第二章 直线和圆的方程（单元分层自测·基础通关卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 选择性必修一数学第二章“直线和圆的方程”单元复习卷，覆盖直线倾斜角、圆的方程等核心知识，通过基础题与综合题结合，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线倾斜角、垂直关系、平行距离|基础巩固，考查数学眼光中的几何直观| |多选|3/18|直线与圆的性质判断|辨析能力，体现数学思维的推理意识| |填空|3/15|方向向量斜率、距离最小值|简洁应用，强化数学语言的符号表达| |解答|5/77|中线方程、交点定圆、实际应用|综合探究，融合数学思维与应用意识|

2026-2027学年选择性必修一数学单元自测 第二章　直线和圆的方程·基础通关卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A A C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．16 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由点、得的中点为 ,……………………1分 中线长度， , ……………………3分 ， , ……………………5分 中线所在直线方程为，化简得. ,……………………7分 （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； ,……………………8分 若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，符合题意； , ……………………10分 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为 ………………12分 综上所述，直线的方程为或 …………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）证明：直线过定点，直线过定点. , ……………………1分 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． , …………………3分 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. , ………………5分 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. , ……………………7分 （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. ……………………9分 又，则， 所以直线：，即． ……………………11分 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， ……………………13分 所以直线为或，即或． , ……………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． ……………………2分 由点P到直线AN的距离为，可得， ……………………4分 解得或（舍去），所以点． …………………6分 （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， ……………………8分 令，得．由，解得， ……………………11分 故，解得， ……………………14分 故公路BC所在直线的方程为. ……………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）方程的两根在区间和上的几何意义分别是： 函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内， 由此可得不等式组． ……………………5分 由，解得． 由，解得． 由，解得． ……………………8分 ∴如图所示的坐标平面内，满足约束条件的点对应的平面区域为（不包括边界）．    设为到轴的距离，则． ……………………10分 （2）的几何意义是点和连线的斜率． ，， 由图可知， ，即． ……………………15分 （3）表示区域内的点与定点之间距离的平方， 又，，， ． ……………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则， ……………………3分 整理得， 即，得． ……………………6分 （2）证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ……………………8分 ， 为定值． ……………………10分 （3）设，， 将代入方程 得， ， ……………………12分 ． ……………………15分 ，解得． ……………………16分 又当时，，． ……………………17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修一数学单元自测 第二章　直线和圆的方程·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 2．若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】D 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得． 3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 4．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 5．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 6．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 7．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 8．在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆上得出最小时只需往直线作垂线所得垂线段为直径，利用点到直线的距离公式可得. 【详解】因为是直径，，所以点在圆上， 过作垂直直线，垂足为， 因为圆与直线相切，所以最小，只需为圆的直径即可， 到直线的距离， 则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 10．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 11．（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【详解】解法1：对于A，∵点在圆上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故A正确； 对于B，∵点在圆内，， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离，故B正确； 对于C，∵点在圆外，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相交，故C错误； 对于D，∵点在直线上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故D正确． 解法2：（极点极线），若此点为极点，则对应极线刚好是：． 如果极点在圆内，则极线在圆外，与圆相离；如果极点在圆外，则极线在圆内，与圆相交； 如果极点在圆上，则极线与圆相切，因此ABD正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 13．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为.    14．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【解】（1）由点、得的中点为 ,……………………1分 中线长度， , ……………………3分 ， , ……………………5分 中线所在直线方程为，化简得. ,……………………7分 （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； ,……………………8分 若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，符合题意； , ……………………10分 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为 ………………12分 综上所述，直线的方程为或 …………………13分 16．（本小题满分15分）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 【解】（1）证明：直线过定点，直线过定点. , ……………………1分 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． , …………………3分 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. , ………………5分 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. , ……………………7分 （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. ……………………9分 又，则， 所以直线：，即． ……………………11分 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， ……………………13分 所以直线为或，即或． , ……………………15分 17．（本小题满分15分）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． ……………………2分 由点P到直线AN的距离为，可得， ……………………4分 解得或（舍去），所以点． …………………6分 （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， ……………………8分 令，得．由，解得， ……………………11分 故，解得， ……………………14分 故公路BC所在直线的方程为. ……………………15分 18．（本小题满分17分）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求： (1)点对应的区域的面积； (2)的取值范围； (3)的值域． 【解】（1）方程的两根在区间和上的几何意义分别是： 函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内， 由此可得不等式组． ……………………5分 由，解得． 由，解得． 由，解得． ……………………8分 ∴如图所示的坐标平面内，满足约束条件的点对应的平面区域为（不包括边界）．    设为到轴的距离，则． ……………………10分 （2）的几何意义是点和连线的斜率． ，， 由图可知， ，即． ……………………15分 （3）表示区域内的点与定点之间距离的平方， 又，，， ． ……………………17分 19．（本小题满分17分）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则， ……………………3分 整理得， 即，得． ……………………6分 （2）证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ……………………8分 ， 为定值． ……………………10分 （3）设，， 将代入方程 得， ， ……………………12分 ． ……………………15分 ，解得． ……………………16分 又当时，，． ……………………17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修一数学单元自测 第二章　直线和圆的方程·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 2．若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 4．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 5．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 11．（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 13．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 14．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16．（本小题满分15分）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 17．（本小题满分15分）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 18．（本小题满分17分）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求： (1)点对应的区域的面积； (2)的取值范围； (3)的值域． 19．（本小题满分17分）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修一数学单元自测 第二章　直线和圆的方程·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 2．若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 4．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 5．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 11．（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 13．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 14．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16．（本小题满分15分）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 17．（本小题满分15分）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 18．（本小题满分17分）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求： (1)点对应的区域的面积； (2)的取值范围； (3)的值域． 19．（本小题满分17分）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $