26.1 二次函数的概念&26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（人教版·新教材）

8.解：设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0,因式分解得(a- 3)(a+2)=0,解得a=3或a=-2..a≥0，.a=-2舍去，则a= 3,x2=3,1=3,x2=-√3. 高效同步练习25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.B3.A4.C5.6 2,2 6.-5【解析】由题意得x1+x2=-2m+3,x1x2=m2+1.二+ 1,.2(x1+x2)=x1x2,.2(-2m+3)=m+1,解得m=1或m= -5.由条件可知根的判别式△=(2m-3)2-4(m2+1)=-12m+5 5 ≥0，解得m≤2六m=-5, 7.2027【解析】.a,b是方程x2+2025x-2026=0的两个实数 根，∴.a2+2025a-2026=0,ab=-2026,a+b=-2025,则a2+ 2025a=2026,∴.a2+2026a+b-ab=a2+2025a+a+b-ab=2026+ (-2025)-(-2026)=2027. 8.解：(1)由题意得，：△=(-4)2-4m≥0，.m≤4； (2)由题意得，x1+x2=4,x1x2=m.(x1x2)2=x1+x2+21,m2= 4+21=25,解得：m=-5或m=5(舍)，∴.m=-5. 9.解：(1)原方程分解因式可得：(x-2)(x-1)=0,x-2=0或x-1 =0,所以x1=2,x2=1.x1=2x2,.方程x2-3x+2=0是“倍根 方程”. (2)解方程(x-2)（x-m)=0,得x1=2,x2=m,由条件可知2= 2m或m=2×2,∴.m=1或m=4,当m=1时，m+2m+2=1+2+2 =5;当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26.综上所述，代数式m +2m+2的值为26或5. (3)m的值为13或-11.【解析】设方程的两根分别为a、2a, 由根与系数的关系得a+2a=m-1,a·2a=32,解得a=4,m=13 或a=-4,m=-11,所以m的值为13或-11. 高效同步练习25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形与传播问题 1.B 【解题通法】巧妙平移，转化图形，通过平移将图形进行转化，列 一元二次方程求解是解决面积类问题的常用方法，其核心思想 是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则图形，根据 规则图形的面积公式列一元二次方程求解 2.x2-31x+40=03.244.A 5.解：（1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=(72-2x)m.根据 题意列一元二次方程得，x(72-2x)=640.解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40;当x=20时，72-2x=72-40 32.答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m2的羊圈： (2)不能，理由如下：由题意列一元二次方程得，x(72-2x)= 650.整理得，x2-36x+325=0.,△=(-36)2-4×325=-4<0，. 一元二次方程没有实数根..羊圈的面积不能达到650m2 6.解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，2+2x+(2+2x)x= 128,解得：x1=7,x2=-9(舍去)，答：每轮传染中平均一个人传 染了7个人. 第2课时增长率与循环问题 1.D2.B 3.解：（1)设平均下降率为x,由题意可得一元二次方程：144(1- )2=100,解得：x= 6>1(不符合题意，舍去)，=6 16.67%,.平均下降率为16.67%； (2)设单价应降低y元，由题意可得一元二次方程：(140-100 y)(20+号×10)=1200，整理可得：y2-30y+200=0,解得1= 10,y2=20,为了减少库存，∴.y=20,∴.单价应降低20元. 4.B 5.解：(1)2(x-1)=40根据题意列一元二次方程得，2(x 0,整理得产二80=0，解得-1生)风，不是整数，方 程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法 正确： (2)10. 6.10(1+x)2=14.47.30 8.解：(1)设下载量的日平均增长率为x,根据题意列一元二次方 70 同步练习，精炼高效抓考 程得，100(1+x)2=121,解得：x,=10%,x,=-210%(舍去)，答： 所使用平台前三天下载量的日平均增长率为10%： (2)猜想：人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下：设一 段铁丝的长度为ycm,另一段为(32-y)cm,根据题意列一元二 方程得，(X)2+(4)2=30,即y2-32y+272=0,4 （-32)2-4×1×272=-64<0,∴.