第四章 指数函数与对数函数 单元测试 -2026-2027学年高一上学期人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一上学期人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数单元测试，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合天文学情境与新定义问题，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|指数对数运算（1）、函数图像（2）、单调性（6）|第7题结合天文学星等与亮度公式，体现科学情境真实性| |多选题|3|函数性质（10）、定义域值域（11）|第10题综合奇偶性与最值，考察推理能力| |填空题|3|函数零点（12）、偶函数性质（13）|第14题引入取整函数，提升抽象思维| |解答题|5|函数解析式（16）、新定义有界函数（19）|第19题通过新定义考察数学语言表达，呼应核心素养|

第四章 指数函数与对数函数 单元测试2026-2027学年高一上学期人教A版必修第一册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D．3 4．已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 5．若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 7．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯()在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（    ）(当较小时，) A． B． C． D． 8．已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各式中成立的是（    ） A． B． C．（其中，） D． 10．关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的值域为 B．当时，的单调递减区间为 C．t取任意实数时，均有的图象关于直线对称 D．若的定义域为全体实数，则实数t的取值范围是 三、填空题 12．已知函数则函数的所有零点构成的集合为__________． 13．若函数是偶函数，则实数__________. 14．对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域为______． 四、解答题 15．计算． (1)； (2)． 16．已知是定义在上的奇函数，且时，. (1)求，； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围. 17．设函数，． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)写出函数的单调区间（直接写出结果）； (3)若，使成立，求的取值范围． 18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．      (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 19．定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性． (1)判断下列函数是否具有有界性：①；②；③； (2)已知函数定义域为，若为函数的上界，求的取值范围； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 单元测试2026-2027学年 高一上学期人教A版必修第一册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C B A C D BD AD BC 1．B 【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答. 【详解】. 故选：B 2．D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 3．C 【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 【详解】由可得，即，，故. 故选：C. 4．C 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 5．B 【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，， ∴. 故选：B. 6．A 【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案. 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数． 7．C 【分析】若“天津四”的亮度是，则“心宿二”的亮度是，结合已知公式得，进而求其近似值即可. 【详解】若“天津四”的亮度是，则“心宿二”的亮度是， ∴，即， ∴. 故选：C. 8．D 【分析】根据函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可, 【详解】令可得，当时，， 当时，的图象与关于轴对称，所以作出函数与函数的图象如图所示：    由图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点. 因此，实数的取值范围是.即实数的最小值为1. 故选：D 【点睛】关键点睛：利用转化法，把函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再利用数形结合思想进行求解是解题的关键. 9．BD 【分析】根据指数幂的运算法则逐一判断即可. 【详解】解：对于A，，故错误； 对于B，，故正确； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确． 故选：BD. 10．AD 【分析】的定义域为，代入化简可判断奇偶性，从而判断A；令，由对勾函数的性质分析单调性，结合复合函数的单调性，可求出的单调区间，可判断B；结合单调性可求出的最值以及值域，从而判断CD. 【详解】由题知，的定义域为，且， 所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，故正确. 令， 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为增函数，当时，为减函数； 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为减函数，当时，为增函数； 函数为增函数，由复合函数的单调性可知，的递增区间为（不能用联结），故B错误，. 由函数的单调性可知，函数在上有最小值，且最小值为，故C错误. 函数的值域是，故D正确. 故选：AD. 11．BC 【分析】根据，可求的值域，即可判断A,根据复合函数的单调性即可判断B，根据二次函数的对称性即可判断C，根据判别式小于0即可判断D. 【详解】对于A，当时,，故的值域为,故A错误； 对于B，当时，，此时定义域为，令， 由于在单调递减，为定义域内的增函数，由复合函数单调性满足“同增异减”的判断方法得，的单调递减区间为，故B正确； 对于C，真数关于对称，故C正确； 对于D，若的定义域为全体实数，则在R上恒成立，即，则，故D错误． 故：BC． 12． 【分析】本题即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求． 【详解】函数的零点，即方程的所有根， 令，根据函数，方程的解是， 则方程的根，即为方程的根， 当时，，由，， 当时，，由，， 综上，函数所有零点构成的集合是. 故答案为：. 13． 【分析】利用函数是偶函数，可得对恒成立，计算求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以对恒成立， 即对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以，解得. 故答案为：. 14． 【分析】先利用换元法求出函数的值域，再结合取整函数得到的值域. 【详解】因为， 令，则的值域等价于的值域， 配方得， 所以. 又，所以， 所以，即， 因为，即， 所以取遍该区间的所有值时，的整数取值为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 15．(1)3 (2)2 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可； （2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可. 【详解】（1） =； （2） . 16．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质以及奇函数的定义即可求解. （2）设，则，代入利用函数的奇偶性求解即可. （3）讨论的取值，代入解析式，利用指数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以， ； （2）设，则，所以， 又由（1）知，所以. （3）①当即时，，解得； ②当即时，，成立； ③当即时，，解得； 综上实数的取值范围为. 17．(1)奇函数，证明：时，显然恒成立； 时，，则函数的定义域是R， ，即， 所以是奇函数. (2)增区间是，减区间是； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义计算判断即得. （2）判断函数的单调性，求出函数的单调区间，再结合复合函数单调性求解即得. （3）利用恒成立的不等式，分离参数利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】（1）略 （2）当时，函数是减函数，则函数是减函数，而是减函数， 因此在上单调递减，又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递减，由于是奇函数，则在上单调递减， 所以函数是R上的减函数，又，令，显然函数在R上单调递增， 而函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在单调递增， 所以的增区间是，减区间是. （3），， 令，当时，，于是在上恒成立， 显然，当且仅当即时取等号，因此， 所以的取值范围. 18．(1)   函数的单调递增区间为 (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间； （2）利用函数是偶函数，求函数的解析式； （3）利用数形结合，转化为与有4个交点，求的取值. 【详解】（1）    单调递增区间为. （2）设，则 ，所以， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以当 时，.    故的解析式为 （3）因为有个不相等的实数根， 等价于与的图象有个交点， 结合（1）中的图象可知， 当时，与的图象有个交点， 所以. 19．(1)①②具有有界性，③没有有界性 (2) 【分析】（1）（2）根据二次函数、指数函数、三角函数和对数型复合函数的性质即可解决. 【详解】（1）对于①，当时，取得最大值1，所以，故有上界1； 对于②，所以有下界0； 对于③，所以没有上界也没有下界，故不具有有界性， 故①②具有有界性，③不具有有界性. （2）函数是由和复合而成， 在上单调递减， 而在上单调递增，所以在上单调递减， 故当时，有最大值， 所以，若为函数的上界，则. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $