以，又，所以. ◆题型02 由交集运算结果求集合或参数 1． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 2． 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 3． 【答案】B 【分析】利用交集的性质可知点同时属于集合A和B，将该点代入两个集合对应的方程求解即可得到b的值. 【详解】由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程， 得，解得， 因此. 4． 【答案】 【分析】根据交集的定义和集合的性质计算即可. 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 5． 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 6． 【答案】 【详解】由得，其中． ①时，，解得． ②时，，解得． 综上，实数a的取值范围为． ◆题型03 并集的概念及运算 1． 【答案】A 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 【点睛】 2． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】， . 3． 【答案】C 【详解】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 4． 【答案】A 【详解】由集合，，得. 5． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以，，，． ◆题型04 由并集的结果求集合或参数 1． 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 2． 【答案】C 【分析】要确定集合B，需结合交集和并集的定义分析. 【详解】交集，说明B包含2，且不包含A中的0、1； 并集，A已包含0、1、2，因此3、4必须来自B，且元素属于； 综上，集合. 故选：C 3． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 4． 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 5． 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. ◆题型05 补集的概念及运算 1． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 2． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 3． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 4． 【答案】C 【分析】由正整数集的定义结合补集的运算即可求解. 【详解】由题意得 则共5个元素. 5． 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合. 【详解】已知，，则不属于的实数满足，即. 6． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 所以. ◆题型06 根据补集结果求集合或参数 1． 【答案】D 【分析】由补集定义可求得集合，根据集合中元素个数可求得子集个数. 【详解】，，，集合的子集个数为个. 故选：D. 2． 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 3． 【答案】B 【分析】根据知道集合中的元素不能有4或7，必含有2和6，则可选出答案. 【详解】因为集合， 所以集合中的元素不能有4或7，必含有2和6 故选：B 4． 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 5． 【答案】 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 6． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． ◆题型07 集合的交、并、补混合运算 1． 【答案】A 【分析】根据集合的交集及补集运算求解即可. 【详解】根据补集的定义， ， 所以 . 2． 【答案】D 【分析】根据补集运算的概念，求出，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】因为集合或， 所以， 又因为， 所以. 故选：D 3． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 4． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 5． 【答案】 R 或或 【详解】借助数轴如图1， 所以， 如图2，所以或， 或或． ◆题型08 集合混合运算中的求参问题 1. 【答案】A 【分析】由集合的运算结果分析的值 【详解】 ， 则 故选：A 2． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 3． 【答案】ABD 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 4． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 5． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 6． 【答案】或或 【分析】计算出集合后，分及进行讨论即可得. 【详解】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 7． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． ◆题型09 Venn图为载体的集合运算题 1． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 2． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 3． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 4． 【答案】C 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 5． 【答案】D 【分析】根据韦恩图表示的集合含义，即可求出答案. 【详解】根据韦恩图可知，阴影部分表示的集合是, 故选：D 6． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC ◆题型10 容斥原理的应用 1． 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 2． 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 3． 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 4． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 5． 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 ◆题型11 集合运算中的新定义问题 1． 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 2 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 3． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 4． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义分别判断各个小题. 【详解】 ①中由于，故①不是集合上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑； ③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑； ④中，故④不是集合上的一个拓扑； 因此集合上的拓扑的集合的序号是②③. 故选：D． 5． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1． 【答案】B 【详解】因为集合，，所以. 2． 【答案】C 【详解】全集，而，则 因此，所以集合. 3． 【答案】C 【详解】由集合得， 由集合且，得集合中必有元素3，4中的一个或两个，共有3种选择方法， 集合中可以有5，6，7中的元素，共有8种选择方法， 所以共有个满足条件的集合. 4． 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 5． 【答案】A 【分析】解方程组求得其解，即可确定的元素，即可求得答案. 【详解】联立，得，解得， 则的解为，，， 集合，故， 所以的子集个数是. 6． 【答案】B 【详解】则，因为 ，所以 ， 所以，解得：或. 当时，，，，不符合条件. 当时，，，，符合条件. 综上，. 7． 【答案】C 【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【详解】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：C 8． 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：A． 二、多选题 9． 【答案】CD 【分析】求出集合，根据集合的运算即可得到结论. 【详解】因为，所以，故A错误； 由，，得，所以，故B错误； ，故C正确； 由，得中的元素个数为5，故D正确. 故选：CD. 10． 【答案】ABC 【分析】根据集合的包含关系可判断AB；根据韦恩图可判断CD. 【详解】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 故选：ABC. 11． 【答案】BC 【分析】由集合新定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C正确； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12． 【答案】 【分析】由，得到或，求得的值，结合，逐个检验，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则或，解得或或， 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，满足. 故答案为：. 13． 【答案】8 【分析】先求，再根据，列举分析即可． 【详解】，根据，可知，即， 所以共有8种， 所以集合B至多有8个． 故答案为：8． 14． 【答案】 【分析】先求得时，实数的取值范围，再取补集即可. 【详解】当时， ， 若，则，即，此时满足； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上时，实数的取值范围为. 所以时，实数的取值范围为. 故答案为： . 四、解答题 15． 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 16． 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $