25.1 一元二次方程的概念&25.2.1 配方法（课时作业）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.下列方程中，是一元二次方程的是 A.3x-1=0 B.2x2-y-1=0 C.1+2=0 D.x2-3x=0 2.将方程x2=10十8x化成一般形式后，一次项系数、常数项分别是 A.-8,-10 B.-8,10 C.8,-10 D.10,8 3.下列各数中，是方程x2=4x一3的解的是 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.将下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)2x2=1-3x; (2)(3x-2)(x+1)=x(2x+1). 5.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数； (2)如图，某停车场将长为130m、宽为80m的矩形停车场沿着AB和AD修建宽度相同的充 电桩区域，剩余停车场的面积为5000m,求充电桩区域的宽度. D 充电桩 桩 。1 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.解一元二次方程(x+2)2=4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x十 2=2,则另一个方程为 () A.x-2=-2 B.x+2=-2 C.x-2=2 D.x+2=2 2.下列方程中无实数根的是 A.x2=0 B-3-0 C.-x2+4=0 D.x2+9=0 3.一元二次方程x2-49=0的根是 () A.x1=x2=7 B.x1=7,x2=-7 C.x1=x2=9 D.x1=9,x2=-9 4.已知关于x的一元二次方程x2+5x十2一16=0的常数项为0，则k的值为 A.4 B.±4 C.8 D.±8 5.若方程(x一5)2=m一7可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 6.若x=3是一元二次方程x2一p=0的一个根，则p的值是，方程的另一个根是 7.解下列方程： (1)x2-25=0: (2)5x2-80=0; (3)2(x-1)2=18; (4)(2x-1)2-4=0. ·2· 第2课时用配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程x2十x=2时，应把方程的两边同时 A.加子 B.加2 C.减4 D减号 2.用配方法解方程2x2一12x十9=0，下列配方正确的是 ( ) A.-3y=号 B(x-3)=是 C.(x-62= 2 D.2(x-3)2=9 4 3.将方程x2+8.x十4=0化为(x十n)2=p的形式，则n的值为 ,力的值为一 4.若关于x的方程x2-6x十Q=0可以配方成(x十b)2=7,则(a十b)226=一： 5.解下列方程： (1)x2-3x+2=0; (2)2x2+x=1. 6.在用配方法解方程x2一4x一3=0时，小明的解法如下： 第一步：移项，得x2-4x=3. 第二步：配方，得x2-4x十4=3十42，即(x-4)2=19. 第三步：两边开平方，得x一4=士√I9, 第四步：所以x1=4十√19，x2=4一√19 请回答： (1)小明的解答过程从第 步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程. ·3·.SaAx=AC·BH=12.23.解：(1)连接0D.:CD与⊙0相切，∠0DC=90, ·∠C0D=90°-∠C=70.∴∠A=号∠C0D=35.(2)设车轮的半径为rm,则0D=0B= rm,OC=BC+OB=(3+r)m在Rt△COD中，OC=OD+CD,∴.(3+)2=2+(23)，解得 r=号，答：车轮的半径为号m.24.(1)证明：连接0C.:AC=CD,∠D=30,“∠CA0 ∠D=30°..∠COD=2∠CAO=60°..∠OCD=180°-∠D-∠COD=90°..OC⊥CD. :OC为⊙O的半径，.CD是⊙O的切线.(2)解：由(1)可知∠OCD=90°，∠COB=60°. :∠D=30,0D=4.0C=0D=2.CD=0D-0C=2E.S=Sm- S=CD·0C-00C=子×25x2-0×2-2厅-号∴图中阴影部分的面 360 360 积为2尽-号元25，【提出问题】证明：四边形ABCD是正方形，AB=CD,A ⑦，P是C的中点，B=PC,∴.AP=P,∴AP=DP.【深入思考】解：PA=PC+ √2PB.证明如下：过点B作BQ⊥BP交AP于点Q,取圆心O,连接OA,OB.易得∠ABC ∠PBQ=90°.∴∠ABC-∠CBQ=∠PBQ-∠CBQ.∴.∠ABQ=∠CBP.易得∠AOB= 90°，∴.∠APB=45°.∴.∠PQB=45°.∴.BP=BQ,PQ=√2BP.在△ABQ和△CBP中， ∠BAQ=∠BCP, ∠ABQ=∠CBP,.△ABQ≌△CBP(AAS).∴.AQ=CP.∴.PA=AQ+PQ=PC+√2PB, BQ=BP. 即PA=PC十√2PB.【拓展应用】解：以BC为边，作正方形BCFE,连接PF,BF,OC,作正 方形BCFE的外接圆⊙O,则圆心O在BF上.：∠BPC=45°，∠BOC=90°，∴.点P在⊙O 上.，PA=1,PD=2,.BE=EF=BC=AD=PA十PD=3,AE=DF.:∠BEF=90°， '.BF=3√2.设AE=x,则DF=x,AB=3十x.在Rt△ABP中，BP2=AB十AP2=(3十x)2十 1.在Rt△PDF中，PF=PD十DF=x+2.在Rt△BPF中，BF=BP2十PF,∴.(3√2)2= (3++1+2+2,解得x=-3(负值已舍去).AB=3+何-3=了+3 2 “矩形ABCD的面积=AB·AD=T+3X3=3VT+9 2 阶段综合评价（三）[期末] 1.B2.C3.D4.C5.C6.A7.A8.D9.C10.D1.C12.A13.y=-8 x 14.815.4π16.√/2217.(1)解：移项，得x2-6.x=3.配方，得x2-6x十3=3十3， (x-3)2=12.由此可得x-3=士25，x1=3十2V5,x2=3-2√3.(2)证明：：PA,PB分别 与⊙O相切于点A,B,∴.PA=PB,∠OBP=∠OAP=90°.：PO=PO,.Rt△POA≌ Rt△POB(HL).∴∠POA=∠POB.∠POB=2∠C.∴∠POA=2∠C.18.解：(1)：点 A与点B(-1,2关于y轴对称A1,2》.把A1,2代入1-丝得=1X2=2.把A (1,2)代入y2=k2x,得2=k2X1,解得k2=2.(2)由图象可知，当y1<y2时，x>1.19.解： (1)如图，△AOB1即为所求.A1(0,1),B1(一2,2) (2)由题意，得OB1= 3r OB=2于2=2E,点B所经过的路径长为90mX2E-=2.20.（1)证明：二次函 180 数为y=x2-2kx-(4k十4)，.a=1,b=-2k,c=-(4k十4)..△=b-4ac=(-2k)2-4X 1×[-(4k十4)]=4k2十16k十16=4(k+2)2..无论k为何值，(k十2)2≥0，∴.△=4(k十2)2≥ 0,即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点，(2)解：：二次函数的对称轴为 直线x=1=一会=一2及-=1.代入函数解析式，得)=-2X1X(4X1十0 x2-2x-8.令y=0,则x2-2x-8=0,解得x1=4,x2=-2..它与x轴的交点坐标为(4,0) -97 和(-2,0).21.(1)证明：由旋转的性质，得AE=AC,∠AED=∠C,∴∠AEC=∠C ∠AED=∠AEC.∴.EA平分∠CED.(2)解：由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE,AD= AB,∴∠ADB=∠ABD.∠AEC=∠C,∴∠ABD=∠C.∠C+∠ABC=90°，∴.∠ABD+ ∠ABC=90°，即∠DBE=90°.22.解：(1)设该款火腿销售量的月增长率为，由题意，得 150(1十x)2=216.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).答：该款火腿销售量 的月增长率为20%.(2)设该款火腿的实际售价为y元/kg.由题意，得(y-120)[200-(y一 160)×2]=9800,整理，得y2-380y+36100=0.解得y1=y2=190.答：该款火腿的实际售 价应定为190元/kg.23.解：(1)由题意，得A(-30,4),H(0,22).设经过A,B,H三点的 抛物线的函数解析式为y=ar2十2.把A(-30,4)代入，得4=900a十22，解得a=一0 1 经过A,BH三点的抛物线的函数解析式为y=一女+2.(2)由1)可得两车同时后 退10m后y轴右侧的抛物线的函数解析式为y=一六(x-10)十2.当x=0时y= 一0×(0-10)》+22=20.答：两条水柱的相遇点距离地面20m,24.(1)证明：连接0E. :EF⊥AC,∠EFC=90°.：AB=AC,∴.∠B=∠C.OB=OE,.∠B=∠OEB. ∠OEB=∠C..OE∥AC,∴∠OEF=∠EFC=90°.∴.OE⊥EF.,OE是⊙O的半径，∴.EF 是⊙O的切线.(2)解：连接AE.:AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥CB.:AB= AC,∠B=∠C,BE=CE=号BC=5.:四边形ABED是O0的内接四边形，∠B ∠ADE=180°，：∠CDE+∠ADE=180°，∴.∠B=∠CDE.:∠C=∠C,∴.△ABC∽ △EDC瓷-器S-=吕AC=AB=空o0的半径为答25.解，(1BD= AE,BD⊥AE.理由如下：在△BCD和△ACE中，∠DCB=∠ACE=90°，BC=AC,CD= CE,∴.△BCD≌△ACE(SAS)..BD=AE,∠CBD=∠CAE.:∠ACB=90°，∴∠CBD+ ∠BDC=90°.：∠BDC=∠ADF,∴∠CAE+∠ADF=90°.∴.∠BFE=90°..BD⊥AE (2)成立，证明如下：.∠ACB=∠DCE,.∠ACB十∠ACD=∠DCE十∠ACD,即∠BCD= ∠ACE.在△BCD和△ACE中，又：BC=AC,CD=CE,∴.△BCD≌△ACE(SAS).∴.BD= AE,∠CBD=∠CAE.,∠BGC=∠AGF,∴·∠CBD十∠BGC=∠CAE+∠AGF.:∠ACB= 90°，∴·∠CBD+∠BGC=90°.∴.∠CAE+∠AGF=90°.∴∠AFB=90°.∴.BD⊥AE.(3)如 图③， 过点C作CH⊥CD,垂足为C,交AD于点H,连接BH.由旋转性质可 D A H 得：∠ACB=90°，AC=BC.:CH⊥CD,∴.∠DCH=90°.：∠ADC+∠CHD=90°，且 ∠ADC=45°，∴∠CHD=45°.∴∠CHD=∠ADC..CD=CH=3√2.在Rt△DCH中， DH=√CD+CH=√/(32)2+(3√2)=6.：∠ACB=∠DCH=90°，∴.∠ACB+ ∠ACH=∠DCH+∠ACH,即∠ACD=∠BCH.在△ACD和△BCH中，又：AC=BC, CD=CH,∴.△ACD≌△BCH(SAS)..BH=AD=8,∠CBH=∠DAC.∠1=∠2 ∴∠CBH+∠1=∠DAC+∠2.：∠ACB=90°，.∠CBH+∠1=90°.∴.∠DAC+∠2= 90°..∠BHA=90°..BH⊥AD..△BHD是直角三角形.在Rt△BHD中，BD= √BH+D=√/82+6=10. 课时作业 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.D2.A3.C 4.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x”十3x一1=0.它的二次项系数为2，一次 项系数为3，常数项为-1.(2)去括号，得3x2十3x-2x-2=2x2十x.移项、合并同类项，得 一元二次方程的一般形式为x2-2=0.它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为一2. 5.解：(1)设这两个数中较小的数为x.根据题意，得x(x十2)=120，化为一般形式为x2十 2x-120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm.根据题意，得(130-x)(80-x)=5000.化成 一般形式为x2-210x+5400=0. 98 25.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.B2.D3.B4.B5.m≥76.9x=-3 7.解：(1)整理，得x2=25,由此可得x=士5，x1=5,x2=一5.(2)整理，得x2=16.由此可 得x=士4，.x1=4,x2=一4.(3)整理，得(x一1)2=9.由此可得x-1=士3..x-1=3,或 x-1=-3.∴.x1=4,x2=-2.(4)整理，得(2x-1)2=4,由此可得2x-1=士2，.2x-1= 2,或2x-1=-2=号=-分 3 第2课时用配方法解一元二次方程 1.A2.A3.4124.1 5.解：1)移项得-3x=-2配方，得-3x十（受）广=-2十（受）广，即(-号) 子由此可得x一号=士分=2，=1.（②）二次项系数化为1，得2十音=合配方， 得+艺+()=十（子），即(+子)=6由此可得x十=±早“4=， x2=-1. 6.解：(1)二(2)移项，得x2-4x=3.配方，得x2-4x十4=3十4，即(x一2)2=7.由此可得 x-2=士√7..x1=2+√7，x2=2-√7. 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.B2.A3.D4.A5.m<1且m≠0 6.解：(1)原方程可化为3x2-2x-1=0..△=(-2)2一4×3×(-1)=16>0，.方程有两 个不相等的实数根.(2)原方程可化为x2十4x十4=0.△=42一4×1×4=0，.方程有两个 相等的实数根. 7.(1)证明：.△=[-(k十1)]2-4×1×k=k2十2k十1-4k=k2-2k十1=(k-1)2≥0，.无 论k取何实数，方程总有两个实数根.(2)解：把x=3代入该方程中，得9一3(k十1)十k=0, 解得k=3. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.C2.C3.2 4.解：(1)，a=4,b=-8,c=1,.△=b-4ac=(-8)2-4×4×1=48>0.∴.方程有两个不 相等的实数根，=么匹-结要-2生512=2(2)方 2×4 22= 2 程化为2x2-x十2=0.：a=2,b=-1,c=2,.△=6-4ac=(-1)2-4×2×2=-15<0. .原方程无实数根.(3)a=2,b=-5,c=-7.∴△=一4ac=(-5)2-4×2×(-7)= 81>0.小方程有两个不相等的实数根=二士公证艺-学： 2a 2×2 7 -1,x:=2.(4):a=1,b=-22,c=2.△=b-4ac=（-2√②)2-4X1X2=0.小方程 有网个相等的实数根y=一会=-二22n=欢=厄 2 25.2.3因式分解法 1.C2.B3.x+2-3=0x1=-5,x2=1 4.(1)直接开平方(2)配方(3)公式(4)因式分解 5.解：(1)左边因式分解，得2x(x十5)=0.于是得x=0,或x十5=0.x1=0,x2=-5. (2)移项，得4x2一3x=0.左边因式分解，得x(4x一3)=0.于是得x=0,或4x一3=0. “1=0x=子.(3)移项，得x(x-5)十8(x-5)=0.左边因式分解，得(x-5)(x十8)=0. 于是得x-5=0,或x十8=0.∴.x=5,x2=一8.(4)整理，得(x-1)2-2(x-1)=0.左边因 式分解，得(x一1)(x-1一2)=0，即(x一1)(x一3)=0.于是得x一1=0，或x一3=0.·x1= 1,x2=3. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.B3.B4.-3-6 一 99