方程无解，∴.这两个正方形的面 积之和不能等于30cm2,答：人工智能平台回复的结果是“不 能” 追梦第二十五章章末复习一元二次方程 1.A【解析】由题意得m2+m=0,解得m=0或-1，.m≠-1， m=0.故选A. 2.B3.A 4.B【解析】原方程可化为(mx-n)(x-2)=0,.x-2=0或mx- n=0,即x1=2,=几，关于x的一元二次方程mx2-(2m+n） m x+2n=0是“倍根方程”，分两种情况：当2=2·几时，即m= n,此时2m-”=2=2,当2×2=一时，即n=4m,此时2n m m+2n _2m-4m= 2 2 综上所述，代数式m+2n的值3或一9·故 m+2n 选B. 5.106.17.2x(x-1)=45 8.解：(1)移项，得x(x-2)-4(x-2)=0.左边分解因式，得(x-2)》 (x-4)=0,于是x-2=0,或x-4=0,即x1=2,x2=4; (2)方程化为3x2+10x+5=0,此时a=3,b=10,c=5,所以△=b2 -4ac=102-4×3×5=40>0.方程有两个不相等的实数根x= -10±而=-5而，即x,=5+ 6 3 ,南2=5-0 3 9.解：(1)由条件可知：△=b2-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m-1)= (m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2-2m+13=(m-1)2+ 12>0,∴.无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. （2)设AB,CB的长分别为x1,x2,则x1,x2是方程x2-(m+3)x+ 2m-1=0的两个实数根，根据根与系数的关系得： {x名=2m-i△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC= x1+x2=m+3 √35，∴.x2+x2=AC2,又.x2+x2=(x1+x2)2-2x1x2,AC2= (√35)2=35，.(m+3)2-2(2m-1)=35,解得m=-6或m=4, :4B,CB是三角形的边长2>0，解得m>)当m= 4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形. 10.解：(1)设AB=x米，则BC=2x米，根据题意，得2x+x+x= 120,解得x=30,..AB=30米，BC=60米，答：长方形ABCD花 圃的长为60米，宽为30米； (2)设网红打卡点的边长为m米，根据题意，得(60-m)·4 m+m2=60×30-1728,解得m1=4,m2=-24(舍去)，.4×4=16 (平方米).答：网红打卡点的面积为16平方米 11.解：(1)设该款迷你无人机的月平均增长率为x,由题意得 1125(1+x)2=1620,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答： 该款迷你无人机的月平均增长率为20%； (2)设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售(20+2y)架 由题意得(100-y-60)(20+2y)=1200,解得y1=10,y2=20.. 需要尽量减少库存，∴·y=20.答：每架迷你无人机的售价应降 低20元. 高效同步练习26.1二次函数的概念 1.C 2.A【变式】(1)a≠2(2)a=2且b≠-2 3.D 【归纳总结】确定二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项 时，需要先把函数关系式化为一般形式，并且系数与常数项一 定要包含它们前面的符号 4.B 5.B【解析】由题可知m-1≠0，且m2+1=2,则m=-1.故选B. 6.C7.B8.A9.C RJ九年级数学上册 高效同步练习26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 1.C 2.C【解析】根据题意，得a>0,a2-1=2,解得a=√3.故选C. 3.解：(1)82028 -2-2 0-2 -2 (2) 4.A5.86.C 7.C【解析】.原点是抛物线y=(m+1)x2的最低，点，.m+1>0, 解得m>-1.故选C. 8.C 9 5 25≤a≤4 【解析】小四边形ABCD是正方形，D(5,2),当 地物线经过点B(2,5)时，则a=,当抛勒线经过D(5,2)时， 2 2 .5 a=25,观察国象可知乃≤a≤子 高效同步练习26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax+k的图象和性质 1.C 2.B【解析】A.二次函数y=-2x2+3中，a=-2<0,此抛物线开口 向下；C.抛物线的顶点坐标为(0,3)；D.抛物线开口向下，当x =0时，y有最大值3.故选B. 3.D 【归纳总结】对于二次函数y=ax+k图象上的两点A(x1,y1),B (x2,y2),可依据下列规律比较函数值的大小： ll. (|x1I=1x21→y1=y2 4.A5.A6.A 7.B【解析】抛物线y=x2-4与x轴交于B、C两点，顶点为A B(-2,0),C(2,0),A(0,-4)..BC=4,AB=AC=√2+4= 2W5,.△ABC周长=AB+BC+AC=4+45.故选B. 8.89.c 10.解：(1)设直线1的解析式为y=x+b(k≠0)，把A(3,0),B (0,3)代人得0.解得传=g直线1解折式为y +3,解方程组得传52（会去c1, 2),Sa40c=2×3x2=3: (2)顶点D(0,1)Sam=2×(3-1)×3=3 第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 1.B2.D3.A4.C5.C6.-2-3 7.B【解析】当h<2时，则x=2时，函数值y有最大值，故-(2 h)2=-1,解得h,=1,h2=3(舍去)；当2≤h≤5时，y=-(x-h)2 的最大值为0，不符合题意；当h>5时，则x=5时，函数值y有 最大值，故-(5-h)2=-1,解得h3=4(舍去)，h4=6.综上所述h 的值为1或6.故选B. 8.D 9.A【解析】二次函数y=a(x+1)2的顶点坐标为(-1,0)，.0A =0B=1,.点B坐标为(0，-1)，把(0，-1)代入y=a(x+1)2, 得-1=a,.抛物线解析式为y=-(x+1)2,把(-4，b)代入y=- (x+1)2,得-(-4+1)2=b,解得b=-9,点C坐标为(-4， 9）,.Sa4ac=S△40ctS△B0c-S△Mo=20A·ly.1+20B·lx。|- 之40：B0=6故送人 同步练习，精炼高效抓考 10.y= 2(x-2)2 11.解：(1).抛物线y=(x-h)2的顶点为B(2,0),.抛物线的 解析式为y=(x-2)2; (2)当x=0时，y=(x-2)2=4,A(0,4),:顶点为B(2,0) .对称轴为直线x=2,:AC1y轴，交该抛物线于点A和点 C,.A、C关于直线x=2对称，.C(4,4),.AC=4,:SoAc= 4×4=16. 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1.C2.C3.C 4.解：(1)由题意得y=a(x-h)2+k经过平移后，得y=a(x-h+2)2 +k+4,a=22-h=1,k+4=-1,解得a=2,h=1,k=-5； (2)由(1)得y=a(x-h)2+k的解析式为y=2(x-1)2-5,a= 2>0,则函数图象开口向上，对称轴是x=1,顶点坐标是(1， -5). 5.B6.B7.2或48.D 9.A【解析】y=-(x-2)2+c,.二次函数图象开口向下，对称 轴为直线x=2.1x1-2>x2-2,点(，少1)到对称轴x=2 的距离比(x2,2)到对称轴的距离要大，.y1<2.故选A. 10.-1【解析】小y=(x-m)2-m,抛物线开口向上，顶点坐标 为(m,-m),.抛物线顶点在直线y=-x上.当抛物线顶点在 y轴左侧，抛物线经过A时，满足题意.把(0,2)代入y=(x m)2-m得2=m2-m,解得m1=2(舍)，m2=-1. 11.(22,22)【解析】直线y=x绕原点0逆时针旋转45°得 到x=0,设抛物线y=2(x+1)2+2与y轴的交点为M',:抛物 线y=2(x+1)2+2,∴.x=0时，y=4,∴.M'(0,4),设点M(m, m),由题意得：0M=0M”=4,.m2+m2=42,.m=2W2(负值 舍去)，点M的坐标为(22,22). 12.解：(1)将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位长度，再沿 x轴向右平移2个单位长度，得到平移后抛物线的解析式为y =2(x-2)2+1. (2).平移后抛物线的解析式为y=2(x-2)2+1,∴.A点的坐 标为(2,1).设直线OA的解析式为y=kx(k≠0)，将A(2,1) 代入得k= 直线0A的解析式为y=之，将x=3代入y =之，得y=2C点的坐标为(3,2).将x=3代人y 3 3 2(x-2)2+1得y=3,B点的坐标为(3,3).BC=2, 3 Sw=78c1e1=7×2x13-21=子 3 13.解：(1)x=78 (2)y=5-(7-x)2=-(x-7)2+5,顶点Q坐标为(7,5)， y=-x2+8x-16=-(x-4)2,.平移后的抛物线的顶点Q'的坐 标为(4,0)，.QQ'=√(7-4)2+(5-0)2=√34，.由题意，得 点P移动的路程等于线段QQ的长，点P'移动的最短路程 为√34.由Q,Q'的坐标可知，抛物线C是由抛物线C先向左 平移3个单位，再向下平移5个单位得到的，点P(8,4), P'(5,-1). 14.解：(1)：抛物线y=a(x-h)2+4(a≠0)的对称轴是直线x= 1,.y=a(x-1)2+4,把A(-1,0)代入得a(-1-1)2+4=0,解 得a=-1,.抛物线对应的表达式为y=-（x-1)2+4: （2)连接BC交直线x=1于点P,连接PA,则PA=PB,∴.PA+ PC=PB+PC=BC,∴.此时PA+PC的值最小，当y=0时，-(x- 1)2+4=0,解得x1=3,x2=-1,.点B的坐标为(3,0)，当x=0 时，y=-(x-1)2+4=3,解得y=3,.C(0,3),设直线BC的解 析式为y=mx+n(m≠0)，把B(3,0),C(0,3)分别代入BC的 每折式为y=符” ,解得m=-1 n3,直线BC的 解析式为y=-x+3,当x=1时，y=-x+3=2,.点P坐标为(1， 2),BC=√32+32=3V2,当点P的坐标为(1,2)时，PA+ PC有最小值，最小值为3√2. RJ九年级数学上册 71高效同步练习26.1二》 知识点①二次函数的概念及一般式 1.(3分)下列函数中，是二次函数的是( A.y=4x+5 B.y=45 C.y=4x2+5 D.y=45x 【归纳总结】若一个函数是二次函数，则该函数：(1) 关于自变量的式子是整式；(2)自变量的最高次数 是2：(3)二次项系数不为0.三个条件缺一不可. 2.(3分)已知函数y=(a-2)x2-2x+1是二次函 数，则a的取值范围是() A.a≠2B.a≤3 C.a<2 D.a>2 变式(3分)已知两个变量x,y之间的关系为 y=(a-2)x2+(b+2)x-3. (1)当 时，x,y之间是二次函数关系； (2)当 时，x,y之间是一次函数 关系. 3.(3分)已知二次函数y=2-3x+x2,则其二次 项系数a、一次项系数b、常数项c分 别为() A.a=2,b=-3,c=1B.a=2,b=3,c=1 C.a=1,b=3,c=2 D.a=1,b=-3,c=2 知识点②实际问题中的二次函数关系式 4.生产情境·商品销售(3分)某商店从厂家以 每件21元的价格购进一批商品，该商店可以 自行定价，若每件商品的售价为x元，则可卖 出(350-10x)件商品，那么销售该商品所赚利 润y(元)与每件商品的售价x(元)的函数关 系式为()》 A.y=-10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350 C.y=-10x2+350x D.y=-10x2+350x-7350 15分钟同步练习，精炼高效机 函数的概念 易错点忽略二次项系数不为0致错 5.(3分)若y=(m-1)xm1是二次函数，则m的 值是() A.1 B.-1 C.1或-1D.2 6(3分)自由落体公式A=2g(g为常量)，h 与t之间的关系为( 第二十六章 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7.(3分)在一个边长为2的正方形中挖去一个 边长为x的小正方形，如果设剩余部分的面积 为y,那么y关于x的函数解析式是() A.y=x2 B.y=4-x2 C.y=x2-4 D.y=4-2x 8.生活情境·头盔(3分)公安部门提醒市民，骑 车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定.经 销售商统计某品牌头盔，7月份售出1500个， 若每月的销售量比上一月份增加相同的百分 率x,请问9月份的销售量y关于每月增加的 百分率x的函数解析式是(） A.y=1500(1+x)2 B.y=1500+(1-x)2 C.y=(1+x)2+1500D.y=x2+1500 9.[学科内融合(3分)一个直角三角形的两条直 角边长的和为20cm,其中一直角边长为 xcm,面积为ycm2,则y与x的函数关系式 是() A.y=10x B.y=x(20-x) 1 C.y=2(20-x) D.y=x(10-x) 考点RJ九年级数学上册 13 高效同步练习26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 知识点①二次函数y=ax2的图象 6.(3分)有下列二次函数：①y=-3x2;②y= 1.(3分)抛物线y=2x2的顶点坐标是( A.(2,0) B.(1,2) 子：③-音.在同-￥面直角坐标系中 C.(0,0) D.(0,2) 2.(3分)若二次函数y=ax21的图象开口向上， 将它们图象的开口按从大到小的顺序排列， 则a的值为( 正确的是( 第 A.3 B.-3 C.3 D.-√3 A.①②③ B.①③② 3.（9分)在同一平面直角坐标系内画出二次函 C.②③① D.②①③ 数y=22与y=的图象 【方法总结】抛物线的开口方向决定了a的正负性. (1)列表 抛物线Ial的大小决定了开口大小，Ial越小，开口 -2 0 越大，|a越大，开口越小 y=2x2 7.（3分)已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最 12 低点，则m的取值范围是( y=-2 A.m<-1 (2)描点、连线 B.m<1 C.m>-1 D.m>-2 8.（3分)关于二次函数y=3x2的图象，下列说 法错误的是( 109876543.21 123-45678910x A.它是一条抛物线 B.它的开口向上，且关于y轴对称 C.它的顶点是抛物线的最高点 知识点②二次函数y=ax2的性质 D.它与y=-3x2的图象关于x轴对称 4.(3分)已知点(-1，y1),(2,y2),(-3,y3)都在 函数y=x2的图象上，则() 9.学科内融合(3分)如图，在平面直角坐标系 A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 中，正方形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 5.(3分)如图，正方形的边长为4，以正方形的 为(2,2)，(2,5)，(5,5).若抛物线y=ax2的 中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y 图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范 =2x2与y=-2x2的图象，则阴影部分的面积 围为 是 14 15分钟同步练习，精炼高效抓考点RJ九年级数学上册