单元复习讲义：专题03 用字母表示（二）（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学六年级上册（北师大版·新教材）

该小学数学讲义通过内容导航与考点梳理系统构建“用字母表示”知识体系，将用字母表示数量关系等五个考点按“概念-规范-应用”层次呈现，用示例表格归纳书写规范和常见数量关系，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题讲解分题型设置典型例题与变式训练，如数与形规律题（搭正方体框架）引导从具体到抽象，培养抽象能力和模型意识，数表规律题强调观察法培养推理意识。提升练习涵盖选择、填空、解答题，助力不同学生巩固，教师可据此实施精准复习教学。

专题03 用字母表示（二） 内容导航 考点梳理 1 考点一、用字母表示数量关系 1 考点二、含有字母式子的化简与求值 2 考点三、利用等式的性质求未知数 2 考点四、数表中的规律 3 考点五、数与形（探索规律） 3 例题讲解 4 题型一、用字母表示数量关系（2个未知数） 4 题型二、含有字母式子的化简与求值 4 题型三、利用等式的性质求未知数 5 题型四、数表中的规律 5 题型五、数与形（探索规律） 6 提升练习 7 考点梳理 考点一、用字母表示数量关系 1. 核心概念 用字母表示数可以简明地表达数量之间的关系。在含有字母的式子中，字母通常代表未知数或变量。 2. 书写规范 (1) 乘号省略：数字与字母相乘、字母与字母相乘时，乘号可以写作“·”或省略不写。 例： 写作 ； 写作 。 (2) 数字在前：数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面。 例： 写作 ，不能写作 。 (3) 1的省略：当系数为1时，1通常省略不写。 例： 写作 。 (4) 加减除保留：加、减、除运算符号不能省略。 例： ， ， 或 。 3. 常见数量关系示例 (1) 路程公式： （路程=速度×时间） (2) 总价公式： （总价=单价×数量） (3) 年龄问题：若小明今年 岁，爸爸比小明大25岁，则爸爸今年 岁。 考点二、含有字母式子的化简与求值 1. 式子化简 利用乘法分配律合并。 (1) 原理： (2) 示例： 1　 2　 2. 代入求值 当字母取具体数值时，计算式子的结果。 (1) 步骤： 1　 写原式：写出含有字母的式子。 2　 代入：将字母替换为具体的数值（注意添加括号，特别是负数或分数）。 3　 计算：按照运算顺序得出结果。 (2) 示例： 当 时，求 的值。 考点三、利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 步骤 (1) 示例1（加减法）： (2) 示例2（乘除法）： (3) 示例3（复合运算）： 考点四、数表中的规律 1. 观察方法 (1) 横向观察：看每一行数字的变化规律（通常是等差或等比）。 (2) 纵向观察：看每一列数字的变化规律。 (3) 对角线观察：看斜向数字的关系。 2. 常见模型 (1) 日历中的规律： 1　 左右相邻相差1，上下相邻相差7。 2　 若中间数为 ，则九宫格内周围八个数可表示为： (2) 数阵规律： 例如：第 行有 个数，或者第 行的第一个数是 等。需通过前几行数据归纳通项公式。 考点五、数与形（探索规律） 1. 图形与数的对应 将图形排列转化为数列，寻找项数 与图形数量（如点数、线段数、面积）之间的关系。 2. 典型题型 (1) 搭正方形/三角形： 1　 搭1个正方形用4根小棒，搭2个连排正方形用7根，搭3个用10根…… 2　 规律：每多一个正方形增加3根。 3　 公式：搭 个正方形需要 根小棒。 (2) 点阵图： 1　 第1个点阵1个点，第2个4个点，第3个9个点…… 2　 规律：第 个点阵有 个点。 3. 解题策略 (1) 列表法：列出 时的具体数值。 (2) 找差值：观察相邻两项的差是否固定。 (3) 归纳公式：尝试用含 的式子表示第 项。 (4) 验证：用 或 验证公式是否正确。 例题讲解 题型一、用字母表示数量关系（2个未知数） 【典型例题】4月23日是“世界读书日”，实验小学开展了“读书漂流”活动。小丽看一本书，平均每天看20页，看了天，还剩页没看，这本书共( )页。 举一反三 【变式训练1】式子2a＋b不可以表示下面哪个情境中的数量关系？（    ） A．聪聪两天读书的页数和亮亮一天读书的页数 B．两盒彩笔和一盒蜡笔的价钱 C．一个足球和两个篮球的价钱 D．四（1）班男生和女生的人数 【变式训练2】十位上是5，个位上是8，这个数是( )；个位上是a，十位上是b，这个数可以表示为( )。 【变式训练3】一张桌子m元，一把椅子n元，1张桌子和4把椅子正好配成1套。用含有字母的式子表示张叔叔买2套这种桌椅所花的钱数是( )元。 题型二、含有字母式子的化简与求值 【典型例题】文化路小学组织合唱比赛，四年级合唱队男生排了a排，女生排了b排，每排都是16人。 (1)用含有字母的式子表示出四年级参加合唱比赛的总人数。 (2)当a＝4，b＝6时，四年级一共有多少人参加了合唱比赛？ 举一反三 【变式训练1】每千克苹果a元，每千克桃子b元，买2千克苹果和3千克桃子需要( )元，如果，需要( )元。 【变式训练2】如图，从一张梯形纸中剪去一个最大的平行四边形（单位：cm），这个平行四边形的面积是( )cm2。当a＝4时，剩余部分的面积是( )cm2。 【变式训练3】丫丫一家带了元钱去电影院观看电影，买了4张电影票，每张电影票元。（） (1)用含有字母的式子表示剩下的钱数。 (2)当，时，还剩多少元？ 题型三、利用等式的性质求未知数 【典型例题】如果m＝2n，那么5m＝( )，m－3＝2n－( )。 举一反三 【变式训练1】当时，( )。 【变式训练2】已知6x＝25，那么24x＝( )，2x＝( )。 【变式训练3】如果2a＋8＝2b，那么b比a大( )，则4b－4a＝( )。 题型四、数表中的规律 【典型例题】填在下面正方形中的四个数都有相同的规律，根据规律，m的值是( )。 举一反三 【变式训练1】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律可得x的值是（    ）。 A．106 B．108 C．38 D．98 【变式训练2】如图，某电影院的座位是按方阵形式排列的，现选取一个“H”型框（如涂色部分所示）框住7个座位。任意选取这样“H”型框中的7个座位号，运用所学数学知识探究，这7个座位号的和不可能是（    ）。 A．77 B．84 C．144 D．175 【变式训练3】观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部分，其中a的值为( )，b的值为( )。 题型五、数与形（探索规律） 【典型例题】如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒……照这样搭下去，搭6个正方体框架用( )根小棒，搭n个正方体框架用( )根小棒。 举一反三 【变式训练1】如果按照下图的方式用小棒摆出五边形。第5个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒，有73根小棒，可以摆( )个五边形。 【变式训练2】如图，3个杯子叠起来高14厘米，5个杯子叠起来高20厘米，照这样计算，10个杯子叠起来的高度是( )厘米，n个杯子叠起来的高度是( )厘米。 【变式训练3】用同规格的黑、白两色正五边形地砖，按下面的规律拼摆（如图），那么第7幅图中有( )块白色地砖，第n幅图中有( )块白色地砖。 提升练习 1．如果每天生产零件m个，生产20天后还剩下n个，这批零件有（    ）个。 A．20m＋n B．20m－n C．m÷20＋n D．m÷20－n 2．三个相邻的自然数的和是27，中间的一个自然数是（    ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 3．我国新能源车企每年生产a台新能源汽车，连续生产5年后又新增投产2000台，现在总产能可用式子（    ）表示。 A． B． C． D． 4．妈妈买了a千克西红柿，每千克5元；又买了b千克黄瓜，每千克6元。那么5a－6b表示（    ）。 A．买西红柿和黄瓜一共花了多少元？ B．买的西红柿比黄瓜重多少千克？ C．买黄瓜比买西红柿少花多少元？ D．每千克西红柿比每千克黄瓜贵多少元？ 5．观察下图，用小木棒搭若干个梯形，按照这样的规律，第⑥个图形中有（    ）根小木棒。 A．30 B．24 C．25 D．26 6．如果2x＋x＝15，那么2x－x＝( )。 7．当a＝16，b＝20时，2a－b＝( )，a÷b＝( )。 8．当( )时，。 9．小明和小军在环形跑道上跑步，从同一地点同时出发，反向而行。小明的速度是3米/秒，小军的速度是5米/秒，经过秒两人相遇。该环形跑道全长( )米，两人相遇时，小军比小明多跑了( )米。 10．学校购进一卷跳绳专用绳总长x米，制作单人跳绳每根需要y米，制作9根同款跳绳一共需要( )米，这卷绳子还剩余( )米。 11．欣欣水果店里苹果比桃子的3倍多16千克，如果有桃子千克，那么苹果有( )千克；当时，苹果有( )千克。 12．某校开展“爱阅读，善表达”活动，新购进了780本图书。其中科技书m本，文学书的本数是科技书的1.5倍，其余都是历史书。 (1)该校新购进了文学书( )本，历史书( )本。（用含m的最简式子表示） (2)当m＝160时，该校新购进了历史书( )本。 13．我国2022年全面建成的天宫空间站，天和核心舱的一块太阳能板展开后是一个近似的长方形，长约是宽的2.4倍。如果宽为y米，长可以表示为( )米；当y＝5.3米时，它的周长是( )米。 14．服装厂生产一批校服，如果每天生产120套，需要x天完成。现已经生产了a天，已经生产了( )套，还剩下( )套，这批服装共有( )套。 15．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出。甲车每时行驶70km，乙车每时行驶80km，经过x时两车相遇，则70x＋80x表示( )，80x－70x表示( )。 16．为了研究月历上数的规律，小华用“十字形”把5个数圈起来如下图。如果在“十字形”内，用a表示中间的数，则a上面的数可以表示为( )，a右面的数表示为( )。若圈起来的5个数的和为60，a是( )。 17．如图中，摆1个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，照这样继续摆下去，摆n个六边形要( )根小棒。现有31根小棒，能摆( )个六边形。 18．庆“六一”歌唱比赛中，四年级合唱队男生排了a排，女生排了b排，每排都是17人。 (1)用含有字母的式子表示四年级参加比赛的总人数。 (2)当时，四年级一共有多少人参加了比赛？ 19．两辆汽车分别以a千米/时和b千米/时的速度同时从甲乙两地相向而行。行驶21小时两车相遇。 (1)用含有字母的式子表示两辆车行驶的总路程。 (2)当a＝60，b＝100时，求出两辆车一共行驶多少千米？ 20．无人机除了可用于航拍外，还可以用于农业生产，无人机飞行时产生的强劲风力可以将农药充分喷洒到农作物的叶片背面和根部。一架新型的无人机每小时喷洒a亩农田，上午喷洒了5小时，下午喷洒了t小时。 (1)用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒多少亩农田？ (2)当a＝66，t＝4时，这架无人机一天喷洒多少亩农田？ 21．如图，某食堂按照这样的规律摆放桌椅： 1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐10人，10张餐桌可坐多少人？n张餐桌可坐多少人？ 22．连接正方形四条边的中点可组成一个新的正方形。 （1）按照图形的变化规律把表格填写完整。 正方形的个数 1 2 3 4 … n 直角三角形的个数 0 … （2）海海想得到36个直角三角形，他应该画多少个正方形？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用字母表示（二） 内容导航 考点梳理 1 考点一、用字母表示数量关系 1 考点二、含有字母式子的化简与求值 2 考点三、利用等式的性质求未知数 2 考点四、数表中的规律 3 考点五、数与形（探索规律） 3 例题讲解 4 题型一、用字母表示数量关系（2个未知数） 4 题型二、含有字母式子的化简与求值 5 题型三、利用等式的性质求未知数 8 题型四、数表中的规律 10 题型五、数与形（探索规律） 12 提升练习 15 考点梳理 考点一、用字母表示数量关系 1. 核心概念 用字母表示数可以简明地表达数量之间的关系。在含有字母的式子中，字母通常代表未知数或变量。 2. 书写规范 (1) 乘号省略：数字与字母相乘、字母与字母相乘时，乘号可以写作“·”或省略不写。 例： 写作 ； 写作 。 (2) 数字在前：数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面。 例： 写作 ，不能写作 。 (3) 1的省略：当系数为1时，1通常省略不写。 例： 写作 。 (4) 加减除保留：加、减、除运算符号不能省略。 例： ， ， 或 。 3. 常见数量关系示例 (1) 路程公式： （路程=速度×时间） (2) 总价公式： （总价=单价×数量） (3) 年龄问题：若小明今年 岁，爸爸比小明大25岁，则爸爸今年 岁。 考点二、含有字母式子的化简与求值 1. 式子化简 利用乘法分配律合并。 (1) 原理： (2) 示例： 1　 2　 2. 代入求值 当字母取具体数值时，计算式子的结果。 (1) 步骤： 1　 写原式：写出含有字母的式子。 2　 代入：将字母替换为具体的数值（注意添加括号，特别是负数或分数）。 3　 计算：按照运算顺序得出结果。 (2) 示例： 当 时，求 的值。 考点三、利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 步骤 (1) 示例1（加减法）： (2) 示例2（乘除法）： (3) 示例3（复合运算）： 考点四、数表中的规律 1. 观察方法 (1) 横向观察：看每一行数字的变化规律（通常是等差或等比）。 (2) 纵向观察：看每一列数字的变化规律。 (3) 对角线观察：看斜向数字的关系。 2. 常见模型 (1) 日历中的规律： 1　 左右相邻相差1，上下相邻相差7。 2　 若中间数为 ，则九宫格内周围八个数可表示为： (2) 数阵规律： 例如：第 行有 个数，或者第 行的第一个数是 等。需通过前几行数据归纳通项公式。 考点五、数与形（探索规律） 1. 图形与数的对应 将图形排列转化为数列，寻找项数 与图形数量（如点数、线段数、面积）之间的关系。 2. 典型题型 (1) 搭正方形/三角形： 1　 搭1个正方形用4根小棒，搭2个连排正方形用7根，搭3个用10根…… 2　 规律：每多一个正方形增加3根。 3　 公式：搭 个正方形需要 根小棒。 (2) 点阵图： 1　 第1个点阵1个点，第2个4个点，第3个9个点…… 2　 规律：第 个点阵有 个点。 3. 解题策略 (1) 列表法：列出 时的具体数值。 (2) 找差值：观察相邻两项的差是否固定。 (3) 归纳公式：尝试用含 的式子表示第 项。 (4) 验证：用 或 验证公式是否正确。 例题讲解 题型一、用字母表示数量关系（2个未知数） 【典型例题】4月23日是“世界读书日”，实验小学开展了“读书漂流”活动。小丽看一本书，平均每天看20页，看了天，还剩页没看，这本书共( )页。 【答案】 【分析】每天看的页数×天数＝已经看完的页数，结合题意可知：已经看了页。已经看完的页数＋还没看的页数＝这本书总页数，据此分析。 【详解】平均每天看20页，看了天，还剩页没看，这本书共页。 举一反三 【变式训练1】式子2a＋b不可以表示下面哪个情境中的数量关系？（    ） A．聪聪两天读书的页数和亮亮一天读书的页数 B．两盒彩笔和一盒蜡笔的价钱 C．一个足球和两个篮球的价钱 D．四（1）班男生和女生的人数 【答案】D 【分析】2a＋b表示两个a加一个b，看看对应的情境是否存在一个2份的相同量和1份的单独量。 【详解】A．设聪聪每天读书a页，亮亮每天读书b页，总页数为2a＋b，可以表示，不符合题意； B．设每盒彩笔a元，每盒蜡笔b元，总价钱为2a＋b，可以表示，不符合题意； C．设每个篮球a元，每个足球b元，总价钱为2a＋b，可以表示，不符合题意； D．男生和女生人数是两个独立的1份的量，总人数为男生人数加女生人数，不存在2倍关系，无法用2a＋b表示，符合题意。 【变式训练2】十位上是5，个位上是8，这个数是( )；个位上是a，十位上是b，这个数可以表示为( )。 【答案】 58 / 【分析】两位数的数位从右往左数，第一位是个位，第二位是十位。十位上是几表示几个十，个位上是几表示几个一。 【详解】十位上是5，个位上是8，这个数是58；个位上是a，表示a个一，十位上是b，表示b个十是10b，这个数可以表示为。 【变式训练3】一张桌子m元，一把椅子n元，1张桌子和4把椅子正好配成1套。用含有字母的式子表示张叔叔买2套这种桌椅所花的钱数是( )元。 【答案】2m＋8n/8n＋2m 【分析】根据“单价×数量＝总价”可得出数量关系：一张桌子的钱数＋一把椅子的钱数×椅子的数量＝买1套这种桌椅所花的钱数，再乘2，即是买2套这种桌椅所花的钱数。 【详解】买1套这种桌椅所花的钱数是：（m＋4n）元； 买2套这种桌椅所花的钱数是：（m＋4n）×2＝（2m＋8n）元 题型二、含有字母式子的化简与求值 【典型例题】文化路小学组织合唱比赛，四年级合唱队男生排了a排，女生排了b排，每排都是16人。 (1)用含有字母的式子表示出四年级参加合唱比赛的总人数。 (2)当a＝4，b＝6时，四年级一共有多少人参加了合唱比赛？ 【答案】(1)人/（16a＋16b）人 (2)160人 【分析】（1）先用男生和女生各自的排数乘每排的人数，分别算出男生人数和女生人数，再用男生人数加上女生人数，求出四年级参加合唱比赛的总人数，用字母表示出四年级参加合唱比赛的总人数；或者，先用男生排数加上女生排数，求出总排数，再乘每排16人，即为四年级参加合唱比赛的总人数，再用字母表示出四年级参加合唱比赛的总人数，含有字母的式子简写规则：数字与字母相乘，省略乘号，数字前置； （2）把字母对应数值整体替换，按四则运算顺序计算。 【详解】（1）方法一：男生人数为：16a 女生人数为：16b 所以，总人数是（16a＋16b）人； 方法二：总排数为：（a＋b） 所以，总人数是16（a＋b）人 （2）当a＝4，b＝6时， 16（a＋b） ＝16×（4＋6） ＝16×10 ＝160（人） 答：四年级一共有160人参加了合唱比赛。 举一反三 【变式训练1】每千克苹果a元，每千克桃子b元，买2千克苹果和3千克桃子需要( )元，如果，需要( )元。 【答案】 2a＋3b 34 【分析】根据单价×数量＝总价，分别求出买苹果、桃子所需的钱数，再相加即可求出一共需要的钱数，代入数据即可得到答案。 【详解】a×2＋b×3＝2a＋3b 2×5＋3×8 ＝10＋24 ＝34（元） 每千克苹果a元，每千克桃子b元，买2千克苹果和3千克桃子需要2a＋3b元，如果a＝5，b＝8，需要34元。 【变式训练2】如图，从一张梯形纸中剪去一个最大的平行四边形（单位：cm），这个平行四边形的面积是( )cm2。当a＝4时，剩余部分的面积是( )cm2。 【答案】 4a 12 【分析】根据题意可知，梯形纸内剪最大的平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底，平行四边形的高等于梯形的高，根据平行四边形的面积：面积＝底×高，据此求出平行四边形面积；剩余部分面积等于梯形面积－平行四边形面积，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把a＝4时，代入算式，即可求出剩余部分的面积。 【详解】a×4＝（4a）cm2 当a＝4时： （a＋10）×4÷2－4a ＝（4＋10）×4÷2－4×4 ＝14×4÷2－16 ＝56÷2－16 ＝28－16 ＝12（cm2） 如图，从一张梯形纸中剪去一个最大的平行四边形（单位：cm），这个平行四边形的面积是（4a）cm2。当a＝4时，剩余部分的面积是12cm2。 【变式训练3】丫丫一家带了元钱去电影院观看电影，买了4张电影票，每张电影票元。（） (1)用含有字母的式子表示剩下的钱数。 (2)当，时，还剩多少元？ 【答案】(1) 元 (2) 元 【分析】（1）先通过“每张票价乘数量”算出4张电影票的总花费，再用带的总钱数减去总花费，就能得到剩下的钱数。 （2）把、代入第（1）题得到的式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）（1）4张电影票的总花费： 剩下的钱数： 答：剩下的钱数是元。 （2）（2）当，时： 200－4×40 ＝200－160 ＝40（元） 答：还剩元。 题型三、利用等式的性质求未知数 【典型例题】如果m＝2n，那么5m＝( )，m－3＝2n－( )。 【答案】 10n 【分析】等式的性质1：等式两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍成立。 【详解】m＝2n m×5＝2n×5 5m＝10n m＝2n m－3＝2n－3 举一反三 【变式训练1】当时，( )。 【答案】36 【分析】根据等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，算出等式3＋x＝12中x的值，再将得数代入4x中计算即可。 【详解】3＋x＝12 解：3＋x－3＝12－3 x＝9 将x＝9代入4x， 4x＝4×9＝36 【变式训练2】已知6x＝25，那么24x＝( )，2x＝( )。 【答案】 【分析】根据等式的性质，等式两边同时乘或除以一个不为的数，等式仍然成立。 【详解】 那么24x＝，2x＝。 【变式训练3】如果2a＋8＝2b，那么b比a大( )，则4b－4a＝( )。 【答案】 4 16 【分析】根据等式的基本性质，等式两边同时减去2a，等式仍然成立，再根据乘法分配律，等式两边同时除以2，求出b与a的差值；4b－4a运用乘法分配律可得4×（b－a），将b－a的结果代入计算。 【详解】2a＋8＝2b 2a＋8－2a＝2b－2a 8＝2b－2a 2×（b－a）＝8 2×（b－a）÷2＝8÷2 b－a＝4 4b－4a ＝4×（b－a） ＝4×4 ＝16 题型四、数表中的规律 【典型例题】填在下面正方形中的四个数都有相同的规律，根据规律，m的值是( )。 【答案】76 【分析】根据题意可知，左上角的数：5，10，15，20，规律是每次加5； 右上角的数：2，4，6，规律是每次加2，据此求出第四个右上角的数； 左下角的数：1，3，5，规律是每次加2，据此求出第四个左下角的数； 右下角的数：左下角的数乘右上角的数加左上角的数等于右下角的数，据此即可求出m值。 【详解】第四个右上角的数：6＋2＝8 第四个左下角的数：5＋2＝7 m＝20＋8×7＝20＋56＝76 举一反三 【变式训练1】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律可得x的值是（    ）。 A．106 B．108 C．38 D．98 【答案】A 【分析】根据所给数据发现：4个图的左上角分别是1，3，5，7；后一个数比前一个数多2； 前3个图右上角分别是5，7，9；后一个数比前一个数多2，所以第4个图的右上角是9＋2＝11； 前三个图左下角分别是3，5，7；后一个数比前一个数多2，所以第4个图的左下角为7＋2＝9； 观察第一个图：5×3＋1＝16； 观察第二个图：7×5＋3＝38； 观察第三个图：9×7＋5＝68； 根据以上规律：右上角×左下角＋左上角＝右下角，计算出x的值。 【详解】 11×9＋7＝99＋7＝106 x的值是106。 【变式训练2】如图，某电影院的座位是按方阵形式排列的，现选取一个“H”型框（如涂色部分所示）框住7个座位。任意选取这样“H”型框中的7个座位号，运用所学数学知识探究，这7个座位号的和不可能是（    ）。 A．77 B．84 C．144 D．175 【答案】C 【分析】找规律推导总和：观察H型框的7个数，设H型正中间的座位号为x，根据排列规律（每行7个数，下一行同列数比上一行大7），7个数可表示为：x－8、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋8。将7个数相加，总和为7x，说明7个数的和一定是7的倍数。 【详解】设H型正中间的座位号为x。 x－8＋x－6＋x－1＋x＋x＋1＋x＋6＋x＋8＝7x A．77÷7＝11，是7的倍数，可能； B．84÷7＝12，是7的倍数，可能； C．144÷7＝20⋯⋯4，不能被7整除，不可能； D．175÷7＝25，是7的倍数，可能。 【变式训练3】观察如图①，寻找规律。图②、图③分别是从图①中截取的一部分，其中a的值为( )，b的值为( )。 【答案】 40 49 【分析】先分析图①的数字规律：因为第m行第n列的数等于m×n，所以可依据该规律结合图②、图③的已知数确定它们在原表格的行、列位置。 求a的值：先根据图②中28和32的数值差，确定这两个数所在的列数，再确定35和a所在的行数，结合规律计算a。 求b的值：先根据图③中36和56的数值，分别确定它们对应的行和列，再定位b的行、列位置，结合规律计算b。 【详解】图②中，28和32在同一行，相邻两数差为32－28＝4，因此这一行是第4行；28＝4×7，说明28在第4行第7列，32在第4行第8列，则a在第5行第8列： a＝5×8＝40。 图③中：36在截取部分的第一行第一列，b在截取部分的第二行第二列，56在截取部分的第三行第二列。 设36在原图的第x行第y列，那么根据规律可得： x×y＝36，（x＋2）×（y＋1）＝56，我们把36的因数对列举出来尝试，发现当x＝6、y＝6时，刚好满足：6×6＝36，（6+2）×（6＋1）＝8×7＝56，完全符合条件。b在原图的第x＋1行第y＋1列，所以：b＝（6＋1）×（6＋1）＝7×7＝49。 题型五、数与形（探索规律） 【典型例题】如图，搭一个正方体框架用12根小棒，搭2个正方体框架用20根小棒，搭3个正方体框架用28根小棒……照这样搭下去，搭6个正方体框架用( )根小棒，搭n个正方体框架用( )根小棒。 【答案】 52 8n＋4 【分析】1个正方体：12＝8×1＋4根；2个正方体：20＝8×2＋4根；3个正方体：28＝8×3＋4根，可以发现： 每多搭1个正方体，只需要增加8根小棒（两个正方体相连会共用4根小棒），搭6个正方体比搭3个正方体多用3个8根，6个正方体需要：（6－3）×8＋28根；搭n个正方体框架，小棒总数为（8n＋4）根。 【详解】根据分析，搭6个正方体需要： （6－3）×8＋28 ＝3×8＋28 ＝24＋28 ＝52（根） 搭n个正方体需要（8n＋4）根。 举一反三 【变式训练1】如果按照下图的方式用小棒摆出五边形。第5个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒，有73根小棒，可以摆( )个五边形。 【答案】 21 1＋4n 18 【分析】根据图示：每增加一个图形，就增加4根小棒。 第1个图形需要5根小棒，可表示为：5＝1＋4×1； 第2个图形需要9根小棒，可表示为：9＝1＋4×2； 第3个图形需要13根小棒，可表示为：13＝1＋4×3； …… 所以第n个图形需要的小棒数量为：1＋4×n＝（1＋4n）根。据此解答。 【详解】根据分析： 第5个图形需要的小棒数量为： 1＋4×5 ＝1＋20 ＝21（根） 第n个图形需要的小棒数量为： 1＋4×n＝（1＋4n）（根） 有73根小棒时，可以摆的五边形数量为： （73－1）÷4 ＝72÷4 ＝18（个） 【变式训练2】如图，3个杯子叠起来高14厘米，5个杯子叠起来高20厘米，照这样计算，10个杯子叠起来的高度是( )厘米，n个杯子叠起来的高度是( )厘米。 【答案】 35 3n＋5 【分析】用5个杯子叠起来的高度减去3个杯子叠起来的高度除以（5－3）求出每多叠1个杯子增加的高度，3个杯子叠放时有（3－1）个叠加部分，此时叠加部分的总高度为多叠放1个杯子增加的高度乘（3－1），再用14厘米减去这个高度就是单个杯子的高度，10个杯子叠加起来的高等于单个杯子的高度加上多叠放1个杯子增加的高度乘（10－1），n个杯子叠起来的高度等于单个杯子的高度加上多叠放1个杯子增加的高度乘（n－1）。 【详解】（20－14）÷（5－3） ＝6÷2 ＝3（厘米） 14－（3－1）×3 ＝14－2×3 ＝14－6 ＝8（厘米） 8＋（10－1）×3 ＝8＋9×3 ＝8＋27 ＝35（厘米） 8＋（n－1）×3 ＝8＋3n－3 ＝3n＋5 【变式训练3】用同规格的黑、白两色正五边形地砖，按下面的规律拼摆（如图），那么第7幅图中有( )块白色地砖，第n幅图中有( )块白色地砖。 【答案】 22 3n＋1 【分析】第一幅图有4块白色地砖，第二幅图有7块白色地砖，第三幅图有10块白色地砖，也就是后一幅图比前一幅图多3块白色地砖，那么n幅图比第一幅图多（n1）个3，再加上第一幅图的4即可，化简得到3n1，再代入n为7即可。 【详解】 （块） 用同规格的黑、白两色正五边形地砖，按下面的规律拼摆（如图），那么第7幅图中有22块白色地砖，第n幅图中有（）块白色地砖。 提升练习 1．如果每天生产零件m个，生产20天后还剩下n个，这批零件有（    ）个。 A．20m＋n B．20m－n C．m÷20＋n D．m÷20－n 【答案】A 【分析】零件总个数等于20天已经生产的零件个数加上剩下的零件个数，先求出20天生产的零件数，再加剩下的n个就能得到总个数。 【详解】20天生产的零件个数： 零件总个数： 这批零件有（）个 2．三个相邻的自然数的和是27，中间的一个自然数是（    ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】三个相邻自然数中，前一个数比中间数小1，后一个数比中间数大1，三个数的和恰好等于中间数的3倍，用总和除以3即可得到中间数。可以设中间的数是a。据此解题。 【详解】设中间数是a，前一个数是a－1，后一个数是a＋1； a－1＋a＋a＋1＝a＋a＋a＝3a 中间的一个自然数是9。 3．我国新能源车企每年生产a台新能源汽车，连续生产5年后又新增投产2000台，现在总产能可用式子（    ）表示。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用原来每年生产台数乘5可算得连续5年的总产量，再加上新增的产能，即可得到现在的总产能。 【详解】5年的总产量： 新增2000台后总产能： 4．妈妈买了a千克西红柿，每千克5元；又买了b千克黄瓜，每千克6元。那么5a－6b表示（    ）。 A．买西红柿和黄瓜一共花了多少元？ B．买的西红柿比黄瓜重多少千克？ C．买黄瓜比买西红柿少花多少元？ D．每千克西红柿比每千克黄瓜贵多少元？ 【答案】C 【分析】妈妈买了a千克西红柿，每千克5元，即买西红柿需要5a元；又买了b千克黄瓜，每千克6元，即买黄瓜需要6b元，据此解答即可。 【详解】由分析可得：5a－6b表示买黄瓜比买西红柿少花多少元。 5．观察下图，用小木棒搭若干个梯形，按照这样的规律，第⑥个图形中有（    ）根小木棒。 A．30 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】观察图形可知，每增加1个梯形，增加4根小木棒，第①个图形需要5根小木棒，第②个图形需要[5＋4×（2－1）]根小木棒，第③个图形需要[5＋4×（3－1）]根小木棒，……第⑥个图形需要[5＋4×（6－1）]根小木棒。 【详解】5＋4×（6－1） ＝5＋4×5 ＝5＋20 ＝25（根） 所以第⑥个图形中有25根小木棒。 6．如果2x＋x＝15，那么2x－x＝( )。 【答案】5 【分析】先解方程求出方程的解，再把代入计算结果。 解方程时先计算得,然后方程两边再同时除以3即可求解。 【详解】 解： 7．当a＝16，b＝20时，2a－b＝( )，a÷b＝( )。 【答案】 12 0.8/ 【分析】把a＝16，b＝20，代入算式2a－b，求出结果，代入算式a÷b，求出结果。 【详解】a＝16，b＝20时； 2×16－20 ＝32－20 ＝12 a＝16，b＝20时； 16÷20＝0.8 8．当( )时，。 【答案】1.4 【分析】解方程，先化简方程左边含有x的式子，即求出3＋4的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3＋4的和即可。 【详解】3x＋4x＝9.8 解：7x＝9.8 7x÷7＝9.8÷7 x＝1.4 9．小明和小军在环形跑道上跑步，从同一地点同时出发，反向而行。小明的速度是3米/秒，小军的速度是5米/秒，经过秒两人相遇。该环形跑道全长( )米，两人相遇时，小军比小明多跑了( )米。 【答案】 【分析】小明和小军相遇时，两人所跑的距离之和等于跑道的全长，根据“速度和×相遇时间＝距离之和（跑道全长）”能求出跑道全长；根据“速度×时间＝路程”分别求出两人跑的距离，小军的速度比小明快，所以用小军跑的距离减去小明跑的距离，就是小军比小明多跑的距离。 【详解】（米） （米） 故环形跑道全长米，两人相遇时，小军比小明多跑了米。 10．学校购进一卷跳绳专用绳总长x米，制作单人跳绳每根需要y米，制作9根同款跳绳一共需要( )米，这卷绳子还剩余( )米。 【答案】 9y x－9y 【分析】制作单人跳绳每根需要y米，用制作单人跳绳需要的长度乘9，即可知道制作9根同款跳绳一共需要多少米；用这根绳子的总长减去制作9根跳绳用去的长度，即可知道这卷绳子还剩多少米。 【详解】y×9＝9y 学校购进一卷跳绳专用绳总长x米，制作单人跳绳每根需要y米，制作9根同款跳绳一共需要9y米，这卷绳子还剩余（x－9y）米。 11．欣欣水果店里苹果比桃子的3倍多16千克，如果有桃子千克，那么苹果有( )千克；当时，苹果有( )千克。 【答案】 / 【分析】桃子的千克数×3＋16即为苹果的千克数；把代入含字母的式子，计算即可求得苹果的千克数。 【详解】x×3＋16＝； 当时，＝28×3＋16＝84＋16＝100（千克） 12．某校开展“爱阅读，善表达”活动，新购进了780本图书。其中科技书m本，文学书的本数是科技书的1.5倍，其余都是历史书。 (1)该校新购进了文学书( )本，历史书( )本。（用含m的最简式子表示） (2)当m＝160时，该校新购进了历史书( )本。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）文学书的本数是科技书的1.5倍，科技书为本，所以用乘法即可表示出文学书的数量；图书总共有780本，由科技书、文学书、历史书三部分组成，所以用总数量减去科技书和文学书的数量和，即可得到历史书的表达式，再化简为最简形式； （2）已知，那么将其代入历史书的表达式中，按照运算规则计算即可得到对应数值。 【详解】（1）（本） 所以该校购进文学书本。 （本） 所以历史书是本。 （2）当m＝160时，该校新购进了历史书： （本） 所以：当m＝160时，该校新购进了历史书380本。 13．我国2022年全面建成的天宫空间站，天和核心舱的一块太阳能板展开后是一个近似的长方形，长约是宽的2.4倍。如果宽为y米，长可以表示为( )米；当y＝5.3米时，它的周长是( )米。 【答案】 2.4y 36.04 【分析】求一个数的几倍用乘法计算；长方形周长＝（长＋宽）×2。 【详解】长：2.4×y＝（2.4y）米 （2.4y＋y）×2＝3.4y×2＝6.8y 当y＝5.3时，周长：6.8×5.3＝36.04（米） 14．服装厂生产一批校服，如果每天生产120套，需要x天完成。现已经生产了a天，已经生产了( )套，还剩下( )套，这批服装共有( )套。 【答案】 【分析】求已经生产的套数：用每天生产的套数乘已经生产的天数，即乘。求这批服装共有的套数：用每天生产的套数乘计划完成的天数，即乘。求还剩下的套数：用这批服装的总套数减去已经生产的套数。 【详解】现已经生产了a天，已经生产了套，还剩下套，这批服装共有套。 15．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出。甲车每时行驶70km，乙车每时行驶80km，经过x时两车相遇，则70x＋80x表示( )，80x－70x表示( )。 【答案】 A、B两地的距离 相遇时乙车比甲车多行驶的路程 【分析】针对，因为两车是相对开出相遇，所以两车各自行驶的路程和对应两地的总距离，由此推导该式的意义。 针对，因为两车行驶时间相同，速度不同，所以路程的差值对应相遇时两车的行驶路程差，由此推导该式的意义。 【详解】70x是甲车小时行驶的路程，是乙车小时行驶的路程；两车相对开出相遇时，总路程就是两车路程之和，因此表示A、B两地的总路程。 是乙车行驶路程减去甲车行驶路程，因此表示相遇时乙车比甲车多行驶的路程。 16．为了研究月历上数的规律，小华用“十字形”把5个数圈起来如下图。如果在“十字形”内，用a表示中间的数，则a上面的数可以表示为( )，a右面的数表示为( )。若圈起来的5个数的和为60，a是( )。 【答案】 a－7 a＋1 12 【分析】观察可知，上面的数比小，下面的数比大，右面的数比大，左面的数比小，由此解答本题。 【详解】 则a上面的数可以表示为，a右面的数表示为。若圈起来的5个数的和为60，a是。 17．如图中，摆1个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，照这样继续摆下去，摆n个六边形要( )根小棒。现有31根小棒，能摆( )个六边形。 【答案】 6 【分析】摆1个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，摆3个六边形要16根小棒；以后每增加1个六边形，都与前一个六边形共用1条边，只需增加5根。摆n个六边形时，可以用6加上后面n－1个六边形增加的小棒数。求31根能摆几个时，先去掉第1个六边形多出的1根，再看有几个5。 【详解】6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝5n＋1（根） 31－1＝30（根） 30÷5＝6（个） 所以摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒，31根小棒能摆6个六边形。 18．庆“六一”歌唱比赛中，四年级合唱队男生排了a排，女生排了b排，每排都是17人。 (1)用含有字母的式子表示四年级参加比赛的总人数。 (2)当时，四年级一共有多少人参加了比赛？ 【答案】(1)17（a＋b）人 (2)238人 【分析】（1）先用a＋b表示男、女生的总排数，再根据“总人数＝每排人数×总排数”，用17乘总排数表示参加比赛的总人数。 （2）把a＝8、b＝6代入第（1）问的含字母式子计算。 【详解】（1）（1）a＋b表示男、女生的总排数。 总人数：17（a＋b）人 答：四年级参加比赛的总人数是17（a＋b）人。 （2）（2）当a＝8，b＝6时： 17（a＋b） ＝17×（8＋6） ＝17×14 ＝238（人） 答：四年级一共有238人参加了比赛。 19．两辆汽车分别以a千米/时和b千米/时的速度同时从甲乙两地相向而行。行驶21小时两车相遇。 (1)用含有字母的式子表示两辆车行驶的总路程。 (2)当a＝60，b＝100时，求出两辆车一共行驶多少千米？ 【答案】(1)（21a＋21b）千米 (2)3360千米 【分析】（1）两车同时出发、相向而行，相遇时各自行驶的时间相同，都是21小时。根据“路程＝速度×时间”，可以分别用含字母的式子表示两辆车的路程，再相加就是总路程。 （2）当a＝60，b＝100时，即两辆汽车分别以60千米/时和100千米/时的速度同时从甲乙两地相向而行，求出两辆车一共行驶多少千米，根据“路程＝时间×（甲的速度＋乙的速度）”，代入数据即可解答。 【详解】（1）甲车行驶的路程：21a（千米） 乙车行驶的路程：21b（千米） 总路程：（21a＋21b）千米 （2）当a＝60，b＝100时， 21×（60＋100） ＝21×160 ＝3360（千米） 答：两辆车一共行驶3360千米。 20．无人机除了可用于航拍外，还可以用于农业生产，无人机飞行时产生的强劲风力可以将农药充分喷洒到农作物的叶片背面和根部。一架新型的无人机每小时喷洒a亩农田，上午喷洒了5小时，下午喷洒了t小时。 (1)用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒多少亩农田？ (2)当a＝66，t＝4时，这架无人机一天喷洒多少亩农田？ 【答案】(1)（5ata）亩 (2)594亩 【分析】（1）根据题意，先用上午喷洒的时间乘每小时喷洒的面积，求出上午喷洒了多少亩农田。再用下午喷洒的时间乘每小时喷洒的面积，求出下午喷洒了多少亩农田。最后将上午和下午喷洒的面积相加，即可得到这架无人机一天喷洒多少亩农田。也可以先求出上午和下午一共喷洒的时间，再乘每小时喷洒的面积，得到这架无人机一天喷洒多少亩农田。 （2）每小时喷洒66亩农田，上午喷洒了5小时，下午喷洒了4小时，据此代入到（1）中的算式，即可计算出这架无人机一天喷洒多少亩农田。 【详解】（1）5ata＝（5ata）亩 答：这架无人机一天喷洒（5ata）亩农田。 （2）当a＝66，t＝4时， 5ata ＝566466 ＝330264 ＝594（亩） 答：这架无人机一天喷洒594亩农田。 21．如图，某食堂按照这样的规律摆放桌椅： 1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐10人，10张餐桌可坐多少人？n张餐桌可坐多少人？ 【答案】42人；（4n＋2）人 【分析】观察图形可知，1张餐桌可坐4×1＋2＝6（人），2张餐桌可坐4×2＋2＝10（人），3张餐桌可坐4×3＋2＝14（人）……则n张餐桌可坐（4×n＋2）人，据此解答。 【详解】4×10＋2 ＝40＋2 ＝42（人） 4×n＋2＝（4n＋2）人 答：10张餐桌可坐42人，n张餐桌可坐（4n＋2）人。 22．连接正方形四条边的中点可组成一个新的正方形。 （1）按照图形的变化规律把表格填写完整。 正方形的个数 1 2 3 4 … n 直角三角形的个数 0 … （2）海海想得到36个直角三角形，他应该画多少个正方形？ 【答案】（1）4；8；12；4n－4 （2）10个 【分析】（1）观察图形可知，当有1个正方形时，直角三角形个数为0。当有2个正方形时，是在第一个正方形基础上连接四条边中点得到第二个正方形， 此时多了4个直角三角形，直角三角形个数为4。当有3个正方形时，是在第二个正方形基础上再连接四条边中点得到第三个正方形，又多了4个直角三角形，直角三角形个数为（个）。当有4个正方形时，同样是在第三个正方形基础上操作，直角三角形个数为（个）。以此类推，当有n个正方形时，直角三角形个数 比正方形个数少1个4，所以直角三角形个数为。 （2）由（1）得到直角三角形个数与正方形个数n的关系为。当直角三角形个数为36时，可列出方程，求出n的值即可。 【详解】（1）当有2个正方形时，直角三角形的个数为4； 当有3个正方形时，直角三角形的个数为8； 当有4个正方形时，直角三角形的个数为12 当有n个正方形时，直角三角形的个数为。 正方形的个数 1 2 3 4 n 直角三角形的个数 0 4 8 12 （2）       解：                                                              答：海海想得到36个直角三角形，他应该画10个正方形。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $