2.2.2 有理数的除法 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的除法核心知识点，从倒数定义及求法（符号不变、分子分母交换，带分数化假分数、小数化分数）切入，衔接除法法则（除以一个数等于乘其倒数，同号得正异号得负），再到乘除混合运算统一为乘法，最终延伸至加减乘除混合运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号），构建从基础概念到综合运算的学习支架。 资料特色鲜明，知识梳理标注重点易错点，典例精析分题型突破（如倒数应用、数轴与运算结合），分层训练覆盖基础到压轴挑战。通过运算训练提升运算能力，结合数轴情境培养推理意识，实际问题（如机器人行走）发展应用意识。课中助力教师分层教学，课后学生可针对性练习查漏补缺。

初中数学（RJ）七年级上册 2.2.2 有理数的除法 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解倒数概念，掌握有理数除法法则，能进行有理数除法运算；会将乘除混合运算统一为乘法运算。 二、知识梳理 知识点 1 　有理数的倒数 1.倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数（或分子分母刚好相反的两个数互为倒数）。 2.求倒数：符号不变，交换其分子分母即可求得一个数的倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，倒数等于它本身的数有±1。 求带分数的倒数时，先把带分数化成假分数，求小数的倒数时，把小数化成分数。 ★ 重点　乘积为 1 的两个数互为倒数；求倒数即把分子分母颠倒（0 没有倒数）。 ⚠ 易错　带分数先化成假分数再求倒数；小数先化分数；"−2 的倒数是 −1/2"而非 1/2，符号不能丢。 ◆ 方法　倒数与原数同号；±1 的倒数是自身。 知识点 2 　有理数的除法 除法运算法则：①除以一个数，等于乘以这个数的倒数。②两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 ★ 重点　除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b＝a×(1/b) (b≠0)。0 不能作除数。 ⚠ 易错　把除法化乘法时，只把"除数"取倒数，被除数不变；"0 作除数无意义"——遇到除数可能为 0 要先排除。 知识点 3 　有理数的乘除混合运算 有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。 ★ 重点　统一转化为乘法（连除变连乘倒数），再按多个有理数相乘处理符号与绝对值。 ⚠ 易错　混合运算中"除号变乘号"后必须取后面整个数的倒数，不能只取数字不取符号，也不能漏掉括号。 知识点 4 　有理数的加减乘除混合运算 先乘除，后加减，有括号的要先算括号。先算小括号，再算中括号，最后算大括号。同级运算中，按照从左至右的顺序计算。能使用简便运算的使用简便运算。 ★ 重点　运算顺序：先算乘除、后算加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右依次进行。 ⚠ 易错　优先级错误是失分重点：没先算乘除就先算加减，或从左到右顺序搞反。 三、即学即练 1.　求下列各数的倒数： （1）−； （2）1.2； （3）1； （4）﹣0.08． 2.　已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3． 根据已知条件请回答： （1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ，=　 ． （2）求：+ab+−的值． 3.　计算： （1）0.9÷3； （2）（−）÷5； （3）﹣18÷（−1）； （4）2÷（﹣8）； （5）2÷（−2）； （6）2÷÷（−4）． 4.　化简下列分数： （1）−； （2）−； （3）； （4）； （5）； （6）． 5.　计算： （1）（﹣8）÷×（﹣7）； （2）−×（−2）÷4； （3）（﹣1）÷（﹣5）×（−）； （4）（−）÷÷（−）； （5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]； （6）﹣5×（−）+13×（−）﹣3×（−）． 6.　计算： （1）[（−）÷]×（−）； （2）﹣0.25÷（−）×（−1）； （3）﹣25×（−）+13×（−）﹣3×（−）； （4）[4×（−）+（﹣0.4）÷（−）]×1． 四、典例精析（分题型突破） 题型 1 　有理数的倒数及其性质的应用　 例1　的倒数是（　　） A．﹣6　　B．6　　C．−　　D． ⚠ 易错　除法化乘法时只把"除数"取倒数、被除数不变；0 不能作除数，遇到除数含字母要先排除为 0 的情形。 【答案】B解：∵6×=1，∴的倒数为：6． 变式1　|﹣3|的倒数是（　　） A．3　　B．　　C．﹣3　　D．− ⚠ 易错　除法化乘法时只把"除数"取倒数、被除数不变；0 不能作除数，遇到除数含字母要先排除为 0 的情形。 变式2　如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣3的“负倒数”等于 ． 【答案】解：根据题意，得﹣3的负倒数等于． 变式3　已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 【答案】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，∴2（a+b）+cd＝0+1＝1， 变式4　已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【答案】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时，∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m＝﹣3﹣（﹣5）＝2， 当m＝3时，2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m＝﹣3﹣3＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 题型 2 　有理数的除法及其混合运算　 例2　计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②(−)÷(−)； ③(+5) ÷(−3)； ④(+1.25)÷(−0.5)÷(−)； ⑤﹣18÷（+3.25）÷(−2)． 【答案】解：①原式＝16.8÷3，＝16.8×，＝5.6； ②原式=÷，=×，=； ③原式=−÷，=−×，=−； ④原式＝1.25÷0.5÷，=×2×，＝4； ⑤原式＝18÷3.25÷2，＝18××，=． 变式1　计算： （1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（−）×(−3)÷(1)÷3 （3）5−3÷2×−|−2|÷(−) （4）（﹣24）÷(−)． 【答案】解：（1）原式＝﹣8+3＝﹣5； （2）原式＝（−）×（−）××=； （3）原式＝5﹣3××−2×（﹣2）＝8； （4）原式＝﹣24÷＝﹣144． 变式2　计算： （1）0÷（−3）； （2）−×(−3)÷(−1)÷3； （3）(−81)÷×÷(−16)； （4）(2−3+1)÷(−1)． 【答案】解：（1）原式＝0； （2）原式＝﹣（×××），=−； （3）原式＝81×××＝1； （4）原式＝（−+）×（−）=×（−）−×（−）+×（−）＝﹣2+3−=． 变式3　计算： （1）375÷（−）÷（−）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（−）+（−）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 【答案】解：（1）原式＝375×（−）×（−）=； （2）原式＝﹣12﹣4＝﹣16； （3）原式＝﹣28+3＝﹣25； （4）原式＝﹣1155÷165＝﹣7． 题型 3 　繁分数的化简　 例3　下列化简：①=−3；②=7；③=1；④=−；⑤=．其中正确的有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】C解：①=−3，正确；②=7，正确；③=1，错误，正确答案为36；④=−，正确； ⑤=，错误，正确答案为−．其中正确的有3个． 变式1　化简下列分数： （1）． （2）． （3）． 【答案】解：（1）=．（2）=−20．（3）=0． 变式2　化简下列分数： （1）； （2）； （3）． 【答案】解：（1）=9；（2）==−；（3）==−． 题型 4 　数轴与有理数的混合运算　 例4　已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a（a+b）＜0　　B．a﹣b＜0　　C．＞0　　D．|a|＞|b| 【答案】C解：由数轴得b＜a＜0，A、∵b＜a＜0，∴a+b＜0，∴a（a+b）＞0，故A选项错误； B、∵b＜a＜0，∴a﹣b＞0，故B选项错误； C、∵b＜a＜0，∴＞0，故C选项正确； D、∵b＜a＜0，∴|a|＜|b|，故D选项错误． 变式1　若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0　　B．a﹣b＜0　　C．ab＞0　　D．a÷b＞0 【答案】A解：由a、b在数轴上的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， ∴a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，a÷b＜0． 变式2　如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（　　） A．a+c＞0　　B．abc＜0　　C．a﹣b＞0　　D．＜0 【答案】D解：由数轴得，﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1， ∴a+c＜0，abc＞0，a﹣b＜0，＜0 变式3　有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④＞0，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（　　） A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 解：根据数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|，∴b﹣a＞0，a+b＞0，＜0， ∴|b+a|＝b+a，|b|﹣|a|＝b﹣（﹣a）＝b+a，∴|b+a|＝|b|﹣|a|， ∴①正确，符合题意；②正确，符合题意；③正确，符合题意；④错误，不符合题意；⑤正确，符合题意． 