第1章 反比例函数 单元检测卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册反比例函数单元卷，聚焦定义、图像性质及应用，融合护眼台灯、饮水机等生活情境与几何综合题，适配单元复习，培养抽象能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|反比例函数定义、图像象限、点与双曲线关系|结合正比例函数交点对称性（第4题），考查推理意识| |填空题|6|k的几何意义、交点对称、实际模型（二胡频率）|通过矩形面积（第13题）体现几何直观| |解答题|5|解析式求解、面积计算、饮水机水温实际应用、矩形存在性综合|20题饮水机问题培养应用意识，21题矩形存在性发展创新意识|

第1章反比例函数检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．在一块平地上，划出一个占地面积为100平方米的矩形区域，这个矩形区域的相邻两边长为米，米，那么关于的函数图像位于平面直角坐标系中的（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 3．下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 4．正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 5．点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 6．护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．反比例函数的解析式为 B．该护眼台灯的电压为 C．若，则 D．当时， 7．如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（    ） x 1 2 3 y a b A． B． C． D． 10．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若的面积为2，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果反比例函数的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是_______． 12．已知正比例函数与反比例函数的图象的一个交点的坐标为，则另一交点坐标为___． 13．如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 14．如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为______． 15．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 三、解答题 17．反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 18．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式时x的解集． 19．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 20．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 21．如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； (3)点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章反比例函数检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A C C C B A A 1．B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 2．C 【分析】先根据矩形面积公式推导得到关于的函数表达式，再结合边长的实际意义确定，的取值范围，即可判断函数图像所在象限． 【详解】解：∵矩形面积等于相邻两边长的乘积，由题意得，整理得，该函数为反比例函数， 又∵，表示矩形的边长，边长为正实数， ∴， 可得， ∴函数图像只位于平面直角坐标系的第一象限． 3．A 【分析】根据反比例函数的坐标特征，双曲线上任意一点的横纵坐标乘积满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，找出乘积不等于的点即可． 【详解】∵ ， ∴ 双曲线上的点一定满足。 A. ，因此该点不在双曲线上，符合要求； B. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； C. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； D. ，因此该点在双曲线上，不符合要求． 4．A 【分析】先利用正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求出的符号，再根据时，反比例函数的单调性判断和的大小关系． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称 ∴， 代入 得： ， ∵在反比例函数上， ∴， ∴，即 ∵时，反比例函数在第一象限内，随的增大而减小，， ∴． 5．C 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 6．C 【分析】设电流关于电阻的表达式为，利用待定系数法求出，然后逐项求解判断即可． 【详解】解：设电流关于电阻的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴该护眼台灯的电压为，故B错误； ∴反比例函数的解析式为，故A错误； 当时，， 解得， 由图象得，I随R的增大而减小， ∴若，则，故C正确； 当时，，故D错误． 7．C 【分析】本题考查了反比例函数的相关知识，难度不大但需注意最后所求k值的符号，此为易错点． 根据反比例函数的性质，将k用、表示出来；再根据线段之间的关系得出两个同高的三角形的面积关系，进而求出，再根据，即可求出解． 【详解】解：∵轴， ∴，， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．B 【分析】分别过点A，D作轴于点，轴于点，可得四边形是矩形，再根据求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A，D作轴于点，轴于点， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， 又轴，则 ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴ 9．A 【分析】先根据已知条件判断反比例函数中的符号，再利用反比例函数的性质比较的大小． 【详解】解：∵当时，，当时，，且， ∴，整理得，解得， ∵反比例函数中， ∴当时，，且在范围内，随的增大而增大， 又∵， ∴． 10．A 【分析】连接、，根据轴可知轴，利用平行线间的距离相等可得，再根据反比例函数系数的几何意义，利用建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴，为轴上一点， 轴， 点、点到直线的距离相等， ， ， ， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第四象限， ，， 由图可知， ， 解得． 11． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 12． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数图象均是中心对称图形， ∴正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称， ∵一个交点坐标是， ∴另一个交点为． 13． 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， 解得， ，， ，，， ， 由题意得， 则， ， 解得． 故答案为：． 14．2 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，设直线与轴交于点，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设直线与轴交于点， ∵点、分别在反比例函数和第一象限的图象上， ∴ ∵直线轴 ∴ 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出k的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，当f为240赫兹，长度为米， ∴，即， 当时，． 故答案为：． 16．8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 17．(1) (2)52 【分析】（1）由反比例函数的图象的一分支在第一象限，得比例系数一定大于0，即可求得m的范围； （2）首先，把点A代入中得n的值，再将点A代入得m的值，最后，代入可求得的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限， ∴， 解得； （2）解：根据题意，把点代入，得； ∴点， 把点代入，得， 解得， ∴． 18．(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1）把代入求出反比例函数的解析式，可求出点A的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）求出点，根据解答即可； （3）直接观察图象，即可解答． 【详解】（1）解：∵在函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：∵C是直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：不等式时x的解集为或． 19．(1)证明：∵ 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)① ；② 【分析】（1） 利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）① 根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可．② 利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）① 解：∵ ，点在上， , , ， 如图，交点 的坐标为 ，即 ， ， ． ② 解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点 ， ，， ∵ ， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵ 在上， ， 整理得：， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将 代入， 得，整理得， 联立，得， 解得， 代入 ，得． 20．(1)，； (2)； (3)能；40 【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 21．(1)反比例函数表达式为， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值求出点的坐标； （2）求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据，进行求解即可； （3）设点，分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ， ∴反比例函数表达式为； 把代入得：， ； （2）解：设直线的函数表达式是， 把、代入得： ， ， ， ∴直线的函数表达式是， 当时，， ， ， ， 设直线与轴交于点， ． ， ， ， （3）解：设点， 、 ①当四边形为矩形时，如图1，， ， ， ； ②当四边形为矩形时，如图2，， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $