精品解析：江西吉安市吉水县2025-2026学年 上学期九年级数学期末检测卷

吉水县2025-2026学年(上)九年级数学期末检测卷 注意事项： 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图所示几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 两条对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果，那么的值为__________． 8. 如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件_____________使四边形是矩形．（写一个即可） 9. 设、 是一元二次方程的两个根， 则____． 10. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是____． 11. 如图，在中，F为的中点，延长至E，使，连接交于点G，则_______． 12. 如图所示是一张矩形纸片，已知为边上的一点，，点在矩形的一边上．要使是等腰三角形，则的底边长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）如图所示，四边形是菱形，，与相交于点O，求菱形的面积． 14. 如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、，若．求证：四边形为矩形． 15. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 16. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 17. 在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 19. 吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 20. 如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． （1）求一次函数和反比例函数的解释式． （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 23. 在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为_______，直线与所成锐角的度数为_______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，当时，．求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉水县2025-2026学年(上)九年级数学期末检测卷 注意事项： 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图所示几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：如图所示，几何体的左视图是： 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图． 2. 方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】移项得x2=8，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：移项得， 两边开方的：， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 两条对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，根据正方形的判定、平行四边形的判定和矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键． 【详解】解：、两条对角线相等的菱形是正方形，该选项说法正确，符合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 5. 如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得且，进而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6. 函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像与性质，一次函数图像与性质．分别根据反比例函数及一次函数图像的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在二、四象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、二、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项正确，故本选项符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果，那么的值为__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，可通过设参数的方法代入求解，也可利用比例变形直接计算． 【详解】解：∵， ∴设，，则， ∴； 故答案为：． 8. 如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件_____________使四边形是矩形．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】解：添加条件， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 9. 设、 是一元二次方程的两个根， 则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得：，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴作垂线，与原点围成的三角形的面积是定值．连接，根据等底同高的三角形面积相等得到的面积为4，再结合三角形的面积是定值以及反比例函数图形性质，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 的面积为4， 的面积为4， 轴， ， 解得， 反比例函数图象在第二象限， ， ． 故答案为：． 11. 如图，在中，F为的中点，延长至E，使，连接交于点G，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型． 根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：设，， 在中，，， 点为的中点， ，则， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图所示是一张矩形纸片，已知为边上的一点，，点在矩形的一边上．要使是等腰三角形，则的底边长为_____． 【答案】或或5 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、分类思想，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质并分三种情况进行解答．分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③当时，底边；即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ①当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴底边； ②当时， ∵，， ∴， ∴底边； ③当时，底边； 综上所述：等腰三角形的对边长为或或； 故答案为：或或 【点睛】 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程：． （2）如图所示，四边形是菱形，，与相交于点O，求菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据菱形性质得出，平分，求出，即可求出面积． 【小问1详解】 解：， ∴， 则或， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， ， ， 所以菱形的面积为． 14. 如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、，若．求证：四边形为矩形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由，得，，由得(AAS)，得出，即证明四边形是平行四边形．由结合三角形外角性质，得出，从而得出，进而得，即证明平行四边形是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 又∵为的中点， ∴ ∴(AAS)， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 15. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【小问1详解】 解：线段即为所求， 【小问2详解】 解：点即为所求， 17. 在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 【答案】旗杆的高是． 【解析】 【分析】过点G作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点G作交于H， 则四边形是矩形， 所以，，， 由同一时刻物高与影长成比例可得： ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高是． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 【答案】（1）见解析 （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案． 【小问1详解】 证明： 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根. 【小问2详解】 解：设方程的另外一个根为，则 解得：， 故的值为，方程的另一个根为． 19. 吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元 【解析】 【分析】（1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 20. 如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． （1）求一次函数和反比例函数的解释式． （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先把代入可得反比例函数解析式，再把点代入反比例函数关系式求出坐标，然后将两个点的坐标代入直线关系式，求出一次函数的解析式； （2）求出C点的坐标，结合得出答案； （3）直接根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：把代入得到， 所以反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 把和代入得， 解得． 所以一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 所以C点坐标为， 则， ； 【小问3详解】 解：由图象得不等式的解集为或． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 【答案】（1）经过2秒或3秒后，的面积等于面积的；（2）经过秒或秒，与相似． 【解析】 【分析】（1）设经过秒后，的面积等于面积的，用表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，①设经过秒后，推，②设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）①设经过秒后， ， ， 解得， ②设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）方程是“倍根方程” （2）代数式的值为或 （3）m的值为13或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． 【小问2详解】 解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． 【小问3详解】 解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 23. 在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为_______，直线与所成锐角的度数为_______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，当时，．求的长度． 【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）先判断和是等边三角形，进而得出，，进而判断，即可得出答案； （2）先判断和是等腰直角三角形，进而得出，进而，判断即可求出答案； （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，由题意得：，进而得到，得出，再判断，得到，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 由旋转知， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 延长交于，于， 则为直线与所成锐角， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ，即， ∴， ，， ∵， ∴， ， 即直线CD与AP所成锐角度数为； （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ，， ∴， ， 同理可得： ， ，即， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $