精品解析：江西景德镇市珠山区2025-2026学年第一学期期末九年级数学试题卷

九年级数学试题卷 说明：本卷共有六道大题，23道小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯结构是中华民族独特的工艺创造，我们的祖先早在河姆渡新石器时代就已经开始使用榫卯了．如图是燕尾形榫卯的示意图，其中榫的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某组名同学的裸眼视力分别为：，，，，，．新学期这组加入了一名裸眼视力为的同学，新同学加入后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 4. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两种植物在下，净光合速率随浓度的变化趋势如图所示，则下列说法中，错误的是（ ） A. 当浓度为时，甲的净光合速率比乙的净光合速率大 B. 当浓度为时，甲、乙的净光合速率相同 C. 在浓度未达到时，浓度对甲的净光合速率影响比对乙的净光合速率影响大 D. 随着浓度增加，甲、乙两种植物的净光合速率先增加后逐渐趋于稳定 6. 如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则________． 8. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 9. 如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 11. 如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 12. 在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 14. 小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，． 求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 15. 甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队． （1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率． 16. 如图，在的正方形网格中，三点均为格点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中作出直线，使三点到直线的距离相等； （2）在图中作出点，使点到点的距离相等． 17. 已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． （1）请写出该几何体的名称：________； （2）根据图中数据，求该几何体的体积． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某校积极贯彻国家推进人工智能教育的政策，计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生共有多少人？ （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线阅读”部分所对应的扇形圆心角度数； （4）该校共有学生人，请你估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生有多少人． 19. 已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 20. 在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． （1）根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； （2）在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； （4）函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． （1）求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； （2）求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； （3）已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 22. 掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 （1）在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； （2）求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； （3）根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 六．解答题（本大题1小题，共12分） 23. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕．把正方形纸片展平，得图，折痕，与的交点分别为，． （1）根据以上操作，得的大小为________． 【探究证明】 （2）如图，连接，试判断的形状并证明； （3）如图，连接，过点作的垂线，分别交，，于点，，．求证：． 【深入研究】 （4）若，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题卷 说明：本卷共有六道大题，23道小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将较短线段的长度看作1份，则较长线段的长度为4份，两条线段的比为． 2. 榫卯结构是中华民族独特的工艺创造，我们的祖先早在河姆渡新石器时代就已经开始使用榫卯了．如图是燕尾形榫卯的示意图，其中榫的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】左视图是从物体左面观察得到的平面图形，根据几何体的形状及棱的可见性进行判断． 【详解】解：从左边观察该几何体，可以看到上下两个矩形，且上下两部分的前后宽度一致，中间的分界线可见，应画为实线， 所以左视图为上下两个相邻的矩形． 3. 某组名同学的裸眼视力分别为：，，，，，．新学期这组加入了一名裸眼视力为的同学，新同学加入后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出加入新数据前后的平均数、中位数和众数，进行比较即可得出答案． 【详解】解：将原6个数据从小到大排序：，，，，，， 原平均数为， 原中位数为， 原众数为； 加入视力为的同学后，共7个数据，从小到大排序：，，，，，，， 新平均数为，与原平均数不同， 新中位数为第4个数，与原中位数相同， 新众数为，与原众数相同， 综上，集中趋势相同的是中位数和众数． 4. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 甲、乙两种植物在下，净光合速率随浓度的变化趋势如图所示，则下列说法中，错误的是（ ） A. 当浓度为时，甲的净光合速率比乙的净光合速率大 B. 当浓度为时，甲、乙的净光合速率相同 C. 在浓度未达到时，浓度对甲的净光合速率影响比对乙的净光合速率影响大 D. 随着浓度增加，甲、乙两种植物的净光合速率先增加后逐渐趋于稳定 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象给出的信息逐项判断． 【详解】解：A：由图可知，当浓度为时，乙的净光合速率比甲的净光合速率大，故该选项符合题意； B：当浓度为时，两条曲线相交，即甲、乙的净光合速率相同，故该选项不合题意； C：在浓度未达到时，甲种植物对应的曲线上升更快，即浓度对甲的净光合速率影响比对乙的净光合速率影响大，故该选项不合题意； D：由图可知，随着浓度增加，两条曲线均先上升后持平，即甲、乙两种植物的净光合速率先增加后逐渐趋于稳定，故该选项不合题意． 6. 如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，，  ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小，  ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 8. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 9. 如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 过点作，垂足为，延长交 于点，证明 ， 从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答. 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得： ∴， ， ，即， 解得： ∴小孔到 的距离为， 故答案为：. 11. 如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】 9 【解析】 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 12. 在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】连接，可证是等边三角形得，分点在菱形四条边上讨论，结合勾股定理和特殊角的性质计算得到符合条件的长度． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，，， 点，分别是，的中点， ， 是等边三角形， ，， 当点运动到点处时，如图①， ，， ，符合题意， ， ， ； 当点运动到边的中点时，如图②， 是的中点， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， 此时； 当点运动到边的中点时，如图③， 是的中点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， ， ； 当点运动到点处时，如图④， ，， ，符合题意， 此时； 综上，的长为或或． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） ，. 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 解得 ，． 14. 小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，． 求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 【答案】赞同小辰，补充条件：， 证明：四边形为矩形， ，，，， 在和中， ， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】先补充条件，借助矩形性质证明，得到一组对边平行且相等，先判定四边形是平行四边形，再用邻边相等证出菱形． 【详解】略 15. 甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队． （1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率． 【答案】（1） （2） 用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下： 【解析】 【分析】本题考查利用树状图法求概率，通过画树状图法求得所有的情况数和满足条件的情况数是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图求得所有情况数，再从中选出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队有多少种情况，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：甲被分配到环保志愿服务队的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下： 共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的结果有4种， 则甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率是． 16. 如图，在的正方形网格中，三点均为格点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中作出直线，使三点到直线的距离相等； （2）在图中作出点，使点到点的距离相等． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所求； （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（）取格点，连接，过与格线的交点画直线，由网格可得，，所以四边形是平行四边形，又由平行线等分线段定理可知点分别是的中点，进而可得，且平行线间的间距相等，即三点到直线的距离相等，故直线即为所求； （）取格点,连接,可得四边形和四边形为正方形,由正方形的性质可得垂直平分线，又由平行线等分线段定理可知与格线的交点分别是的中点，连接直线，与相交于点，可得直线垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得点到点的距离相等，故点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，平行线等分线段定理，线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键． 17. 已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． （1）请写出该几何体的名称：________； （2）根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】（1）正三棱柱 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的知识 （1）由三视图判断几何体， （2）根据几何体的形状，求体积，即可． 【小问1详解】 解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某校积极贯彻国家推进人工智能教育的政策，计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生共有多少人？ （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线阅读”部分所对应的扇形圆心角度数； （4）该校共有学生人，请你估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生有多少人． 【答案】（1）90人 （2） （3） （4）360人 【解析】 【分析】（1）因为扇形统计图中“在线答题”的占比和条形统计图中“在线答题”的人数已知，所以用“在线答题”的人数除以其对应占比，即可得到参与调查的学生总人数． （2）因为总人数已知，且在线阅读、在线答题、在线讨论的人数可从条形图获取，所以用总人数减去这三类的人数，得到在线听课的人数，即可补全条形统计图． （3）因为“在线阅读”的人数和总人数已知，所以乘以“在线阅读”人数占总人数的比例，即可得到对应扇形圆心角的度数． （4）因为“在线讨论”的人数和总人数已知，所以以该校总人数2700乘以“在线讨论”人数占总人数的比例，即可估计出该校对“在线讨论”最感兴趣的学生人数． 【小问1详解】 解：从条形图可知选“在线答题”的有18人，扇形图显示该部分占总人数的， 参与本次调查的学生共有  人． 【小问2详解】 解：总人数为90人，已知在线阅读24人、在线答题18人、在线讨论12人， 在线听课的人数为 人， 补全条形图略 【小问3详解】 解：扇形统计图中“在线阅读”部分所对应的扇形圆心角为 ． 【小问4详解】 解：估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生有  人． 19. 已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 【答案】（1）当时，是菱形；边长是 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，则有关于的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程求解，然后再求解方程的解，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：当是菱形时，． ，的长是关于的方程的两个实数根， ， 解得， 当时，是菱形． 当时，原方程为，即，解得， 菱形的边长是． 【小问2详解】 解：把代入原方程， 得，解得． 将代入原方程，得，解得，， ， 的周长是． 20. 在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． （1）根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； （2）在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； （4）函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2）函数图象如图： （3）①减小；②；③右，1 （4）或 【解析】 【分析】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； 【小问4详解】 的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． （1）求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； （2）求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； （3）已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设​关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去​得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【小问1详解】 解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． 【小问2详解】 解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． 【小问3详解】 解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由​， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 22. 掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 （1）在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； （2）求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； （3）根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【解析】 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； 【小问2详解】 由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 略 六．解答题（本大题1小题，共12分） 23. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕．把正方形纸片展平，得图，折痕，与的交点分别为，． （1）根据以上操作，得的大小为________． 【探究证明】 （2）如图，连接，试判断的形状并证明； （3）如图，连接，过点作的垂线，分别交，，于点，，．求证：． 【深入研究】 （4）若，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， 据（1）可知， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形． （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 根据题意可知， ， ， 据（2）可知， ， ，， ， ， ． （4） 【解析】 【小问1详解】 解：如图， 根据题意可知，，， 在图中，四边形为正方形， ， ，即， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，连接， 四边形为正方形， ， ， 据（1）可知，即， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $