专题2.4 圆的方程 分层检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.4 圆的方程 高中数学辅导资料 专题2.4 圆的方程 一、知识归纳： 1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于 的点的集合是圆，其中定点是 ，定长是圆的 ． 2．圆的标准方程 圆的标准方程是 （其中），圆心的坐标是 ，半径是 ． 3．圆的一般方程 当 时，二元二次方程叫做圆的一般方程． 其中圆心为 ，圆的半径为 . 4．点与圆的位置关系 圆，其圆心为，半径为，点， 设． 位置关系 几何法（利用距离判断） 代数法（利用方程判断） 点在圆外 点在圆上 点在圆内 5．如图，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值 ，最大值 ． 自检自纠：1．定长，圆心，半径 2．，，r 3．，， 4．，，，， 5．， 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．以点为圆心，半径为2的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆的标准方程，以为圆心，2为半径的圆的标准方程为.故选：B. 2．过点，，三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意设圆的方程为，则，解得，所以圆的方程为，即.故选：D 3．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为，关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是，所以圆的方程为.故选：D 4．已知圆的方程圆心坐标为，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．10 D．3 【答案】B 【详解】化简得，由题得，所以圆的半径为，所以.故选B 5．过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心为，由可得， 整理可得，解得，所以圆心，所求圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.故选：A. 6．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设所求圆的圆心为，半径为r，则，∴圆的标准方程为；∵点(3，1)在圆上， ∴，解得，∴圆的标准方程为. 7．若点在圆外，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若点在圆即圆外，则，解得，所以a的取值范围是.故选：D. 8．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，则x＋y的最大值与最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令z= x＋y，则y=-x+z，圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0的标准方程是： 当直线与圆相切： 解得z=.故选A 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A中在圆外；选项B中在圆内；选项C中在圆内；选项D中在圆外.故选：AD. 10．已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 11．已知方程，下列叙述正确的是（    ） A．方程表示的是圆. B．当时，方程表示过原点的圆. C．方程表示的圆的圆心在轴上. D．方程表示的圆的圆心在轴上. 【答案】BC 【详解】由得：；对于A，若，即，则方程不表示圆，A错误；对于B，当时，方程为，则方程表示以为圆心，半径为的圆，此圆经过原点，B正确；对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为，半径为，则圆心在轴上，不在轴上，C正确，D错误.故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．圆的周长为 .（结果保留） 【答案】 【详解】方程即为，故圆的半径为，故其周长为，故答案为. 13．已知方程表示圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】方程可化为：，因为方程表示圆， 所以 ，解得 ，故答案为： 14．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为 ． 【答案】 【详解】设，由题意，则，平方化简得，即的轨迹是半径为4 的圆，所围成图形面积为.故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】圆的圆心为，到直线的距离为. 故选：B 2.已知直线和圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆方程得：，圆心，半径；设圆心关于的对称点，则，解得：，即，圆关于直线对称的圆的方程为.故选：C. 3.设为圆上一点，则点到直线距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆，圆心，半径3，圆心到直线距离，所以点到直线距离的最短为0，最长为，故选：B. 4.已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为2，又圆与圆为同心圆，半径为4，所以，解得.故选：A. 5．已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；对于C，，，的坐标都满足圆的方程，的坐标不满足圆的方程，即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；对于D，，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 6．点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】整理直线方程得：，由得：，，由圆的方程知圆心，半径，.故选：D. 7．阿波罗尼斯（公元前262年—公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，，由得，整理可得.所以，点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆.所以，轨迹C围成图形的面积是.故选：D. 8．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】B 【详解】如图，当为线段与圆的交点时，即时，此时取得最小值为，故A正确；由题知点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误；因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大，当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确；当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确．故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设所求圆的方程为 ，则圆心到直线的距离为， 所以，即. 因为所求圆与轴相切，所以 又因为所求圆的圆心在直线上，所以，所以 或 ，故所求圆的方程为 或.故选：BD 10．已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】CD 【详解】圆关于轴对称的圆为圆，圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为2；则的最小值为， 故，故选：CD． 11．设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 【答案】AD 【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确；对于B，由于，故圆C必定不过，B错误；对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误；对于D，圆心始终在直线上，D正确.故选：AD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若点在圆内，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意得点在圆内，，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 13．圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】联立方程组解之得，∵圆与直线相切，∴圆的半径.故答案为 14．已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，，，则圆的方程为 ． 【答案】 【详解】连接，因为，所以圆心角， 是等边三角形，作于，所以是的中点，因为圆与轴相切于点，所以，所以，所以，所以圆的方程为.故答案为：. 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2.4 圆的方程 高中数学辅导资料 专题2.4 圆的方程 一、知识归纳： 1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于 的点的集合是圆，其中定点是 ，定长是圆的 ． 2．圆的标准方程 圆的标准方程是 （其中），圆心的坐标是 ，半径是 ． 3．圆的一般方程 当 时，二元二次方程叫做圆的一般方程． 其中圆心为 ，圆的半径为 . 4．点与圆的位置关系 圆，其圆心为，半径为，点， 设． 位置关系 几何法（利用距离判断） 代数法（利用方程判断） 点在圆外 点在圆上 点在圆内 5．如图，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值 ，最大值 ． 自检自纠：1．定长，圆心，半径 2．，，r 3．，， 4．，，，， 5．， 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．以点为圆心，半径为2的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．过点，，三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆的方程圆心坐标为，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．10 D．3 5．过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 7．若点在圆外，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，则x＋y的最大值与最小值是(　　) A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有（    ） A． B． C． D． 10．已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 11．已知方程，下列叙述正确的是（    ） A．方程表示的是圆. B．当时，方程表示过原点的圆. C．方程表示的圆的圆心在轴上. D．方程表示的圆的圆心在轴上. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．圆的周长为 .（结果保留） 13．已知方程表示圆，则实数的取值范围是 . 14．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为 ． B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 2.已知直线和圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.设为圆上一点，则点到直线距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（    ） A． B． C． D． 5．已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 6．点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．阿波罗尼斯（公元前262年—公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的方程（    ） A． B． C． D． 10．已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 11．设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若点在圆内，则实数的取值范围为 . 13．圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是 . 14．已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，，，则圆的方程为 ． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$