25.1 一元二次方程的概念&25.2.1 配方法-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（人教版·新教材）

旧梦之旅 18元 9 年级数学上册 R 80g专用纸 高效同步练习活页 高效同步练习25.1一元二次方程的概念 知识点①一元二次方程的定义以及一般形式 易错点忽略二次项系数不为0的条件致错 1.(3分)下列关于x的方程一定是一元二次方 7.(3分)若关于x的方程(m+1)xm1+x-3=0 程的是( 是一元二次方程，则m的值为 A.ax2+bx+c=O B.x2+1-x2=0 8.（9分)一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根 C.x2+1-2 D.x2-x-2=0 是1，且a,b满足b=√a-2+√2-a-1,求此 元二次方程. 2.（3分)一元二次方程2x2=x+3的二次项系 数、一次项系数、常数项分别是( A.2,-1,-3 B.2,1,3 C.2,0,-3 D.2,0,3 知识点②一元二次方程的解 3.（3分)下列各数是方程x2-x=12的根的 是() A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=10 9.新定义(10分)已知关于x的一元二次方程 4.（3分)若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0 ax2+bx+c=0,如果a,b,c满足3a-2b+c=0,我 的一个根是x=1,则m的值为( 们就称这个一元二次方程为美妙方程 A.1 B.-1C.2 D.-2 (1)判断方程2x2-x-8=0是否为美妙方程， 5.(3分)已知x=1是关于x的方程x2+2ax+a2 并说明理由. =3的一个根，则代数式a2+2a的值为( (2)已知关于x的美妙方程ax2+2x+c=0的一 A.-1 B.0 C.1 D.2 个根是-1，求这个美妙方程 知识点③根据实际问题列一元二次方程 6.生活情境·新能源汽(3分)随着“低碳生 活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐 成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽 车7月份的销售量为6000辆，9月份的销售 量为8000辆.若设该新能源汽车销售量的月 平均增长率为x,则可列方程为( A.6000(1+x)=8000 B.6000(1+x)2=8000 C.6000(1+2x)=8000 D.6000×2(1+x)=8000 15分钟同步练习，精炼高效抓考点RU九年级数学上册 1 高效同步练习25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 第二十五 知识点①解形如x2=p(p≥0)的方程 7.学可情境·过程性学可(10分)4(2x-1)2=36. 1.(3分)一元二次方程x2=16的解是( 解：方程两边都除以4，得(2x-1)2=9; A.x=-4 B.x=4 由此可得2x-1=9…第一步； C.x1=4,x2=-4 D.x1=8,x2=-8 移项，得2x=8…第二步； 2.(3分)用直接开平方法解下列一元二次方程， 系数化为1，得x=4…第三步； 其中无解的方程为( ) (1)以上解方程的过程中从第 步开 A.x2-5=5 B.-3x2=0 始出现错误 C.x2+4=0 D.(x+1)2=0 (2)请写出正确的解方程过程 知识点②解形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)的 方程 3.(3分)若方程(x-2)2=k可以用直接降次法 解，则k的取值范围是() A.k≤0B.k≥0 C.k<0 D.k≠0 4.(3分)一元二次方程(x+7)2=81可转化为两 8.学科内融合(10分)已知三角形两边长分别 个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 为3和6，第三边的数值是一元二次方程(x +7=9,则另一个一元一次方程是( 5)2-4=0的两个根，试求三角形的周长 A.x-7=-9 B.x-7=9 C.x+7=9 D.x+7=-9 5(3分)一元二次方程3(x+3)2=1的解 是 6.(10分)解下列方程： 9.新定义(10分)定义新运算：对于任意实数 (1)(x+3)2-121=0: m,n都有m☆n=mn+n.例如：(-3)☆5= （-3)2×5+5=50.根据以上定义解决问题： (1)若x☆4=40，求x的值； (2)若(x-5)☆1=17，求x的值. (2)3(2x-6)2=18. 2 15分钟同步练习，精炼高效抓考点U九年级数学上册 第2课时 配方法 知识点①配方 知识点③用配方法解二次项系数不为1的方程 1.（3分)若代数式x2-8x+k是一个完全平方式， 6.（3分)用配方法解一元二次方程2x2+4x-5= 则k的值是( 0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则a+b的值 A.4 B.8 为() C.16 D.32 A.8 B. 9 2 2.[教材练习1题变式](6分)填空： c 5 (1)x2-4x+ =(x- )2； 0 (2)x2 x+25=(x )2； 7.（10分)解下列方程： 9 (3)m m 4(m )2 (1)2x2-3x-6=0; 知识点②用配方法解二次项系数为1的方程 3(3分）一元二次方程了-y子=0配方后可 3 化为() (2号2-0 1 A.(+2)2=1 1 B.(y2)2=1 c- D.(2)3 4.（3分)用配方法解一元二次方程x2-12x-5= 0,配方后得到(x-6)2=m,则m的值是() A.31 B.41 知识点④配方法的应用 C.14 D.37 8.（3分)已知P=m2-m,Q=m-2,其中m为任 5.（10分)用配方法解方程： 意实数，则P与Q的大小关系为( ） (1)x2-4x-3=0. A.P>Q B.P=0 C.P<Q D.无法确定 9.(3分)将代数式x2-10x+5 最小值为( A.-30 B.. C.-5 D.( 易错点)一元二次方程没有转化成(x+n)2=p的 (2)x2-2x-5=0. 形式就开始解方程 10.（3分)小刚用配方法解2x2-bx+a=0,得x- 3,√/15 2 2 ,则b等于() A.-6 B.-3 C.6 D.3 25分钟同步练习，精炼高效抓考点U九年级数学上册 3 11.学习情境·过程性学习可(10分)下面是小君 x+2 24 同学解一元二次方程3x2+8x-3=0的过程， 24 x+2 2 第 请认真阅读并完成相应的任务。 x+2 24 24x 五 3x2+8x-3=0. xx+2 图1 图2 解：二次项系数化为1，得2+ 3-1=0, 【模仿实践】 …第一步 (1)仿例题配方解x2+5x-14=0,先变形为 ,如图2，每个小长方形的长为 配方，得218x+(4)21=0,·第二步 3 ,宽为 ,利用图形的面积关系 4 得配方后的方程为 ,解为 变形，得(x+了)2=1，…第三步 【深入探究】 开方，得x+。=±1，…第四步 3 (2)配方解2x2+5x=3,自己画图分析，写出 1 7 解得=3西=一了…第五步 解题过程 【总结提升】 （1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将 小敏同学质疑方法的局限性：x2+5x+3=0,变 该一元二次方程“降次”为两个一元一次方 形为x(x+5)=-3,没法拼图了呀？ 程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的 小聪同学发现：方法中的拼图就是(a+b)2= 一个数学公式是 4ab+(a-b)2模型，于是有了另一种方法，设 (2)上面小君同学的解题过程中，从第 (ab=-3 步开始出现错误，写出正确的解答 x=a,x+5=b,则有 a-6=-5(a+b)2=4x(- 过程 3)+(-5)2,(x+x+5)2=13,配方成功，从数 到形，又从形回归到数 (3)请你用小聪的方法配方解x2-7x+2=0, 写出解题过程 12.（10分)操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配 方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方， 用4个长为x+2,宽为x,面积为24的长方 形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的 面积等于4个长方形的面积加中空的小正方 形面积得：(x+x+2)2=4×24+22. 25分钟同步练习，精炼高效抓考点U九年级数学上册答案详解详 高效同步练习25.1一元二次方程的概念 1.D 【归纳总结】一元二次方程需要满足的三个条件：1.是整式方 程：2整理后的方程只含有一个未知数：3整理后的方程未知 数的最高次数是2. 2.A【解析】2x2=x+3化为一般形式为2x2-x-3=0,二次项系 数、一次项系数、常数项分别是：2，-1，-3.故选A. 3.B4.C5.D6.B 7.1【解析】：关于x的方程(m+1)xm+1+x-3=0是一元二次 方程，∴.Iml+1=2且m+1≠0，解得m=1. 8.解：将x=1代入方程ax2+bx+c=0,得a+b+c=0:又.b=√Ja-2 了a-2≥0 +√2-a-1,{2-2≥0，解得a=2,6=-1;则c=-a-b=-1, .此一元二次方程为2x2-x-1=0. 9.解：(1)是美妙方程.a=2,b=-1,c=-8,∴.3a-2b+c=6- （-2)+(-8)=0.故此方程为美妙方程. (2)将x=-1代入原方程得，a-2+c=0①，.此方程为美妙方 程，3a-4+c=0②，联立①②解得{8引，这个美妙方程为 +2x+1=0. 高效同步练习25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 1.C2.C3.B4.D 5.x,=-3+5,x2=-3-√3【解析】方程的两边都乘3，得(x+3)2 =3,由此可得x+3=±√3.∴.x=-3±√3.∴.x1=-3+√3，x2=-3 -√3. 6.解：(1)移项，得(x+3)2=121.由此可得x+3=±11，x+3=11,或 x+3=-11,即x1=8,x2=-14; (2)方程两边都除以3，得(2x-6)2=6.由此可得2x-6=±V6, 266 2x-6=6,或2x-6=-6,即x=6+6, 2 7.解：(1)一 （2)方程两边都除以4，得(2x-1)2=9.由此可得2x-1=±3,2x -1=3或2x-1=-3,即x=2或x=-1. 8.解：解方程(x-5)2-4=0,得x1=3,x2=7.根据三角形的三边关 系，得3,6,3不能构成三角形；3,6,7能构成三角形.则该三角 形的周长为3+6+7=16. 9.解：(1)由题得x☆4=4x2+4=40,解得x1=-3,x2=3; (2)由题意得(x-5)☆1=(x-5)2+1=17,解得x1=1,x2=9 第2课时配方法 3 1.c2.(1)42(2)±10±5(3)±3±2 3.B4.B 5.解：(1)移项，得x2-4x=3.配方，得x2-4x+22=3+22,（x-2)2= 7.由此可得x-2=±7，x1=2+√7，x2=2-√7； (2)移项，得x2-2x=5.配方，得x2-2x+1=5+1,(x-1)2=6.由 此可得x-1=±√6，x1=√6+1，x2=-6+1. 6.B 7解：()移项，得2-3=6二次项系数化为1，得-子x=3 配方，得23 3 2*( 6由此可得x 4心-573+57-3-57 4光 4 (2珍项，得号2二次项系数化为1.得 23. 配方，得+x 宁=3（.(+-8由轮可得 2x+( 17 3 +4=±46=2-2 8.A9.B 同步练习，精炼高效抓考 斤·易错剖析 10C【解析：配方可得子-名+（各）2=()2- 2,(x 11.解：(1)完全平方公式 (2)二正确过程如下：移项，得：3x2+8x=3,二次项系数化为 1得+号1，配方，得2+管+（台）'1（台）+ 8 4 )2=25.由此可得x+4-5 1 -91 3 3x3七=-3. 12.解：(1)x(x+5)=14(x+5)x (x+x+5)2=4×14+52x1=2,x2=-7 2x+52x （2)由题意，先变形为2x(2x+5)=6,如 2x6☐ 图，每个小长方形的长为2x+5,宽为22x+56 52 62x+5 .利用图形的面积关系得配方后的方程 6☐2x 为(2x+2x+5)2=4×6+52,即(4x+5)2= 2x2x+5 49.解得x1=-3,x2=2 (3)由题意，先变形为x(x-7)=-2,设x=a,x-7=b, {a-b=7.(a+b)2=4x(-2)+7,.(x+x-7)2=41.(2x ∫ab=-2 7)=41.解得x,=7+④x,=7-V④ 2,2= 21 高效同步练习25.2.2公式法 1.C2.C3.A4.A 5.解：因为a=3,b=-4,c=-8,所以△=b2-4ac=(-4)2-4×3× （-8)=112>0.方程有两个不相等的实数根，x=-b:-4a =4牡I122生27 2+2W72-2w7 ,即x,=1 6 3 3 ,X2= 3 6.D【解析】当k-1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程. 关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根，.△=(2k+ 1)2-4×(k-1)2×1=12k-3≥0，解得k≥4；当k-1=0,即k=1 时，方程为3x+1=0,显然有解.综上，k的取值范围是k≥ 4 故选D 【易错分析】看到有实数根的条件，就直接运用一元二次方程根 的判别式得出参数的取值范围，而忽视含有参数的二次项系数 不能为0的前提条件」 7.（1)证明：△=b2-4a2×(-2)=b2+8a2>0,∴.方程总有两个不相 等的实数根； (2)解：由题意可知4a2+2b-2=0,即2a2+b=1,.8a2+4b= 4(2a2+b)=4×1=4. 8.解：(1).x=-1是方程b(x2-1)+2ax+c(x2+1)=0的根，∴.- 2a+2c=0,.a=c,.△ABC为等腰三角形； (2)b(x2-1)+2ax+c(x2+1)=0,.(b+c)x2+2ax+(c-b)=0, .方程有两个相等的实数根，∴.△=4a2+4(b+c)(b-c)=0,. a2+b2=c2,△ABC为直角三角形. 高效同步练习25.2.3因式分解法 1.C2.C 3.B【解析】设这个数为x,则x2-3x+4=x,x2-4x+4=0,(x-2)2 =0,所以x1=x2=2,则这个数为2.故选B. 4.1或3【解析】x2-4x+4=1,整理得x2-4x+3=0,因式分解得 （x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3. 5.C6.C 7.解：(1)二 (2)原方程可化为2x(3x-1)+(3x-1)=0.左边分解因式，得 (2x+1)(3x-1)=0.于是2x+1=0或3x-1=0,即x=-2,x2 1 1 RJ九年级数学上册 69