27.3 实际问题与反比例函数（1）课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，核心知识点为从几何、工程问题中识别反比例关系并建模。课堂导入通过“温故知新”环节，系统回顾反比例函数的绘制方法、图象、性质及面积相关内容，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生顺畅衔接。 其亮点在于以圆柱形储存室、卸货等实际问题为载体，引导学生抽象数量关系建立函数模型，培养抽象能力与模型意识。新知小结提炼七步解题流程，分层练习覆盖不同情境，助力学生用数学思维分析“至少”“至多”等问题，提升应用意识，也为教师提供清晰的教学路径与丰富实例。

第27章 反比例函数 27.3实际问题与反比例函数（1） 学习目标： 1.能识别几何面积、工程等问题中的反比例关系，列出反比例函数解析式。 2.会结合实际意义确定自变量取值范围，利用反比例函数解决简单实际问题。 3.体会函数建模思想，感受反比例函数在实际场景中的应用价值。 教学重点：从几何、工程实际问题中建立反比例函数模型。 教学难点：结合实际情境确定自变量的取值范围。 反比例函数 函数图象 函数的性质 列表、描点、连线 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 增减性 关于直线y=x 和 y=-x 对称 关于原点中心对称 对称性 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 S矩形AOBQ =|k| S△QAO = S△QBO = . 温故知新 例 1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 例题分析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司 临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)? (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)? ≈ 666.67 (m²). 答：当储存室的深度为 15 m 时，底面积应改为约 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 例题分析 类比旧知：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 例题分析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 答：施工时应向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 例 2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 解(1)设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 例题分析 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，若全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t = 5 代入 ，得 方法小结：在函数相关的实际问题中，若要求“至多”、“至少”，可以利用函数的增减性来解决 . 例题分析 例3.在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数解析式； 50 24 x(m) y(天) O 解（1） (x＞0). (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 例题分析 (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50 = 1200 (m)， 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15) = 40 (天). 50 24 x(m) y(天) O (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月 内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成 多少米？ 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． 例题分析 用反比例函数解决实际问题的一般步骤 新知小结 特别提醒：应用反比例函数解决实际问题时，自变量的取值范围一般有两个方面的限制：一是解析式本身的限制，二是实际问题的具体要求. 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象可表示为 ( ) B A. B. C. D. x y x y x y x y 分层练习 分层练习 2. 面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为( ) C A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. 3. 体积为 20 cm3 的滴胶做成圆柱体模型，圆柱的高度 y (单位：cm) 与底面积S (单位：cm2)的函数关系为 ，若要使做出来的圆柱体粗 1 cm2，则圆柱的高度是 cm. 20 4.A、B 两市相距 720 千米，一列火车从 A 市去 B 市. (1) 火车的速度 v (km/h) 和行驶的时间 t (h)之间的函数关系是__________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于____________． 240 km/h 分层练习 5. 某户现在有若干度电，现在知道：按每天用6度电计算，五个月(按150天计算) 刚好用完. 若每天的耗电量为 x 度，则这些电能维持 y 天. (1) y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：电的总量为 6×150 = 900 (度)， 根据题意有 (x＞0). (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 300 900 1 x y O 3 分层练习 (3) 若每天节约 1 度，则这些电能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 1 度电， ∴ 每天的用电量为 6－1=5 (度)， ∴ 这些电能维持 180 天． 6. 小强家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： (2) 若小强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. 分层练习 (3) 如果小强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式，得 解得 t = 12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 7.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480 km，设小汽车的行驶时间为t(单位：h)，行驶速度为v(单位：km/ h)，且全程速度限定为不超过120 km/ h. (1)求v关于t的函数解析式. 分层练习 (2)方方上午8 点驾驶小汽车从A地出发. 需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的取值范围. ②方方能否在当天11 点30 分前到达B地?请说明理由. (1)求v关于t的函数解析式. (2)方方上午8 点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的取值范围. 分层练习 ②方方能否在当天11 点30 分前到达B地?请说明理由. 分层练习 实际问题中的反比例函数 一般过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意点： 1.实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 2.作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 课堂小结 $