第25章 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦九年级“一元二次方程的根与系数的关系”，通过衔接已学的降次解法，以分层练习（基础巩固、能力提升、新情境思维）为支架，帮助学生逐步掌握韦达定理的应用脉络。 其亮点是分层设计由易到难，基础题强化抽象能力（如直接求两根和积），提升题培养推理意识（如结合判别式求参数范围），新情境题发展应用意识（如分类讨论分式求值）。递进式教学让学生稳步提升，教师可精准分层教学。

数 学 一阶 基础巩固对点练 九上 第二十五章 一元二次方程 25.2　降次——解一元二次方程 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 二阶 能力提升强化练 三阶 新情境•新思维 知识点1　利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.已知x1，x2是方程x2－9x＋11＝0的两个实数根，则代数式x1x2的值是( ) A.9 B.－9 C.11 D.－11 C 2.方程x2＋x＝5x＋6的两个实数根的和与积分别是( ) A.－5，6　　 B.－4，6 C.4，－6　　 D.－1，6 C 3.如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝3，x2＝1，那么这个一元二次方程是( ) A.x2＋3x＋4＝0　　 B.x2＋4x－3＝0 C.x2＋3x－4＝0　　 D.x2－4x＋3＝0 D 4.(教材P17T7改编)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x(3x－1)－1＝0； 解：3x2－x－1＝0.x1＋x2＝，x1x2＝－ . (2)(2x＋5)(x＋1)＝x＋7. 解：2x2＋6x－2＝0.x1＋x2＝－3，x1x2＝－1. 知识点2　已知一根求另一根及待定字母的取值 5.若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是( ) A.－1　　 B.0　　 C.1　　 D.2 B 6.已知x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋bx＝－9的一个根，求常数b的值及该方程的另一个根. 解：设方程的另一个根为x2. ∵关于x的一元二次方程x2＋bx＝－9的一个根是－1， ∴(－1)2－b＋9＝0，解得b＝10. 又∵－1×x2＝9，∴x2＝－9， 即方程的另一个根是－9. 知识点3　利用根与系数的关系求代数式的值 7.若一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根分别为x1，x2，则x2＋x1的值为( ) A.－6　　 B.6　　 C.－5　　 D.5 A 8.若x1，x2是一元二次方程x2＋4x－5＝0的两个根，则＋＋x1x2的值是( ) A.－11　　 B.－21　　 C.11　　 D.21 D 9.一元二次方程x2－3x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，则下列结论错误的是( ) A.x1＋x2＝3　　 B.x1x2＝2 C.(x1－x2)2＝1　　 D.＋＝6 D 10.若关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－2m＝0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是( ) A.m＞0　　 B.m＞　　 C.m＜　　 D.m＜0 B 11.(2025南宁青秀区校级月考)α，β是方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝( ) A.4　　 B.10　　 C.－4　　 D.－10 A 12.甲、乙两名同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为－9和－1，则原来的方程是( ) A.x2＋10x＋9＝0　　 B.x2－10x＋9＝0 C.x2＋10x＋16＝0　　 D.x2－10x＋16＝0 B 【解析】设一元二次方程为x2＋bx＋c＝0，∵甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，∴甲同学的两根满足一次项系数，∴－b＝8＋2＝10，∴b＝－10；∵乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为－9和－1，∴乙同学的两根满足常数项，∴c＝(－1)×(－9)＝9，∴该方程为x2－10x＋9＝0. 13.已知x1，x2是关于x的一元二次方程2x2－6x＋m＝0的两个实数根，若x2＝2x1，则m的值为_____. 4 14.已知关于x的一元二次方程x2－ax＋a－2＝0. (1)求证：无论a为何值，该方程总有两个不相等的实数根； 证明：∵x2－ax＋a－2＝0， ∴Δ＝(－a)2－4×1×(a－2) ＝a2－4a＋8 ＝(a－2)2＋4＞0， ∴无论a为何值，该方程总有两个不相等的实数根. (2)若方程的两个实数根分别为x1和x2，是否存在实数a，使得(x1－1)(x2－1)＝a2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下： ∵(x1－1)(x2－1)＝a2， ∴x1x2－x1－x2＋1＝a2， 即x1x2－(x1＋x2)＋1＝a2. ∵x1＋x2＝a，x1x2＝a－2， ∴a－2－a＋1＝a2，即a2＝－1， ∴不存在实数a，使得(x1－1)(x2－1)＝a2. 15.易错 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1＋x2＝－p，x1x2＝q，请根据这一结论，解决下列 问题： (1)若α，β 是方程x2－3x＋1＝0的两根，则α＋β＝_____，αβ＝_____；若2，3是方程x2＋mx＋n＝0的两根，则m＝_______，n＝_____； 3 1 －5 6 (2)已知a，b满足a2－5a＋3＝0，b2－5b＋3＝0，求＋的值. 解：∵a，b满足a2－5a＋3＝0，b2－5b＋3＝0， ∴a，b是方程x2－5x＋3＝0的根. 当a≠b时，a＋b＝5，ab＝3， ∴＋＝＝＝＝； 当a＝b时，原式＝2. 综上所述，＋的值为或2. $