单元复习讲义：专题05 分数的应用（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学六年级上册（北师大版·新教材）

该小学数学“分数的应用”专题复习讲义通过知识框架系统梳理了分数应用的核心内容，涵盖连续求一个数的几分之几、分数乘除混合运算等六个考点，每个考点从核心概念、解题关键到数量关系式层层递进，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“典型例题+变式训练”的分层设计，如题型六通过“一桶油用去两次后剩10千克求原有多少”的倒推法例题，培养学生推理意识与运算能力。提升练习包含选择、填空、解决问题等多样题型，基础题巩固方法，复杂题发展创新意识，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

专题05 分数的应用 内容导航 考点梳理 1 考点一、连续求一个数的几分之几是多少的问题 1 考点二、分数的乘、除法的混合运算 2 考点三、求比一个数多/少几分之几的数是多少 2 考点四、整数乘法运算定律推广到分数乘法 3 考点五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 3 考点六、运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 4 例题讲解 5 题型一、连续求一个数的几分之几是多少的问题 5 题型二、分数的乘、除法的混合运算 7 题型三、求比一个数多/少几分之几的数是多少 11 题型四、整数乘法运算定律推广到分数乘法 13 题型五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 19 题型六、运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 22 提升练习 26 考点梳理 考点一、连续求一个数的几分之几是多少的问题 1. 核心概念 这类问题通常涉及两个或多个连续的分数关系。关键在于找准每一步的单位“1”。前一步的结果往往作为后一步的单位“1”。 2. 解题关键 (1) 分步确定单位“1”：第一个分数的单位“1”通常是已知总量；第二个分数的单位“1”是第一个分数计算出的结果。 (2) 连乘计算：可以直接列综合算式，用总数连续乘以各个分率。 3. 数量关系式 4. 示例思路 某班有40人，男生占 ，男生中戴眼镜的占 。求戴眼镜的男生人数？ (1) 第一步单位“1”：全班人数（40人）。 (2) 第二步单位“1”：男生人数。 (3) 算式： （人）。 考点二、分数的乘、除法的混合运算 1. 运算顺序 (1) 同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 (2) 两级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 (3) 有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 计算技巧 (1) 除法变乘法：除以一个数（0除外），等于乘以这个数的倒数。 (2) 约分优先：在乘法过程中，能约分的要先约分，再计算，以简化数值。 (3) 带分数处理：参与运算前，通常先将带分数化为假分数。 3. 易错点 (1) 混淆运算顺序，特别是乘除混合时未从左往右计算。 (2) 忘记将除法转换为乘法后再进行约分。 考点三、求比一个数多/少几分之几的数是多少 1. 核心概念 已知单位“1”的量，求比它多（或少）几分之几的量。 2. 解题步骤 (1) 找单位“1”：通常在“比”字后面，“是/占/相当于”前面的量。 (2) 确定对应分率： 1　 比单位“1”多 ，对应分率为 。 2　 比单位“1”少 ，对应分率为 。 (3) 列式计算：单位“1”的量 对应分率。 3. 数量关系式 (1) 多几分之几： (2) 少几分之几： 4. 示例思路 苹果有100千克，梨比苹果多 。求梨有多少千克？ (1) 单位“1”：苹果（100千克）。 (2) 梨的对应分率： 。 (3) 算式： （千克）。 考点四、整数乘法运算定律推广到分数乘法 1. 适用定律 整数乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于分数乘法，可用于简便运算。 2. 具体应用 (1) 乘法交换律： 用途：调整因数位置，便于约分。 (2) 乘法结合律： 用途：先计算容易得出整数或简单分数的组合。 (3) 乘法分配律： 用途：拆分复杂分数，或提取公因数进行逆运算简化。 3. 典型简算示例 计算 利用分配律： 考点五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1. 核心概念 已知“比较量”和它与单位“1”的关系，求单位“1”的量。 2. 解题逻辑（算术法） (1) 逆向思维：既然“比较量”是单位“1”的 ，那么单位“1”就等于“比较量”除以 。 (2) 量率对应：找到具体的数量与其对应的分率，用 具体数量 ÷ 对应分率 = 单位“1”。 3. 数量关系式 (1) 已知比单位“1”多： (2) 已知比单位“1”少： 4. 示例思路 梨有125千克，比苹果多 。求苹果有多少千克？ (1) 单位“1”：苹果（未知）。 (2) 梨的对应分率： 。 (3) 算式： （千克）。 考点六、运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 1. 转化法（统一单位“1”） (1) 场景：题目中出现多个不同的单位“1”，且它们之间存在关联。 (2) 方法：通过中间量，将所有分率转化为相对于同一个单位“1”的分率，或者找出不变量（如总和不变、差值不变）作为新的单位“1”。 (3) 关键：寻找“不变量”。例如，男女生总人数不变，或两数之差不变。 2. 倒推法（还原法） (1) 场景：已知最后的结果，以及中间经历的一系列变化（每次变化都是基于当前数量的几分之几）。 (2) 方法：从结果出发，逆向操作。 1　 正向是“乘”，逆向就是“除”。 2　 正向是“加”，逆向就是“减”。 (3) 步骤： 1　 确定最后剩下的数量。 2　 分析最后一步操作前的数量： 。 3　 逐步向前推导，直到求出初始数量。 3. 示例思路（倒推法） 一桶油，第一次用去 ，第二次用去余下的 ，还剩10千克。求原有多少？ (1) 第二次用后剩10kg，对应第二次用前余下的 。 (2) 第一次用后余下： （kg）。 (3) 第一次用去 ，则余下对应原有的 。 (4) 原有： （kg）。 例题讲解 题型一、连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典型例题】六年级参加合唱队的有56人，合唱队人数的等于美术组的人数，数学组人数是美术组人数的，数学组有多少人？ 【答案】18人 【分析】先用合唱队人数乘合唱队人数的求出美术组人数，再用美术组人数乘美术组人数的求出数学组人数。 【详解】 ＝32× ＝18（人） 答：数学组有18人。 举一反三 【变式训练1】土星是太阳系八大行星之一，它的赤道周长约是38万千米。天王星的赤道周长约是土星的，地球的赤道周长约是天王星的，地球的赤道周长约是( )万千米。 【答案】4 【分析】先把土星的赤道周长看作单位“1”，用土星的赤道周长乘，求出天王星的赤道周长；再把天王星的赤道周长看作单位“1”，用天王星的赤道周长乘，求出地球的赤道周长。 【详解】38×× ＝16× ＝4（万千米） 【变式训练2】看图列式计算。 【答案】 （箱） 【分析】第一步：把苹果的箱数看作单位“1”，已知苹果总箱数，因为梨的数量是苹果的，所以用苹果的箱数乘对应分率即可得到梨的箱数。 第二步：把梨的箱数看作单位“1”，因为香蕉的数量是梨的，所以用梨的箱数乘对应分率即可得到香蕉的箱数。 也可先计算香蕉箱数占苹果箱数的分率，再用苹果总箱数乘该分率得到结果。 【详解】 （箱） 香蕉有50箱。 【变式训练3】学校有科技书150本，故事书是科技书的本数的，文艺书的本数是故事书的，文艺书有多少本？ 【答案】 75本 【分析】先将科技书的本数看作单位1，用科技书本数乘求出故事书的本数，再将故事书的本数看作单位1，乘即可求出文艺书的本数。 【详解】 （本） 答：文艺书有75本。 题型二、分数的乘、除法的混合运算 【典型例题】脱式计算。            【答案】3；； 【分析】按照从左到右的顺序计算； 先算括号里的乘法，再算括号外的除法； 按照从左到右的顺序计算。 【详解】 举一反三 【变式训练1】计算。                       【答案】240；12；； 【分析】根据四则混合运算规则：在没有括号的算式里，只有乘除法，要从左往右依次计算。 分数乘分数的计算方法，分子和分子相乘的积作为分子，分母与分母相乘的积作为分母；在计算过程中能约分的先约分，再计算。 分数与整数乘法的计算方法，先用分子和整数相乘的积作分子，分母不变；在计算过程中能约分的先约分，再计算。 分数除法的计算法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式训练2】营养早餐店今天早晨新磨了60升豆浆，每升装一杯，每杯元，如果这些豆浆全部卖完，一共可以卖多少元？ 【答案】225元 【分析】先根据豆浆总量和每杯容量算出总杯数，再用总杯数乘每杯的售价，就能得到全部卖完的总收入。 【详解】60÷× ＝60×× ＝225（元） 答：一共可以卖225元。 【变式训练3】育才小学科技小组的同学制作模型。制作的飞机模型是汽车模型的，汽车模型是建筑模型的，飞机模型有18个，科技小组制作的建筑模型有多少个？ 【答案】35个 【分析】由题意可知，制作的飞机模型是汽车模型的，就是把汽车模型看作单位“1”，单位“1”未知，用飞机模型的数量除以，由此求出汽车模型的数量，再根据汽车模型是建筑模型的，把建筑模型看作单位“1”，单位“1”未知，用汽车模型的数量除以，即可求出建筑模型的数量。 【详解】18÷÷ ＝18×× ＝28× ＝35（个） 答：科技小组制作的建筑模型有35个。 题型三、求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典型例题】李伯伯家的果园去年摘了640kg苹果，今年摘的苹果质量比去年多。今年摘了多少千克苹果？ 【答案】 896千克 【分析】把去年摘的苹果质量看作单位“1”，今年摘的苹果质量相当于去年的（1＋），用去年的质量乘对应分率即可求出今年的苹果质量。 【详解】 （千克） 答：今年摘了896千克苹果。 举一反三 【变式训练1】看图列式计算。 【答案】360×（1－）＝300（千克） 【分析】把西红柿的360千克看作单位“1”，单位“1”已知用乘法，黄瓜比西红柿少，黄瓜对应的分率就是（1－），用360乘这个分率即可求出黄瓜的重量。 【详解】360×（1－） ＝360× ＝300（千克） 【变式训练2】明明的身高是152厘米，亮亮的身高比明明高，亮亮的身高是多少？（先画图理解题意，再解决问题） 【答案】171厘米 【分析】把明明的身高看作单位“1”，亮亮的身高对应的分率是1＋，已知单位“1”的量，用乘法即可求出亮亮的身高。画线段图时把明明的身高平均分成8份，亮亮的身高画这样的9份。 【详解】 152×（1＋） ＝152× ＝171（厘米） 答：亮亮的身高是171厘米。 【变式训练3】随着哈尔滨申办2025年第九届亚洲冬季运动会的成功，哈尔滨成为热门旅游城市。某天，甲旅行团共117人去哈尔滨旅游，乙旅行团去哈尔滨旅游的人数比甲旅行团的人数少，这天乙旅行团去哈尔滨旅游的有多少人？ 【答案】104人 【分析】求比一个数少几分之几的数是多少，单位“1”已知，用乘法计算，即单位“1”的量×（1－几分之几）。 根据题意可知，本题的单位“1”是甲旅行团的人数，是117人，乙旅行团人数是甲的（1－），用117×（1－）就可得到乙旅行团的人数。 【详解】117×（1－） ＝117× ＝104（人） 答：这天乙旅行团去哈尔滨旅游的有104人。 题型四、整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典型例题】计算下面各题，能简算的要简算。                                  【答案】 16；11；； 【分析】根据乘法分配律进行简算； 把7×12看作一个整体，然后运用乘法分配律进行简算； 把95转化为（94＋1），再运用乘法分配律进行简算； 首先把转化为，再运用乘法分配律进行简算。 【详解】 ＝56×（） ＝56× ＝16 ＝ ＝35－24 ＝11 ＝ ＝ ＝3＋ ＝ ＝ ＝ ＝1× ＝ 举一反三 【变式训练1】脱式计算（能简算的要简算）。                                   【答案】 13；0.1；11 【分析】，观察算式特点，可运用乘法分配律进行简便运算； ，先将化成分数，再运用乘法交换律和乘法结合律进行简便运算； ，先根据乘法分配律计算，再根据减法的性质简算。 【详解】 ＝ ＝16－9＋6 ＝7＋6 ＝13 ＝ ＝ ＝0.1×1 ＝0.1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝11 【变式训练2】脱式计算，能简算的要简算。                 【答案】1；8；；10 【分析】（1）根据“除以一个数等于乘这个数的倒数”，先把除法变乘法，从左到右依次计算乘法，分数乘法约分：分子分母交叉约分，简化计算。 （2）从左到右依次进行乘法计算。 （3）根据“除以一个数等于乘这个数的倒数”，先把除法变乘法，分数乘法约分：分子分母交叉约分，简化计算。 （4）根据乘法分配律简便计算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝1 （2） ＝ ＝8 （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝8＋6－4 ＝14－4 ＝10 【变式训练3】下面各题，怎样算简便就怎样算。                                                         【答案】；7 ； 【分析】（1）先把除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），再利用乘法交换律调整顺序，简化计算。 （2）直接根据乘法分配律a×（b－c）＝a×b－a×c，简便计算。 （3）先算除法，除以一个数等于乘它的倒数，再根据加法结合律a＋b＋c＝a＋（b＋c），简便计算。 （4）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝7 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 题型五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典型例题】某汽车公司今年5月份生产新能源汽车5500辆，比4月份增长了。4月份生产了多少辆？（先画线段图分析，再列式解答） 【答案】；4400 辆 【分析】根据题意可知，4月份的生产量是单位“1”。 5月份的生产量比4月份增长了，那么5月份的生产量相当于4月份的。画线段图时：将4月份的生产量看作单位“1”，平均分成4份，5月份比4月份多1份，即5月份的生产量相当于5份。根据“已知比一个数多几分之几是多少，求这个数”，用除法计算，用5月份的生产量除以，即可求出4月份的生产量。 【详解】如图： 5500÷ ＝5500÷ ＝5500× ＝4400（辆） 答：4 月份生产了4400辆。 举一反三 【变式训练1】看图列式计算。 【答案】 【分析】本题的单位“1”是梨的质量，桃的质量比梨少，所以桃的质量对应的分率是。 已知桃的质量是240kg，结合分数除法的意义，用桃的质量除以它对应的分率，即可求出梨的质量。 【详解】 由上可知，梨的重量是420kg。 【变式训练2】某农作物种植园种植辣椒21亩，种植的辣椒比棉花少，种植棉花多少亩？ (1)画出线段图分析数量关系。 (2)列式解答。 【答案】(1)线段图如下： (2)种植棉花24亩。 【分析】（1）把棉花的种植面积看作单位“1”，辣椒比棉花少，说明辣椒面积21亩的对应分率是（），线段图作图步骤： ①画一条水平线段，平均分成8等份，代表棉花的种植面积，线段上方标注“棉花？亩； ②在该线段下方保持左端对齐，画长度为7等份的水平线段，代表辣椒的种植面积，线段下方标注“辣椒21亩”； ③用虚线画出辣椒线段比棉花线段短的1份，标注“少”。 （2）根据求单位“1”的量用除法计算，即用21÷（）即可求出棉花的种植面积。 【详解】（1）略 （2） ＝ （亩） 答：种植棉花24亩。 【变式训练3】某学校举办科技节，有60名同学参加了机器人项目体验，比参加无人机项目体验的人数多。参加无人机项目体验的同学有多少人？ 【答案】48人 【分析】分析题目，把参加无人机项目体验的人数看作单位“1”，则参加机器人项目体验的人数是参加无人机项目体验的人数的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法列式计算即可。 【详解】60÷（1＋） ＝60÷ ＝60× ＝48（人） 答：参加无人机项目体验的同学有48人。 题型六、运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典型例题】景区生态池，第一天补充总水量的，第二天补充剩下的，还剩15立方米。这个生态池的容量是多少立方米？ 【答案】100立方米 【分析】将第一天剩下的容量看作单位“1”，最后剩下的是第一天剩下的（1－），最后剩下的容量÷对应分率＝第一天剩下的容量；再将总容量看作单位“1”，第一天剩下的容量是总容量的（1－），第一天剩下的容量÷对应分率＝总容量。 【详解】15÷（1－）÷（1－） ＝15÷÷ ＝15×4× ＝60× ＝100（立方米） 答：这个生态池的容量是100立方米。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义。 举一反三 【变式训练1】甲、乙两筐苹果共重220千克，甲筐售出了，此时乙筐苹果的重量是甲筐的。现在甲筐苹果重多少千克？ 【答案】80千克 【分析】由题意知：甲筐售出了，将甲筐原有的苹果总数看作单位“1”，现在甲筐还剩，此时乙筐苹果的重量是甲筐的，则乙筐苹果是原来甲筐苹果的。又知：甲、乙两筐苹果共重220千克，则用甲、乙两筐苹果总的质量÷甲、乙两筐苹果一共的质量对应的分率＝单位“1”，也就是甲筐原来的质量。再根据求一个数的几分之几用乘法，用甲筐原来的质量×甲筐苹果现在重量对应的分率＝甲筐苹果现在的重量。据此列式即可。 【详解】 ＝100（千克） ＝80（千克） 答：现在甲筐苹果重80千克。 【变式训练2】一壶油，第一次倒出，然后加入60克，第二次倒出壶中油的，第三次倒出120克，壶中还剩下120克，原来壶中有多少油？ 【答案】720克 【分析】由于第二次倒出壶中油的，则壶中还有原来的1－＝，第三次倒出120克，壶中还剩下120克，则120＋120＝240克占第二次倒出前的，所以第二次倒出前，壶中共有油240÷＝600克，即第一次倒出，然后加入60克后，壶中此时有600克油，则600－60克占原来油的1－，所以原来有（600－60）÷（1－）克。 【详解】（120＋120）÷（1－） ＝240 ＝600（克） （600－60）÷（1－） ＝540÷ ＝720（克） 答：原来壶中有720克。 【点睛】本题主要利用倒推法，首先根据所给条件求出第二次倒出前壶中的油是完成本题的关键。 【变式训练3】小军看一本故事书，第一周看了全书的，第二周看了余下的，还剩75页没有读，这本故事书有多少页？ 【答案】180页 【分析】把全书总页数看作单位“1”，第一周看了全书的，余下的页数占全书页数的1－，第二周看了余下的，第二周看了全书页数的（1－）×，求出第二周看的页数占全书的分率；再用1－第一周看的页数占全书的分率－第二周看的页数占全书的分率，求出剩下的页数占全书的分率，对应的是75页没看，求单位“1”，用75除以剩下的页数占全书的分率，即可解答。 【详解】75÷[1－－（1－）×] ＝75÷[－×] ＝75÷[－] ＝75÷[－] ＝75÷ ＝75× ＝180（页） 答：这本故事书有180页。 提升练习 1．一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机小时耕地多少公顷？正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，需先求出拖拉机每小时耕地的公顷数（工作效率），再用工作效率乘新的工作时间，即可求出新的工作总量。 【详解】根据数量关系：工作效率 工作总量 工作时间。已知拖拉机小时耕地公顷，则每小时耕地的公顷数为： 再根据数量关系：工作总量 工作效率 工作时间。要求小时耕地多少公顷，列式为 对比选项，该算式与选项 B 一致。 2．“古稀”、“花甲”、“不惑”等都是古代对年龄的称谓。其中“古稀”表示70岁，“花甲”表示的年龄是“古稀”的，（    ）。“不惑”表示的年龄是多少岁？请在括号里补充合适的信息，使问题可以用算式“”解决。 A．“不惑”表示的年龄是“花甲”的 B．“古稀”表示的年龄是“不惑”的 C．“不惑”表示的年龄是“古稀”的 D．“花甲”表示的年龄是“不惑”的 【答案】A 【分析】先把“古稀”的年龄看作单位“1”，计算的是“花甲”的年龄。“花甲”的年龄再乘得到“不惑”的年龄，说明是再把“花甲”的年龄看作单位“1”，即“不惑”的年龄是“花甲”的。 【详解】根据分析，是求“花甲”年龄的，对应“不惑”的年龄，即“不惑”表示的年龄是“花甲”的。选A。 3．某科技馆一个展示架上有14个运载火箭模型，比空间站模型多。该展示架上有（    ）个空间站模型。 A．8 B．9 C．12 D．13 【答案】C 【分析】把空间站模型的数量看作单位“1”，则运载火箭模型的数量是空间站模型数量的（），用运载火箭模型的数量除以（）即可得到空间站模型的数量。 【详解】14÷（1＋） ＝14÷ ＝14× ＝12（个） 4．下面的问题中，不能用“120×（1－）”解决的是（ ）。 A．一件衣服原价是120元，现降价，现价是多少元 B．一堆煤120吨，运走，还剩多少吨 C．小明有120元，小红比小明少，小红有多少元 D．一条路长120米，已修米，还剩多少米没修 【答案】D 【分析】120×（1－）可以表示求比120少的数是多少。逐项分析每个选项如何列式，与题干的算式进行对比。 【详解】A．把衣服的原价看作单位“1”，降价，就是现价比原价少，列式为120×（1－），此选项正确； B．把这堆煤的质量看作单位“1”，运走，剩下的质量是原有质量的（1－），求剩下的质量列式为120×（1－），此选项正确； C．把小明有的钱数看作单位“1”，小红比小明少，则小红的钱数是小明钱数的（1－），求小红的钱数列式为120×（1－），此选项正确； D．还剩下没修的长度＝这条路的全长－已修的长度＝120－，不能用120×（1－）解决，此选项错误。 5．比24千米多是( )千米，24千米比( )千米少。 【答案】 32 36 【分析】求比24千米多​的长度，把24千米看作单位“1”，所求长度是24千米的（1＋），用乘法计算： 求24千米比多少千米少，是把要求的长度看作单位“1”，24千米是单位“1”的（1－），求单位“1”用除法计算。 【详解】24×（1＋） ＝24× ＝32（千米） 24÷（1－） ＝24÷ ＝24× ＝36（千米） 6．淘气去年身高135cm，今年比去年长高了，淘气今年身高( )cm。 【答案】139.5 【分析】把去年的身高看作单位“1”。今年的身高是去年的（1＋），求今年的身高，用乘法计算。 【详解】135×（1＋） ＝135× ＝139.5（cm） 7．校园有柳树30棵，杨树的棵数是柳树的，梧桐树是杨树的，梧桐树有( )棵。 【答案】9 【分析】将柳树棵数看作单位“1”，柳树棵数×杨树对应分率＝杨树棵数；再将杨树棵数看作单位“1”，杨树棵数×梧桐树对应分率＝梧桐树棵数。 【详解】30×× ＝12× ＝9（棵） 8．运用运算定律填一填。 (1)______ (2)（______×______） (3)（m＋______）×______ 【答案】(1) (2) (3) 3 【分析】（1）两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。运用乘法交换律填空。 （2）三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。运用乘法结合律填空。 （3）两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。运用乘法分配律的逆运算填空。 【详解】（1） （2） （3） 9．甲、乙两人加工同样多的零件，甲用的时间比乙多，乙每小时加工60个零件，甲每小时加工( )个零件。 【答案】45 【分析】甲乙加工零件总数相同，即工作总量一定，根据工作总量＝工作效率×工作时间，工作效率与工作时间成反比例；把乙的工作时间看作单位“1”，先求出甲的时间是乙的（1＋），再利用反比例关系，即把甲的工作效率看作单位“1”，乙的工作效率是甲的（1＋），用乙的工作效率除以（1＋），即可求出甲的工作效率。 【详解】60÷（1＋） ＝60÷ ＝60× ＝45（个） 10．脱式计算。                         【答案】6；18；； 【分析】（1）从左往右依次计算； （2）先算乘法，再算除法，从左往右依次计算； （3）先算除法，再算乘法，从左往右依次计算； （4）把除法都转化为乘法后，从左往右依次计算。 【详解】 ＝6 ＝18 11．计算下列各题，能简算的要简算。                  【答案】1；14； 【分析】利用乘法交换律和结合律简便计算。 利用乘法分配律简便计算。 先把化为小数；再把中括号里的算式运用减法性质以及带符号搬家，简便计算，最后计算括号外的乘法。 【详解】0.125××8× ＝0.125×8×× ＝（0.125×8）×（×） ＝1×1 ＝1 32×（－） ＝32×－32× ＝20－6 ＝14 ×[0.75－（－）] ＝×[0.75－（－0.25）] ＝×[0.75－＋0.25] ＝×[0.75＋0.25－] ＝×[1－] ＝× ＝ 12．计算下面各题，注意使用简便算法。                             【答案】；； ； 【分析】（1）逆用乘法分配律简便计算； （2）利用乘法分配律简便计算； （3）按照四则混合运算的顺序，先计算分数乘除法，再计算分数减法； （4）按照四则混合运算的顺序，先计算小括号里面的分数加法，再计算中括号里面的分数乘法，最后计算括号外面的分数除法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝50 （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 13．看图列式。 【答案】40本 【分析】先看线段，故事书有140本，把故事书的总本数看作第一个单位“1”，平均分成7份，科技书占其中的5份，也就是科技书的本数是故事书的，用故事书的数量乘，可以算出科技书有多少本。 再把算出来的科技书本数当作新的单位“1”，科技书线段平均分成5份，连环画占其中2份，连环画是科技书的，再用科技书的本数乘，就能求出连环画的本数。 【详解】140×× ＝100× ＝40（本） 14．看图列式计算。 【答案】240×（1＋） ＝240× ＝320（面） 【分析】由图可知，把红旗的数量看作单位“1”，绿旗的数量比红旗多，求绿旗的数量。求比一个数多几分之几的数是多少，用乘法计算。 【详解】略 15．看图列式计算。 【答案】360÷（1＋）＝270（棵） 【分析】分析线段图，把桃树的棵数看作单位“1”，梨树的棵数比桃树多，根据已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数用除法，用梨树的棵数除以（1＋）即可求出桃树的棵数。 【详解】360÷（1＋） ＝360÷ ＝360× ＝270（棵） 桃树是270棵。 16．超市运来苹果72千克，运来的梨是苹果的，运来的香蕉是梨的，运来香蕉多少千克？ 【答案】30千克 【分析】先把苹果的重量看作单位“1”，用苹果的重量72千克乘求出梨的重量，再把梨的重量看作单位“1”，用梨的重量乘求出香蕉的重量。 【详解】72×× ＝45× ＝30（千克） 答：运来香蕉30千克。 17．妈妈一共买了三种新年糖果，其中奶糖45颗。酥糖的颗数是奶糖的，是水果糖的，妈妈买了多少颗水果糖？ 【答案】24颗 【分析】把奶糖的颗数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用奶糖的颗数乘求出酥糖的颗数，再把水果糖的颗数看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，用酥糖的颗数除以即可求出水果糖的颗数。 【详解】45×÷ ＝18× ＝24（颗） 答：妈妈买了24颗水果糖。 18．赣深高铁设计速度达到360千米/时，试运行阶段的速度比设计速度降低了，试运行阶段的速度是多少？ 【答案】320千米/时 【分析】将设计速度看作单位“1”，试运行阶段的速度是设计速度的（1－），设计速度×试运行阶段的对应分率＝试运行阶段的速度。 【详解】360×（1－） ＝360× ＝320（千米/时） 答：试运行阶段的速度是320千米/时。 19．被誉为河北“生态纽带”的滹沱河，河道两岸将建设若干座主题公园，共打造水域面积1800亩，比绿化面积少。建成后滹沱河河道两岸的绿化面积是多少亩？ 【答案】亩 【分析】根据题干“比绿化面积少”，可知绿化面积是单位“1”，水域面积相当于绿化面积的。已知水域面积是1800亩，求单位“1”的量，用除法计算。 【详解】1800÷（1－） ＝1800÷ ＝1800× ＝3200（亩） 答：建成后滹沱河河道两岸的绿化面积是3200亩。 20．妈妈参加“大美庐江快乐毅行”，已经走了总路程的少1.5千米，还剩下7.8千米路程。这次“快乐毅行”的总路程是多少千米？（提示：可先画出线段图再解答） 【答案】；16.8千米 【分析】把总路程看作单位“1”，已走路程比总路程的少1.5千米，则剩下的路程比总路程的（）多1.5千米。用剩下的路程减去1.5千米，得到对应总路程（）的长度，再用除法求出总路程。用一条线段表示总路程，这条线段的上减去表示1.5千米的一小段，表示已经走了的路程，剩下部分表示没走的7.8千米。 【详解】图略 ＝ ＝16.8（千米） 答：这次“快乐毅行”的总路程是16.8千米。 21．榴莲被誉为“水果之王”，我国的榴莲几乎全部依赖进口，价格高昂，但随着“一带一路”经济带的推动，榴莲的价格也有了变化，某地1月份榴莲的价格约为每千克28元，2月份榴莲的价格比1月份上涨了，3月份榴莲的价格是2月份价格的，3月份榴莲的价格比1月份的每千克上涨多少元？ 【答案】2元 【分析】根据“2月份榴莲的价格比1月份上涨了”，先把1月份榴莲的价格看作单位“1”，2月份榴莲的价格相当于1月份的，用1月份榴莲的价格每千克28元×即可算出2月份榴莲的价格；再根据“3月份榴莲的价格是2月份价格的”，再把2月份榴莲的价格看作单位“1”，用2月份榴莲的价格×即可得3月份榴莲的价格；最后用3月份榴莲的价格减去1月份榴莲的价格，即可得解。 【详解】 （元） 答：3月份榴莲的价格比1月份的每千克上涨2元。 22．国庆那天，明明一家为了重温革命记忆来到了兵工厂兴国官田兵工厂。他们想要从枪炮科步行到弹药科，走了全程的后，发现距离两地中点还有120米，枪炮科到弹药科共有多少米？（请用你喜欢的方式把你的思考过程表示出来） 【答案】720米；思考过程见下图 【分析】把枪炮科到弹药科的全程看作单位“1”。全程的中点即全程的。明明一家走了全程的，距离中点的距离占全程的－＝。已知这部分距离为120米，即全程的是120米，要求全程长度，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用除法计算 【详解】见下图 120÷（－） ＝120÷（－） ＝120÷ ＝120×6 ＝720（米） 答：枪炮科到弹药科共有720米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分数的应用 内容导航 考点梳理 1 考点一、连续求一个数的几分之几是多少的问题 1 考点二、分数的乘、除法的混合运算 2 考点三、求比一个数多/少几分之几的数是多少 2 考点四、整数乘法运算定律推广到分数乘法 3 考点五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 3 考点六、运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 4 例题讲解 5 题型一、连续求一个数的几分之几是多少的问题 5 题型二、分数的乘、除法的混合运算 6 题型三、求比一个数多/少几分之几的数是多少 7 题型四、整数乘法运算定律推广到分数乘法 8 题型五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 9 题型六、运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 10 提升练习 11 考点梳理 考点一、连续求一个数的几分之几是多少的问题 1. 核心概念 这类问题通常涉及两个或多个连续的分数关系。关键在于找准每一步的单位“1”。前一步的结果往往作为后一步的单位“1”。 2. 解题关键 (1) 分步确定单位“1”：第一个分数的单位“1”通常是已知总量；第二个分数的单位“1”是第一个分数计算出的结果。 (2) 连乘计算：可以直接列综合算式，用总数连续乘以各个分率。 3. 数量关系式 4. 示例思路 某班有40人，男生占 ，男生中戴眼镜的占 。求戴眼镜的男生人数？ (1) 第一步单位“1”：全班人数（40人）。 (2) 第二步单位“1”：男生人数。 (3) 算式： （人）。 考点二、分数的乘、除法的混合运算 1. 运算顺序 (1) 同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 (2) 两级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 (3) 有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 计算技巧 (1) 除法变乘法：除以一个数（0除外），等于乘以这个数的倒数。 (2) 约分优先：在乘法过程中，能约分的要先约分，再计算，以简化数值。 (3) 带分数处理：参与运算前，通常先将带分数化为假分数。 3. 易错点 (1) 混淆运算顺序，特别是乘除混合时未从左往右计算。 (2) 忘记将除法转换为乘法后再进行约分。 考点三、求比一个数多/少几分之几的数是多少 1. 核心概念 已知单位“1”的量，求比它多（或少）几分之几的量。 2. 解题步骤 (1) 找单位“1”：通常在“比”字后面，“是/占/相当于”前面的量。 (2) 确定对应分率： 1　 比单位“1”多 ，对应分率为 。 2　 比单位“1”少 ，对应分率为 。 (3) 列式计算：单位“1”的量 对应分率。 3. 数量关系式 (1) 多几分之几： (2) 少几分之几： 4. 示例思路 苹果有100千克，梨比苹果多 。求梨有多少千克？ (1) 单位“1”：苹果（100千克）。 (2) 梨的对应分率： 。 (3) 算式： （千克）。 考点四、整数乘法运算定律推广到分数乘法 1. 适用定律 整数乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于分数乘法，可用于简便运算。 2. 具体应用 (1) 乘法交换律： 用途：调整因数位置，便于约分。 (2) 乘法结合律： 用途：先计算容易得出整数或简单分数的组合。 (3) 乘法分配律： 用途：拆分复杂分数，或提取公因数进行逆运算简化。 3. 典型简算示例 计算 利用分配律： 考点五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1. 核心概念 已知“比较量”和它与单位“1”的关系，求单位“1”的量。 2. 解题逻辑（算术法） (1) 逆向思维：既然“比较量”是单位“1”的 ，那么单位“1”就等于“比较量”除以 。 (2) 量率对应：找到具体的数量与其对应的分率，用 具体数量 ÷ 对应分率 = 单位“1”。 3. 数量关系式 (1) 已知比单位“1”多： (2) 已知比单位“1”少： 4. 示例思路 梨有125千克，比苹果多 。求苹果有多少千克？ (1) 单位“1”：苹果（未知）。 (2) 梨的对应分率： 。 (3) 算式： （千克）。 考点六、运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 1. 转化法（统一单位“1”） (1) 场景：题目中出现多个不同的单位“1”，且它们之间存在关联。 (2) 方法：通过中间量，将所有分率转化为相对于同一个单位“1”的分率，或者找出不变量（如总和不变、差值不变）作为新的单位“1”。 (3) 关键：寻找“不变量”。例如，男女生总人数不变，或两数之差不变。 2. 倒推法（还原法） (1) 场景：已知最后的结果，以及中间经历的一系列变化（每次变化都是基于当前数量的几分之几）。 (2) 方法：从结果出发，逆向操作。 1　 正向是“乘”，逆向就是“除”。 2　 正向是“加”，逆向就是“减”。 (3) 步骤： 1　 确定最后剩下的数量。 2　 分析最后一步操作前的数量： 。 3　 逐步向前推导，直到求出初始数量。 3. 示例思路（倒推法） 一桶油，第一次用去 ，第二次用去余下的 ，还剩10千克。求原有多少？ (1) 第二次用后剩10kg，对应第二次用前余下的 。 (2) 第一次用后余下： （kg）。 (3) 第一次用去 ，则余下对应原有的 。 (4) 原有： （kg）。 例题讲解 题型一、连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典型例题】六年级参加合唱队的有56人，合唱队人数的等于美术组的人数，数学组人数是美术组人数的，数学组有多少人？ 举一反三 【变式训练1】土星是太阳系八大行星之一，它的赤道周长约是38万千米。天王星的赤道周长约是土星的，地球的赤道周长约是天王星的，地球的赤道周长约是( )万千米。 【变式训练2】看图列式计算。 【变式训练3】学校有科技书150本，故事书是科技书的本数的，文艺书的本数是故事书的，文艺书有多少本？ 题型二、分数的乘、除法的混合运算 【典型例题】脱式计算。            举一反三 【变式训练1】计算。                       【变式训练2】营养早餐店今天早晨新磨了60升豆浆，每升装一杯，每杯元，如果这些豆浆全部卖完，一共可以卖多少元？ 【变式训练3】育才小学科技小组的同学制作模型。制作的飞机模型是汽车模型的，汽车模型是建筑模型的，飞机模型有18个，科技小组制作的建筑模型有多少个？ 题型三、求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典型例题】李伯伯家的果园去年摘了640kg苹果，今年摘的苹果质量比去年多。今年摘了多少千克苹果？ 举一反三 【变式训练1】看图列式计算。 【变式训练2】明明的身高是152厘米，亮亮的身高比明明高，亮亮的身高是多少？（先画图理解题意，再解决问题） 【变式训练3】随着哈尔滨申办2025年第九届亚洲冬季运动会的成功，哈尔滨成为热门旅游城市。某天，甲旅行团共117人去哈尔滨旅游，乙旅行团去哈尔滨旅游的人数比甲旅行团的人数少，这天乙旅行团去哈尔滨旅游的有多少人？ 题型四、整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典型例题】计算下面各题，能简算的要简算。                                  举一反三 【变式训练1】脱式计算（能简算的要简算）。                                   【变式训练2】脱式计算，能简算的要简算。                 【变式训练3】下面各题，怎样算简便就怎样算。                                                         题型五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典型例题】某汽车公司今年5月份生产新能源汽车5500辆，比4月份增长了。4月份生产了多少辆？（先画线段图分析，再列式解答） 举一反三 【变式训练1】看图列式计算。 【变式训练2】某农作物种植园种植辣椒21亩，种植的辣椒比棉花少，种植棉花多少亩？ (1)画出线段图分析数量关系。 (2)列式解答。 【变式训练3】某学校举办科技节，有60名同学参加了机器人项目体验，比参加无人机项目体验的人数多。参加无人机项目体验的同学有多少人？ 题型六、运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典型例题】景区生态池，第一天补充总水量的，第二天补充剩下的，还剩15立方米。这个生态池的容量是多少立方米？ 举一反三 【变式训练1】甲、乙两筐苹果共重220千克，甲筐售出了，此时乙筐苹果的重量是甲筐的。现在甲筐苹果重多少千克？ 【变式训练2】一壶油，第一次倒出，然后加入60克，第二次倒出壶中油的，第三次倒出120克，壶中还剩下120克，原来壶中有多少油？ 【变式训练3】小军看一本故事书，第一周看了全书的，第二周看了余下的，还剩75页没有读，这本故事书有多少页？ 提升练习 1．一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机小时耕地多少公顷？正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 2．“古稀”、“花甲”、“不惑”等都是古代对年龄的称谓。其中“古稀”表示70岁，“花甲”表示的年龄是“古稀”的，（    ）。“不惑”表示的年龄是多少岁？请在括号里补充合适的信息，使问题可以用算式“”解决。 A．“不惑”表示的年龄是“花甲”的 B．“古稀”表示的年龄是“不惑”的 C．“不惑”表示的年龄是“古稀”的 D．“花甲”表示的年龄是“不惑”的 3．某科技馆一个展示架上有14个运载火箭模型，比空间站模型多。该展示架上有（    ）个空间站模型。 A．8 B．9 C．12 D．13 4．下面的问题中，不能用“120×（1－）”解决的是（ ）。 A．一件衣服原价是120元，现降价，现价是多少元 B．一堆煤120吨，运走，还剩多少吨 C．小明有120元，小红比小明少，小红有多少元 D．一条路长120米，已修米，还剩多少米没修 5．比24千米多是( )千米，24千米比( )千米少。 6．淘气去年身高135cm，今年比去年长高了，淘气今年身高( )cm。 7．校园有柳树30棵，杨树的棵数是柳树的，梧桐树是杨树的，梧桐树有( )棵。 8．运用运算定律填一填。 (1)______ (2)（______×______） (3)（m＋______）×______ 9．甲、乙两人加工同样多的零件，甲用的时间比乙多，乙每小时加工60个零件，甲每小时加工( )个零件。 10．脱式计算。                         11．计算下列各题，能简算的要简算。                  12．计算下面各题，注意使用简便算法。                             13．看图列式。 14．看图列式计算。 15．看图列式计算。 16．超市运来苹果72千克，运来的梨是苹果的，运来的香蕉是梨的，运来香蕉多少千克？ 17．妈妈一共买了三种新年糖果，其中奶糖45颗。酥糖的颗数是奶糖的，是水果糖的，妈妈买了多少颗水果糖？ 18．赣深高铁设计速度达到360千米/时，试运行阶段的速度比设计速度降低了，试运行阶段的速度是多少？ 19．被誉为河北“生态纽带”的滹沱河，河道两岸将建设若干座主题公园，共打造水域面积1800亩，比绿化面积少。建成后滹沱河河道两岸的绿化面积是多少亩？ 20．妈妈参加“大美庐江快乐毅行”，已经走了总路程的少1.5千米，还剩下7.8千米路程。这次“快乐毅行”的总路程是多少千米？（提示：可先画出线段图再解答） 21．榴莲被誉为“水果之王”，我国的榴莲几乎全部依赖进口，价格高昂，但随着“一带一路”经济带的推动，榴莲的价格也有了变化，某地1月份榴莲的价格约为每千克28元，2月份榴莲的价格比1月份上涨了，3月份榴莲的价格是2月份价格的，3月份榴莲的价格比1月份的每千克上涨多少元？ 22．国庆那天，明明一家为了重温革命记忆来到了兵工厂兴国官田兵工厂。他们想要从枪炮科步行到弹药科，走了全程的后，发现距离两地中点还有120米，枪炮科到弹药科共有多少米？（请用你喜欢的方式把你的思考过程表示出来） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $