第四章 指数函数与对数函数 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学第四章指数函数与对数函数，通过单选、多选、填空、解答题的梯度设计，覆盖概念、运算、性质及综合应用，适配单元复习，强化数学思维与运算能力、数学语言表达与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|指数对数运算（如第2题）、化简求值（第3题）|基础巩固，考查抽象能力与运算能力| |多选题|3|函数性质（第10题单调性）、不等式应用（第9题最值）|能力提升，体现推理意识与批判性思维| |填空题|3|函数求值（第12题）、单调性参数范围（第14题）|聚焦关键能力，强化数学眼光观察| |解答题|5|奇偶性讨论（第17题）、单调性证明与参数范围（第19题）|综合应用，突出数学语言表达与模型观念，适配高考命题趋势|

第四章 指数函数与对数函数 小结 一、单选题 1．（   ） A．a B． C． D． 2．已知，，则（   ） A．16 B．27 C．37 D．54 3．若，则化简=（    ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C．0 D．1 5．已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 6．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 7．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 8．函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 11．已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 三、填空题 12．已知函数，则______． 13．已知，，，则的最小值为________． 14．已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 四、解答题 15．（1）计算: （2）计算: . 16．已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 17．已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)判断函数在定义域上的单调性，写出结论即可，不需要证明． 19．已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； (3)在（2）的条件下，存在使得成立，求参数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 小结 一、单选题 1．（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】根式化为分数指数幂，再进行运算即可. 【详解】， 故选：D 2．已知，，则（   ） A．16 B．27 C．37 D．54 【答案】D 【分析】根据指数运算法则化简求值即可. 【详解】. 故选：D. 3．若，则化简=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A. 4．（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】. 5．已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 【答案】C 【详解】， 由基本不等式得，，即， 又因为恒成立，所以， 故即， 所以． 6．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 7．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 8．函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 二、多选题 9．已知正数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】正数，满足， 对于A，因为，当且仅当时，等号成立. 所以，， 所以当时，取得最大值，最大值为，故A正确. 对于B，. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 故B正确. ， 所以当，时，取得最小值，最小值为. 故C正确. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故D错误. 10．已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 【答案】AC 【分析】由导数判断A项，由判断B项，利用函数的单调性可判断CD项． 【详解】对于A项，由已知，又函数为增函数， 所以函数为减函数，所以函数在上单调递增，故A项正确； 对于B项，，则函数的图象关于点中心对称，故B项错误； 对于C项，因为在上单调递增，所以当时，得，故C项正确； 对于D项，因为，所以， 当时，得， 因为在上单调递增，所以， 则,故D项错误． 11．已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故解得，故B错误； 对于C，，因为与无关，所以， ，故不恒过定点，故C错误； 对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减， 且，即，解得，故,故D正确. 三、填空题 12．已知函数，则______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式求值即可. 【详解】. 13．已知，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用对数换底公式及对数的运算性质化简得，再利用乘“1”法结合基本不等式计算即得. 【详解】由可得，即，整理得， 由， 当且仅当，即时取等，即的最小值为. 14．已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】结合复合函数单调性与定义域分情况建立不等式求解可得. 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. 四、解答题 15．（1）计算: （2）计算: . 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据次根式的性质化简即可； （2）根据分数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】(1)由得： 故原式 (2) 原式== 16．已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 17．已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数； (2) 【分析】（1）应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断； （2）应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． 18．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)判断函数在定义域上的单调性，写出结论即可，不需要证明． 【答案】(1) (2)奇函数 (3)在上单调递减 【分析】（1）根据对数函数的性质真数必须大于0，从而解得的定义域； （2）先判定定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义进行判定； （3）在定义域内取，计算并化简，通过差值的正负判定函数单调性. 【详解】（1）（1）令，可得或，有或空集. 取两个不等式组解集的并集，故函数的定义域为. （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称， 又由，可得函数为奇函数. （3）设， ， ，，， ． 利用对数函数在上单调递增有． 故函数在上单调递减． 19．已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； (3)在（2）的条件下，存在使得成立，求参数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)函数是上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数是奇函数，分和不存在，两种情况讨论，结合，即可求解； （2）由（1）得到函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由题意，转化为，令，转化为存在使得成立，即，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数是奇函数， ①若，解得，所以， 则， 又由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； ②若不存在时，可得，此时， 由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； （2）解：函数是上的增函数. 证明如下：由（1）知：函数，其定义域为， 任取且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以是上的增函数. （3）解：由函数是上奇函数，且是单调递增函数， 不等式， 即为， 所以，整理得， 令，因为，可得， 则，当时，即时，等号成立， 当时，可得，所以， 又因为，所以， 因为存在使得成立， 即存在使得成立，即， 令，可得函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $