25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式和判别式搭建前导知识支架，引导学生从求根公式推导入手，逐步探究两根和与积的规律，形成完整的知识脉络。 其亮点在于采用双路径推导（求根公式运算与因式分解展开对比）培养推理意识，融入韦达定理历史背景渗透数学文化，结合分层应用实例（如代数式变形、参数问题）发展模型意识。探究式教学与清晰总结助力学生提升逻辑思维，为教师提供系统教学资源。

第二十五章 一元二次方程 数学人教版九年级上册 01 熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系. 02 灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题. 03 经历探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力. 04 感受数学知识内在关联统一之美，养成严谨验算、主动推导不盲从结论的习惯，激发代数探究学习兴趣. 一元二次方程的求根公式是什么? 如何判定一元二次方程的根的情况? b2-4ac＞0↔方程有两个不等的实数根 b2-4ac=0↔方程有两个相等的实数根 b2-4ac＜0↔方程没有实根 1 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 m+n m-n 可以发现 从整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 观察这两个式子，它们有什么特点?可以相加减或者乘除吗? 2 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 可以发现这两个式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式更简便. 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数. 两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 这种表示方式中，交换x1，x2的位置，不影响它们的和、积的值，随着后续的学习，研究一元n次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 解方程2x2-3x+1=0，验证上述关系? 3 还有其他方法得出上述根与系数的关系吗？ 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x1)(x-x2)，那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2.反过来，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，你能看出x1，x2与a，b，c之间的关系吗? 4 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 推导过程 把方程ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)的右边展开，化成一般形式，得， ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 即 ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2 由此可得 -a(x1+x2)=b，ax1x2=c 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 韦达生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码. 韦达 (1540-1603) 韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，推动了符号代数的发展. 小结：韦达通过引入字母和系统研究方程根与系数的关系，为代数学 的发展奠定了重要基础. 例题1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2-6x-15=0； (2)3x2+7x-9=0； (3) 5x-1=4x2. (1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15. 注意公式自身的符号及系数的符号. 用根与系数的关系前，一定要化成一般式. 例题2 例题2 例题2 巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值 (1)计算：计算出x1+x2，x1x2的值； (2)变形：将所求的代数式变形为用x1+x2和x1x2表示的式子； (3)代入：代入所求的代数式计算． 例题3 例题3 不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (1) x2-3x=15； (2) 3x2+2=1-4x； (3) 5x2-1=4x2-x； (4) 2x2-x+2=3x+1. 双向推导韦达定理，探究适用条件与解题易错点 先用求根公式完整推导根与系数关系式；再借助ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)展开对比系数，完成第二种推导. 写明韦达定理成立前提，举Δ<0的方程说明无根时定理无法使用. 选取两道非标准一元二次方程，用韦达定理求两根和、积，再解方程验算，总结两条易错注意事项. 推导步骤完整清晰，对比两种推导思路的特点，撰写简短探究感悟. 独立完成演算，书写规范，整体思考过程详实. 任务 要求 1 2 1 2 3 $