变式4　已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①＜0，②ab＞0，③a﹣b＞0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b，⑥a＜|b| A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C解：由题意可知b＜0＜a，且|b|＞|a|，∴＜0，故①正确；ab＜0，故②错误；a﹣b＞0，故③正确；a+b＜0，故④错误；﹣a＜﹣b，故⑤正确；a＜|b|，故⑥正确． ∴正确的有①③⑤⑥共4个． 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　−的倒数的相反数是（　　） A．−　　B．−　　C．　　D． 2.　将式子（﹣1）×（﹣1）÷中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A．（﹣1）×（−）× B．（﹣1）×（−）× C．（﹣1）×（−）× D．（﹣1）×（−）× 3.　已知ab＝1，若a＝5，则b的值为（　　） A．5　　B．﹣5　　C．　　D．− 4.　若a+b＜0，＞0，则有（　　） A．a＞0，b＞0 B．a、b异号，且正数的绝对值较大 C．a＜0，b＜0 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 B 档 　巩固提升　 1.　在﹣2，﹣3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是（　　） A．−　　B．﹣2　　C．−　　D．﹣4 2.　已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b． A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 3.　若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则=（　　） A．　　B．−　　C．或−　　D．或− 4.　对于有理数x，y，若＜0，则的值是（　　） A．﹣3　　B．﹣1　　C．1　　D．3 C 档 　提高拓展　 1.　如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（　　） A．30秒　　B．60秒　　C．90秒　　D．120秒． 2.　取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　） A．3个　　B．4个　　C．5个　　D．6个 3.　×÷×= ． 4.　某同学在计算（﹣6）÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣3，则（﹣6）÷a的正确结果是 ． 5.　已知x，y是有理数，且满足|x﹣1|+|y+2|＝0，则= ． 6.　已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则的值为 ． D 档 　压轴挑战　 1.　下列说法：①若a+b＝0，则=−1；②若a+b＜0，且＞0，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则=−1．其中正确的有 ．（填序号） 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 2.2.2 有理数的除法 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解倒数概念，掌握有理数除法法则，能进行有理数除法运算；会将乘除混合运算统一为乘法运算。 二、知识梳理 知识点 1 　有理数的倒数 1.倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数（或分子分母刚好相反的两个数互为倒数）。 2.求倒数：符号不变，交换其分子分母即可求得一个数的倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，倒数等于它本身的数有±1。 求带分数的倒数时，先把带分数化成假分数，求小数的倒数时，把小数化成分数。 ★ 重点　乘积为 1 的两个数互为倒数；求倒数即把分子分母颠倒（0 没有倒数）。 ⚠ 易错　带分数先化成假分数再求倒数；小数先化分数；"−2 的倒数是 −1/2"而非 1/2，符号不能丢。 ◆ 方法　倒数与原数同号；±1 的倒数是自身。 知识点 2 　有理数的除法 除法运算法则：①除以一个数，等于乘以这个数的倒数。②两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 ★ 重点　除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b＝a×(1/b) (b≠0)。0 不能作除数。 ⚠ 易错　把除法化乘法时，只把"除数"取倒数，被除数不变；"0 作除数无意义"——遇到除数可能为 0 要先排除。 知识点 3 　有理数的乘除混合运算 有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。 ★ 重点　统一转化为乘法（连除变连乘倒数），再按多个有理数相乘处理符号与绝对值。 ⚠ 易错　混合运算中"除号变乘号"后必须取后面整个数的倒数，不能只取数字不取符号，也不能漏掉括号。 知识点 4 　有理数的加减乘除混合运算 先乘除，后加减，有括号的要先算括号。先算小括号，再算中括号，最后算大括号。同级运算中，按照从左至右的顺序计算。能使用简便运算的使用简便运算。 ★ 重点　运算顺序：先算乘除、后算加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右依次进行。 ⚠ 易错　优先级错误是失分重点：没先算乘除就先算加减，或从左到右顺序搞反。 三、即学即练 1.　求下列各数的倒数： （1）−； （2）1.2； （3）1； （4）﹣0.08． 【答案】解：（1）−的倒数为−．（2）1.2=，所以1.2的倒数为． （3）1=，所以1的倒数为．（4）−0.08=−，所以﹣0.08的倒数为−． 2.　已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3． 根据已知条件请回答： （1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ，=　 ． （2）求：+ab+−的值． 【答案】解：（1）∵a，b互为倒数，∴ab＝1，∵c，d互为相反数，∴c+d＝0，=−1， ∵|m|＝3，∴m＝±3， （2）当m＝3时，原式=+1+0﹣（﹣1）＝3，当m＝﹣3时，原式=+1+0﹣（﹣1）＝1． 3.　计算： （1）0.9÷3； （2）（−）÷5； （3）﹣18÷（−1）； （4）2÷（﹣8）； （5）2÷（−2）； （6）2÷÷（−4）． 【答案】解：（1）原式=×=； （2）原式＝（−）×=−； （3）原式＝18×＝10； （4）原式=×（−）=−； （5）原式＝﹣1； （6）原式＝2××（−）＝﹣1． 4.　化简下列分数： （1）−； （2）−； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】解：（1）−=−3．（2）−=−．（3）=．（4）=−21．（5）=−．（6）=20． 5.　计算： （1）（﹣8）÷×（﹣7）； （2）−×（−2）÷4； （3）（﹣1）÷（﹣5）×（−）； （4）（−）÷÷（−）； （5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]； （6）﹣5×（−）+13×（−）﹣3×（−）． 【答案】解：1）原式＝8××7＝84； （2）原式=××=； （3）原式＝﹣1××=−； （4）原式=−×4×（−）=×4×=； （5）原式＝（﹣1155）÷165＝﹣7； （6）原式＝（﹣5+13﹣3）×（−）＝5×（−）＝﹣11． 6.　计算： （1）[（−）÷]×（−）； （2）﹣0.25÷（−）×（−1）； （3）﹣25×（−）+13×（−）﹣3×（−）； （4）[4×（−）+（﹣0.4）÷（−）]×1． 【答案】解：（1）原式＝（×30）×（−）＝5×（−）＝﹣1； （2）原式=−××=−； （3）原式＝（﹣25+13﹣3）×（−）＝﹣15×（−）＝7； （4）原式＝（−×+×）×＝（−+）×=−×+×＝﹣2+3＝1． 四、典例精析（分题型突破） 题型 1 　有理数的倒数及其性质的应用　 例1　的倒数是（　　） A．﹣6　　B．6　　C．−　　D． ⚠ 易错　除法化乘法时只把"除数"取倒数、被除数不变；0 不能作除数，遇到除数含字母要先排除为 0 的情形。 【答案】B解：∵6×=1，∴的倒数为：6． 变式1　|﹣3|的倒数是（　　） A．3　　B．　　C．﹣3　　D．− ⚠ 易错　除法化乘法时只把"除数"取倒数、被除数不变；0 不能作除数，遇到除数含字母要先排除为 0 的情形。 变式2　如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣3的“负倒数”等于 ． 【答案】解：根据题意，得﹣3的负倒数等于． 变式3　已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 【答案】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，∴2（a+b）+cd＝0+1＝1， 变式4　已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【答案】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时，∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m＝﹣3﹣（﹣5）＝2， 当m＝3时，2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m＝﹣3﹣3＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 题型 2 　有理数的除法及其混合运算　 例2　计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②(−)÷(−)； ③(+5) ÷(−3)； ④(+1.25)÷(−0.5)÷(−)； ⑤﹣18÷（+3.25）÷(−2)． 【答案】解：①原式＝16.8÷3，＝16.8×，＝5.6； ②原式=÷，=×，=； ③原式=−÷，=−×，=−； ④原式＝1.25÷0.5÷，=×2×，＝4； ⑤原式＝18÷3.25÷2，＝18××，=． 变式1　计算： （1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（−）×(−3)÷(1)÷3 （3）5−3÷2×−|−2|÷(−) （4）（﹣24）÷(−)． 【答案】解：（1）原式＝﹣8+3＝﹣5； （2）原式＝（−）×（−）××=； （3）原式＝5﹣3××−2×（﹣2）＝8； （4）原式＝﹣24÷＝﹣144． 变式2　计算： （1）0÷（−3）； （2）−×(−3)÷(−1)÷3； （3）(−81)÷×÷(−16)； （4）(2−3+1)÷(−1)． 【答案】解：（1）原式＝0； （2）原式＝﹣（×××），=−； （3）原式＝81×××＝1； （4）原式＝（−+）×（−）=×（−）−×（−）+×（−）＝﹣2+3−=． 变式3　计算： （1）375÷（−）÷（−）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（−）+（−）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 【答案】解：（1）原式＝375×（−）×（−）=； （2）原式＝﹣12﹣4＝﹣16； （3）原式＝﹣28+3＝﹣25； （4）原式＝﹣1155÷165＝﹣7． 题型 3 　繁分数的化简　 例3　下列化简：①=−3；②=7；③=1；④=−；⑤=．其中正确的有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】C解：①=−3，正确；②=7，正确；③=1，错误，正确答案为36；④=−，正确； ⑤=，错误，正确答案为−．其中正确的有3个． 变式1　化简下列分数： （1）． （2）． （3）． 【答案】解：（1）=．（2）=−20．（3）=0． 变式2　化简下列分数： （1）； （2）； （3）． 【答案】解：（1）=9；（2）==−；（3）==−． 题型 4 　数轴与有理数的混合运算　 例4　已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a（a+b）＜0　　B．a﹣b＜0　　C．＞0　　D．|a|＞|b| 【答案】C解：由数轴得b＜a＜0，A、∵b＜a＜0，∴a+b＜0，∴a（a+b）＞0，故A选项错误； B、∵b＜a＜0，∴a﹣b＞0，故B选项错误； C、∵b＜a＜0，∴＞0，故C选项正确； D、∵b＜a＜0，∴|a|＜|b|，故D选项错误． 变式1　若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0　　B．a﹣b＜0　　C．ab＞0　　D．a÷b＞0 【答案】A解：由a、b在数轴上的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， ∴a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，a÷b＜0． 变式2　如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（　　） A．a+c＞0　　B．abc＜0　　C．a﹣b＞0　　D．＜0 【答案】D解：由数轴得，﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1， ∴a+c＜0，abc＞0，a﹣b＜0，＜0 变式3　有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④＞0，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（　　） A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 解：根据数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|，∴b﹣a＞0，a+b＞0，＜0， ∴|b+a|＝b+a，|b|﹣|a|＝b﹣（﹣a）＝b+a，∴|b+a|＝|b|﹣|a|， ∴①正确，符合题意；②正确，符合题意；③正确，符合题意；④错误，不符合题意；⑤正确，符合题意． 变式4　已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①＜0，②ab＞0，③a﹣b＞0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b，⑥a＜|b| A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C解：由题意可知b＜0＜a，且|b|＞|a|，∴＜0，故①正确；ab＜0，故②错误；a﹣b＞0，故③正确；a+b＜0，故④错误；﹣a＜﹣b，故⑤正确；a＜|b|，故⑥正确． ∴正确的有①③⑤⑥共4个． 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　−的倒数的相反数是（　　） A．−　　B．−　　C．　　D． 【答案】D．解：−的倒数是−，−的相反数是，则−的倒数的相反数是． 2.　将式子（﹣1）×（﹣1）÷中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A．（﹣1）×（−）× B．（﹣1）×（−）× C．（﹣1）×（−）× D．（﹣1）×（−）× 【答案】B解：∵除以一个数等于乘以一个数的倒数，∴（﹣1）×（﹣1）÷=（﹣1）×（−）×， 3.　已知ab＝1，若a＝5，则b的值为（　　） A．5　　B．﹣5　　C．　　D．− 【答案】C解：已知ab＝1，若a＝5，则b=， 4.　若a+b＜0，＞0，则有（　　） A．a＞0，b＞0 B．a、b异号，且正数的绝对值较大 C．a＜0，b＜0 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 【答案】C解：∵＞0，∴a、b同号，又∵a+b＜0，∴a、b同时为负数，即a＜0，b＜0 B 档 　巩固提升　 1.　在﹣2，﹣3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是（　　） A．−　　B．﹣2　　C．−　　D．﹣4 【答案】B解：由有理数除法运算法则可知，异号相除得负，所以要使所得的商最小必为一正一负相除， 若选﹣2和4，则﹣2÷4＝﹣0.5，4÷（﹣2）＝﹣2；若选﹣3和4，则﹣3÷4＝﹣0.75，4÷(−3)=−； 因为−2＜−＜−0.75＜−0.5，所以所得的商最小是﹣2 2.　已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b． A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C①∵由数轴可知a＞0，b＜0，∴①对．②由数轴可知a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴②错． ③a＞0，﹣b＞0，∴a﹣b＞0．∴③错． ④由数轴可知a＞0，b＜0，∵a的绝对值小于b的绝对值，∴a+b＜0，∴④错． ⑤）∵﹣a＜0，﹣b＞0，∴﹣a＜﹣b．∴⑤对． ⑥∵a＞0，|b|＞0，∴a＜|b|，∴⑥对．⑦∵a＞0，﹣a＜0，﹣b＞0，b＜0，∴b＜﹣a＜a＜﹣b，∴⑦对． 3.　若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则=（　　） A．　　B．−　　C．或−　　D．或− 【答案】C解：∵|m|＝2，|n|＝3，∴m＝±2，n＝±3，∵|m+n|＝m+n，∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3， 当m＝2，n＝3时，=；当m＝﹣2，n＝3时，==−， 4.　对于有理数x，y，若＜0，则的值是（　　） A．﹣3　　B．﹣1　　C．1　　D．3 【答案】B解：∵＜0，∴x，y异号．∴xy＜0，∴==−1， 当x＞0时，y＜0，则==−1，==1，∴原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1． 当x＜0时，y＞0，则==1，==−1．∴原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1． C 档 　提高拓展　 1.　如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（　　） A．30秒　　B．60秒　　C．90秒　　D．120秒． 【答案】B解：1.5﹣1＝0.5（米/秒），2×15＝30（米），30÷0.5＝60（秒） ∴经过60秒，淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处 2.　取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　） A．3个　　B．4个　　C．5个　　D．6个 【答案】B解：根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3． 3.　×÷×= ． 【答案】解：×÷×=×××=， 4.　某同学在计算（﹣6）÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣3，则（﹣6）÷a的正确结果是 ． 【答案】解：根据题意得（﹣6）+a＝﹣3，解得a＝3，所以（﹣6）÷a＝（﹣6）÷3＝﹣2， 5.　已知x，y是有理数，且满足|x﹣1|+|y+2|＝0，则= ． 【答案】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴==−． 6.　已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则的值为 ． 【答案】解：∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4， ∵a＞b，∴当a＝3时，b＝﹣4，原式==−7， 当a＝﹣3时，b＝﹣4，原式==− D 档 　压轴挑战　 1.　下列说法：①若a+b＝0，则=−1；②若a+b＜0，且＞0，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则=−1．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】解：当a＝b＝0时，无意义，故①错误，不符合题意； ∵＞0，∴ab同号，∵a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴a+3b＜0，∴|a+3b|＝﹣a﹣3b，故②正确，符合题意； 若|a|＞|b|，则有四种情况， （1）如数轴所示， 此时a＞b＞0，∴a+b＞0，a﹣b＞0，∴（a+b）（a﹣b）＞0； （2）如数轴所示， 此时﹣a＜b＜0＜a，∴a+b＞0，a﹣b＞0，∴（a+b）（a﹣b）＞0； （3）如数轴所示， 此时a＜b＜0，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴（a+b）（a﹣b）＞0； （4）如数轴所示， 此时a＜0＜b＜﹣a，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴（a+b）（a﹣b）＞0； 综上，若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0； 故③正确，符合题意； ∵a+b+c＜0，∴a、b、c中至少有一个负数，∵ab＞0，∴ab同号， ∵c＞0，∴a和b均为负数，∴=−1+（﹣1）+1＝﹣1， 故④正确，符合题意；综上，正确的有②③④； 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $